Kvant 1970 年第 8 期 · 页面

科普物理和数学
量子
8
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

70

主编-I.K.KIKOIN院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

社论合集

L.A.阿齐莫维奇，
M·I·拜马科夫
V.G.波尔坦斯基，
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V.G.祖博夫，
P.L.卡皮察，
V.A.基里林，
G·I·科苏罗夫
V·A·列什科夫采夫
V·A·利舍夫斯基
A.I.马库舍维奇，
M.D.米尔尤尼特科夫，
N·A·潘皮基耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M·L·斯莫良斯基
Y.A.斯莫罗丁斯基，
V.A.法布里坎特，
J·E·施奈德

院士
苏联教育科学院通讯院士
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
苏联教育科学院院士
院士
（副主编）
物理和数学科学博士
苏联教育科学院院士
（执行秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova。
首席艺术家 E. P. 列昂诺夫。
技术编辑 T. M. Makarova。
校对员 G. S. Smolikova 和 V. Mamulova。
《科学》出版社
物理数学文献主编室
莫斯科，V-71，列宁大街，15 电话。 234-08-11
作为 19/V-70 套件交付。

子p。用于打印 10/V111-70
纸 70×1001/₁₆。物理。奥恩湖4.有条件的烘箱l． 5.6.学术版。湖5.5轮胎172480份。
价格30戈比。订单 848
契诃夫印刷厂 Glavpoligrafproma 苏联部长会议印刷委员会，契诃夫，莫斯科州

1

8
杂志
学院
苏联科学
和
学院
教学的
苏联科学

在房间里：

可内切多面体2
E·M·安德列夫

无尽链无人机 10
N·M·贝斯金

关于收入下降的形式 21
I.Sh.斯洛博杰茨基

爱丽丝镜中奇遇记 26
克莱门特·杜雷尔

关于一种归纳法
不等式的证明 33
S.T.贝尔科莱科，
S.B.溜冰场

如何制作静电发生器 37
S.A.霍罗希文

习题本«Kvant»40

习题解答«Kvant» 42
A.L.图姆，
V.L.古登马赫，
E·M·拉布

我们的客座杂志
«Matematika» 54

列宁主席 1970 年 58

答案、指示、解决方案 62

填字游戏 -
第三封面页

1

3

考虑一个立方体，其中一个顶点被平面 (图 1) 包围。是否可以将得到的多面体拟合成球体？这个问题的答案取决于顶点所在的平面吗？我们想向读者介绍此问题和类似问题的解决方案。

让我们假设我们得到了多面体的限制点，即空间中的物体，其所有侧面均由平坦的多边形（面）界定，并且位于其每个面所在平面的一侧。我们需要找出给定的多面体是否可以内接于球体。

让我们用字母$M$表示整个多面体，分别对其面、边和顶点进行编号，并用$\Gamma_i$表示第$i$面，用$P_i$表示第$i$边，用$B_i$表示第$i$顶点。习惯上说，如果两个面有公共边，则它们是相邻的；如果两个顶点是同一条边的端点，则它们是相邻的。

为了解决这个问题，我们必须首先检查是否所有多边形$\Gamma_i$都内接。然后，对于每条边$P_k$，考虑沿该边接壤的一对面$\Gamma_i$和$\Gamma_j$，并用$r_k$表示距垂线交点的距离，

从围绕$\Gamma_i$和$\Gamma_j$描述的圆的中心到多边形$\Gamma_i$或$\Gamma_j$的顶点之一重建；值$r_k$显然不取决于顶点的选择（图2）。

问题1.证明多面体$M$是内切模和摩尔共模，当所有多边形$\Gamma_i$都内接时，$u r_1=r_2=\dots=r_m$，我们去-多面体的边数。

这种或类似的检查 $M$ 内接性的方法早已为人所知，但在 20 世纪初突然发现，在许多情况下，无需执行计算就可以证明 $M$ 不内接。

第一个注意到这一点的是德国数学家E.斯坦茨。 1927年，他发表了文章，证明了以下定理。

斯坦茨定理。将多边形$M$的所有顶点分为黑白标记，使得

1. 没有两个黑色顶点相邻。
2. 黑色顶点的数量多于白色顶点的数量。
3. 那么多面体$M$不能内接于球体。

在继续证明定理之前，让我们先做一些评论。让我们有一个固定的

4

图 3.

给定的球体和其边与该球体相交的特定二面角。让我们取边缘与球体的交点，并通过它绘制一个切平面 (图 3)。二面角在此平面内切出线性角。我们将这个角度称为二面角相对于给定球体的线性角度或简称为相对于二面角的角度。显然，相对角度并不取决于边缘与球体的两个交点之一的选择。如果边缘接触球体，那么将相对角度的值设置为零是很方便的。

现在让我们考虑一个凸多面角，其所有边都与给定的球体相交。其二面角的相对角称为给定多面体的相对角。设多面角有$n$面，且其顶点位于球面上。那么它的相对角度之和就等于$\pi (n-2)$。事实上，让我们通过多面角的顶点绘制一个切平面，然后绘制一个与其平行的平面、一个割线和一个球体，以及多面角的所有边（这是可能的，因为所有边都与球体相交）。多面角在该平面上切出一个多边形，其角度等于$\pi (n-2)$。

Rogo 等于相对角度，由成对平行边的角度定理 (图 4) 得出。多边形的角度和的类似等式是众所周知的。

让我们继续证明定理本身。假设多面体 $M$ 内接于球体。让我们用 $\gamma_i$ 来表示具有边 $P_i$ 的二面角的相对角度。令 $n_k$ 为收敛于顶点 $B_k$ 的边数。

由上证明可知，顶点$B_k$处的相对角度之和等于$\pi (n_k-2)$。让我们输入$\beta_i = \pi - \gamma_i$，角度$\beta_i$ - 其中没有相对角度，然后是$\gamma_i = \pi - \beta_i$。如果内相对角之和为$\pi (n_k-2)$，则外相对角之和为$2\pi$。因此，如果边 $P_i, P_j, \dots, P_l$ 收敛于顶点 $B_k$，则

$$\beta_i + \beta_j + \dots + \beta_l = 2\pi.$$

让我们为多面体的每个顶点写出类似的等式，因此我们将黑色顶点对应的等式乘以-1，然后将它们全部相加。由于黑色顶点较多，因此右侧会有负数。让我们看看左侧的金额。如果第$i$条边从黑色顶点到白色顶点，则包含数字$\beta_i$

5

向左移一次“+”号，一次“—”号，共0；如果 - 从白色到白色，则 β₁ 两次出现“+”。没有两端黑色的肋骨。所以，右边的数字之和不小于零，假设M是内接的，我们就得出了矛盾。

在对所得结果进行分析之前，即在找出要替换的内容以及斯坦尼茨定理的含义之前，有必要证明该定理是有意义的，即存在满足其条件的多面体。让我们以八面体 (图 5, a) 为例，在它的每个面上，就像在底面上一样，我们将构造一个正三角形帕拉米德，并且我们将取帕拉米德的高度如此小，使得底面的二面角小于 25°。让我们考虑由原始八面体和八个新构造的聚酰胺 (图 5, b) 粘合而成的多面体 M。

问题2.证明多面体M是凸的。

让我们将原始八面体的顶点声明为白色，将其余顶点声明为黑色。显然斯坦尼茨定理的条件得到满足。因此，我们构建了一个无法成形为球体的多面体的示例，无需知道多面体的尺寸或角度，而只需知道其结构即可验证该示例。

让我们澄清一下结构的含义。我们先从飞机开始吧。描述凸多边形的结构，必须要说它有多少个顶点，那么它也就有多少条边；每条边都与另外两条边相邻，并且在每个顶点两条边相交。

空间上的情况有所不同：二十面体 (图 6, a) 和十边形示例 (图 6, b) 具有相同的面数 - 12、相同的边数 - 30、相同的顶点数 - 20，但结构完全不同。在空间中，为了描述多面体的结构，我们不仅必须说出它有多少条边、面和顶点，而且还要说明这些面是如何粘合在一起的，即哪些面是相邻的，哪些顶点是相邻的，以及哪些面在每个顶点处汇聚。如果两个多面体具有相同数量的顶点、边和面，并且由这些元素以相同的方式组成，则它们具有相同的结构。

让我们称凸多面体为M，无论它本身还是具有相同结构的任何其他多面体都是内接的并且是绝对不可理解的。从理论-

6

图 6，一个。十二面体的发展。

斯坦尼茨定理意味着任何满足条件 I 和 II 的多面体不仅是不规则的，而且是绝对不规则的。上面构造的多面体 (图 5, b) 是绝对不规则多面体的一个例子。飞机上没有这样的东西：对于每个$n \geq 3$，都有一个刻着的$n$边形。因此，在斯坦尼茨之前，大家都认为不存在绝对不规则的多面体。这种说法甚至有非常合理但几乎不完整的证据。泰勒提出了一个新问题：找到所有绝对不规则的多面体，或者更准确地说，找到一个多面体绝对不规则的充要条件。

