科普物理和数学
量子
12
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

71

主编为 I.K. 院士。 KIKOIN。第一副主编——A. N. KOLMOGOROV院士。

编辑集：

L.A.Artsimovich，院士
M·I·巴什马科夫
V. G. Boltyansky，苏联教育科学院通讯院士
I.N.布朗斯坦院士
N.B.瓦西里耶夫院士
I.F.金兹堡院士
V. G. Zubov 苏联教育科学院院士
P. L. Kapitsa 院士
V.A.基里林院士
G.I.科苏罗夫院士
V.A. Leshkovtsev（副主编）
V. P. Lishevsky 苏联教育科学院院士
A.I.马库舍维奇院士
M. D. Millyunitkov，院士
N.A.帕特里克耶娃 N.Kh.罗佐夫院士
A. P. Savin院士（副主编）
I.Sh.斯洛博德希院士（物理和数学科学博士）
M.L.斯莫良斯基院士
Y.A.斯莫罗金斯基院士
V. A. Fabrikant 苏联教育科学院院士
J. E. 施奈德（父亲秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova
首席艺术家 E. P. 列昂诺夫。
技术编辑 T. M. Makarova。
校对员 T.S. Weisberg
《科学》出版社
物理数学文献主编室
莫斯科，V-71，列宁大街，15

于 24/VIII-70 作为一套交付。用于在 30/X-70 上打印。
纸 70×1001/₁₆。物理、热量。茶匙 4 条件。
奥恩湖5.20 Uch-nzd。湖5.63 发行量176,000份。
T-15168 售价30戈比。订单 1411
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苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区

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1. 平行投影法

不幸的是，不存在“空间铅笔”，它的尖端会在所发生的事情上留下痕迹。使用这样的铅笔，可以通过追踪其边缘来“绘制”真正的立方体。平面图像不可能是空间图形的精确副本。那么问题来了：应该用什么规则来构造一个图像，使其与原图相似，即在观看图像时产生接近原图的视觉印象？大多数情况下，他使用设计方法来达到此目的。其中最简单的是中心投影法和平行投影法。

图 1.

中心投影的方法从图1就清楚了。取一个固定点$S$（投影的中心）和一个不经过$S$的固定平面l（投影的平面）。通过空间的任意点 $A'$ 绘制一条线 $SA'$（投影线）。这条线与平面 l 的交点$A$称为投影点$A'$。 图 1 显示两个点的投影：$A'$ 和 $B'$。

位于同一投影线上的原始点具有相同的图像。

中心投影的方法给出了最直接的图像，因为所描述的结构再现了视觉过程：来自原点（$A', B', \dots$）或其投影（$A, B, \dots$）的光线重合。因此，眼睛并不关心它是看原图还是它在平面上的投影。 （确实，我们在这里进行了一些简化：毕竟，原件是用两只眼睛观看的。）

艺术家主要采用中心投影的方法。

平行投影法与中心投影法的不同之处仅在于投影线不经过固定点，而是平行于固定方向（图2）。平行投影的图像类似于从远处观看的物体：具有无限的

图 2.

当眼睛远离原来的视线时，视线变得类似于平行光线。在这篇文章中我们将讨论并行处理方法。它更简单，因此总是用于教育和科学文献中插图的制作。我们将用带撇号的字母表示原始元素，并用不带撇号的相同字母表示图像的相应元素。例如，

点$A'$由点$A$表示，线$m'$由线$m$表示。

让我们列出并行进程的主要属性。

性质1、直线的形象是一条直线或一个点。

让我们假设线 $a'$ 没有投影 (图 3)。则所有经过线 $a'$ 点的投影线都位于同一平面内。该平面与平面$l$的交线是一条直线。

如果直线$a'$是投影，那么它的所有点都有相同的图像，即直线用一个点来表示。

以下两个属性是证据。

性质2.平行线由平行线或单独的点表示。

性质3.线段上任意一点所划分的比率

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MI，你可以开始任何三角形$ABC$，并声称它与给定三角形$A'B'C'$的图像相似。

