Kvant 1970 年第 4 期 · 页面

科普物理和数学
量子
4
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

“原子的确定性、取之不竭的稳定性
他，所有形式的物质及其可变性
运动始终是辩证法的支撑
检查唯物主义”。
六、列宁

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folio:

人类已经发现了很多
性质奇怪，会打开
更重要的是，增加了
他对她的权力……”
列宁

1870-1970

2

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.Artsimovich，院士
M·I·巴什马科夫
V. G. Boltyansky，苏联教育科学院通讯院士
I.N.布朗尼汀
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V. G. Zubov，苏联教育科学院院士
P. L. Kapitsa，院士
V.A.基里林，院士
G·I·科索罗夫
V.A. Leykovtsev（副主编）
V·P·利什切夫斯基
A. I. Markutsevich，苏联教育科学院院士
M. D. Millyunitkov，院士
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M. L. Smolyansky（副主编）
是啊。 A. Smorodinsky，物理和数学科学博士，苏联教育科学院院士
V. A. Fabrikant，苏联教育科学院院士
J.E.施奈德（执行秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova
首席艺术家 E. P. Leonov
技术编辑 T. M. Makarova。
校对员 I. B. Mamulava
《科学》出版社
物理数学文献主编室
莫斯科，V-71，列宁大街，15

11/25-70 成套交付。子。用于印刷 8/V-70
纸70×100/16。物理。奥恩湖4.条件、密封。湖5.2.
学术版。湖5.88。发行量202,500份。 T-107842。
价格30戈比。订单 316

契诃夫印刷厂 Glavpolygraphprom
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区

3

在房间里：

列宁的哲学思想与现代物理学的发展
4

匹配和运输网络
14

问题书“Quenta”
25

辛顿的片状世界
28

MSU 物理 物理笔试
32

人文学科学生学习数学
35

一些二变量不等式的几何意义
41

布加勒斯特14天
49

捷克斯洛伐克12天
52

严肃+流行
55

E.拉斯克跳棋
59

答案、方向、解决方案
61

数字金字塔。另一种加密

I·K·基科平
M·I·巴什马科夫
V·P·利什切夫斯基
K·N·巴兰斯基，
A.V.乌斯蒂诺娃
A.S.库兹切夫，
V·A·乌斯宾斯基
A. 是的。马古利斯，
B·A·拉敦斯基
彼得拉科夫
A·克里莫夫，
N·康德拉季耶夫，
A·切尔诺坎
V.N.贝雷津，
M·L·斯莫良斯基

第三封面页

4

列宁的哲学思想
I.K. KIKOIN

物理学在众多的自然科学中占有特殊的地位。这种特殊的物理学是由于它研究材料最简单且同时也是最普遍的特性。因此，物理学不可避免地出现在自然科学的任何一个部分。现在，生物物理学、地球物理学、天体物理学、化学物理学和其他“物理学”等科学学科已经获得了公民权利。
众所周知，物理学是一种技术材料。一直以来都是如此，但近年来随着核技术、电子技术、激光技术等的诞生，这一点变得尤为明显。
物理学内容的如此广度和普遍性必然导致物理学，它研究知识论中最普遍的问题。整个物理学发展史都证明了这一点。
总是，当以前没有特权的新概念和想法被引入物理学时，物理学在理论上就与物理学交织在一起。
物理学和生理学之间的联系在 20 世纪尤其明显，当时奠定了现代物理学的基础：物质结构学说、相对论和量子力学。

物理学与理论知识的紧密联系是历史的必然。因此，物理学家在试图理解他们的科学现状时经常求助于物理学，这并不奇怪。许多著名物理学家发表了专门的物理学著作。

弗拉基米尔·伊里奇·列宁不仅是一位伟大的政治家、政治家，而且是一位伟大的科学家、科学共产主义的创始人。物理学在技术和物理学发展中的特殊作用，是列宁格外关注新物理学问题的原因（也许列宁对物理学的兴趣在一定程度上受到了他的父亲伊利亚·尼古拉耶维奇·乌里扬诺夫是一名物理教师的影响）。

列宁主义的科学工作方法尤其受到物理学家的喜爱。列宁在他的理论科学著作中始终依靠经验、实践作为真理的标准。列宁遵循恩格斯的话，出现了“实践标准”的概念：“当我们感知到任何事物的属性时，我们就将其用于我们自己， - 就在那一刻，我们对艺术或我们感官知觉的虚假性进行了明确无误的测试……（我的斜体。 - I.K.）……

5

我们行为的本质证明了我们的感知与所感知事物的客观本质（gegenständlich）的一致性（Ubereinstimmung）*）。

这就引出了下一个问题。科学史上有很多例子表明，科学家的想法从现代角度来看显然是不正确的，但却导致了“我们行动的毁灭”。

以旧的磁学理论为例，其中一块磁化的钢被视为磁偶极子，由两个磁极或“磁荷”（类似于电偶极子）组成。利用这个想法，物理学家创造了一个永磁器，所有使用磁铁的实践和技术都基于它。这一实践很快证实了“磁荷”理论。与此同时，现在众所周知，磁荷实际上并不存在。而当他们现在谈论磁极时，他们总是规定这是一个虚构的概念。

实践的标准似乎不能作为确定我们对某个特定主题的想法的真实性的可靠依据？当然，这不是一个单独的问题。

现代最伟大的物理学家之一理查德·费曼（Richard Feynman）试图弄清楚物理定律的哲学解释是什么，他用以下例子说明了这个问题的重要性。

“让那些坚持认为唯一重要的是理论与实验之间的一致性的人想象一下玛雅天文学家和他的学生之间的对话。玛雅人能够以惊人的准确性想象，例如日食的时间，月亮、金星和其他行星在天空中的位置。所有这一切都是在算术的帮助下完成的……他们对天体的旋转没有丝毫的了解。

想象一下，一个年轻人来到我们的天文学家面前说：“这就是我想到的。也许这一切都是可信的，也许这些是石球……它们的运动可以完全不同地计算出来。”此外，得知年轻人还没有达到计算行星运动的程度后，玛雅天文学家会回答他，我们已经可以准确地计算日食，所以不需要理会你的想法。

正如我们所看到的，”费曼总结道，“决定是否值得思考我们理论背后的东西并不是一件容易的事。”

这确实不是一件容易的事。毕竟，如果我们无条件地接受真理的标准是实践这一说法，那么从给出的例子中可以看出，这种说法可能会导致科学的停滞。

这项艰巨的任务被 V.I. 出色地解决了。列宁。

列宁认为“生活和实践的观点必须是认识论的首要和基本观点”，他补充了以下重要的一段话。

“……当然，我们不能忘记，实践的标准永远无法以其本身的方式揭露或反驳玛雅人和他的学生的立场。玛雅人能够以惊人的准确性想象，例如日食的时间，月亮、金星和其他行星在天空中的位置。所有这一切都是在算术的帮助下完成的……他们对天体的旋转没有丝毫的了解。

*) 不可知论是一场哲学运动，它肯定人类知识的不可还原的局限性。

8

Khanki堪称非凡。它可以让您揭示结构原子的秘密。利用量子力学，可以以任意精度计算原子，即计算原子的详细电子结构。这些计算结果与实验的准确性惊人地一致。

所有现代量子电子学及其各种技术应用（激光、微波激射器等）都是量子力学的产物。量子力学尚未成为学校的学习对象，但技术学校已经开始研究其应用。尽管如此，这个物理学领域最伟大的权威却声称无人理解！

让我们试着找出量子力学被误解的原因。

事实是，即使在其诞生之初，量子力学也包含着矛盾。例如，让我们转向光量子性质的最简单表现——光电效应。

爱因斯坦提出的光电效应理论是，部分v的光流被视为“粒子”——光子的流，其能量为E = hv（h为普朗克常数）。当光子到达金属表面时，其中一些被电子吸收。结果，吸收光子的电子的动能增加了 hv 值。拥有这样的能量，电子就可以离开金属并飞出。同时，他损失了一部分积累的能量，将其花费在“功函数”A上。因此，电子飞出金属的最大动能等于

$$\frac{1}{2} mv^2 = hv - A.$$

这将取代爱因斯坦的光电效应公式，该公式已被大量实验证实，并且是该效应自由应用的基础。

所以，如果你思考一下爱因斯坦公式的含义（这也是他在 1905 年获得的），那么它的不一致之处立刻就显而易见了。

这个公式中包含的E=hv值是“光粒子”（光子）的能量，v值是由粒子组成的光的频率。但频率是表征波的一个量。光频率的概念是在19世纪确立光是振动传播过程之后出现的。这个过程称为波。但从这个概念的真正含义来看，波占据了大面积的空间，严格地说，甚至占据了整个空间。粒子是局域于空间的东西，也就是说，它占据很小的体积。因此，将光子（即粒子）的能量与光波的频率联系起来的基本表达式E=hv，从“常识”的角度来看是荒谬的。

光电现象无可辩驳地证明光是粒子流。

另一方面，同样无可辩驳的实验证据表明光是一种波动过程。事实上，波浪最典型的属性如下：如果将两个波浪叠加在一起，使得其中一个波浪的波峰与旋转的波浪重合 (图 1, a)，那么波浪将完全停止 (图 1, 6)。相反，当其中一个的波峰与另一个的波峰重合时，兴奋就会平静下来。这种众所周知的现象称为波干涉。可以说，如果在经验中观察到干扰现象，那么我们正在处理的是波。

光的波动理论在如何证明屏幕上的某些点同时被两个

9

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图1，一个
图 1, 6

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相同的光源结果是暗的（图2），而在每个光源的作用下，吊诡的事实是光的波动理论和量子理论都是正确的，而公式$E=hv$在这些矛盾的理论之间建立了联系。