我们有斯坦尼茨条件——绝对不规则性的充分条件。有必要吗？不。这是由以下任务得出的。

问题 3. 将多面体 $M$ 的所有顶点分为黑色和白色掩模，使得

I.白色蓝色的数量不大于黑色的数量。

二.没有两个黑色顶点是相邻的，例如，会有两个相邻的白色顶点。

图6，b．十边形标志的发展。

无法证明多面体$M$是一个球体。

问题 4. 构造一个满足问题 3 的条件但不满足斯坦尼茨定理条件的多面体示例。

还需要注意的是：如果多面体$M$的每个顶点具有相同数量的$k$面，那么$M$既不满足斯坦尼茨定理的条件，也不满足问题3的条件。假设相反，令$m$为多面体的所有边的数量，$p$为其边的数量。黑色顶点，$q$是白色，$p \geq q$，在斯坦尼茨定理中，这种不等式是严格的。那么$2m = k(p + q)$，每条边都有两个端点，$k$边在每个边汇聚。此外，每条边都包含一个白色顶点，即 $m \leq kq$，在问题 3 的情况下，这种不等式是严格的。另一方面，$p + q \geq 2q$，并且在斯坦尼茨定理的条件下，这个不等式是严格的。所以，我们得到了不等式

$$kq \leq m \leq kq.$$

如果$M$满足斯坦尼茨定理的条件或问题3的条件，那么我们将构造这些不等式之一，这是不可能的。

现在让我们关注多面体，在每个顶点都有三个面相交：从某种意义上说，这些多面体是最

7

挑剔，但我们对它们的适合度一无所知。

考虑三个成对的相交平面；它们或者形成三角形角，或者它们的线性交点是平行的；在这种情况下，我们会说它们形成了一个无限的三角形角。我们将球体固定到 neoctor 上。让三角形角的所有边都与它相交，但顶点不属于这个球体，甚至可能根本没有顶点。事实证明，如果角度的顶点位于球内而不是在球体上，则相对角度之和大于 π，如果位于球内或角度无穷大，则相对角度之和小于 π。事实上，让我们考虑由球体上的三角形角的边切出的圆——这些圆之间的角度是三角形角的相对角度。

让我们在球体上取一个不属于任何这些圆的点，并将圆从该点立体投影到平面上。可能存在三种情况 (图 7, a, b, θ)：第一种情况下，顶点位于球体外部，第二种情况下，顶点位于球体上，第三种情况下，顶点位于球体内部。在球极投影中，角度被保留，这意味着角度α、β、γ等于原始相对角度。在第一种情况下，α + β + γ 小于角度之和 ΔABC，在第三种情况下它更大。该说法已被证明。

将多面体M的所有顶点分为黑色和白色，使得相同颜色的两个顶点不相邻。

任务5.让相同数量的面在多面体M的所有顶点处汇聚，并让所有顶点分为黑白罂粟花，使得单个点没有两个顶点相邻。证明黑色顶点的数量等于白色顶点的数量。

图7，c。角的顶点位于球体内，α + β + γ > π

8

问题 6. 证明当多元有机体的每个面都有偶数条边时，多元有机体的顶点可分为黑罂粟和白罂粟，使得单色 tsempa 没有两个顶点与 moeda 和 molko moeda 相邻。

e 也被指出。为了证明这一点，只需取任何顶点并将其声明为白色，将其邻居声明为黑色等就足够了。有必要证明在这种情况下不会出现矛盾，即，在由多元有机体的边组成的每条闭合折线中，存在偶数个链接。

让我们回到带有彩色顶点的多元有机 $M$。由于 $M$ 三个面在每个顶点汇聚，因此白色顶点的数量等于黑色顶点的数量。让我们选择它的一些黑色顶点（一个、两个或全部）并使用平面将它们切掉。每个顶点都是一个平面的一段，仅与从该顶点发出的那些边相交，并且不包含任何顶点 $M$。我们用 $M'$ 表示所得的多元有机物。它与 $M$ 的不同之处在于它具有三角形面以及一些黑色顶点。让我们证明，多元有机$M'$绝对是不可描述的。

让我们假设多元有机物$M'$或具有相同结构的另一种多元有机物内接于球体。让我们选择与聚有机 $M$ 中汇聚于一个修剪顶点的那些面相对应的三个面。这三个面两两相邻，截角三面角的顶点显然在球外，由于多元有机物是内接的，因此它们的相对角之和小于l。让我们为多元有机$M$的每条边指定一个与多元有机$M'$相应边的相对角度。那么，所有白色顶点和所有未选择的黑色顶点的这些指定角度的总和等于l，并且对于选定的黑色顶点，它严格小于l。正如斯坦尼茨定理的证明一样，我们写出这些等式和不等式，将白色顶点对应的和乘以-1，然后相加。结果应该是严格的不平等。然而，在左侧我们得到零，或者每个指定的角度都包含在总和中一次（对于白色顶点）和一次（对于黑色顶点）。在右侧，我们也会得到零，因为白色顶点的数量等于黑色顶点的数量。由此产生的矛盾($0<0$)证明了我们的说法。

如果标记的顶点不是由一个而是由多个平面定义，只要在其中会聚的面保持成对相邻并且不在一个顶点处会聚，则可以验证完全相同的推理。

该方法还可以获得其他充分条件。现在已经知道聚有机物绝对不可描述的一些必要条件，但总的来说这个问题还没有得到解决。

相对角度方法使我们能够解决其他有趣的问题。

问题 7. 让三个面在多元有机$M$的每个顶点汇聚，并让每个面具有相同的边数。证明如果多元有机 $M$ 除一个顶点外的所有顶点都位于球面上，则多元有机 $M$ 是内接的。

指出和e。使用问题 6。不要错过这种令人不快的可能性：从不在球体上的顶点发出的边接触球体。

类似，但更复杂。

问题8. 将多元有机$M$的所有顶点分为黑色和白色，如问题5所述，并且黑色顶点的数量等于白色顶点的数量。证明如果多元有机 $M$ 除一个顶点外的所有顶点都位于球面上，则多元有机 $M$ 是内接的。

因此，如果顶点可以分为黑色和白色，如任务 5 中所述，那么多元有机物要么是绝对不可描述的，要么满足任务 8，即

9

图 8. 该多面体不能围绕球体描述

从它的所有顶点（除了一个顶点）都位于球体上这一事实来看，它是内切的。

绝对难以描述的多面体的最简单的例子是一个具有一个中间顶点的立方体（参见 图 1）。

总之，我们必须承认，斯坦茨证明的不是以他的名字命名的定理，而是它的对偶陈述，我们以问题的形式提出了这个定理。

任务 9. 将多面体 M 的所有面分为黑色和白色掩模，以便

I. 黑人面孔的数量多于白人面孔的数量。
二.没有两张黑脸是有趣的。
证明多面体 M 不能围绕球体描述。

图 8 显示了绝对难以描述的多面体的最简单示例之一 - 所有顶点都位于中间的立方体。

无限生产

已知$x < 1$。尝试找出无限乘积 $(1 + x + x^2 + \dots + x^9) \times (1 + x^{10} + x^{20} + \dots + x^{90})$ $(1 + x^{100} + x^{200} + \dots + x^{900})$ 等于什么。

平等从何而来？

尝试找出数值方程的基础是什么：
$$\frac{41^3 + 25^3}{41^3 + 16^3} = \frac{41 + 25}{41 + 16},$$
$$\frac{73^3 + 37^3}{73^3 + 36^3} = \frac{73 + 37}{73 + 36},$$
$$\frac{81^3 + 18^3}{81^3 + 63^3} = \frac{81 + 18}{81 + 63}.$$

你能自己用其他数字建立这样的方程吗？

再次关于阿莱努什卡和她的兄弟伊万努什卡

兄弟 Ivanushka 和妹妹 Alyonushka 住在半岛上（见图）。伊万努什卡住在 A 房子，阿廖努什卡住在 B 房子。伊万努什卡去了阿廖努什卡的客厅，随身带着两个桶，一个是从果冻河里舀果冻的，另一个是从乳品店里舀牛奶的。伊万努什卡应该选择哪条路线才能以最短路线到达阿廖努什卡？

11

1. 介绍

2. 问题的陈述。
   在上一篇文章（«Kvant»，第 1 篇）中，概述了将任何有效数表示为整数分数的问题。然而，这是不被允许的。踏上更远的征程，我会知道已经做了什么，还有什么要做。

问题有两个部分。

第一部分。指出为每个实数 $\alpha$ 分配整数分数的方式。该方法以一个过程的形式表示，其中通过valis有两个步骤（参见«Kvant»No.1，第21页）。

如果$\alpha$是有理数，则过程停止并得到最终的整数分数。如果 $\alpha$ 是无理数，则过程结果是无限的并生成无限符号

$$\alpha \sim [a_0; a_1, a_2, \ldots]$$

(1.1)