证明。我们有两个三角形：原始 $A'B'C'$ 和样本 $ABC$。在边$A'B'$上，我们构造一个三角形$A'B'C_1$（图4），类似于三角形$ABC$，但位于某个平面$π$，与三角形$A'B'C'$的平面不同。让我们进一步以$C'C_1$为设计方向。那么三角形$A'B'C'$在平面$π$上的投影就是三角形$A'B'C_1$，与三角形$ABC$类似。

定理2. 如果给定的三角形图像为$A'B'C'$，则位于该三角形平面内的每个点的图像由此唯一确定。

证明。令 $A'B'C'$ 为原始图像 (图 5, a)，$ABC$ 为图像 (图 5, b)。让我们在三角形 $A'B'C'$ 的平面上取任意点 $D'$ 并将其与三角形的任意顶点连接，例如与 $A'$ 连接。设$E'$为线$A'D'$与对边$B'C'$的交点（$E'$是否位于线段$B'C'$内部或其延长线上没有区别）。点$E'$的图像可得：它必须以$E'$除线段$B'C'$相同的比例来划分线段$BC$，即

$$\frac{BE}{EC} = \frac{B'E'}{E'C'}$$

由证明的两个定理可知，构建平面图形图像的一个实用规则是：必须选择图形$F'$中不在同一条直线上的任意三点，并将它们描绘为任意三点的一般位置。这就是任意性结束的地方：必须构建所有其他点的图像。换句话说，给定的三角形可以任意绘制，但给定的四边形却无法绘制。

示例 1. 正六边形的图像。

让我们用 $A'B'C'D'E'F'$ 表示这个正六边形（原始），用字母 $O'$ 表示它的中心（为方便起见，原始的六边形显示在 图 6, a）。现在让我们构建这个六边形的图像。让我们任意绘制三角形 $A'B'C'$ (图 6, b)。点$G'$是线段$A'C'$的中点。因此，点$G$也必须是线段$AC$的中点。现在你可以画一条直线$BG$。在其上您可以构造点$O$和$E$，使用对应关系$BO=2BG$，$BE=4BG$。接下来是$CD||BG$和$AF||BG$。点$D$可以通过不同的方式找到：1）搁置$CD=BO$，2）绘图

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3. 波尔克-施瓦茨定理和空间图形的表示

我们知道，在描绘平面图形时，三角形起着特殊的作用。当描绘空间图形时，也会出现类似的情况，只使用四面体而不是三角形。在对相应定理进行排序之前，我们先做如下定义。

完整的四边形是由一般位置的四个点（即，没有三个点位于同一条直线上）和成对连接这些点的六个线段组成的平面图形。

定理 3（Polke-Schwarz 定理）* 任何给定的方法都可以用任意完整的四边形（在 图 7 处，并且

*) 波尔克于 1853 年针对等边直四面体（具有相等的侧边和顶点处的直角平面角）证明了该定理。施瓦茨于 1864 年用任意四面体证明了这一点。

图7，a。 图 7，b．

ED||AB, 3) 画直线AO。 F点以同样的方式构建。

再举个例子，自己证明一个正方形可以用任意平行四边形表示。

最后让我们注意到，圆的图像是椭圆。

图 8，一个。 图 8, b,

四边形 ABCD 是凸的，在 图 7 处，b - 非凸）。

我们无需证明就接受这个定理。

虚线用于空间图形的描绘，表示不可见的线（假设四面体的边缘是不透明的）。

定理 4. 如果给出了多面体 A’B’C’D’ 的图像，则这确定了空间中每个点的图像。

证明。设 A’B’C’D’ 为原始信号 (图 8, a) ABCD 为其在平面上的图像 (图 8, b)。另外，假设空间中给出任意点M’。我们将向您展示如何构建其形象。让我们将 M’ 与四面体的某个顶点（例如 A’）连接起来，并标记直线 A’M’ 与相对面 B’C’D’ 的交点 E’（点 E’ 根本不应该表明位于四面体 B’C’D’ 内部）。

Theorel 将移动到图像。可以构造点 E’ 的图像：毕竟，该点位于三角形 B’C’D’ 的平面内，而三角形 B’C’D’ 的图像已给出。接下来，画一条直线AE并在其上构造满足条件的点M

$$\frac{AM}{ME} = \frac{A'M'}{M'E'}$$

示例 2. 立方体的图像。当立方体的边从

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图 9.

