Kvant 2023, số 8 · Trang

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Hiền nhân trên biểu đồ

K.KOKHAS, A.LATYSHEV

HÃY BẮT ĐẦU BẰNG CÁCH NHẮC NHỞ độc giả câu đố về chiếc mũ, một câu đố rất nổi tiếng và gần như đã trở thành kinh điển. Bí ẩn. Hai nhà thông thái ngồi đối diện nhau. Mỗi người trong số họ được đội một chiếc mũ đen hoặc trắng để mỗi người không nhìn thấy chiếc mũ của mình mà chỉ nhìn thấy chiếc mũ của đồng đội mình. Không liên lạc hoặc truyền đi bất kỳ tín hiệu nào, họ phải đồng thời đặt tên cho màu mũ dự định của mình theo lệnh. Các nhà hiền triết đã được cảnh báo trước về các quy tắc và có cơ hội tham khảo ý kiến. Họ nên hành động như thế nào để ít nhất một người trong số họ đoán được màu sắc của mình? Đáp số thật tuyệt vời và xinh đẹp. Không cần phải là nhà thông thái cũng có thể dự đoán rằng tại triển lãm này những chiếc mũ sẽ có cùng màu hoặc khác màu. Hãy để nhà hiền triết thứ nhất kiểm tra giả thuyết đầu tiên, sử dụng chiến lược những gì tôi thấy, đó là những gì tôi nói, và thứ hai - thứ hai: Tôi đặt tên cho màu đối diện với màu tôi nhìn thấy. Rõ ràng, một trong số họ (và chỉ một) chắc chắn sẽ đoán được. Chúng ta hãy lưu ý ngay một điều tinh tế: mặc dù một trong những nhà thông thái chắc chắn sẽ đoán được nhưng tại thời điểm đoán, chính họ cũng không biết và không thể biết chính xác người may mắn này sẽ là ai - xét cho cùng, cả hai đều không có bất kỳ thông tin nào về màu mũ của mình. Cách đây không lâu, «Kvant» đã nói về một trò chơi đoán mũ tổng quát và xem xét câu hỏi n nhà thông thái nên hành động như thế nào trong một bài kiểm tra tương tự nếu họ được tặng những chiếc mũ có n (hoặc thậm chí nhiều hơn) màu (xem bài viết của K. Kokhas “Mang thêm mũ!” trong «Kvant» Số 11 cho năm 2019). Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét một cách khái quát khác của câu đố này. Cụ thể là chúng ta sẽ giải bài toán tổng quát bài toán sau. Bài toán. Cho một đồ thị G tùy ý, tức là đồ thị như minh họa ở Hình 2.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230803

Hình 1. Một số đồ thị G

ke 1. Các vòng tròn - chúng được gọi là các đỉnh của đồ thị - biểu thị các phòng và các đường thẳng - đây là các cạnh của đồ thị - biểu thị các cáp quang nối các phòng. Chúng tôi sẽ gọi các phòng được kết nối bằng các đường liền kề. Trong mỗi phòng có một hiền nhân, nhờ dây cáp quang ông ta nhìn thấy những gì đang xảy ra ở các phòng lân cận.$^{1}$ Tất cả các hiền nhân đều quen thuộc với nhau, phân biệt nhau, biết mình có đồ thị gì và ai ở đỉnh nào. Sau đó, họ phải trải qua một bài kiểm tra tương tự như bài kiểm tra được mô tả trong câu đố. Mỗi nhà thông thái được tặng một chiếc mũ đen hoặc trắng để mọi người không nhìn thấy chiếc mũ của mình nhưng nhờ có dây cáp quang nên người đó nhìn thấy chiếc mũ của hàng xóm. Không liên lạc hay truyền tải bất kỳ tín hiệu nào, các nhà hiền triết phải đồng thời ra lệnh đặt tên cho màu sắc mong đợi của chiếc mũ của họ. Trước cuộc kiểm tra, các nhà hiền triết tổ chức một cuộc họp để thống nhất về chiến lược của mình. Câu hỏi khiến chúng ta quan tâm là: số lượng nhà thông thái chắc chắn có thể đoán được màu sắc của mình nhiều nhất là bao nhiêu? Thành thật mà nói, cách đặt câu hỏi này hoàn toàn không thể hiểu được. Hãy cùng tìm hiểu xem điều gì thực sự được yêu cầu ở đây. Đầu tiên, để rõ ràng, chúng ta sẽ giả định rằng người tổ chức cuộc kiểm tra này là ma quỷ, kẻ chống lại các nhà thông thái. Ma quỷ hiện diện vô hình tại cuộc họp (do thám và nghe lén) và học hỏi chiến lược của tất cả các nhà thông thái. Nếu mỗi người trong n nhà thông thái được tặng một chiếc mũ có một trong hai màu thì sẽ có $2^{n}$ “cách bố trí” mũ. Khi tiến hành kiểm tra, ma quỷ cố gắng chọn

1 Có vẻ như trên thực tế cáp quang hoạt động khác hẳn, hình như phải có một số thiết bị khác mà chúng tôi chưa đề cập đến.