第一篇文章中也有例子。让我们再提出一些此类的几何问题。

例 1. 在顶角为 108° 的等边三角形中，用整数形式表示底边与边的比率。

在三角形 $ABC$ (图 1) 中，角度为 108°、36°、36°。我们留出$BB_1 = b$（很明显，$b$将适合$a$一次，因为$a < 2b$）。

我们有

$$\frac{a}{b} = \frac{BC}{BB_1} = \frac{BB_1 + B_1C}{BB_1} =$$

$$= 1 + \frac{B_1C}{BB_1} = 1 + \frac{1}{x_1},$$

$$x_1 = \frac{BB_1}{B_1C} = \frac{AC}{B_1C}.$$

没有一个三角形 $B_1AC$ 与原始三角形 $ABC$ 相似（计算角度）。在第一个公式中，我们定义了底边与边长的比率$\frac{a}{b}$。在第二个中，我们再次面临同样的问题：$x_1$是同角三角形中底边与侧边的比率。如果在第一步之后我们又回到起始位置，那么这个过程就没有结束。你可以写

$$\frac{a}{b} \sim [1; 1, 1, \ldots].$$

(1.2)

很容易证明这一点

$$\frac{b}{a} \sim [0; 1, 1, \ldots]^*.$$

(1.3)

例 2. 表达圆中正确小数的内切边与半径的比率。

*) 请参阅统计数据末尾的任务 4。

12

图 2 $O$ 是圆心，$AB=a_{10}$、$AL$ 是$A$ 角的平分线。显然$AB=AL=OL$：
$$\frac{a_{10}}{R} = \frac{AL}{OA}.$$
但三角形 $LOA$ 与 图 1 上的三角形具有相同的角度。所以，
$$\frac{a_{10}}{R} \sim [0; 1, 1, \dots].$$
例3. 表达对角线与边的比率。
这个例子比例子1更复杂。在那里，一步之后，我们简单地返回到起始位置，而这里，在两步之后（图3）。

起始位置：您需要将一侧对角朝下。它将关闭一次 (图 3)。我们有
$$\frac{d}{a} = \frac{CA}{CB} = \frac{CB_1 + B_1A}{CB} = 1 + \frac{1}{x_1},$$
$$x_1 = \frac{CB}{B_1A} = \frac{AB}{AB_1}.$$
故事$B_1B_2 \perp AC$。然后$BB_2 = B_1B_2$（自己证明一下）。让我们将三角形 $AB_1B_2$ 补充为正方形（只是为了清楚起见，这不需要证明）。现在我们把$AB$、$BA$放在一边。搁置一次即可获得$BB_2$。剩下$B_2A$。继续把$AB_1$推迟到$B_2A$是可以的，但这是起始位置：对角地推迟正方形的边。这意味着宽恕是无止境的，即
$$x_1 = 1 + \left(1 + \frac{1}{x_1}\right) = 2 + \frac{1}{x_1},$$

$$\frac{d}{a} \sim [1; 2, 2, \dots].$$
$$\frac{a}{d} \sim [0; 1, 2, 2, \dots].$$
但我们似乎被有趣的例子冲昏了头脑。让我们回到问题的陈述。

第二部分。指出为每个整数分数分配实数$\alpha$的方法。如果这个整个分数是通过分解数字$\alpha$获得的，那么所需的方法应该会导致这个数字$\alpha$。

到目前为止，问题的第二部分仅针对有限整数分数得到解决。最终的整个分数可以是“折叠的”，也就是说，它可以以普通（“两层”）分数的形式呈现。这不能用无限整数分数来完成。无限整数分数（1.1）仍然只是一个符号。它可以看作是一种图案或装饰，但没有任何意义。因此，式（1.1）~（1.6）中我们写的是对应号，而不是等号。例如，式（1.6）表示，如果对关系$\frac{a}{d}$进行整数分式展开，则得到$[0; 1, 2, 2, \dots]$。
但不能说左边等于右边，因为右边还不是一个数。

将符号分配给符号
$$|a_0; a_1, a_2, \dots|$$
这就是本文的全部内容。
但实现这一目标还有很长的路要走。
2. 当启动嵌套热部分时。假设读者熟悉实数理论，即知道如何引入无理数以及无限小数是什么。
让我们回顾一下嵌套段的原理，这对于接下来的内容很重要*)。

*) 从下面的简短介绍来看，几乎不可能削弱这一微妙的原则。我们建议读者熟悉他。如果没有，我们建议您阅读，例如：N. Ya。 V. 和 Lenkin 以及 S. I. Shvartsburg，数学

13

如果一条线上有无限个线段$[a_1, b_1]$、$[a_2, b_2], \ldots, [a_n, b_n]$，它有两个性质：

1. 每个下一个段必须位于前一个段中，
   $$a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n;$$

2. 线段的长度趋于零，即 $n \to \infty$，则存在一个点 x，同时也是唯一属于所有这些线段的点。

解释 1. 线段$[a, b]$包含$a$和$b$之间的直线上的所有点，以及点$a$和$b$。区间$(a, b)$仅包含$a$和$b$之间的点，但不包含端点。这意味着与区间$(a, b)$相比，线段$[a, b]$包含两个额外的点。

解释2.第二个性质的意思是：如果我们固定任何一个严格大于零的数ε，那么在这个序列中存在一个小于该长度的线段，即存在一个数$n$将是$a_n b_n < \epsilon$（符号$a_n b_n$表示线段$[a_n, b_n]$的长度）。当然，所有数字大于$n$的线段也将小于$\epsilon$。

嵌套线段的原理表达了一条线的连续性。无论这些线段所对的地方，直线上都有一个点。如果从一条线上删除至少一个点，那么对于其余的点集，这一原则不再成立。例如，我们删除数轴上的点 O 并考虑一组线段

$$[-1, 1], \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right], \left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right], \ldots, \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right], \ldots$$

ical Analysis（数学专业中学 1X-10 年级教科书），M.，“Prosveshchenie”，1969 年，第 1 章1，第 31 页。

*) 这些不是直段：它们内部都有一个穿孔。这些是所考虑的两条射线组的片段。线段$[-1, 1]$包含端点$-1$和$1$以及该集合的所有中间点。

没有一点是属于他们所有人的：他们被吸引到一个空旷的空间里。

为了简洁起见，数轴上的点通常用相应的数字来标识：他们不加区分地称“点x”和“数字x”。

实数完全填满整条数轴，即实数与数轴上的点一一对应。因此，嵌套段的原理对于实数集也是有效的。对于有理数集来说则不然。

二.匹配分数的性质

为了解决第一部分提出的问题，我们需要更详细地研究合适分数的性质。

3. 适当分数的形成定律。通过在每个部分商后面声明一个整数分数，我们获得了一个有理数序列

$$\alpha_0 = \frac{p_0}{q_0} = \frac{a_0}{1},$$

$$\alpha_1 = \frac{p_1}{q_1} = [a_0; a_1] = a_0 + \frac{1}{a_1} = \frac{a_1 a_0 + 1}{a_1}$$等

没有。这同样适用于有限和无限整数分数。虽然我们还不知道无限整数分数的含义，但是数字$\alpha_0, \alpha_1, \ldots$的含义是相当清楚的。

让我们一致认为，零和第一个合适的分数仅指写在最后一个公式右侧的那些形式。这意味着我们以某种方式分别确定这些分数的分子和分母；

$$p_0 = a_0, p_1 = a_1 a_0 + 1,$$

$$q_0 = 1, q_1 = a_1.$$

例如，对于整数分数 $[2; 3, 1, 6] \alpha_1$ 我们可以写

15

首先，填充整个第一行和前两列。该表的进一步填写按照以下方案进行：

| $a_{n-2}$ | $a_{n-1}$ | $a_n$ |
| :— | :— | :— |
| $p_{n-2}$ | $p_{n-1}$ | |

1. 列$\left| \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} \right|$乘以$a_n$，

2. 将前一个添加到结果列中。

如果您需要计算整个连分数的值，建议使用相同的方案：最后一列$\left| \frac{p_s}{q_s} \right|$将提供足够的答案。

练习填写连分数表 [0; 3, 14, 1, 2, 5]

| 0 | 3 | 14 | 1 | 2 | 5 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 0 | 1 | 14 | 15 | 44 | 235 |
| 1 | 3 | 43 | 46 | 135 | 721 |

4. 相邻合适分数的差异。从第 $n$ 个合适的分数到下一个的步骤由第 $n$ 个分数表示，并指定为 $\Delta_n$：

$$\Delta_n = \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} - \frac{p_n}{q_n} = \frac{p_{n+1} q_n - p_n q_{n+1}}{q_n q_{n+1}} = \frac{D_n}{q_n q_{n+1}},$$

其中 $D_n$ 表示数字

$$D_n = p_{n+1} q_n - p_n q_{n+1}.$$

让我们根据公式（3.2）降低索引$y$、$p_{n+1}$和$q_{n+1}$：

$$D_n = \left( p_n a_{n+1} + p_{n-1} \right) q_n - p_n \left( q_n a_{n+1} + q_{n-1} \right) = -\left( p_n q_{n-1} - p_{n-1} q_n \right).$$