一点定义一个四面体。根据Polke-Schwartz定理，它可以用任意四边形表示。因此，在描绘立方体（图9）时，我们可以任意标记点$A_1, B_1, D_1$和$A_2$。图像的其余部分是基于立方体和图中的平行边应该平行的事实来实现的。

大多数人认为图9不能总是作为立方体的图像，并且其组成平行四边形的角度和线段的比率必须以特殊的方式选择。这是因为，对于我们来说，最可嫁接的是在投影直线垂直于投影平面的情况下获得的正交投影。这里我们讨论的是任意（“倾斜”）平行投影。

示例 3. 正四边形平行四边形的表示。底边（正方形）可以描绘为任意平行四边形。另外，根据Polke-Schwartz定理，可以画出任意一条侧边，即标记出任意的平行四边形。如果需要检查高度，则应将顶部连接到底对角线的交点。

图 10, $a$. 图 10, $b$.

在教科书中，通常的做法是将平面（更准确地说，“平面的一部分”）描述为平行四边形，同时隐含地假设原始平面是平面的矩形部分。在这种情况下，我们可以支配的任意性的一部分就被不由自主地消耗掉了。如果我们忘记这一点并进一步使用波尔克-施瓦茨定理，那么我们就会得到错误组。这是一个例子。在 图 10 处，$a$ 描绘出一个正四边形平行四边形。站在飞机上。单个 SABCD 图像构建正确，但 图 10、$a$ 整体上存在严重错误。将平面的一块矩形描绘成平行四边形KLMN后，我们已经部分利用了Polke-Schwartz定理所代表的任意性，我们无权将正方形$A'B'C'D'$描绘成任意的平行四边形。在 图 10、$a$ $\rightarrow$ LKN 和 $\rightarrow$ DAB 上描绘直角。因此$AB \parallel KL$应该是$AD \parallel KN$。由于事实并非如此，图 10、$a$ 是错误的。

由于在研究平面上平行线的性质时，平面的直线度根本不重要，因此将自己束缚于 $\rightarrow$ LKN 是图像的条件是没有意义的

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4. 多面体的截面

现在我们将考虑研究立体测量时遇到的图像。

示例 4. 在 图 11 处，描绘了三角形特征的平面形状。

它的“构造”非常简单：在特征的边缘上取任意点$A_3$、$B_3$、$C_3$，并通过特征的线段连接。在 图 11、$\delta$ 处，相同的“方法”适用于构建四边形特征的截面。

图 11 是正确的，但是在图 11、$\delta$ 上有一个错误（很常见！）。事实上，平面是由第三点确定的。因此，在描绘三角形特征的平面形状时，我们可以在其边缘上任意取点。你不能用四边形标志来做到这一点。注意到亲

任意取点$A_3$、$B_3$、$C_3$，我们已经定义了切割平面，它与识别的四个边的交点不能任意取。

我们将向您展示如何正确找到具有四个边的切割平面的交点。

通过边 $^*$) $A'_1A'_2$ 和 $C'_1C'_2$ 的平面与平面截面 $A'_3B'_3C'_3D'_3$ 沿对角线 $A'_3C'_3$ 相交，穿过边 $B'_1B'_2$ 和 $D'_1D'_2$ 的平面沿对角线 $B'_3D'_3$ 相交。这两个平面的交线平行于平面的边缘。因此，在线的所有平面部分中，对角线的交点位于与线的边缘平行的直线上。在图11、$\delta$处标记对角线底交点$P_1$和$P_2$；山$P_1P_2$与山药边缘平行。点 $P_3$ 不在这条线上 -