这种对“常识”的挑战在1924年达到了顶峰，当时“波”和“粒子”的二元概念通过理论推理延伸到了电子和原子。换句话说，原子和电子自从被发现以来就具有粒子的所有特性，它们的行为也必须像波一样。很快实验就证实了这些结论。

物理学家必须更深入地了解这种情况，这导致了现代量子力学（或者以前称为波力学）的创建。

量子力学的基础是在 1925 年至 1927 年奠定的。德国物理学家维尔纳·海森堡对其发展做出了重大贡献，他提出了所谓的不确定性对应关系，其中

一个圈子里爆发了广泛的哲学讨论。这种通信将许多著名的物理学家引向了哲学唯心主义者的阵营。

乍一看，以下对应关系完全无害：

$$\Delta x \Delta p \geq \frac{h}{2\pi}.$$

这里$\Delta x$是粒子坐标的不确定性（不准确度），$\Delta p$是粒子动量（或速度）的不确定性，$h$是普朗克常数。翻译成普通语言，这意味着不可能同时准确地知道粒子的位置和速度。换句话说，如果我们试图将一个粒子固定在某个地方，那么我们的尝试将导致我们无法确定它会飞到哪里以及以什么速度飞行。相反，如果我们让一个粒子以一定的速度移动得很慢，那么我们将无法指示它在哪里，也就是说，粒子会显得弥散。从这里很容易得出明显理想主义性质的“最简单”结论：人类知识从根本上是有限的，因为我们没有机会回答这样一个简单的问题。而且，从这里我们可以得出一个理想主义意义上的结论，世事难料，即原则被违反。

事实上，我们已经习惯了这样一个事实：如果已知物体的初始位置和速度以及作用在其上的力，经典力学使我们能够预见物体未来的运动。所有的机制都是基于此。例如，航天的成功是基于这样一个事实：知道了火箭的发射地点（初始坐标）并设置了提取的初始速度，我们就可以根据经典力学定律提前预见它会在哪里。

11

任何时候都会有一个包裹。

对于遵守量子力学的粒子来说，情况有所不同。既然我们根据不确定性关系无法准确地表示出它的坐标和速度，那么显然我们无法预测它们将来会变成什么样子。不难同意，这一切都是粒子（电子、原子、中子等）具有波特性这一事实的结果。

事实上，让我们考虑下面的粗略示意性实验，尽管如此，它仍然非常接近实际进行的实验。让我们想象一下 (图 3)，某些源（例如白炽灯接线）发射的电子飞过屏幕中的两个分支。根据每个答案，电子可以向各个方向飞行。在屏幕后面，我们可以将电子计数器移动到与答案屏幕平行的位置。电子计数器可以记录进入它的每个电子。这意味着可以直接计算电子数量。

很自然地假设进入计数器的每个电子都经历了两个反应之一。因此，如果我们计算第二个关闭时通过计数器进入计数器的电子数，然后计算第一个关闭时通过计数器进入计数器的电子数，那么我们可以正确估计通过两个分支进入计数器的电子数将等于计数器显示的总和。这需要常识。我们确信，如果我们用机枪穿过带有两条手臂的装甲盾牌发射，情况就会如此，盾牌后面的某个地方有一盒沙子，泄漏的子弹会卡在里面。毫无疑问，落入盾牌上有开孔的沙盒中的子弹数量等于分别通过每个孔落入同一个盒子中的子弹数量之和（当然，在同一时间段内，比如说一个小时）。

但当我们“发射”电子时，这不起作用！此外，安装在适当位置的计数器可能会在它们分别通过每个答案时记录相同数量的电子（当其中一个答案闭合时），而当两个答案都打开时（图3），将不会记录单个电子。

问题自然而然地出现了：怎么会这样？

这里不难看出与当屏幕被两个相同的光源照射时观察到的相同现象，即集成现象。

现在让我们尝试回答为什么量子力学难以理解的问题。这将帮助我们找到一些哲学家和物理学家在分析物理学现状时得出的唯心主义结论的根源。

理解上述物理现象的主要困难在于，在分析它们时，我们试图使用我们在高级生活中习惯的相同概念。人类几个世纪的经验已经引导

12

事实上，一个人认为自己可以理解他可以以几何或机械图像的形式想象的东西。这种经验，即研究我们周围世界的实践，导致了许多可理解的概念的产生，借助这些概念，现实世界得以反映在人脑中。但直到20世纪，人类只关心以相对低速运动的宏观物体。巨体是可以看到的物体，可以确定它们的形状和大小（创建几何图像）并研究它们的运动（创建机械图像）。相应的概念也适应了这种经验。

牛顿力学是根据宏观物体的运动而发展起来的，它确定物体的机械状态是由其坐标和冲量（或速度，如果物体的质量被认为是恒定的）唯一确定的。

但现在我们已经进入了受宏观物体运动影响的物体世界，并且已经确定物体的机械状态是由它的坐标和冲量（或速度，如果物体的质量被认为不变的话）唯一决定的。

我们不仅进入了受宏观物体运动影响的物体世界，而且还确定了物体的机械状态是由其坐标和冲量（或速度，如果物体的质量被认为是恒定的）唯一决定的。

如果经验表明这些物体既具有粒子的性质，又具有周期波的性质，那么实际上它们既不是波也不是粒子，而一定是其他东西，“对立单位”。
事实上，如果我们仔细考虑电子是常见机械部件的实验证据，我们会发现这是非常间接的证据。最有可能的是，只有物理学家对物质原子结构的深刻信念才使他们得出这样的结论：电子（以及原子）的经验表明它们是一般机械意义上的粒子。

此外，爱因斯坦不能放弃关于电子运动的“机械”观点。他经常摇头说：“但是上帝无法猜测‘正面或反面’来决定电子应该移动到哪里。”

我们认为，原子、电子和质子真实存在的确定性可以与天文学中哥白尼体系的确定性相媲美。但这并不意味着我们可以将这些物体想象为天体的简化模型。我们仍然无法想象它们；它们与众不同。这不能归咎于大自然！

当然，相信自然必须适应人类的思想，以便它能够形象地想象其所有物体，这将是最高程度的哲学唯心主义的表达。正是因为我们无法以几何和机械图像的形式想象量子物体，所以我们认为它们是不可理解的。

但如果真是这样，那么我们有什么理由假设量子物体的运动状态应该由决定物理物体状态的相同量（即坐标和动量）决定呢？总之，问题是“给定时刻的坐标和冲量是什么？”与量子物体有关 - 一个非法问题。毕竟，并非每个问题都是合理的。例如，不可能回答“普尔科沃子午线是什么颜色？”的问题。但这并不意味着人类的知识可能是有限的！

显然，在同样的程度上，“电子的坐标和冲量是什么？”这个问题也是如此。是非法的。

列宁在类似场合说过的话最能适用于量子力学的现状：“物体的运动本质上被转化为非恒定质量物体的运动，转化为未知以太中未知电荷的未知电荷的运动——这种物质转变的辩证法，

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folio:

2. 第一的
   证明。
   7 任务。
   匹配
   和
   运输
   网络
   米巴什马科夫
3. 定理
   吉拉奥
   饱和。
4. 算法

福尔克森。
4. 网络
和溪流。

1. 定理
   关于牵线搭桥。
2. 婚礼
   和图表。

在一本严肃而厚重的书的结尾，
致力于泛函分析，
打印以下几行：

Matchmaking theorem.让$n$年轻人与他们的朋友成为朋友
ears.让我们假设对于每个组
$k$ 男孩 ($k=1, 2, ..., n$) 中至少有 $k$ 女孩，
这些年轻人中还有其他人。 Then every young man
你可以娶一个和他是朋友的女孩$^*$）。

乍一看，这似乎是一个笑话。
但已经在下一个重要定理中
有些组被称为“年轻人”，
还有一些是“女孩”，
当他们成功结婚后，
一个困难的证明就非常巧妙地完成了。

从优化问题到第七古典学家
并重复“匹配定理”的思想，
到替换方法组合器，

并解决重要的经济问题，
结果发现很短。

但请记住，这条路并不容易——
有的地方是绕一圈上坡。

• C. Morin，希尔伯特空间方法，Mir，1965 年，第 14 页。 549.

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1. 关于匹配的定理

让我们考虑一下定理的表述。有一个由$n$个年轻人组成的公司，每个人都是朋友，都拥有一间或多间两居室的公寓。我们感兴趣的问题是：在什么条件下，$n$每个年轻人可以从他的女朋友中选择一个新娘（所以，当然，两个年轻人不会同时选择一个两居室的女孩）。

尝试找出是否可以在图 1 中给出的两个示例$a$和$b$）中安排这样的匹配。这里是$n=6$；科比棋子和年轻人被描绘成点，并且从每个科比棋子上绘制箭头指向那些与它是朋友的年轻人。安排相亲意味着选择（例如用铅笔圈出）六个箭头，从六个不同的两居室公寓到所有六个不同的年轻人。

事实证明，例如 $a$ 这是可以做到的 )。在例子$b$）中，无论我们如何努力，我们都不能让所有的年轻人结婚。不难解释原因。事实上，四个年轻人 - 伊利亚 (Ilya)、科利亚 (Kolya)、马克 (Mark) 和尼基塔 (Nikita) - 自从第三个科比作品 - Belaya、Ve 起就只是朋友了

*) 第 18 页 (图 2) 给出了该问题的解决方案之一。还有其他解决方案。

图 1

16

17

只能有两种情况：
情况 1. 对于某些 $k$ ($1 \leq k < n$)，有一群 $k$ 男孩，他们与恰好 $k$ 女孩是朋友（全部）。

让我们用$IO_k$表示这些年轻人的集合，用$Д_k$表示他们女朋友的集合。对于男孩组$IO_k$，诱导句子已完成。与此同时，他们的新娘耗尽了整套$Д_k$（不均匀的$k$女孩）。让我们把这些男孩和女孩排除在外，用反证法证明剩下的$n - k$男孩满足定理的条件。