括号内的表达式与 (**) 类型相同，但所有索引均除一

较少的。所以它代表$D_{n-1}$：

$$D_n = -D_{n-1}.$$

这种递归关系允许您将索引降低到零：

$$D_n = -D_{n-1} = D_{n-2} = -D_{n-3} = \dots = (-1)^n D_0.$$

为了完全成功，剩下的就是直接计算 $D_0$：

$$D_0 = p_1 q_0 - p_0 q_1 = (a_1 a_0 + 1) \cdot 1 - a_0 a_1 = 1.$$

因此，

$$D_n = p_{n+1} q_n - p_n q_{n+1} = (-1)^n,$$

(4.1) 并由公式 (*)

$$\Delta_n = \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} - \frac{p_n}{q_n} = \frac{(-1)^n}{q_n q_{n+1}}.$$

5. 将一个与大于相邻分数（前一个和后一个）的奇数进行比较。合适的奇数分数小于其相邻分数。

当将此公式应用于零个和最后一个合适的分数时，我们必须考虑到它们中的每一个都只有一个相邻的分数。

从公式（4.2）可以立即看出该性质的有效性。

性质1意味着连续的合适分数交替地更大和更小。

性质2. 相邻分数之间的绝对值之差相互抵消（含义：随着数字的增加）。

我们来比较一下：

$$|\Delta_n| = \frac{1}{q_n q_{n+1}},$$

$$|\Delta_{n+1}| = \frac{1}{q_n+1 q_{n+2}}.$$

我们有$q_{n+2} > q_n$。这意味着第二个分数的分母较大，但它本身较小：

$$|\Delta_{n+1}| < |\Delta_n|.$$

6. 适当分数的不可约性。所有合适的分数都是不可约的。

16

回想一下，合适分数的分子和分母是根据公式（3.1）形成的。让我们假设分数 $\frac{p_n}{q_n}$ 是可约的，即它的分子和分母有一个不同于 1 的公因子 $\lambda$：

$$p_n = \lambda p_n', \quad q_n = \lambda q_n'.$$

则式(4.1)给出

$$\lambda (p_{n+1} q_n' - p_n' q_{n+1}) = (-1)^n.$$

我们陷入了一个荒谬的等式：左边可以被$\lambda$整除，但右边却不能。这意味着分数 $\frac{p_n}{q_n}$ 是不可约的。

三．无穷分数的引入

7. 无限连分数的含义。嵌套线段的原理将成为我们打开无限连分数意义的钥匙。让我们回忆一下类似的情况：如何挤出无限小数？无限小数分数可以被视为一系列嵌套段的简写符号：带有赤字的连续舍入给出了这些段的左端，而带有多余的则给出了右端。 $\sqrt{2}$表示为无限小数的说法是什么意思

$$\sqrt{2} = 1,4142...?$$

这意味着

$$1 < \sqrt{2} < 2,$$

$$1,4 < \sqrt{2} < 1,5,$$

$$1,41 < \sqrt{2} < 1,42,$$

有一个数字可以同时满足所有这些不等式。这是$\sqrt{2}$。

具有象征性的无限连分数

$$[a_0; a_1, a_2, \dots],$$

可以形成有限连分数的无限序列

$$a_0, [a_0; a_1], [a_0; a_1, a_2], \dots,$$

$$[a_0; a_1, a_2, \dots, a_n], \dots,$$

(**)

可以写成合适的分数

$$\frac{p_0}{q_0}, \frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2}, \dots, \frac{p_n}{q_n}, \dots$$

(***)

这些合适的分数决定了嵌套段的顺序

$$\left[ \frac{p_0}{q_0}, \frac{p_1}{q_1} \right], \left[ \frac{p_2}{q_2}, \frac{p_1}{q_1} \right], \left[ \frac{p_2}{q_2}, \frac{p_3}{q_3} \right],$$

$$\left[ \frac{p_4}{q_4}, \frac{p_3}{q_3} \right], \dots$$

接下来的每个段都在前一个段中 (图 4)，并且它们的长度趋于零（参见公式（4.2））。因此，存在一个属于所有线段的数字$\alpha$。它属于无限连分数的值**)。

这个定义可以用另一种方式表达。这里有两个选择。

1. 无限连分数的值位于任意两个相邻的合适分数之间。

2. .befinite 连分数的值大于合适分数的 doi

(*) 图 4 上的标记 0, 1, 2, … 读出合适分数的个数。

**) 这定义了术语“拟合分数”，它“拟合”得越来越接近点$\alpha$。

17

bi 为偶数且小于所有合适的分数为奇数（所有这些在 图 5 上清晰可见）。

重要的是要理解这些公式中的任何一个都定义了一个单数。

很容易证明（这样做），如果无理数$\alpha$分解为整数分数，则连续的合适分数交替小于和大于$\alpha$。由此可见，这个数字 $\alpha$ 是现在分配给无限整数分数的值（属于所有线段的点的统一！）。其他人可以写

$$\alpha = [a_0; a_1, a_2, \dots].$$

现在很清楚，每个合适的分数都可以被认为是整个分数的近似值。数字越大，近似值越准确。

关于用适当分数近似有限整数分数，也说了几乎同样的事情。唯一的区别是，在无限整分数的情况下，没有最后一个好分数，而且很重要的是，没有一个好分数给出了整个分数的强大价值。

对于无限整数分数，保留等号（«Kvant»，第 1 期，第 22 页）。让我们这样表述：

1. 两个无限整数分数 $[a_0; a_1, a_2, \dots, a_n, \dots]$ 和 $[b_0; b_1, b_2, \dots, b_n, \dots]$ 彼此相等当且仅当它们对应的元素重合，即 $a_n = b_n$ 与 $n=0, 1, 2, \dots$。

2. 无限整数分数不能等于有限分数。

8. 以及合适的分数和分数的近似值。读者还记得我们何时踏上这趟漫长的旅程吗？我们正在寻找一种有利的方法将实数（包括有理数）逼近有理数。

发生了什么事！这是拼写错误吗？是否可以用有理数来逼近有理数？

能。例如，

$$\frac{6187}{7425} \approx \frac{5}{6}.$$

在此示例中，我们用一个更简单的有理数替换了一个麻烦的有理数。

一旦我们熟悉了整数分数，一个自然的项目就是将数字 $\alpha$ 分解为整数分数，并计算连续的合适分数作为该数字的近似值。换句话说，截断整个分数，丢弃从某些开始的所有元素，并将剩余的截断分数作为完整整个分数的近似值。这正是我们通过截断小数部分并在小数点后仅留下所需数量的法郎来完成的。

为了接受或拒绝这个项目，我们需要通过用合适的分数替换数字$\alpha$来找出我们允许什么样的错误，即假设

$$\alpha \approx \frac{p_n}{q_n}.$$

在所有进一步的推理中，假设分数 $\frac{p_n}{q_n}$ 不为零，也不是最后一个。对于 $n=0$ ，与使用小数相比，使用整数分数并没有提供任何新内容，并且 $n=s$ 的情况并不有趣，因为我们得到 $\alpha=\alpha$ 并且误差为零。

19

切割是$|\Delta_n| = \frac{1}{q_n q_{n+1}}$。点$\alpha$可能是该线段的内点，也可能与$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$相同（如果$\alpha$是有理数且$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$是最后一个匹配分数）。因此，

$$\left| \alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| \leqslant |\Delta_n|. \tag{10.1}$$

设 $\frac{p}{q} - \text{какая-нибудь дробь}$，其分母小于 $q_n$，从而小于 $q_{n+1}$：

$$q < q_n < q_{n+1}. \tag{10.2}$$

由于合适的分数是不可约的，因此从不等式 (10.2) 可以得出：

$$\frac{p}{q} \neq \frac{p_n}{q_n}, \quad \frac{p}{q} \neq \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}.$$

很明显

$$\left| \frac{p}{q} - \frac{p_n}{q_n} \right| = \frac{|pq_n - p_n|}{qq_n} \geqslant \frac{1}{qq_n},$$

$$\left| \frac{p}{q} - \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \right| = \frac{|pq_{n+1} - p_{n+1}|}{qq_{n+1}} \geqslant \frac{1}{qq_{n+1}}.$$

如果我们将 $q$ 替换为 $q_{n+1}$ 或 $q_n$ 中较大的值，这些不等式仍然有效：

$$\left| \frac{p}{q} - \frac{p_n}{q_n} \right| > \frac{1}{q_{n+1} q_n} = |\Delta_n|,$$

$$\left| \frac{p}{q} - \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \right| > \frac{1}{q_n q_{n+1}} = |\Delta_n|.$$

最后两个不等式的含义如下：从线段 $\left[ \frac{p_n}{q_n}, \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} \right]$ 的每一端删除分数 $\frac{p}{q}$，距离大于该线段 $|\Delta_n|$ 的长度。将$|\Delta_n|$（图 6）从点$\frac{p_n}{q_n}$和$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$向左和向右延迟，我们得到一个禁区$AB$，其中无法定位分数$\frac{p}{q}$（点$A$和$B$也是禁区）。现在很明显，对于数字 $\alpha$，$\frac{p}{q}$ 的近似值比$\frac{p_n}{q_n}$ 更差。实际上，

$$\left| \alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| \leqslant |\Delta_n|,$$

$$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > |\Delta_n|.$$

请注意，逆定理并不成立，即有些分数不适合作为分数，但比任何具有较小值的分数给出了更好的数字 $\alpha$ 近似值。例如，从第 18 页的表格（«Kvant»，第 1 号）可以清楚地看出，数字 $19/6$、$\frac{16}{5}$ 和 $\frac{13}{4}$ 的近似值具有此属性。因此，定理的证明并不意味着合适的分数比其他分数更能逼近实数。但这里有两个水平强定理，我们将在没有证明的情况下提出它们。

对于合适的分数，效益系数 $^*$) $\lambda = \frac{1}{2|q_n \alpha - p_n|}$ 大于具有较小值的任何其他分数。

最后，最令人惊讶的是：逆定理也是成立的，即它有这么大的盈利系数$^*$)«Kvant»，No.1，p。 18.