Các họa sĩ thường tuyệt vọng với việc bắt chước thiên nhiên, vì thấy rằng tranh của họ không có vẻ nhẹ nhõm và sống động như những vật thể nhìn trong gương. Leonardo da Vinci…về màu sắc, chưa ai có thể tự hào về thành công trong lĩnh vực này. Christiaan Huygens …cơ thể có màu sắc theo cách tiêu cực: màu sắc không phải là hệ quả của sự bổ sung mà là của sự loại trừ. John Tyndall Newton lần đầu tiên đưa ra một học thuyết hiệu quả về màu sắc, trên cơ sở đó chính ông đã khám phá ra một số lượng lớn sự thật mới… Leonid Mandelstam

Nhận thức về ánh sáng gắn liền với nhiều hiện tượng thú vị trong đó cả quá trình vật lý và sinh lý có mối liên hệ chặt chẽ với nhau… Richard Feynman

Con người… là tù nhân của tâm trí, không thể hiểu làm thế nào một thế giới ba chiều ba chiều có thể được miêu tả một cách chính xác trên mặt phẳng, trên một tờ giấy, canvas, bức tường… Boris Rauschenbach

Niềm vui được nhìn thấy và hiểu biết là món quà đẹp nhất của thiên nhiên. Albert Einstein

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

VẬT LÝ + SƠN

Ôi, những nghệ sĩ này! Họ đã vô tình đặt ra bao nhiêu câu đố cho các nhà khoa học đang cố gắng tìm ra cách thức và lý do tại sao những sáng tạo của nghệ sĩ lại ảnh hưởng đến người xem. Trong nhiều thế kỷ đã có những cuộc tranh luận về cách hiểu tầm nhìn hai mắt, liệu có cơ sở hợp lý cho các phương pháp xây dựng nghệ thuật không gian, các đặc điểm của nhận thức thị giác là gì, một phạm trù bất thường như màu sắc là gì… Những thành tựu của khoa học, và đặc biệt là vật lý, việc cung cấp các thiết bị nghiên cứu ngày càng tinh vi đã hơn một lần giúp nâng cao hiểu biết về các vấn đề mà đôi khi không thể tiếp cận được bằng phân tích khoa học tự nhiên. Tuy nhiên, thật là những khám phá thú vị đã được thực hiện dọc theo con đường đầy chông gai này! Hãy tham gia cùng chúng tôi trong một chuyến tham quan khoa học và nghệ thuật hấp dẫn.

Câu hỏi và bài toán

1. Một họa sĩ, vẽ một phong cảnh từ cuộc sống, tự hỏi cái gì lớn hơn: đám mây hay cái bóng hoàn chỉnh của nó? Bạn nghĩ sao $вы?^{2.}$ Nếu một trận đấu ngang được xem qua một hình trụ

?

một cốc nước thì chiều dài của nó dường như lớn hơn đường kính của cốc nhưng độ dày không thay đổi. Nếu trong cùng một thí nghiệm, một que diêm được đặt thẳng đứng thì chiều dài của nó không thay đổi nhưng độ dày của nó tăng lên. Nó như thế nào $объяснить?^{3.}$ Tại sao một nghệ sĩ cận thị có thể phân biệt các chi tiết tốt hơn một họa sĩ có mắt bình thường $зрением?^{4.}$ Rất hiếm khi có thể rót chính xác nước vào những chiếc ly cách xa nhau nếu một mắt nhắm chặt. Tại sao lại như vậy $связано?^{5.}$ Cách giải thích kỹ thuật được sử dụng trong hội họa: những vật thể dường như ở xa đối với chúng ta lại được miêu tả mờ, không có đường viền rõ ràng và nhạt màu hơn những vật ở gần $предметы?^{6.}$ Tại sao hình ảnh của một vật thể trong nước luôn kém sáng hơn chính nó $предмет?^{7.}$ Trong một lần lặn biển, nhà phát minh ra nó là Jacques Yves Cousteau đã vô tình cắt vào tay mình và ngạc nhiên khi thấy nước màu xanh lá cây chảy ra từ máu. Như thế này $понимать?^{8.}$ Lá xanh có thực sự xanh không?