让我们从这$n - k$个年轻人中选出一个包含$r$个年轻人的公司。假设他们的朋友$s$的数量少于$r$。让我们回到正轨，将这些$r$年轻人与$IO_k$团体团结起来。新团体中有$r + k$个年轻人。由于集合$D_k$包含$IO_k$男孩的所有女朋友（可能还包括所显示公司的$r$男孩的其他一些女朋友），那么这些$k + r$男孩一开始就有$k + s$女朋友。根据初始条件$k + r \leq k + s$。因此，$r \leq s$。结果与提案$s < r$矛盾。这意味着在这种情况下定理是正确的。

情况2.任意一组$k$个男孩（$1 \leq k < n$）至少与$k + 1$个女孩是朋友。

在这种情况下，一切都很简单。我们让任何年轻人嫁给他的任何女朋友。让我们将这一对排除在考虑范围之外。让我们证明剩下的$n - 1$男孩满足定理的条件。让我们以任意一组 $k$ 年轻人 ($k \leq n - 1$) 为例。一开始他们至少有$k + 1$个女朋友。然后选中的年轻人的新娘到了，那么还剩下$k$个女孩。这完全证明了定理。

相信，你必须花费一些条件才能理解这个证明。但是，除了证明并不简单之外，它还有一个重要的缺点——它没有给出一种简单的方法来找出每个特定情况下是否满足匹配定理的条件，如果满足，那么如何选择新娘，你需要遍历所有非公平的年轻男性子集（并且有$2^6 - 1 = 63$）组，并为每个年轻男性子集检查他们是否有足够的女朋友。但即使我们这样做并确保原则上可以安排所有婚礼，我们也不会从这里收到任何关于谁与谁结婚的指示。确实，在这个例子中$a$，你无疑轻松地选择了所需的六对（甚至有几个可能的选项），但是当集合非常大时，随机选择只需要花费很多时间。为了将此类问题的解决委托给计算机，有一个明确且经济的选择规则尤其重要。

我们将构建一些算法*)，它不仅会重新证明婚介定理，而且还会提供一种快速的方法来安排必要的婚介，如果这是不可能的，则指示最大婚礼次数的选项。

3. 婚礼和法庭

通过箭头以某种方式连接的点系统称为有向图*）。在这种情况下，点称为图的顶点，线段称为图的线或边。有向图的示例已在讨论中 图 1 以及图 3 和 5 中显示。在图 1 的情况下，图的所有顶点的集合被分为两组 - 女孩和男孩 - 以便边从一组的点到另一组的点。在这样的情况下

*) 解决特定类型问题的操作序列。莫斯科人被许诺了一种算法，列宁格勒——一种算法。当前页面的第二页。

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该图被称为简单图或二部图，到目前为止，我们所面临的问题——安全地安排最多数量的女孩和男孩的个人生活——是最大匹配问题。

匹配问题可以使用如下图来表示。选择每对男女就意味着选择图表的一条边。我们将数字 1 分配给图膜边缘中的每一对，将数字 0 分配给其他每一对。安排好所有婚礼后，我们得到一个函数，其定义域是图的所有边，值的集合是两个数字 0 和 1*)。我们如何用这个函数来陈述问题的所有其他条件？我们需要每个男孩都选择一个女孩，并且每个女孩都只能被一个男孩选择。换句话说，对于图中的每个顶点，描绘了一个女孩，离开它的所有边的函数值之和必须不大于1，而对于描绘一个男孩的每个顶点，进入它的所有边的函数值之和必须恰好等于1。

因此，我们的问题被表述为找到在图的边缘上定义的某个函数并满足一些不等式的问题**）。

该问题的一种解决方案（在示例 a) 的情况下）如 图 2 所示，其中选定的边是头。所需的函数具有以下形式：

安雅 - 科利亚、贝拉 - 伊利亚、维拉 ​​- 列瓦、达莎 - 奥西亚、扎娜 - 马克、齐娜 - 尼基塔、安雅 - 尼基塔、维拉 - 伊利亚、加利亚 - 科利亚、达莎 - 列瓦、达莎 - 马克、达莎 - 尼基塔、伊娃 - 列瓦、扎娜 - 列瓦

*) 参见 A. N. Kolmogorov 的文章“什么是函数”，第 1 期«Kvant»。
**) 请注意，等式 f=1 可以写成两个不等式的系统：f≥1 和 f≤1。

19

Naimporta 与婚姻主题的其余部分不同。通信系统本身使用图表来表示。例如，当监控一组复杂工作的实施时，各个中间阶段由图的顶点指定，箭头连接其中相互依赖的阶段（图3）。第 14 页上的图表（此状态的启动屏幕）显示了其各部分的连接方式；从它可以立即清楚地看出，例如，无论第 2 条是否清晰，都可以阅读第 3 条。当给出一个图时，经常会提出一些与寻找满足某些不等式的函数在数学上相关的问题。其中之一，我们考虑过平等问题。让我们提出另一个类似的问题（但不解决它）。

任务。围绕棋盘$8 \times 8$移动马，在给定的方格中开始和结束。

我们绘制一个具有 64 个顶点（棋盘的区域）的图 (图 4)，并将每个顶点的边（在本例中为直线段）与移动马可以到达的边连接起来。在我们开始解决问题之前，运动的方向对我们来说并不重要，我们可以绘制没有箭头的图的边（无向图）；或者，您可以在每条边上沿两个相反方向绘制一对箭头。

所需的函数应为每个中间顶点提供数字 2，为初始和最终顶点提供数字 1。

4. 网络和流媒体

现在我们将研究一些特殊类型的图 - 网络和此类图上的特殊类型的函数 - 流。让我们再看一下图表（参见第 14 页）。它有两个极端顶点——“输入”（1.匹配定理）和“输出”（问题）。具有输入和输出的有向图称为“传输族”或简称为“族”。 图 5, a 中显示了此类网络的示例。

给定网络上的帮助是图的边上的函数，它采用（在最简单的情况下）值0和1并满足以下条件：对于每个中间顶点（即不同于输入和输出），沿着进入该顶点的所有边的流值之和等于离开该顶点的所有边上的值之和。

名称“运输七”和“流量”可以计算如下。

让我们想象一个城市，它发展了一套街道（边缘）和交叉口（顶点）系统，并且每条街道上都有单向交通，并且只有一个进入城市的交通和一个离开城市的交通。

川流不息的汽车在城市中穿行，交通组织得很好，任何一个路口都没有堵车。在所考虑的最简单的情况下，我们假设人流流过的所有街道都受到相同的负载（具有相同的容量，通常将其视为一个）。

在更一般的情况下，每条边都被分配一个正整数 - 权重或容量。 （在我们的例子中

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folio:

入口
出口
一个
入口
出口
乙
入口
出口
V
出口
G

21

街道通行能力是指单位时间内可以通过街道“横截面”的汽车数量。）

通常不说“流是在网络上定义的”，而是说“流通过网络传递”。显然，流在中间顶点没有留下任何东西，因此给出口带来的碰撞次数与通过入口的碰撞次数相同。沿着离开输入的所有边缘的通量值之和等于沿着所有到达输出的边缘的值之和，称为通量值。

图 5,6 显示网络图 5,a 上的流量。该流的值等于1的网络边被描述为头。流量值为3。

很容易说，为了让大小为 n 的流通过网络，必须满足以下必要条件：如果任意 k 个边与网络断开，其中 k<n，则可以沿着剩余的边从输入传递到输出。

值得注意的是（正如在匹配定理中一样）这个必要条件被证明是充分的。

许多实际经济问题都需要找到最大流量，即可以通过给定网络的最高可能值的流量。

现在我们将讨论能够构建最大流的算法的描述。

5. 算法
   福特-法克森

让我们有一个传输网络（图 5,a）。我们的任务是为其构建最大流量。

让这个网络上有一些初始流（在极端情况下为零，即每条边上的值都等于零）。

我们将从非零通量 (图 5,6) 开始。该流所沿的边缘（它们由头部形成）将被称为饱和的，其余的（黄色）是自由的。检查我们的流量是否无法在不接触已占用的流量的情况下增加（您无法通过仅沿着自由箭头移动将输入连接到输出）。

我们现在将执行一些操作，这将导致两种可能的结果：要么显示如何增加此流量，要么发现现有流量最大。

让我们开始在顶部放置“加号”和“减号”框。让我们用平扣标记从入口沿自由边可以到达的所有顶点。进一步的放置过程将是任意的：从已经放置的顶点开始，我们将把那些可以沿着自由边到达的顶点放平，在一分钟内 - 所有那些可以从它沿着饱和弧返回的顶点（以与箭头相反的方向）。不要因为放置过程微不足道这一事实而感到困惑 - 通常同一个顶点可以同时放置加号和分钟。

让我们用这种方式标记所有可能的顶点（图 5,6 上没有未放置的顶点；但在其他情况下它们可能会出现！）。

可能有两种情况：1）我们设法放置输出（当然，带有加号）； 2）不可能建造更多的房屋，但出口仍未完成。

1. 结果发现m被放到了输出中。 （这发生在图 5,6。）让我们恢复我们设法放置输出的顺序*），也就是说，我们通过沿着预期顶点的路径将输出与输入连接起来（该路径在某些情况下可以是

*）实际（在具有大量顶点的图中）放置使零件变得更加复杂，以便存储有关顶点放置顺序的信息。

22

与箭头方向相反的方向）。

图 5.6 处的这条路径用红线突出显示。

现在我们将执行以下操作：在选定的红色路径中，我们将使自由箭头饱和，反之亦然（图 5,8），即我们将更改红线上的流，以便它在其每个边缘上采用值 1 和 0 以及 0 和 1*）。很容易看出，新函数又是一个流，即在中间顶点，传入和传出饱和箭头的数量再次相同 - 不违反平衡。与此同时，脸的流量增加了一个单位。