20

ity - 合适分数的单极子。这种非常微妙的特性不能不引起任何热爱数字的读者的兴奋。

如果对于数字 α 和分数 $\frac{p}{q}$，效益系数 $\lambda = \frac{1}{2|q\alpha - p|}$ 大于具有较小值的任何分数，则 $\frac{p}{q}$ 是 α 的合适分数。

例子。从数字 π 的同一张表中可以清楚地看出，分数 $\frac{22}{7}$ 给出了 π 的近似值，其优势系数比值为 1、2、3、4、5、6 的分数更大。因此，在还不知道 π 展开为连分数的情况下，根据最后一个定理，我们可以得出结论：$\frac{22}{7}$ 是一个合适的分数。

这种类型的定理还有很多。所有这些从不同的角度都证实了同一件事：如果您需要用简单的有理数来近似实数，那么最好的办法就是使用合适的分数。

这是解开第一篇文章中讨论的谜题的宝贵钥匙。

锻炼。

1. 表达（以连分数的形式）角为 120° 的等腰三角形中底边与边长的比率。

2. 求式(1.2)中连分数的值。求 cos 36°。

3. 求式(1.4)中连分数的值。用 R 表示 $a_{10}$。求 sin 18°。

4. 给定数 α 的连分式分解（有限或无限），求数 $\frac{\beta}{\alpha}$ 的分解。

5. 文章说，合适分数的值增加（不等式（3.3））。对于数字也可以这样说吗？

最大平板支撑
产科培训

学校教什么并不重要，重要的是如何教。然而，学生对一个数学句子的实际概念，比他死记硬背、甚至知道如何应用但不理解其实际含义的十个公式更有价值。学校的功能不是提供特殊的经验，而是培养一致的方法论思维。也许有人会反对说，归根结底，能做事比懂事更重要。当然，没有技能的知识是没有意义的，就像任何理论最终只有通过应用才能获得意义一样。但理论绝不能取代简单的技巧，简单的技巧在不寻常的事实面前是无能为力的。因此，彻底的基础训练是未来做好工作的条件。与此同时，重要的是不要太担心研究大量事实，而要担心它们的正确解释。如果不在学校进行这种正确的培训，以后就很难获得这种培训，因为专门学校和高中还有其他任务。此后，教育的最高任务不是知识或技能，而是实践活动。但正如实践活动先于技能一样，技能出现的必要条件是服务和理解。

（马克斯·普朗克。摘自演讲“早期思想的起源和影响。”1933）

22

如果水滴处于“失重”状态），则水滴的表面是球形的。

液滴表面的趋势减小，导致液滴滚落。这意味着液体从其球形表面位于液滴中的压力。让我们用一个假想平面将水滴分成两等份 (图 2)。两个半球的表面相互紧贴。这些力在图中用箭头表示。对于分隔两个半球的边界（该边界是赤道圆）的每个长度单位，都会作用一个等于液体表面膨胀系数 σ 的力。由于边界的长度为 2πr，因此两半水滴之间的所有相互吸引力 F 都等于 2πrσ。该力在下降过程中产生额外的压力。

让我们记住，压力在数值上等于力与面积之比。流量F引起的姿势压力Δp等于

$$\frac{F}{\pi r^2} = \frac{2\pi r \sigma}{\pi r^2} = \frac{2\sigma}{r}.$$

通过按压表面产生的附加压力 Δp 与液滴的半径成反比。液滴中的附加压力是多少？例如，让我们计算直径为两微米的液滴中的附加压力。云通常由这样的水滴组成。地表水系数 σ = 0.078 n/m。波兹尼

$$\Delta p = \frac{2\sigma}{r} = \frac{2 \cdot 0,078 \text{ н/м}}{10^{-6} \text{ м}} \approx 1,6 \cdot 10^5 \text{ н/м}^2 = 1,6 \text{ атмосферы!}$$

公式 Δp = $\frac{2\sigma}{r}$ 仅对球面有效。如果我们对液体在圆柱面下方的情况进行类似的计算，结果是$\Delta p = \frac{\sigma}{r}$。因此，只有偏移$\frac{\sigma}{r}$之前的系数发生变化。一般来说，任何表面施加在其下方液体上的压力与距离 $\frac{\sigma}{r_{\text{cp}}}$ 成正比，其中 $r_{\text{cp}}$ 是该表面的平均曲率半径。

但让我们回到 djedeva 掉落的问题。对她来说，一切都变得复杂，因为下降也受到空气阻力的影响。该力与重力相反，并随着水滴下落速度的增加而返回。

由于重力是恒定的，并且计算了指向相反方向的空气阻力，因此不可避免地会出现这些力变得相等的时刻。一旦发生这种情况，合力将为零，并且下降的速度将不再改变。水滴将均匀下落（由于惯性）。这种水滴的行为与静止状态下的行为相同。这种情况会显着影响水滴的形状，使其不太完美。

了解如何统一

23

水滴的运动导致其球形变形，让我们形成 图 3。

为了使水滴中心部分高​​度为$h$的水柱均匀移动，作用在其上的力$f_1$必须超过从上方作用在水柱上的力$f_2$，正好等于作用在水柱上的重力大小，即$f_1 - f_2 = mg$，其中$m$是水柱的质量。

柱子的质量为$m = \rho V$。这里$\rho$是水的密度，$V$是斯托尔尼克的体积，等于$hS$（S是斯托尔尼克的横截面积）。所以，$f_1 - f_2 = \rho ghS$。这个力差对应的压力差等于

$$\frac{f_1 - f_2}{S} = \rho gh.$$

因此，点 $A$ 处的压力应比点 $B$ (图 3) 处的压力大$\rho gh$。这种压力差使得桌面的下层能够支撑上层。

这如何影响水滴的形状？

为了使$A$点处的压力大于$B$点处的压力，该点处的表面$r$的曲率半径必须小于（根据公式$\Lambda p = 2 \frac{\sigma}{r}$）点$B$处的曲率半径。

我们得出一个有趣的结论：如果大气压只是

$$\frac{2\sigma}{r} = \frac{2 \cdot 0.078 \hbar/m}{6 \cdot 10^{-3} m} \approx 30 \hbar/m^2 \approx 3 \cdot 10^{-4} am.$$

如果它们相同，则水滴的底部应该更加凸出，也就是说，它应该具有比顶部更大的曲率。对于漂浮在上升气流中的小液滴来说，这种与球形的偏差是微不足道的。这种水滴的半径约为一微米，静水压差$\rho gh$的量级为$2 \cdot 10^{-5} \hbar/m^2 \approx 2 \cdot 10^{-10} am$。与 1.6 个大气压的超压 $\Lambda p$ 相比，这种压差是如此之小，以至于实际上有必要注意到由此产生的球度偏差。这样的水滴可以正确地被认为是球形的标准。大跌幅则是另一回事。

对于直径为 5-6 毫米的水滴在夏季雷雨期间落到地面，静水压力差约为

$$10^3 \kappa e/m^3 \cdot 10 \hbar/cek^2 \cdot 6 \cdot 10^{-3} m \approx 60 \hbar/m^2 \cdot 6 \cdot 10^{-4} am.$$

这个值与雷暴表面的力量所产生的压力$\Lambda p \cdot \frac{2\sigma}{r}$相当。

确实，在这种情况下

$$\frac{2\sigma}{r} = \frac{2 \cdot 0.078 \hbar/m}{6 \cdot 10^{-3} m} \approx 30 \hbar/m^2 \approx 3 \cdot 10^{-4} am.$$

造成静水压力的影响

24

图 5. 围绕气流流动的球周围的压力分布。箭头的长度与球表面的压力和远离球的大气压力的差值成正比。

液滴形状上的压力差应该是明显的，并且液滴的底部表面应该明显比顶部更凸。但这与下落水滴的照片（图1）相冲突。怎么了？

问题是，正如我们开始假设的那样，水滴周围不同点的气压完全不同。事实证明，大雨滴高速下落时，其后面会出现复杂的漩涡状空气运动（图4）。在所谓的“湍流尾部”区域，气压低于远离水滴的气压。与此同时，相反，液滴前面的压力比远离液滴的压力更高。当水滴落在空气中时，水滴底部和顶部之间的压力差会产生阻力。该力称为 LOB 阻力。