*) 不要忘记原件的元素是用带破折号的字母表示的。

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图 13.
因此 图 是不正确的。这意味着上面描绘的四边形$A_3'B_3'C_3'D_3'$不是平的。一个具有训练有素的眼睛的人，例如艺术家，会立即注意到这一点，无需任何解释。

此属性不仅允许您检查绘图的正确性，还可以构建四边形特征的平面图。让我们任意标记点$A_3$、$B_3$、$C_3$ (图 12)。我们构造点$P_1$和$P_2$，并画一条直线$P_1P_2$（结果与直线$A_1A_2$平行）。我们执行直线$A_3C_3$。我们找到$A_3C_3$和$P_1P_2$的交点$P_3$。我们持有$B_3P_3$。交点 $B_3P_3$ 与 $D_1D_2$ 就是所需的交点。

描绘多面体的平面部分只需要使用两个规则：

1. 如果平面 $\beta'$ 和 $\gamma'$ 沿线 $l'$ 相交，并且平面 $\alpha'$ 与其对应的线 $b'$ 和 $c'$ 相交，则 $b'$ 和 $c'$ 要么相交于 $l'$ 上的点，要么平行于 $l'$。

2. 如果平面 $\beta'$ 和 $\gamma'$ 平行，并且平面 $\alpha'$ 与其对应的直线 $b'$ 和 $c'$ 相交，则$b'$ 和 $c'$ 平行。

示例 5. 平行物体的平坦部分的图像。

我们绘制线性部分$RQ$和$QP$的图像。它们的交点必须位于线 $A_2B_2$ 上，否则线 $PQ$ 和 $QR$ 是任意的。接下来我们执行$RS \parallel QP$和$PS \parallel QR$。

在 图 13 上，绘制线 $PQ$ 和 $QR$，使得点 $Q$ 落在线段 $A_2B_2$ 之外。标记点$T \equiv PQ \times A_2D_2$和$U \equiv QR \times A_1A_2$并连接$U$和$T^*$）。我们进行$RS \parallel QP$和$PS \parallel QR$。显然，点$S$一定位于直线$C_1D_1$上。如果该点落在线段$C_1D_1$的延续上，则我们连接点$V \equiv RS \times B_1C_1$和$W \equiv PS \times C_1C_2$。自行分析点$Q$位于线段$A_2B_2$内的情况。

示例 6. 四边形参数 (图 14) 的平面截面图像。

我们执行链接$PQ$和$QR$。从点 $R$ 开始，您需要沿着后边缘绘制一条剖面线。正面和背面的平面沿直线$S'X'$相交。通过构造点$X \equiv AB \times CD$可以很容易得到这条线的图像。正面和背面的切割平面$\alpha'$ 的轨迹必须相交于$S'X'$。我们找到点$T \equiv PQ \times SX$并绘制$TR$。我们标记这条直线$RU$的线段，它是三角形$SCD$的内部。 $AB$表示前边缘和底边缘的交线。我们建立点$Y \equiv AB \times PQ$并找到点$V \equiv AD \times UY$。

*) 符号$M \equiv AB \times CD$的意思是：“M是线$AB$和$CD$的交点”，$m \equiv A \times B$ - “m是定义点$A$和$B$的线”。

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图 17.
每个椭圆都显示两个直径：在原始中它们被重新分布，而在图像中它们是共轭的（参见 I. N. Bronshtein 的文章“椭圆”，量子第 9 号）。

圆锥体的底部也被描绘为椭圆形。在学校实践中，经常遇到以下错误：用极端母线来描绘主截面，并假设它们在长轴的两端接触椭圆（图18，a）。这不是懒惰。如果从S点作椭圆的切线并连接切点A和B，则直线AB将不会通过椭圆的中心。然而，一些

图 19.
“绘图员”带她穿过暴力的中心。 图 18，b - 正确。其中一个切点（例如 A）连接到中心 O，并且点 C 标记在椭圆上，与 A 完全相反。三角形 SAC 是其自身截面的图像。