所以在第一种情况下我们可以增加流量。如果这个操作可以再次进行，我们将尽可能长时间地重复。

2. 输出未标记 (图 5,2)。我们的方法无法增加流量。但这还不能得出它是最大值的结论。有可能我们增加的方法不好，我们可以通过其他方式增加流量。让我们证明事实并非如此，即我们将证明现有流量是最大的。让我们考虑所有未放置顶点的​​集合。根据条件，该集合包括输出。让我们数一下通向该组的箭头的数量，即左端已放置但右端未放置的箭头。显然，任何流量的大小都不会大于这个数字。同时，对于我们的流程，所有这些箭头都是饱和的，因为否则右端可以放置平坦。另外，来自未放置顶点集合（即左端未放置而右端已放置的箭头）的所有箭头都是自由的，否则左端可能会在一分钟内放置。这意味着原始流的大小等于离开的箭头数量

6. 盖尔定理
   关于饱和度

使用 Ford-Falkerson 算法，我们现在将制定并证明传输网络理论的中心定理。该公式会使用一些自然的经济学术语，但你会感觉到它与匹配定理有多么接近。

让我们拥有一个运输网络。考虑任意一组任意顶点$A$（即既不包含输入也不包含输出）。让我们将这个集合 $A$ 的容量定义为指向 $A$ 的箭头数量。我们来表示这个数字

23

通过$c(A)$。让我们通过集合$A$的总要求来定义从$A$直接通向出口的边的数量。我们用 $d(A)$ 来表示这个数字。

让我们研究下面的问题：在什么条件下存在一种使所有输出边饱和的流，即通向输出的所有边上的值都等于1的流。显然，这样的流量应该是最大的。

盖尔定理。对于任何数量，都存在一个使所有输出弧饱和的流量；对于任何集合$A$，其总需求不超过容量是必要且充分的：

$$d(A) \leq c(A).$$

证明。与牵线搭桥定理一样，必然性几乎是轮回。事实上，如果我们可以构造一个沿着所有通向出口的边经过的流，那么对于任何集合$A$，它也只沿着从$A$通向出口的边经过。同时，通向集合$A$的流的数量不能大于通向$A$的边的数量，即数量$c(A)$。但这一流量必须沿着通向出口的所有边缘完全离开 $A$，也许还沿着其他一些边缘。由此可知$d(A) \leq c(A)$。

充分性。让我们的网络流量最大化。让我们证明它沿着所有输出弧。让我们使用 Ford-Folkerson 方法来标记顶点并考虑未标记的顶点集。让我们从该集合中删除输出。我们用 $A^*$ 表示结果集。通向出口的肋可以有两种类型。

首先，这些也是末端位于 $A$ 的边，即是标记的顶点。它们将是饱和的，因为根据构建流的方法，所有左端被放置但右端未被放置的边都是饱和的。

其次，这些是导致退出集合的边缘。由于$A$与出口一起构成所有未标记顶点的集合，因此所有通向$A$的$c(A)$边都将饱和，而所有从$A$通向出口的不直接的边将是空闲的。

*）集合$A$可能会被证明是空的——我们的推理仍然是正确的。但在这种情况下，盖尔定理的有效性立即可见。为什么？

这意味着进入$A$的整个价值流$c(A)$必须直接从$A$退出到出口。但从$A$开始只有$d(A)$通向出口，并且我们知道$d(A) \leq c(A)$。因此，所有这些边都是饱和的且$d(A) = c(A)$。

您可能注意到盖尔定理的条件与婚礼定理的条件相对应。尝试根据盖尔定理自己推导出该定理。为此，您需要根据男孩和女孩之间的熟人二部图创建一个跨空间网络，将输入与所有女孩连接起来，将输出与所有男孩连接起来（然后可以方便地为连接女孩与男孩的每个箭头分配权重$N$，其中$N$大于男孩的数量）。

现在对我们来说更重要的不是我们获得了匹配定理的另一个证明，而是我们有一个简单的构造最大流的算法。

对于配对问题，算法很自然地制定了如下流程：对于每个不是新娘的女孩，将她所有的朋友放在平地上，然后在一分钟内将这些朋友的新娘放在平地上，然后将这些新娘的其余朋友放在平地上，等等；如果发现有一个空的年轻人，那么可以通过沿着从空的女孩到空的年轻人的标记所绘制的链条（如图5.6处的红线）进行替换来增加婚礼的数量。

为所有年轻人安排婚礼无非是构建一个充满所有出口弧线的流程；如果情况并非如此，那么 Ford-Folkerson 算法为解决有限数学中的许多难题提供了最大可能的新有趣算法。

24

任务

1. 让每个男生与不少于$m$个女生交友，每个女生与不超过$m$个男生交友（$m$为任意自然数）。证明在这种情况下满足匹配定理的条件。

2. 小学生围成一圈解决问题。结果，每个人解决了 4 个问题，每个问题由 4 个小学生解决。证明可以组织问题的分析，使每个学生只解决一个问题，并且分析所有问题（一次）。

3. 给出了传输网络。包含输出但不包含输入的顶点集称为网络切割。切割$B$的能力是数量$c(B)$，等于$B$中包含的打击数​​量。如果 $\phi$ 表示流量，则 $|\phi|$ 将表示流量的大小。证明对于任意流 $\phi$ 和任意割 $B$，以下变换成立：$|\phi| \leq c(B)$。

4. 切 $B$ 调用最小值，如果其容量 $c(B)$ - 所有切割的吞吐量中最小的。使用Ford-Falkerson算法，推导出最小割的吞吐量等于最大流的值 - max $|\phi| = \min c(B)$ （福特-福克森定理）。

5. 检查如果$\phi$是最大流，则统一所有未标记顶点（使用Ford-Falkerson方法基于流$\phi$制作标签）获得的割是最小的。

6. 证明任意两个最小割的并集和交集也是最小割。

7. 证明未标记顶点的割（对于最大流）是所有最小割的并集。由此推断，该切割不依赖于用于产生流的最大切割。

文学

1. A. Kofman、R. Faure，威尔从事运筹学，《世界》，1966 年。
2. K. Berge，图论及其应用，伊利诺伊州，1962 年。
3. L. Ford、D. Folkerson，网络流动，世界，1966 年。
4. O. Ore，图论，Hayka，1968。
5. D. Gale，线性经济模型理论，伊利诺伊州，1963 年。

数学和物理学家巴黎

在巴黎，许多建筑都与过去几个世纪杰出科学家的记忆有关。此外，卢浮宫曾经是国王的据点，在 1789 年革命之前成为学者们的聚会场所。尽管后来在拿破仑一世的统治下，卢浮宫成为了一座博物馆，但即便如此，一些科学家仍驻扎在那里。勒让德的一封信被保存下来，在信中这位数学家请求住在宫殿的旧部分。

巴黎有一些街道以数学家、物理学家和天文学家的名字命名，但这些科学家并不都是法国人。这些名字是：勒让德、罗莫尔、帕斯卡、皮埃尔·居里、玛丽·居里、兰伯特、布丰、富兰克林、卡诺、阿拉戈、笛卡尔、莱布尼茨……

短语“数字$z$是两个数字$x$和$y$中较大的一个”可以使用以下公式编写：

$$z = \frac{1}{2} (|x - y| + x + y).$$

“数字$u$是三个数字$x, y$和$z$中最大的”这句话怎么写？

证明单词 ABABAB 可以被 7 整除（A 和 B 是任意数字）。

足球问题

如您所知，足球杯比赛是按照所谓的奥林匹克制度进行的：负者被淘汰，如果负者则进行重赛。

那一年没有重赛，有75支球队参加了比赛。

进行了多少场杯赛？

26

F19。连通容器的形状如图 1 所示。如果加热其中一个容器中的水，水会流过连接容器的管子吗？

F20。平行于半径为 $R$ 的圆柱体的轴线，距圆柱体中心距离 $\frac{R}{2}$ 处钻孔。孔半径为$\frac{R}{2}$。圆柱体放在一块板上，该板的一端慢慢提起 (图 2)。求出圆柱体仍处于平衡状态时板的最大倾斜角度。圆柱体在板上的摩擦系数为0.2。

全联盟信件奥林匹克竞赛，1967 年

F21。两个相同的直流电机的电枢轴彼此刚性连接。如果电流源与 e 相同。连接到电枢绕组。 d.s. ε，则锚无载时的旋转角速度等于$\omega_0$；如果电机减速而不旋转，则电流 $I_0$ 流过电枢绕组。切换电流源之一，使发动机的旋转扭矩相反。必须向锚的轴施加什么外部力矩才能使它们受力旋转？

给定角速度$\omega$？发动机的摩擦可以忽略不计；定星的磁场是由永磁体产生的。

第三届全联盟物理奥林匹克竞赛，1969

F22。两个铁匠打成一块铁。首先，他们把它放在铁砧上，一次锤击一个，然后把它挂在天花板上，同时从不同的侧面敲击它。在这两种情况下，每个铁匠的打击力量都是相同的。什么情况下，一块铁一击就会升温更多？

A.M.巴德克

F23。在水平面上有两根相同的细管，每根质量为$m$。它们的轴平行，半径等于$R$。首先，其中一根管子结束，第二根管子滚动，但不会滑向第一根管子，直到发生碰撞。管道的平移速度为$v_0$。管道旋转的平移速度和角速度如何随时间变化（画图）？管道在水平面上滑动的摩擦系数为$k$，碰撞时管道之间的摩擦力可以忽略不计，冲击是绝对弹性的。