图 6. 下落水滴周围的压力分布。箭头的长度，如前面的图，与水滴表面的压力和远离水滴的大气压力的差值成正比。

您可以估计 LOB 阻力的大小。令 $S$ 为水滴的横截面积，$v$ 为水滴的速度。在时间 $\Delta t$ 内，下落的水滴移动了 $v\Delta t$ 距离，携带了体积为 $Sv\Delta t$、质量为 $m=\rho_0Sv\Delta t$（$\rho_0$ 是空气密度）。这使得空气团运动，并传递脉冲 $mv=\rho_0Sv^2\Delta t$。根据牛顿第二定律，力从水滴侧面作用于空气

$$F = \frac{\rho_0Sv^2\Delta t}{\Delta t} = \rho_0Sv^2.$$

根据牛顿第三定律，作用在空气中的水滴上的力大小完全相同，但方向相反。

结果不是全部速度，只是部分速度，但是对应$F=A\rho_0Sv^2$

25

仍然公平。 $A$ 是一个无量纲系数，取决于身体的形状。例如，对于球，$A = 0,2$，对于圆盘$A = 0,6$。该系数是通过实验发现的。

从任何阻力的公式中，您可以找到水流对主体前表面施加的压力。它等于$\frac{F}{S} = A\rho_0v^2$。

身体周围，每个点的压力都是不同的。以球为例，靠近表面的压力与远离表面的静压力之间的差异变化如图 5 所示。

制作好水滴模型后，您可以在风洞中制作它并改变其周围的压力 (图 6)。实验表明，对于 6 毫米的落差，底部的压力与圆盘的压力相同 ($A = 0,6$)。此时，底部压力比大气压大$4,6 \cdot 10^{-4}$ am，顶部压力比大气压小$2,1 \cdot 10^{-4}$ am，即底部和顶部压力差为$6,7 \cdot 10^{-4}$ am。

空气阻力不仅负责斯托尼克$AB$（图3）的平衡。由于底部和顶部之间的压力差大于工作台均匀运动所必需的压力差$AB$，那么为了恢复液滴的平衡，部分液体必须从顶部移动到底部，并且液滴顶部必须比底部具有更大的曲率。由于其上的空气动力压力较高，底部应该几乎是平坦的。这是照片中水滴的形状。

《百分之一百的理论家》

普朗克是彻头彻尾的理论——到了荒谬的地步。例如，从德国回来的彼得·尼古拉耶维奇·列别杰夫（Pyotr Nikolaevich Lebedev）向他的学生讲述了普朗克在与奥古斯特·昆特（August Kundt）的一次座谈会上如何被罚款的情况。在报告他关于饱和栅格热力学的工作时，他突然变得困惑并改变了主意。 “这里有一些根本性的困难，因为实际上不可能获得饱和溶液……”昆特很惊讶：“怎么会这样？我不明白”。普朗克解释说：“毕竟，随着饱和的进行，溶解速率变得越来越慢，因此在无限长的时间后，更容易仅使渐近的饱和。” “好吧，我没时间等这件事，”昆特回答道。我将加热混合物，然后冷却。”——“是的。确实如此，”普朗克困惑地嘀咕道，“所以你可以得到饱和溶液……”

但是，作为一个理论家，普朗克总是非常清楚实验在物理理论中的作用。他说：“事实构成了阿基米德的支点，通过这个支点，最雄心勃勃的理论可以从其基础上抬起来。”实验和理论紧密结合。 “在进行实验之前，你需要仔细考虑，这意味着你需要提出一个针对自然的问题。”

从 E. M. Klyauss 的尾声到 M. Planck 的文章集“世界物理图景的统一”。

26

爱丽丝镜中奇遇记
克莱门特·杜雷尔

大自然会误导人吗？是的，可以。历史上有这样的例子：完全显而易见的、看似经过反复证实的现象和事实，最终被证明是无法挽回的，甚至是错误的。这些事实不仅可以在物理学史上找到，而且还可以在天文学史上找到。因此，多年来，以松散地球为中心的世界结构体系被认为是普遍接受的。

大自然有一个狡猾的方法。因此，物理学家必须始终对实验数据和他的直接观察持批评态度，尤其是那些显而易见的事实，因为它们已被我们的评估所证实。克莱门特·杜雷尔（Clement Duorel）在他的著作《相对论的基础知识》中有趣且有趣地谈到了这一点。它普及了相对论的思想。

如果不借助复杂的数学仪器来谈论相对论是极其困难的。 《相对论基础知识》也许是此类尝试中最成功的之一。演示的数学装置相当于高中水平。这本书写得犀利、自然。

我们提请您注意本书中的一章。里面的对话缘由是英国数学家刘易斯·卡罗尔的精彩童话《爱丽丝镜中奇遇记》。

27

“我简直不敢相信，”爱丽丝说。
“不能吗？——女王的话听起来很苦涩。
“我们会再试一次：深吸一口气，闭上眼睛。”
爱丽丝咯咯笑起来。 “尝试是没有用的，”她说，“我无法相信不可能的事情。”
“我们可能没有进行足够的锻炼，”女王回答道。 ——年轻的时候，我为此花了半天时间。甚至在早餐之前，我就已经相信了六件不可能的事情。”
刘易斯·卡罗尔《爱丽丝镜中奇遇记》

大自然会误导人吗？

在与自然玩一场纯粹的游戏时，科学家们遇到了一个对手，这个对手不仅选择适合他的游戏规则，而且还可以搞砸他的伙伴，或者欺骗他的手指。如果事实证明空间的属性不符合我们的想法，如果它们甚至通过我们的时钟扭曲了尺度，那么还有什么方法可以证实真相呢？能否指望最终多方面的条件会迫使大自然摘下她的面具？

加内特教授运用刘易斯·卡罗尔的思想，有力地说明了大自然如何误导我们，而且显然没有太多暴露的风险。

最终，我们只能依靠通过感官接收到的数据，并通过人工仪器、重复实验和研究来验证和提炼。观察往往可以转化为资料，正如乔治·格林希尔爵士讲述的轶事一样。

学年结束时，一所州立工程学院会举行科学部门的接待和审查。一位年轻的参观者进入物理实验室后，在一面大凹面镜中看到自己倒置的图像，天真地对她的同伴说：“他们把镜子倒挂了。”如果这个女孩在没有经过镜子焦点的情况下靠近镜子，她就会确信这并不是工作造成的。如果大自然误导了她，那么这只是一个诡计，随后的经验将会揭露这一点。

凸面镜

现在我们跟随加内特教授，跟随爱丽丝在凸面镜后面的国家（扎尔卡尔）的冒险。首先，我们应该列出凸面镜的一些特性。希望熟悉仅基于相似三角形和代数公式的某些元素的构造和证明的读者可以参考第 31 页的练习 9。

A点（图1）是大半径凸面镜的顶点； O——镜面中心； OA 段——中心半径，或轴； OA段的中点F为镜子的焦点； PQ——高度为a的物体，位于镜前垂直于轴线； P’Q’——他在镜子里的形象。让我们引入以下长度表示法：

$$OF = FA = f, FQ' = x, Q'A = z, AQ = y, P'Q' = h.$$

28

以下关系适用：

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f}, \quad h = \frac{ax}{f}, \quad x = f - z.$$

从这些公式很容易得到一般结果。由于$1/z = 1/y + 1/f$，然​​后$1/z > 1/y$，因此$y > z$。既然$1/f < 1/z$，那么$z < f$或$z < AF$。因此，图像$P'Q'$总是比物体$PQ$更靠近镜子，并且不会比点$F$更远离镜子。

此外，从$h = ax/f$开始，图像的高度将与$x$成正比——图像到$F$的距离。因此，$P'Q'$越接近$F$，$P'Q'$的线段就越小，即图像的高度。

镜中人生

“他现在正在睡觉，”特威迪说。 ——你认为他梦到了什么？》
“谁能猜到？”爱丽丝回答道。
“他梦见你了！”特威迪惊呼道。 - 如果他不再梦见你，你认为你最终会去哪里？》
“当然是在同一个地方，”爱丽丝回答道。
“不是这样的。”特威迪傲慢地反对道。 “你不会在任何地方：你只是他梦想的一部分！”
“如果国王醒了，”特威迪补充道，“那么你就这么做！”然后像吹灭的蜡烛一样消失》。）
“但我确实存在，”爱丽丝说着就哭了起来。
“哭泣并不会让你变得更加真实，”特威迪指出 *)。

莱昂斯·卡罗尔《爱丽丝镜中奇遇记》

现在我们不再将爱丽丝视为一个梦，而是将其视为生活在我们自己的世界中的某个伪爱丽丝的凸面镜中的图像。爱丽丝会像在与特威迪的谈话中一样坚持不懈地坚持她是一个自由、独立存在的人。然而，我们从表面上会看到，她的行为服从于伪爱丽丝的动作和突发奇想，我们将其称为艾丽西亚。我们将比较我们的观察结果（或艾丽西亚的观察结果）