为了描述主部分，根本没有必要使用

图 18，一个。
图 18，b．
图 18，第 17 页

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图 23，一个。

日期和赤道将被描绘为一段 (图 22)。

正确的球图像构造如下。将赤道和经线描绘成椭圆，所有经线都经过N、S两点。只需找出赤道图像与N、S点位置之间的联系即可。

我们来想象一下原来的样子。让我们画一个赤道剖面（圆 A’B’C’D’）和垂直于它的直径 N’S’（地轴）。让我们进一步想象一个垂直于 A’C’ 的平面 β’ 并（为了方便起见）穿过球外 (图 23, a)。球体与赤道截面和 N’S’ 轴一起正交投影到 β’ 平面上。将球投影成一个圆，并将系统（A’B’C’D’，N’S’）投影到该圆的两个垂直直径上。

如果左图(图 23, a)绕A’C’旋转，则平面β’上的圆将保持原状，其两个垂直直径的交点将绕中心旋转。

图 23, b 给出了赤道图像与条纹图像如何相关的问题的线索。直径 PQ 决定椭圆的短轴，垂线

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图 25.

通过点 $N$ 和 $S$ 连接。平行线由接触沙尔轮廓的相似椭圆来描绘。

在解决立体问题时，绘图起着辅助作用，花更多的精力在绘图上比解决问题本身是没有意义的。因此，我们建议读者主要用眼睛来绘画。不过，我们会给出一些一般性建议，实施这些建议将帮助您避免错误。

球的图像比多面体、圆柱体和圆锥体的图像更复杂。因此，建议在绘制时考虑到球，从球开始，然后将其余的图形附加到其上。

如果球内接于圆柱体 (图 25)，则圆柱体的侧面会在一个大圆内（例如沿着赤道）与球接触。点$B$位于赤道上，$AB = BC$、$AC = NS$。所有三个椭圆（赤道形状和圆柱体的底面）都是相同的。

如果一个圆柱体内接于一个球 (图 26)，那么应该记住它的底面是大小相等的平行圆。

如果球内切于识别 (图 27)，则较大的圆（例如 eq

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图 28.

要描绘球内接的棱柱 (图 28)，您必须首先在某个平行圆内接一个多边形。其余的都清楚了。

如果球内接于 paramid (图 29)，则侧面的接触点与 paramid 顶部的距离相等，因此位于一个平行圆上，该圆的平面垂直于 $T'O'$（O’ 是球的中心，$T'$ 是 paramid 的顶部）。您可以按照以下顺序进行绘制：画一个球，然后取

图 29.

一些平行的圆并描述它周围的多边形（例如，$A_1B_1C_1D_1$）。之后，在这些点处画出通过切点$L, M, N, P$的经线的切线（你可以用肉眼来完成）。它们将在一点 $T$ 相交，该点代表 paramid 的顶点。让下底的平面与平面$A_1'B_1'C_1'D_1'$平行（如果不是这样，那么问题就是一个条件，我们在本文中不会考虑它），然后剩下的就是在比例的指导下完成paramid

$$\frac{TS}{TO_1} = \frac{TA}{TA_1} = \frac{TB}{TB_1} = \frac{TC}{TC_1} = \frac{TD}{TD_1}$$

（$S'$ - 南部条纹，$O'$ - $A_1'B_1'C_1'D_1'$ 内接的平行圆的中心）。

如果在 paramid (图 30) 附近描述一个球，则 paramid 的底边内接于某个平行圆，顶点是球体上的任意点。

来自编辑。 1971年，在“数学通俗讲座”系列中，N.M.贝斯金出版了小册子“空间图形的图像”，其中将更详细地介绍这些问题。

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亚里士多德的错误是什么？

亚里士多德通常因批评而被人们铭记。这对他来说是错误的，还有这个。他尤其在机械课程中得到了这一点。毕竟，众所周知，力与物体的加速度成正比，而物体本身则以恒定的速度运动。但亚里士多德提出了不同的观点：物体的速度与作用在其上的力成正比。如果你不施加力量，身体就会留下来。确实，我们的日常经验更证实了亚里士多德的说法，而不是牛顿的说法，我们在上面阐述了牛顿的两条定律。事实上，要使物体移动，只需要拉动它，即必须对其施加力，一旦施加的力消失，物体就被抛弃了。乍一看，亚里士多德的陈述比牛顿定律更符合观察到的现象。这就是为什么诉诸亚里士多德的权威如此困难。