第三届全联盟物理奥林匹克竞赛，1969

27

M16。证明具有目标系数的多项式$p(x)$，对于$x$的三个不同目标值取值1，不能有单个整数根。

M17。一位农民来到$60^\circ$分岔的两条路的岔路口问道：“怎么去$NN$村？”他们回答他：“沿着左边的路到村子$N$ - 距离这里有八俄里 - 在那里你会看到一条大平坦的道路以直角向右延伸 - 这正是通往$NN$的路。或者你可以走另一条路：现在沿着右边的路;当你到达铁路时，这意味着一半的路更容易;在这里左转，沿着枕木直走直到$NN$。 - “那么，哪条路会更短呢？” ——“无论这是什么，那是什么，都没有什么区别。”农民们走上了正确的道路。

他需要步行多少英里才能到达$NN$？大十还是少？如果从岔路口直接走到$NN$会怎样？ （所有道路均被视为笔直。）

M18。 a) 证明对于正三角形$ABC$外接圆的任意一点$M$，三段$MA, MB, MC$之一等于另外两段之和。

6. 三个相等的圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$成对地相互接触，并在它们周围描述一个圆$\gamma$，它接触所有三个：$\gamma_1, \gamma_2$和$\gamma_3$。证明对于圆$\gamma$的任意一点$M$，从点$M$到三个圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$之一所画的切线等于从点$M$到另外两个圆所画的切线之和。

M19。在无尽的神经细胞链中，每个细胞都可以处于两种状态之一：“休息”和“兴奋”。如果某个细胞此时处于兴奋状态，那么它会发送一个信号，经过一个时间单位（例如一毫秒）后，该信号会到达两个相邻的细胞。当且仅当每个细胞接收到来自其相邻细胞之一的信号时，每个细胞才会被兴奋；

如果信号同时从两侧到达，则它们会被熄灭并且细胞不会被激发。例如，如果在初始时间 $t=0$ 细胞的三个邻居被激发，其余细胞保持不变，那么激发将如 图 3) 所示传播。 （兴奋的细胞呈蓝色）。

在第一时刻只让一个细胞兴奋。 15个月后有多少细胞会处于兴奋状态？ 65个月内？ 1000个月后？在$t$个月内？

如果链条不是无限的，而是仅包含 $N$ 个单元格连接成一个圆圈 (图 4)，会发生什么 - 兴奋会继续无限长时间还是会消失？

N·瓦西里耶夫

M20。是否有可能将一个正三角形分成一百万个凸多边形，使得任何直线与这些多边形的相交不超过四十个？ （如果一条线与多边形至少有一个公共点，我们就说它与多边形相交。）

第三十一届莫斯科数学奥林匹克竞赛

*) 这一假设并不反映生物体神经系统中细胞的真实行为。

1907 年，由普林斯顿大学和明尼苏达大学的数学老师查尔斯·霍华德·辛顿 (Charles Howard Hinton) 撰写的《平面国的插曲》一书在伦敦出版。在其中，辛顿试图处理平坦的世界。

在辛顿想象中创造的二维世界中，同样平坦的行星围绕着像煎饼一样平坦的太阳旋转，其中一个被作者称为阿斯特里亚（Astria）的行星上将发生事件，

小说里已经写掉了。只要在桌子上放几枚硬币，你就可以轻松想象这个二维世界。让其中一枚（例如金属卢布）代表太阳，而另一枚较小的硬币则代表围绕太阳旋转的行星。这个二维世界中的重力表现与我们的空间中不同。唯一的区别是，它的变化与物体之间的距离成反比，而不是像我们习惯的世界那样与距离的平方成反比。

Astria 像任何行星一样绕轴旋转。例如，它旋转的地方称为东，相反的称为西。辛顿似乎将他的扁平阿特里亚人（阿斯特里亚的居民）置于地球的“边缘”。它们可以混合并保留在 Astria 盘的平面上。树木生长，房屋矗立在同一平面上。因此，当演员遇到一棵树时，要么爬过去，要么围住它。为了让一个人越过另一个人，地球上的两个居民必须将其中一个移动到另一个下面，或者互相跳过，就像两个杂技演员在一根紧绳上所做的那样。

为了看到身后的东西，演员必须弯腰倒立或使用镜子。由于第二种方法比较多

方便，那么阿斯特里亚（Astria）的居民没有一个不带镜子出门的。

除了每个阿斯特里因都随身携带一面镜子之外，他们所有的房子也都配备了镜子。房屋的结构与二维世界相联系。他们有门窗，可以进出，但为了防止房屋倒塌，一次只能打开一扇门或一扇窗。如果西门开着，东门窗必须关闭，否则房子的顶部就会倒塌。出于同样的原因，阿斯特里亚的房屋没有管道。毕竟，没有办法将管道的两端连接起来，使连接端不封闭。

阿斯特里安人的身体结构复杂，但为了避免不必要的细节，辛顿将它们呈现为带有手臂、腿和一只眼睛的矩形三角形。所有阿斯特里因男性出生时脸朝东，所有女性出生时脸朝西。这种方向一直伴随着他们直到死亡，因为对于扁平生物（二维人）来说，没有办法在不进入第三维度的情况下转身。亲吻阿斯特里亚人的女儿或女儿是很容易的。但为了吃掉他的儿子，父亲过来把他翻过来，把他倒立起来。

阿斯特里亚的货物通过船舶和飞机运输。螺旋桨被排除在外（当它旋转时，它进入三维），因此所有飞机都有扑动的机翼。

阿斯特里亚的绳索不能打结。这只有在三维世界中才有可能。从数学上严格证明绳子（一维物体）只能在三维空间中打结是可能的，但这里我们不会给出这个定理的证明（甚至它的精确公式）。

在平坦的世界中，轮子和车轴将被完全消除。在 Astria 中，可以使用滚过圆圈的方法来运输重物，就像三维物体可以通过放置在其下方的圆柱滚子上移动一样。

这就是辛顿小说的数学背景。但这并不是 181 页的《平面国的插曲》的全部内容。有爱情，有战争，还有即将到来的灾难（另一颗行星的逼近，它坚持要改变阿斯特里亚的轨道，使那里的生命变得不可能），还有幸福的结局。但这远不如与数学和力学相关的一切有趣。

总之，我们建议解决一个问题，帮助您测试对二维世界的感知。

31

想象一下一个 30 米长的扁平 Astriaan valon，它滚动三个圆圈（参见 图）。圆心彼此相距 10 米。该轴由两名阿斯特里安人移动。一旦图所示的位置到达后轮并将其扔给他的同伴。他抓住轮子并将其放置在轴前面，如点 图 所示。瓦隆再次用三个轮子向前滚动（图向右）。下一个轮子被移除，它被向前抛出，等等。这个过程根据需要重复多次。该点所指示的车轮前方 55 米处有一个小突起。计算当轴移动时有多少个轮子会在其上滚动。首先在你的脑海中找到答案，然后用铅笔和纸。尝试将解决方案推广到 $n$ 个相同轮子的情况。 （有趣的是，车轮半径的大小并不重要。）

泰雷兹公司

历史上最早的数学家之一是米利都的泰勒斯。他于 624 年至 547 年住在希腊。公元前

泰勒斯拥有异常多才多艺的才能和兴趣。他研究政治、技术、哲学、天文学、数学和贸易。作为一项政治活动，他因向同胞提供的明智建议而闻名——克洛伊索斯国王向他们提出的联盟的影响；作为一名工程师，他因帮助同一个国王克洛伊索斯的蜡在不沾湿脚的情况下过河而闻名。根据他的指示，挖了一条运河，河床暂时改道……

哲学家泰勒斯属于“认识自己”这一论题。在回答这个问题时，他公正地回答道：“不要做你认为应该为他人做的事情。”当泰勒斯被问及他希望因其在天文学上的发现而获得什么奖励时，这位圣人回答说：“对我来说，如果我告诉别人我的发现，你会说这是我的发现，而不是你的，那就足够了。”泰勒斯是一位数学家。他从阴影处测量了高度参数；确定圆被直径分成两半，等腰三角形的底角相等，并且垂直角也相等。他还提出了半圆上的内切角是直线的定理。

适合27岁吗！

能被3和9整除的符号是众所周知的。如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，那么对应的数就能被3或9整除。

你认为，如果一个数的各位数字之和能被27整除，那么这个数一定能被27整除吗？

32

进入密歇根州立大学物理学院后
申请者将参加两项物理考试：
书面和口头。
1969年，笔试提供了由五个问题组成的测试。花了四个小时才解决。
此处发布了 1969 年测试的两个版本。第 61 页给出了任务的答案，并给出了解决其中一些任务的义务。

选项1

1. 冰球在冰面上连续经过长度为 $l$ 的路径的两个相等的段，并继续移动。她在$t$秒内完成了第一部分，在$2t$秒内完成了第二部分。如果假设运动阻力恒定，则求冰球在路径第一段末端的速度。

2. 在导热状态下​​，我们发现具有比热容$c_1$和$c_2$的液体弧，由非远传隔板隔开。一种流体的温度高于另一种流体的温度。移除隔板，建立热平衡后，其中一种液体的初始温度与平底锅中建立的温度之间的差异结果是液体初始温度差异的一半。求第一液体和第二液体的质量比 $m_1$ 和 $m_2$。

3. 在图1所示的电路中，最初所有开关都打开，电容器放电。然后钥匙$K_1$和$K_2$关闭，钥匙$K_3$保持打开。一段时间后，$K_1$和$K_2$打开，$K_3$关闭。求所示开关后电容器 $C_1$ 上的电荷。电容器的电容和电池的电动势以图字母表示。