*) Twiddy 和 Twiddiam（英语双打）是童话《爱丽丝镜中奇遇记》中的人物。 — 大约。翻译

sсuu）以及爱丽丝如何想象她自己的存在。

爱丽丝镜中奇遇记

艾丽西亚的身高是 4 英尺，腰围是 1 英尺。 （1 英尺 = 0.3048 m，1 英寸 = 2.54 cm。一英尺有 12 英寸）。最初，Alicia 站在 A 点，背对着镜子，这样她和 Alice 就完全一样，背对着对方。艾丽西娅有一把 1 英尺长的尺子，她将其靠在镜子上，以便尺子接触镜子并与爱丽丝拿着的相应尺子相匹配。

然后 Alicia 开始以 1 fm/sec 的恒定速度沿其轴线远离镜子。艾丽西亚会发生什么？

假设镜子的半径为40 fm，则AF=FO=f = 20 fm。另外，Alicia的身高为a＝PQ＝4fm。

比如说 5 秒后，即当 AQ=y=5 时，事实证明

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4},$$

$$AQ' = z = 4, \text{ а } x = Q'F = f - z = 20 - 4 = 16,$$

$$P'Q' = h = \frac{ax}{f} = \frac{4 \times 16}{20} = \frac{32}{10} = 3,2 \text{ фум}.$$

如果艾丽西娅此时回头看，她会发现，与她走过的5英尺相比，艾丽西娅只走了4英尺，而艾丽西娅的身高则下降到了3.2英尺。

爱丽丝垂直握住的一英尺长的尺子也缩小了；艾琳娜现在真的化妆了

$$1 \times x/f = 1 \times 16/20 = 0,8 \text{ фум}.$$

爱丽丝会认为自己变小了，为了说服艾丽西亚，她会用尺子改变自己的身高，胜利地证明她仍然比尺子高四倍，即 3.2/0.8 = 4。

艾丽西亚也会说爱丽丝变小了：她的腰现在更小了。

29

0.8 英尺宽；实际上，它的宽度与尺尺的长度一致，但后者在垂直于轴线的任何位置只有0.8英尺。

沿垂直于轴线的方向滚动

我们看到，当我们离开镜子时，爱丽丝变得越来越不安。垂直于轴的任何方向上的滚动系数都等于 $h/a$，即 $x/f$，因此与 $x$（爱丽丝距焦点 $F$ 的距离）成正比。

很明显，爱丽丝将无法检测到这条射线，因为她的尺子按照与她的身体和衣服相同的比例缩小。事实上，爱丽丝世界中的所有物体，无论它们是由什么构成的，其行为方式都完全相同。因此，我们认为这个斜率不是物质的属性，而是空间本身的属性。它代表空间对位于其中的所有物体产生的同等影响。因此，我们说爱丽丝世界中的空间定律之一是收缩，它在垂直于轴的任何方向上自行发生，与到焦点的距离$x$成正比。

沿轴线方向滚动

然后爱丽丝沿着轴线对她的尺尺进行分级，爱丽丝当然也会做同样的事情。

图 2.

令 $Q$ 和 $S$ 为爱丽丝标尺上的两个连续划分；然后是$AQ=5$发，$QS=0,1$发，以及$AS=5,1$发。在爱丽丝的尺子上，相应的史瑞克被指定为 $Q'$ 和 $S'$ (图 2)。我们已经证明了如果$AQ=y=5$则$AQ'=z=4$。

此外，如果$AS=y=5,1$，则$AS'=z$由下式给出

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f} = \frac{1}{5,1} + \frac{1}{20} =$$

$$= \frac{20+5,1}{5,1 \times 20} = \frac{25,1}{102},$$

$$AS' = z = \frac{102}{25,1} \approx 4,064.$$

$Q'S' = AS' - AQ' = 0,064$ 气。

$Q'$点沿轴线方向的滚转系数等于

$$\frac{Q'S'}{QS} = \frac{0,064}{0,1} = 0,64.$$

但发现$Q'$点垂直于轴线方向的斜率系数为0.8。

从$(0,8)^2=0,64$开始，我们得出沿轴的斜率系数等于某点垂直于轴的斜率系数的平方。这一说法的证明包含在第 31 页的练习 10 中。因此，根据爱丽丝的观察，爱丽丝随着远离镜子而变得更瘦，并且她减肥的速度超过了她身高下降的速度。

例如，如果爱丽丝侧身，将左手伸向镜子，右手远离镜子，那么她左手的手指就会比右手的手指更长、更粗。然而，总体效果是，右手的手指会像缩回一样接触，或者与另一只手相比，它们会变得更短而不是更细。

爱丽丝世界里的几何

当爱丽丝均匀地离开镜子，迈出相同长度的步时，爱丽丝也

30

向相反方向移动。与此同时（根据爱丽丝的说法），爱丽丝的脚步变得越来越短，以至于她移动得越来越慢。事实上，无论爱丽丝走多远，爱丽丝永远无法超越点$F$（图3）。当然，在爱丽丝看来，她可以移开的距离是无限的，而爱丽丝所说的点$F$，按照爱丽丝的说法，就是无穷远点。如果爱丽丝移动到地面，那么在她看来，她的头顶和脚底在平行线移动。这些线条自然体现了Alice的并行思想。 Alice 看到这些线实际上在点 $F$ 处合并。如果爱丽丝沿着轴线继续铁轨，它们的行为方式将完全相同。

让我们想象一下爱丽丝正在沿着镜子方向的轴骑自行车。爱丽丝的自行车（图4）的轮子会发生什么变化？

沿轴线的斜率结果大于沿垂直方向的斜率。因此，爱丽丝自行车的车轮不仅比爱丽丝汽车的车轮小，而且前轮也比后轮小。而且，每个轮子将呈近似椭圆形，垂直直径大于水平直径。虽然车轮在转动

图 4.

是的，垂直辐条似乎总是最长的，水平辐条似乎总是最短的。从水平转向垂直时辐条变短，从垂直转向水平时辐条又变短。

爱丽丝本人在仔细测量后，会确信她的车很正常，但爱丽丝的想法却完全不同。

儿童乐趣

我们无意声称我们生活在镜子后面的世界中，而只是想指出，似乎没有任何方法可以让我们发现这种客观性，如果事实确实如此的话。大自然建立了自己的空间法则，如果需要的话，可以用它的魅力来约束它的居民。但尽管如此，事实仍然是，大自然会回答科学家向她提出的一些实际问题。而这始终是他们心中的希望，时空法则最终会被揭示。如果从上述内容中，读者发现日本关于“ド”的真相并不简单，并且这些搜索的结果可能会出乎意料，那么这将表明本章达到了其目标。

练习 *)

1. 证明当 Alice 报告距离镜子 10 英尺时，Alice 只会移动 6 英尺 8 英寸，她的高度将为 2 英尺 8 英寸，宽度为 8 英寸。当爱丽丝用自己的尺尺改变自己时，她有多高？

2. 证明当爱丽丝报告距离镜子 20 英尺时，爱丽丝只会移动 10 英尺。在这个位置上，爱丽丝的身高和腰宽是多少？

3. 当阿丽西的身高降低到1英尺的那一刻，阿丽西会在哪里？腰围是多少？

*) 假设爱丽丝身高 4 英尺，腰围 1 英尺宽，6 英寸厚；另外，$f=20$气。 （回想一下 1 英尺 = 12 英寸 - 近似翻译）

31

爱丽丝？她的脚尺在垂直位置的长度是多少？这些尺子中有多少适合爱丽丝的身高？

4. 练习 1 中爱丽丝腰部的粗细是多少？ Alice 的测量结果会得到什么值？

5. 练习 2 中 Alice 的 skat 系数是多少？沿轴和跨轴的斜率系数有何关系？

6. 艾丽西亚距离镜子 20 英尺，手里拿着一个一英寸的立方体，其边缘平行并垂直于轴线。爱丽丝手里会拿着什么东西呢？

7. 当爱丽丝的身高减至 1 英尺时，她的横向尺寸是多少？

8. 当爱丽丝离开镜子时，她的外貌会像她的体型一样发生变化吗？当她的身高降低到1英尺时，人们按照4:1的比例制作了爱丽丝的雕塑。这个雕塑看起来像活的爱丽丝吗？

9. BAC是凸面镜，其半径AO明显大于物体PQ的高度。从平行于轴的 P 点发出的光线落在反射镜的 N 点上，然后沿该点与焦点 F 连接的方向反射。反射镜不会改变从 P 点到反射镜 O 中心的光线方向。因此，P 点的图像将位于 NF 与 PO 交点的 P’ 点。让我们绘制垂直于 OA 的线性 P’Q’。那么 P’Q’ 原来是 PQ 的图像。焦点 F 是 OA 段的中点。由于镜子的半径很大，所以它的曲率很小，NA可以被认为垂直于OA（图5）。

图 5.