如果考虑摩擦力，理论（牛顿定律）和实验（运动物体的观察）之间的一致性就会显现出来。正如亚里士多德所认为的，当没有任何东西作用于身体并因此（！）它被留下时，摩擦力实际上作用在其上，从而减慢了运动。

三烯和原子

什么是摩擦力？它的本质是什么？最常见的是，我们在研究机械装置的运作时，思考雪橇在雪岸上的滑动或船在水面上的滑动时，都会记住它。一般来说，可以理解当两个物体接触时会发生什么。它们的原子（滑梯和雪或轴承和框架）相互作用*)。当移动时，一个物体的原子试图夹带另一个物体的原子。如果他们成功了，那么他们中的一个或两个都会被摧毁。我们通常说——他们害怕。为了不使考虑变得复杂，让我们忽略徘徊。在速度不是很高且零件相当坚硬的情况下，这是完全可以接受的。因此，一个物体的原子无法夹带另一个物体的原子。到底是怎么回事？固体（晶体）的原子位于平衡位置的某些位置。诚然，“定位”一词有几个条件，因为原子总是在运动：它们在平衡位置周围进行小幅振荡。这些振荡的强度由温度决定。温度越高，原子振动的能量和振幅越大。晶体的原子相互作用。改变原子的运动

*）“相互作用”这个词有点模糊，意思是原子要么互相粘着，要么互相排斥。事实上，它们既是压入又是推开。远了，他们拥抱，近了，他们推开。请记住，原子世界的尺度是埃（1A°=10⁻⁸cm）。 “远”是指远大于1A的距离，近是指大约1A的距离。当不同物体的原子接触时，它们彼此之间的距离明显超过 1A。

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图 1.

ma 或原子团转移到邻近的…

当一个物体相对于另一个物体移动并接触它时，这些物体的原子会“粘在一起”并相互摆动。如果你不怕庸俗，那么这个过程可以这样想象：一个人逃离附近挂着的吊坠并摆动它们。或者更好的是：吊坠是相互连接的。通过摆动一个或多个，所有其他的都被迫移动 (图 1)。

位于身体表面的原子的振动被传递到位于深处的原子。能量从身体表面到深处的转移是一个复杂的过程，尚未被完全追踪（尽管其一般特征已被了解）。能量传递的路径很大程度上取决于固体的性质。例如，在金属中，电子可以被带走。但是，无论从表面去除能量的路径如何，最终

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一个物体与另一个物体的相互作用会导致温度升高。此外，在摩擦过程中，摩擦表面的结构会发生变化。如果您想了解伴随 trenna *) 的所有现象，则必须考虑它们。然而，只要我们不试图构建定量理论，准确地了解固体中的过程是什么就不是很重要。理解这一点很重要：运动物体的能量部分用于激发构成固体的原子粒子的运动。

我们可以说尸体“工作”，只是这项工作是徒劳的——能量被浪费在加热尸体上，而尸体通常会被人为冷却（习惯于在早晨添加火的石器时代的人不会同意我们的观点）。

物体的相互速度越大，用于摇动原子的能量就越多，这意味着物体产生的功就越多。另一方面，众所周知，每单位时间的功（功率）等于力乘以速度。这个力量就是特伦亚之力。

我们Spring正式“引入”了trenya的力量。确实，他们试图解释其本质。

你可以采取一些不同的做法。找出每单位时间运动物体在激发原子振动时消耗了多少动量（运动量）。根据牛顿定律，单位时间内物体动量的变化等于作用在其上的力。这让我们有机会判断trenya的实力。当然，这两个定义都得出相同的力含义。