33

4. 两个平面镜 $3_1$ 和 $3_2$ (图 2) 彼此靠近安装，与垂直方向成 $a=15^\circ$ 角。在距离镜连接线$L=8,3$cm处放置一个薄的会聚透镜，使其主光轴垂直于镜连接线。在镜片主光轴上距镜片连线$R=2$cm处的镜片与镜片之间有一个点光源$H$。确定使用镜头获得的光源图像之间的距离。镜头焦距为$f=8$cm。隔板$K$可保护镜头免受来自光源的光线和光线的影响。

5. 质量为 $m$ 的球$A$，固定在一根长的失重辐条上，形成一个可以摆动的摆，围绕轴 $O$ (图 3) 进行摆动。球 $A$ 偏转至高度 $h$ 并在没有初速度的情况下释放。在其轨迹的最低点，球 $A$ 包含两个向其移动的球 $B$，其质量为 $M$。球$B$与球$A$一样，固定在一根长的失重织针上，绕轴$O_1$移动。在碰撞之前，球的速度沿着连接其中心的线定向。碰撞前球 $^1$ $B$ 的速度 $v$ 必须为多少，才能使碰撞后球 $A$ 上升到相同的高度 $h$？影响是绝对有弹性的。不应考虑黄蜂和 ovozdux 中的摩擦。

选项2

1. 体积为$V=0,02$$cm^3$的小铅球均匀地落入水中。当球向下移动6m时，会释放多少热量？铅的密度为$\rho=11,3$$e/cm^3$。接受$g=10$$m/cek^2$。

2. 将焦距为 $f=10$ $cm$ 的薄会聚透镜沿直径切成两半，其两半 $J-L$ (图 4) 沿主光轴以距离 $l=10$ $cm$ 相对彼此混合。在距镜头上半部$a=30$$cm$的距离处，在主光轴上安装了一面镜子，如图5所示。如果对绳子的自由端施加垂直向上的力$F=8$$cm$，小车将以多大的加速度开始沿地板移动。负载与小车之间的摩擦系数$k=0,6$。接受$g=10$$m/cek^2$。

3. 重量为 $P=12,5$ $k\Gamma$ 的低手推车可以在水平地板上无摩擦地移动。推车上的负载重量为 $P_1=10$ $k\Gamma$。将一根绳子连接到负载上，抛出安装在小车上的失重块，如 图 5 所示。如果向绳子的自由端施加垂直向上的力 $F=8$ $cm$，小车将开始沿着地板移动，加速度是多​​少。负载与小车之间的摩擦系数$k=0,6$。接受$g=10$$m/cek^2$。

34

4. 在图6所示电路中，第一个开关$K$—$K$同样断开，电容器$C_1$放电；电容器$C_2$和$C_3$已充电并具有相同的电荷$q$，其极板的极性如图所示。求两个开关打开后电容器$C_1$ 上出现的电荷。所有电容器的电容都是相同的。

5. 在水平放置的两个矩形铁块上放置一个质量为 $M$ 的块和一个与其接触的质量为 $m$ 的楔子，楔子可以沿着块滑动（图 7，俯视图）。块的右垂直边缘以角度 $\alpha$ 倾斜。该块可以沿着熨斗移动，熨斗的侧壁充当导轨。通常，力 $F$ 施加到块的左侧垂直面上。木块开始移动的加速度是多​​少？忽略所有接触表面之间的摩擦。

第一次世界大战期间，在以学生身份入伍的法国军官中，在有时战斗间隔很长的时间里，解决基础数学问题的作文很常见。获胜者必须根据普遍意见找到正确且最有趣的解决方案。

这是一项这样的任务：
证明一个三角形是等边三角形，如果它的三边相等。
许多人试图解决这个问题，但并非所有人都找到了正确的方法。你想试试你的手吗？

1939年，在第五届莫斯科数学奥林匹克第二组比赛中，给参赛者布置的任务是“将表达式$a^{10} + a^5 + 1$分解为有理整数因子”。

如果我们使用定理，这个问题就可以很容易地解决：对于任何自然数$k$和$p$，多项式$1 + a^{3k+1} + a^{3p+2}$都可以被多项式$1 + a + a^2$整除。

尝试确定定理是否成立：
对于任意自然数 $k$、$l$ 和 $m$，多项式 $1 + a^{4m+1} + a^{4l+2} + a^{4k+3}$ 可以无余数地被多项式 $1 + 1 + a + a^2 + a^3$整除。

35

人文学科
出租
数学

鉴于“物理学家”和“抒情诗人”的划分已经很陈旧，“物理学家”不仅包括物理学家，还包括化学家、工程师、生物学家、地质学家、数学家，而“抒情诗人”不仅包括抒情诗人，还包括语言学家、社会科学家以及一般人文学科的代表。
学童的思想复杂性分为两类：一是着迷于化学、物理、数学并积极参加技术建模课程；二是喜欢化学、物理、数学并积极参加技术建模课程。其他感兴趣的主题包括历史、艺术、心理学，并发表在学校文学杂志上。第一个应该去大学，以及物理数学和化学生物学院；第二个是人道主义专业人员的机构和学院。
然而，当高中生在考虑选择继续深造的地方时，他们不应该忘记，在过去的几十年里，数学已经深入渗透到许多传统上被认为是“人道主义”的知识领域。可以说，如今莫斯科大学的经济学系、心理学系以及结构与应用语言学系都教授数学。
这里不是谈论数学在人文研究中的作用，或者至少不是谈论数学学科在莫斯科国立大学这些院系教学中的作用。在本文中，我们仅介绍莫斯科国立大学人文学院在1969年8月笔试入学考试中提出的数学问题。但是，笔试任务的版本部分反映了进入某些院系的数学准备要求。

36

笔试的任务选项*)

心理学学院

1. 半径为 $r$ 的球的内部点 $A$ 通过长度为 $l$ 的直线段连接到三分球的表面，并且彼此之间形成角度 $a$。求点 $A$ 到球中心的距离。

2. 找到所有正数$a$，其中所有不同的非负值满足方程$x$
   $$\cos[(5a - 9)x] = \cos[(9a + 17)x]$$
   并按升序排列形成等差数列。

3. 不使用小数证明
   $$\log_2 5 > \log_5 32.$$

4. $A$ 和 $B$ 之间的距离为 7 公里。两个行人同时向对方绣去，一个小时后平等地相遇了。如果第一个走的速度是他实际行走的两倍，而第二个的速度比他的实际速度快了2公里/小时，那么当他们相遇时，第二个已经走了大部分距离。哪位行人的速度最快？

5. 证明
   $$8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz > 0,$$
   如果$x^2 + y^2 + z^2 > 0$。

3 项任务
从其他选项

a) 将直径 $AB$ 拉成半径为 $r$ 的球，并以 $a$ 角度绘制三个相等的弦 $AC, AD$ 和 $AF$。求三角形 $ACD, ADF, ACF, BCD, BDF$ 和 $BCF$ 平面所包围的物体体积。

6. 从$A$到$B$，木筏沿着河漂流。木筏从$A$到$B$航行的同时，有一艘船从$B$到$A$驶向它，不到2小时后与木筏相遇，然后到达$A$，全程不到3小时20分钟。如果$A$和$B$之间的距离为20公里，木筏能否在5小时内从$A$到达$B$？

问题解决方案

1. 设$O$为球的中心； $B, D$和$C$是从点$A; O_1$（球的截面中心）到平面$\Delta BCD$所画的直线与球表面的交点。考虑到，

*) 考试时间为：心理学院和经济学院政治经济学系 - 4小时，语言学院和经济学院经济系 - 5小时（一小时等于六十分钟）。

平面$\Delta BCD$垂直于直径$AO_1$（$l = r$情况除外），我们发现
$$OO_1 = \sqrt{r^2 - \frac{4}{3}l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
$$AO_1 = l \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

然后
$$AO = OO_1 + AO_1,$$ 如果点 $A$ 和 $O$ 位于平面 $\Delta BCD$ 的相对两侧；
$$AO = OO_1 - AO_1,$$ 如果点 $A$ 和 $O$ 位于平面 $\Delta BCD$ 的同一侧，并且点 $O$ 位于平面 $ABCD$ ($OO_1 > AO_1$) 之外；
$$AO = AO_1 - OO_1,$$ 如果点 $A$ 和 $O$ 位于平面 $\Delta BCD$ 的同一侧，并且点 $O$ 位于 parmida $ABCD$ 内。

2. 使用余弦差公式
   $$2 \sin [(7a + 4)x] \cdot \sin [(2a + 13)x] = 0.$$

由于 $a > 0$，方程的解具有以下形式
$$\frac{\pi k}{7a + 4}, \frac{\pi l}{2a + 13}; k, l - целые.$$

显然，非负解（对应非负$k$和$l$）形成两个算术级数，第一项为0，对应整数的差因式分解为另一项，即当$\frac{d_1}{d_2}$是自然数或$\frac{d_1}{d_2}$时，类似的结果是：$\frac{d_2}{d_1}$是自然数。

相反，例如，如果$\frac{d_2}{d_1}$是自然数列，则就第一项为0且差$\frac{d_2}{d_1}$的等差数列而言，也是第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列的成员，因此这两个级数的项一起形成了第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列。

因此，$a > 0$满足条件当且仅当$\frac{d_1}{d_2}$是自然数列，或者$\frac{d_2}{d_1}$是自然数列，或者$\frac{d_1}{d_2}$也是第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列的成员，因此这两个级数的项一起构成第一项为0且差$\frac{d_1}{d_1}$的等差数列。

37

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folio:

因此我们必须考虑两种情况：

1. $\frac{d_1}{d_2}$自然。 $\frac{\pi}{7a+4} = n \cdot \frac{\pi}{2a+13}$、$n$自然。 $a = \frac{13-4n}{7n-2}$。 $7n-2 > 0$代表自然$n$。因此，$a > 0$当且仅当$13-4n > 0$，即当$n=1, 2, 3$、$a = \frac{9}{5}, \frac{5}{12}, \frac{1}{19}$时。
2. $\frac{d_2}{d_1}$自然。类似地，1）我们得到$a = \frac{9}{5}, \frac{22}{3}, 35$。
   $a = \frac{1}{19}, \frac{5}{12}, \frac{9}{5}, \frac{22}{3}, 35$.