32

订阅已发布的杂志
1971 年的“定量”

«Kvant»是苏联科学院和苏联教育科学院的科普物理和数学期刊。它主要针对 8 至 10 年级的学童。其读者中有许多教师，特别是那些教授物理和数学俱乐部或选修课的教师，以及师范学院的学生。年长的物理和数学爱好者也饶有兴趣地阅读。

«Kvant» 发表专门讨论现代科学问题的文章和笔记，以及扩展和深化学校物理和数学课程的许多不同材料。

它为那些准备进入大学的人提供了大量信息。

该杂志的常规部分 - “昆特的问题书”、“昆特的实验室”、“申请人的研讨会” - 包含许多有趣的任务和家庭实验。

«Kvant» 为读者提供有关新书、物理和数学学校和俱乐部工作的定期信息。

我们的作者中有著名的苏联和外国科学家、青年科学家和教师。小学生还可以在我们的杂志页面上报告他们的首次发现、实验室工作或独立构建的设备。

订阅从 9 月 1 日开始。房间价格是30戈比。每年的订阅费用为 3 卢布 60 戈比。订阅指数70465。

33

证明不等式的一种归纳法

S.T.贝尔科莱科，
S.B.溜冰场

算术平均和几何平均定理，该定理指出，对于任何正 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 不等式

$$\frac{1}{n} (x_1 + x_2 + \dots + x_n) \geq \sqrt{x_1 x_2 \dots x_n},$$

是数学事实之一，其证明比其公式更不为人所知。 （此类的其他例子：在算术中 - 将数字分解为质因数的唯一方法；在几何中 - 三角形的高相交于一点的定理。）同时，有许多不同的方法可以证明这种显着的不等式，包括基本的方法（例如，在[1]（问题268的解决方案）中给出了3个基本证明，在[5]的开头提出了12个不同的证明）。本注释提供了另一个简短的归纳证明，它也适用于其他正不等式。

我们必须证明

$$x_1 + \dots + x_n \geq n (x_1 \dots x_n)^{\frac{1}{n}}$$

(1)

对于所有整数 $n \geq 2$ 和正数 $x_1, \dots, x_n$。

对于 $n=2$，这个不等式如下所示：

$$x_1 + x_2 \geq 2 (x_1 x_2)^{\frac{1}{2}}$$

(2)

并立即从明显的不等式得出

$$(x_1^{\frac{1}{2}} - x_2^{\frac{1}{2}})^2 \geq 0.$$

让我们假设不等式 (1) 对于 $n=k$ 成立，并针对 $n=k+1$ 证明它。

为此，请考虑以下表达式：

$$x_1 + x_2 + \dots + x_k + x_{k+1} + (k-1) (x_1 x_2 \dots x_{k+1})^{\frac{1}{k+1}}.$$

将此总和分为两项 $k$ 项，并估计其中的哪一项，对 $n=k$ 应用不等式 (1)：

$$x_1 + x_2 + \dots + x_k \geq k (x_1 \dots x_k)^{\frac{1}{k}},$$

$$x_{k+1} + (k-1) (x_1 \dots x_{k+1})^{\frac{1}{k+1}} \geq k (x_{k+1} x_1^{\frac{k-1}{k+1}} \dots x_{k+1}^{\frac{k-1}{k+1}})^{\frac{1}{k}}.$$

我们将$(k-1) (x_1 x_2 \dots x_{k+1})^{\frac{1}{k+1}}$视为$(k-1)$相同项$(x_1 x_2 \dots x_{k+1})^{\frac{1}{k+1}}$的总和。

34

将不等式(2)代入上述两个不等式的右边，我们得到

$$k \left(x_1 \dots x_k\right)^{\frac{1}{k}} + k \left(x_{k+1} x_1^{\frac{k-1}{k+1}} \dots x_k^{\frac{k-1}{k+1}}\right)^{\frac{1}{k}} \geq 2k \left(x_1 \dots x_{k+1}\right)^{\frac{1}{k+1}},$$

在哪里

$$x_1 + x_2 + \dots + x_{k+1} \geq (k + 1) \left(x_1 x_2 \dots x_{k+1}\right)^{\frac{1}{k+1}}.$$

为了感受这个代数变换，让我们看看 $n=3$ 是什么样的：

$$x_1 + x_2 + x_3 + \left(x_1 x_2 x_2\right)^{\frac{1}{3}} \geq 2 \left(x_1 x_2\right)^{\frac{1}{2}} + 2 \left(x_1^{\frac{1}{3}} x_2^{\frac{1}{3}} x_3^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \geq$$

$$\geq 2 \cdot 2 \left[ \left(x_1 x_2\right)^{\frac{1}{2}} \left(x_1^{\frac{1}{3}} x_2^{\frac{1}{3}} x_3^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \right]^{\frac{1}{2}} \geq 4 \left(x_1 x_2 x_3\right)^{\frac{1}{3}},$$

从哪里$x_1 + x_2 + x_3 \geq 3 \left(x_1 x_2 x_3\right)^{\frac{1}{3}}$。这里使用了三次不等式(2)。

大致以同样的方式可以证明以下不等式：

a) $a_1^p + a_2^p + \dots + a_n^p \geq n \left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^p$,

其中$n$和$p$是自然数，$a_i > 0$ ($i = 1, 2, \dots, n$)；

b) $\sin \alpha_1 + \sin \alpha_2 + \dots + \sin \alpha_n \leq n \sin \left(\frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n}{n}\right)$,

其中 $0 < \alpha_i < \frac{\pi}{2}$ ($i = 1, 2, \dots, n$);

b) $\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \dots \sin \alpha_n \leq \sin^n \left(\frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n}{n}\right)$,

其中 $0 < \alpha_i < \frac{\pi}{2}$ ($i = 1, 2, \dots, n$);

d) $\frac{1}{a_1^p} + \frac{1}{a_2^p} + \dots + \frac{1}{a_n^p} \geq \frac{n}{\left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^p}$,

其中$p$和$n$是自然数，$a_i > 0$ ($i = 1, 2, \dots, n$)；

e) $(a_1 + b_1) (a_2 + b_2) \dots (a_n + b_n) \geq \left(\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} + \sqrt[n]{b_1 b_2 \dots b_n}\right)^n$,

其中 $a_i > 0, b_i > 0$ ($i = 1, 2, \dots, n$)。

36

换句话说，仅证明 $n=2$ 所需的不等式。

而如果我们证明函数$\lg x$的上凸性（这是不等式（2）证明的证据），那么从我们的定理，作为特例之一，我们得到一个关于算术平均数和几何平均数的定理：

$$\lg \left( \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \right) \leq \frac{\lg x_1 + \ldots + \lg x_n}{n},$$

IE。

$$\lg \left( \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \right) \leq \lg \left( x_1 \ldots x_n \right)^{\frac{1}{n}}, \quad \frac{1}{n} \left( x_1 + \ldots + x_n \right) \leq \left( x_1 \ldots x_n \right)^{\frac{1}{n}}.$$

总之，我们将提供一个书籍清单，您可以在其中阅读算术平均和几何平均定理的其他证明。

[1] D. O. Shklyarsky、N. N. Chentsov、I. M. Yaglom，初等数学问题和定理精选，第一部分，M.，“Nauka”，1965 年。

考虑本书中给出的三个证明中的第一个（“通过反向指示”）。

[2] Kretschmar，代数问题书。 M.，《科学》，1968 年。

[3] E. Beckenbach 和 R. Belman，《不平等导论》，M.，“Mir”，1965 年。

[4] G. G. Hardy、D. E. Littelwood、G. Polyana，不平等，伊利诺伊州，1948 年。

[5] E. Beckenbach 和 R. Belman，不平等，M.，“世界”，1965 年。

练习

1. 如果我们将该定理应用于函数$y=x^2$，会产生什么不等式？尝试直接证明这个不等式。

2. 由一般定理不等式 a)-e) 导出。为此需要证明哪些函数是凸的？

3. 再举出几个凸函数的例子，并写下定理 1 应用于这些函数时得出的不等式。

4. 函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上定义，并具有反函数 $g$。证明如果$f$向上凸，则$g$向下凸，反之亦然。

5. 定义在区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$ 是向上凸的。证明对于线段 $[a, b]$ 上的任何点 $x_1, \ldots, x_n$ 和任何正点 $a_1, \ldots, a_n$，以下不等式成立：

$$\frac{a_1 f(x_1) + \ldots + a_n f(x_n)}{a_1 + \ldots + a_n} \leq f\left(\frac{(a_1 x_1 + \ldots + a_n x_n)}{a_1 + \ldots + a_n}\right).$$

（请注意，这个问题是先前证明的定理的推广，该定理是针对 $a_1=a_2=\ldots=a_n=1$ 获得的。）

笔记。为了解决这个问题，您可以使用我们在证明定理时使用的相同技术。

*) 您可以对任何大于一的底数取对数。
**) 参见«Kvant»，第 1 号，第 22 页。