3. 从$\log_2 5 \cdot \log_5 32 = \log_2 32 = 5$开始，我们只要证明$\log_2 5 > \sqrt{5}$就足够了。由于$81 > 80$，即$\frac{81}{16} > 5$，然后是$\frac{9}{4} > \sqrt{5}$，并且为了证明假设的不等式，验证$\log_2 5 > \frac{9}{4}$或$5 > 2^{\frac{9}{4}}$就足够了。但是$5^4 = 625 > 512 = 2^9$；取四次方根，我们得到所需的不等式。
4. 第二个行人的速度更快。
5. $8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz = 2\left(2x + \frac{y}{2} - \frac{3}{2}z\right)^2 + \frac{1}{2}(y - 2z)^2 + \frac{9}{2}z^2$.

因此，原始表达式是非负的，可以简化为平方和，如果它消失，则$x=y=z=0$，即$x^2+y^2+z^2=0$。
波兹尼，如果$x^2+y^2+z^2>0$，那么
$8x^2+y^2+11z^2+4xy-12xz-5yz>0$.
a) 所需体积为$\frac{1}{\sqrt{3}}(2r)^3\left(3-4\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2\frac{\alpha}{2}$。
6) 设$x$为河流速度，$y$为船在静水中的速度。根据条件我们有：$\frac{20}{(y-x)+x} \geq 2$，$\frac{20}{y-x} < 3\frac{1}{3}$，由此还有$y \leq 10$，$x < y-6$； $x<4$、$\frac{20}{x} > 5$。因此，木筏将没有时间在 5 小时内走完从 $A$ 到 $B$ 的路径。

经济学院政治经济学系

1. 需要铺设长28.5公里的Nauchsky单线铁路。有30m和15m长的钢轨可供铺设。如果30m长的钢轨全部铺设完毕，则需要增加15m长的钢轨，占总数的40%。如果铺设所有15m长的钢轨，则必须添加30m长钢轨总数的60%。确定两种类型的导轨数量。
2. 解决不等式$|x^2-1|-2x<0$。
3. 在从顶点$B$开始的锐角三角形$ABC$中，绘制了等于$m$的中心$BD$。角度$A$等于$a$，角度$C$等于$y$。计算三角形$ABC$的面积。
4. 解方程
   $$\sin x \cdot \mathrm{ctg}^2 \frac{x}{2} + 4(1+\cos x) - 5\sin x = 0$$
5. 解方程
   $$\sqrt{x} + \sqrt{x(x+2)} - \sqrt{(x+1)^2} = 0$$
   其他选项中的 3 个任务
   a) 在书店，一套古董作品的售价为 350 卢布。相同数量的项目可享受两倍折扣。如果已知在双倍降价后，藏品售价为 283 卢布，请查找此数字。 50戈比

6. 表达式 $\frac{2x-1}{2x-x^2-4}$ 在什么实际值 $x$ 时取最小值？

问题解决方案

1. 计算公式时，应考虑28.5公里单线铁路的轨道长度为57公里。需铺设钢轨：30m长1500根，15m长2000根。
2. $-1 + \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$.
3. $m^2 \frac{\sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \sin (\alpha+\gamma)}{4\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \gamma + \sin^2 (\alpha-\gamma)}$.
4. $x_1 = (2k+1)\pi$, $x_2 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
5. $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
   a) 10%.

38

6. 代入$y = \frac{2x - 1}{2x - x^2 - 4}$，我们得到一个二次（相对于$x$）方程$yx^2 + 2(1-y)x + 4y - 1 = 0$，其判别式必须为非负：$(1-y)^2 + y(4y - 1) \geq 0$，因为$x$是实数，因此
   $$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6} \leq y \leq \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}.$$
   因此，$y$的最小值为$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6}$；容易计算，$x$对应的值为$\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$。

经济学院经济控制论系

1. 解方程
   $$\left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right)^2 - 2 \sqrt{\cos x} \times \left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right) - \sin x = 0.$$
2. 周日，四组游客沿着四条不同长度的路线出发。第一组和第四组的行程总和比第二组和第三组的行程总和大6公里。第二组比第一组少走了2公里。第三组游客人数等于第一组行程距离，第二组游客人数等于第四组行程距离。每组行走距离的平方和为 494。每组要求多少控制网络？
3. 在半径$R$的圆中有一个六边形ABCDEF。已知$\angle A = \angle C = \angle E$，边$AB = a$，CD = b，EF = c。计算六边形ABCDEF的面积。
4. 解决不平等问题
   $$\left( 4x - x^2 - 3 \right) \log_2 \left( \cos^2 \pi x + 1 \right) \geq 1.$$
   3 任务
   从其他选项
   a) 线段$AB = a$垂直于线段$BC = 3a$。在包含这两个线段的平面中，构造两个半径为 $a$、中心位于点 $A$ 和 $B$ 的圆以及一个半径为 $3a$、中心位于点 $C$ 的圆。计算所构造的三个圆的部分面积。

6. 解决不平等问题
   $$\left| \sqrt{2} | x | - 1 \right| \cdot \log_2 \left( 2 - 2x^2 \right) \geq 1.$$

问题解决方案

1. 可接受值范围（OD3）：
   $$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,$$
   $k = 0, \pm 1, \dots$

让我们把
$$y = \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2},$$
然后
$$y^2 - 2 \sqrt{\cos x} y - \sin x = 0,$$
在哪里
$$y = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt{\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)},$$
即我们有
$$\sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2} = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt[4]{2} \sqrt{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}.$$

输入$z = \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$，我们得到$-4z + 5 = \pm z^2$。方程有根$z_1 = 1, z_2 = -5, z_3 = 2 \pm i$后。词根 $z_2, z_3, z_4$，非常/不，结构。
从 $z_1 = 1$ 开始，接着$\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$。因此，$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1$。

2. 令 $x_i$ 为$i$ 组$i = 1, 2, 3, 4$ 行驶的距离。从问题条件我们有 $x_1 + x_4 - 6 = x_2 + x_3, x_1 - x_2 = 2, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 494$，因此
   $$(x_1 - 1)^2 + (x_4 - 2)^2 = 242,$$
   $$x_1 = 1 + \sqrt{242 - (x_4 - 2)^2}.$$

根据条件，$x_1$、$x_4$为自然数（$x_1$为第3组游客人数，$x_4$为根据上一对应关系选择的轻游客人数（并利用相同对应关系$x_4 < 18$替换），依次排序
$x_4 = 1, 2, 3, \dots, 17,$我们找到唯一的解决方案：
$x_4 = 13, x_1 = 12.$
在这种情况下$x_2 = 10, x_3 = 9.$

3. $$\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 + \frac{\sqrt{3}}{8} a \left( \sqrt{12R^2 - 3a^2} - a \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} b \left( \sqrt{12R^2 - 3b^2} - b \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} C \left( \sqrt{12R^2 - 3C^2} - C \right).$$

40

$$\frac{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ - 1}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ} = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}.$$

总之，我们建议您自己为每张桌子解决一个选项。

语言学院

1. 水池中安装了三根管道，水通过这些管道流入。第一根和第二根管道加在一起注满水池的速度比第一根和第三根管道加起来需要 10 小时的时间快 35/18 小时。如果第二根管道单独填充的时间比单独第一根管道长 $\frac{7}{5}$ 倍，则每小时填充池的哪一部分？
2. 解方程：
   $$\log_{\sin x} \left( \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right) = 3.$$
3. 解决不等式：
   $$2\log_3 x - \log_1/5 (4 - x) \leq \log_3 (x - 1)^2 + 2\log_2 (10 - x).$$
4. N个人互相握手。一共握手了几次？
5. 指出至少一对正整数$k_1$和$k_2$使得$36 \cdot k_1 - 25 \cdot k_2 = 1$。
6. 无需使用表格即可证明 $\log_4 9 > \log_5 11$。
7. 三角形有钝角吗，边长分别是10、14、17？

心理学学院

1. 球体包含直径 $AB$ 和两个相等的弦 $AM$ 和 $AN$，每个弦与直径成 $a$ 角。如果从球中心以角度 $\beta$ 可以看到线段 $MN$，则求弦之间的角度。
2. 找出所有正数 $a$，其中所有不同的非负值 $x$，满足方程 $\cos [(8a-3)x] = \cos [(14a+5)x]$ 并按升序排列，形成等差数列。
3. 不使用小数证明 $\log_3 16 > \log_16 729$。
4. $A$站和$B$站之间的距离为360公里。同时，两列火车从$A$和$B$出发，相互驶向对方。火车从 $A$ 出发，抵达$B$ 站的时间不早于 5 小时。如果他的速度比实际速度快1.5倍，那么他在离开$A$后两个多小时就可以遇到第二趟车了。哪趟火车更快？
5. 证明
   $$2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0,$$
   如果$x^2 + y^2 + z^2 > 0$。

政治经济学系

1. 五个露营帐篷和二十个 stopley 睡袋 490 卢布。购买一顶帐篷可享受 10% 的折扣，购买一件行李可享受 5% 的折扣，对于相同数量的帐篷和行李，您需要支付 457 卢布。一顶帐篷一站多少钱，一件行李一站多少钱？
2. 解决不等式：$x^2 + x - 10 < 2/x - 2$。
3. 在锐角三角形$ABC$中，角$A$等于$a$，边$AC$等于$b$。从顶点 $B$ 绘制中线 $m$。计算三角形$ABC$的面积。
4. 解方程：$(3 - \text{ctg}^2 x)\sin 2x = 2(1 + \cos 2x)$。
5. 如果 $x$ 可以取任意实数，则求分数 $\frac{3x - 2}{4x - x^2 - 6}$ 的最大值。

经济图书馆系

1. 解方程
   $$\left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - 5 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \sqrt{2} \left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \right) - \frac{\cos x}{2} = 0.$$
2. 先锋营里有四个艺术俱乐部。为圆圈中的每个成员提供相同的颜色集。第一圈和第四圈加在一起，第二圈和第四圈加在一起，先驱者的数量甚至比第一圈和第三圈加起来的还要多。第三圈的拓荒者不超过十人。如果一种油漆的卢布价格等于第一个圈子的成员数量除以 10，并且为油漆支付了 52 卢布，那么每个圈子中有多少位先锋？ 80戈比？
3. 梯形 $ABCD$ 内接圆。如果梯形的高度为 $h$，底角 $AD$ 为 $a$ 和 $\delta$，求圆内对角线段 $AC$ 的长度之差。
4. 解决不等式：$2^{-1}x - 2^1\log_2(4x - x^2 - 2) \geq 1$。

A.S.库齐切夫
V.S.乌斯宾斯基

41

一些含两个变量的不等式的几何意义

A. Y. 马古利斯、B. A. 拉登斯基

在学习数学课程时，学生经常会解决不等式和未知数的不等式系统。同时，解的几何图示（结合积分法）帮助他们以最短的方式找到正确的解。

例如，考虑不等式
$$\log_2 (x^2 - 4x + 3) \leq 3.$$
它的解与具有一个未知数的两个不等式系统的解一致
$$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 8 \end{cases}$$
（对数存在所必需的），
（通过增强给定的不平等获得）。

满足第一个不等式的$x$值的集合是两个积分的集合
$$x < 1 \text{ и } x > 3,$$
第二个 - 一段
$$1 \leq x \leq 5$$
（这是根据平方三项的性质得出的）。

在数轴上标记这些区间 (图 1) 后，我们看到满足不等式系统的值集$x$填充了两个半闭积分，$-1 \leq x < 1$和$3 < x \leq 5$（在图上，它们在段落中给出）。

为了更清楚起见，在 图 本身上，注意到积分的哪一端属于解域，哪一端不属于。

几何插图在这里非常有用。当解决不等式和具有两个未知数的不等式系统时，它的作用甚至更大。

42

让我们考虑具有以下形式的两个未知数的不等式

$$y - f(x) > 0.$$

(1)

我们来绘制函数 $y = f(x)$ 并取任意点 $A'_1$ 有横坐标 $x = x_0$ (图 2）。如果同时 $x = x_0$ 她的纵坐标 $y_1$ 更多坐标 $y_0$，对应点 $A$ 歪 $y = f(x)$，然后点 $A'_1$ 位于曲线上方。点 $A'_1$ 位于曲线下方 $y = f(x)$，如果它的坐标 $y_2$ 小于纵坐标 $y_0$。因此，位于曲线下方的所有点的坐标 $y = f(x)$，满足不等式 $y < f(x)$，以及曲线上方所有点的坐标 $y = f(x)$，满足不等式 $y > f(x)$.

因此，函数$y = f(x)$的图像将坐标平面分为两部分，其中一部分满足不等式$y - f(x) > 0$，另一部分满足$y - f(x) < 0$。

让我们介绍以下定义。如果平面的幂集与任意两个幂$A$和$B$一起包含线段$AB$的所有幂，则该平面的幂集被称为凸的。

例如，考虑任何三角形、圆形、正方形的内部。可以证明这些集合是凸的。

显然，曲线$y = f(x)$划分平面的部分可以是凸的，也可以是非凸的（见图 2）。

现在让我们用一些例子来说明如何使用几何概念来解决不等式和具有两个未知数的不等式系统。

考虑线性函数 $f(x) = ax + b$ (2)。

线性函数 $y = ax + b$ 的图像是一条直线 (图 3)。这条直线将平面分为两个半平面：上半平面和下半平面。在第一个中，满足不等式$y - (ax + b) > 0$，在第二个中满足$y - (ax + b) < 0$。请注意，这两个半平面都是凸集。

43

示例 1. 在几何坐标平面上查找坐标满足两个线性不等式组的点的位置（求解图形给定不等式组）：

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 2, \\ y < -\frac{1}{2}x + 1; \end{cases}$$

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 1; \\ y < -\frac{1}{2}x + 2, \end{cases}$$

$$\begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x + 1, \\ y \leq 2x - 2. \end{cases}$$

解决方案。 图 4 显示了这些不等式的图形解决方案。如果每个不等式的解都是黄色或灰色的，那么系统的解就是平面上用这两种颜色着色的部分。从 图 4 可以清楚地看出，系统 a) 无解 (图 4,a)；系统 b) 的解是位于线 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (图 4,b) 上方的半平面；系统 b) 的解是 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ 和 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ 之间的无限条 (图 4,c)；系统 d) 的解是位于双阴影角内的平面部分，包括其边 (图 4,d)。

图 4 a、b、c、d。

44

---

running_head:
folio:

请注意，在所有情况下，线性不等式系统的解域都是凸集。这并非巧合。我们已经注意到，任何直线将平面分为两个凸集，并且任意多个凸集的交集（公共部分）始终是凸集。

示例 2. 以图形方式求解三个线性不等式组

$$\begin{cases} y < \frac{1}{3}x + 2, \\ y > -\frac{1}{2}x + 3, \\ y > 2x - 4. \end{cases}$$

解决方案。这个问题可以用与上一个问题相同的方法来解决。但由于存在大量的限制，更方便的做法是，不要画那些存在某种不平等的领域，而是画那些无法解决问题的领域。在这种情况下，不需要不同的颜色：毕竟，如果系统的至少一个不等式没有得到满足，则整个系统不可能有解决方案。有关此示例的图形解决方案，请参阅 图 5。解的集合是三角形ABC的内点集合。为了清楚起见，三角形被漆成绿色。

线性财产不平等和一些非理性和先验不平等的体系。

示例 3. 以图形方式求解不等式 $\sqrt{y-(x+1)}<1$。

解决方案。给定的不等式等价于以下不等式系统：

$$\begin{cases} y-(x+1) \geq 0 \\ y-(x+1) < 1 \end{cases}$$ 或 \begin{cases} y-(x+1) \geq 0, \\ y-(x+2) < 0.

该示例的图形解如图 6 所示。与示例 3 一样，满足该系统的点集被涂成绿色。普里玛亚

45

属于解区域的$y = x + 1$绘制为实线，不属于解区域的直线$y = x + 2$绘制为虚线。

示例 4. 求解图形不等式 $\log_{y-1}(x-2) < 1$。

解决了并且e。未知数的允许值（APV）范围显然是由不等式系统决定的

$$x > 2, y > 1, y \neq 2.$$

按照这个系统，我们首先排除无解的集合。为此，在图 7 上，我们用灰色涂料绘制半平面$x < 2$、半平面$y < 1$，并用虚线绘制直线$y = 2$。

现在让我们考虑两种情况：

a）$1 < y < 2$。增强原来的不等式，我们得到$x - 2 > y - 1$或$y < x - 1$。

b) 对于$y > 2$，我们得到$x - 2 < y - 1, y > x - 1$。

这些情况对应的解决方案在图7上以绿色显示。

自己解决示例 5 和示例 6。

示例 5. 求解图形不等式 $\log_{y-1}(y - x + 2) > 0$（参见 图 8）。

示例 6. 求解图形不等式 $\log_x \log_y y > 0$（参见 图 9）。

现在让我们考虑三重平方

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

众所周知，函数$y = ax^2 + bx + c$的图像是一条抛物线，其对称轴平行于纵轴，顶点位于点$B\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$，其中$D = b^2 - 4ac$。

二次三项式之一（在 $a > 0$ 处）的图形如图 图 10 所示。该图将平面分为两部分，其中不等式 $y - (ax^2 + bx + c) > 0$ 成立，另一部分$y - (ax^2 + bx + c) < 0$ 成立。读者毫无困难

46

让他注意到这些部分中只有一个是凸集。

示例 7. 求解图形不等式 $\log_y(5x-x^2-6)>1$。

解决方案即允许值的范围显然是由不等式决定的

$$\begin{cases} 5x-x^2-6>0, \\ y>0, \\ y\neq 1. \end{cases}$$

第一个不等式相当于不等式 $x^2-5x+6<0$。其解填充区间$2<x<3$。

在 图 11 上，$x<2$ 和 $x>3$ 所在的平面部分被涂上灰色阴影，得到 $y<0$，并且位于虚线 $y=1$ 上的点也被排除。

让我们考虑两种情况：$y>1$和$0<y<1$。

a）$y>1$。增强原始表达式，我们得到不等式$5x-x^2-6>y$或$y-(-x^2+5x-6)<0$。位于抛物线$y=-x^2+5x-6$下的所有点的坐标都满足最后一个不等式，但没有一个点符合条件$y>1$。因此，对于 $y>1$ 没有解。

b) $0<y<1$。类似地，我们得到不等式$5x-x^2-6<y$，即$y-(-x^2+5x-6)>0$。

显然，解是抛物线 $y=-x^2+5x-6$ 绿色阴影上方 图 11 处的区域。

自己解决示例 8 和 9。

示例 8. 求解图形不等式 $\sqrt{y}<x-1$（参见 图 12）。

示例 9. 求解图形不等式（参见 图 13）

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{y-x+3}}$$

示例 10. 解决图形不等式

$$\sqrt{1-(x-3)^2-(y-2)^2} < \sqrt{1-(x-4)^2-(y-2)^2}$$

解决方案，即在这种情况下，ODZ 由不等式确定