trenya 力表征了 Macrosoppe 体之间的相互作用，尽管结果是 trenna*

*) 科学家团队致力于使用最现代的研究方法和有关固体中原子粒子运动的最新想法来解决特伦亚问题。

由于单个原子粒子的相互作用，摩擦力与原子和分子之间作用的力截然不同。事实上，原子和分子之间作用的力仅取决于它们之间的距离，而摩擦力取决于物体的相对速度。然而，这并不是摩擦力不同于微观光学体之间相互作用力的唯一原因。它具有用不同的词称呼的属性，其含义是相同的：

不可逆性、耗散性、损失

在训练力量的影响下，身体总是会失去能量，总是处于热化状态。这是因为物体在摩擦过程中运动的能量消耗在激发原子粒子的运动上。原子是难以想象的（每 1 cm³ 10^23 个粒子），它们随机移动。传递到它的能量只是在无数原子之间消散（分散，来自法语单词“dissiparer” - 消散）。能源的新所有者不断地相互交换能源，并且根本不愿意偿还宏观物体的债务。当然，所描述的过程是从积分能量到温能量的转变。我们看到这个过程是不可逆转的。

一种富有成效的概括方法是将给定概念固有的主要属性之一作为其新定义。让我们用这种方法来概括trenya 的概念。正如我们所看到的，trenya 最重要的特性是与有序运动的能量转变为热能相关的不可逆性。这种性质的接受和拒绝将被称为伴随有序运动能量转变为热能的任何不可逆过程。泰瑞尔，我们可以谈论两种逆流气体的摩擦——它们相互热化和加热，大约

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固体与气体的摩擦等。

那么摩擦力呢？还是伴随着一个摩擦的过程。事实上，在摩擦过程中，有序运动的能量减小，意味着其速度也减小。换句话说，加速度的方向与物体的速度相反。

让我们记住牛顿第二定律。哪里有加速度，哪里就有力。这个力就是摩擦力。它的方向与速度相反，它总是减慢……

简单案例

在某些情况下，硅橡胶的计算相对简单，不需要深入了解固体理论。

例如，让固体在相当稀薄的气体中移动。那么silipren是由气体原子与身体表面碰撞而产生的。

在继续计算 silipren 之前，我们将考虑单独的碰撞行为。动量为$P$的粒子落在物体表面。原子与表面的碰撞是一个复杂的事件。让我们想想会发生什么。原子可以停留在表面（漂浮），可以深入到身体内部，也可以从身体表面反射出来。通过反思（我们会对这种特殊的 silipran 感兴趣，稍后我们将解释多少），各种情况也是可能的。例如，原子可以从表面上的原子中嵌入或被敲除，分子可以分解成其组成原子，等等。简而言之，会出现很多东西，但我们假设原子只是被反射，就像墙上的球一样。不是为了简化，虽然这种情况确实是最简单的，但因为在绝大多数西利普夫中，当物体在气体中移动得不太快时，这正是发生的情况 - 原子只是从物体表面反射（反弹）*）。当然，大型复杂情况（将原子引入固体、成核等）也会被详细观察和研究。这些过程中的每一个都最有可能以一定的粒子速度发生。例如，粒子速度越高，原子渗透到固体中相对更深的深度的可能性就越大。为了想象我们正在谈论的速度，我们注意到：氧原子以 $10^7$ 厘米/秒**) 的速度入射到固体表面，会穿透固体深度约 10-12 个原子距离。根据气体分子动力学理论，质量为$m$的气体中$v$原子的平均速度等于$\sqrt{\frac{kT}{m}}$，其中$T$是绝对单位温度，$k$是所谓的玻尔兹曼常数，等于$1,4 \cdot 10^{-23}$焦耳/秒。在 $T = 300^\circ$ K ($=27^\circ$ C) 时，氧原子的平均速度小于 $10^5$ 厘米/秒。如果物体积聚在气体中，则物体表面气体分子的平均速度与物体的平均速度近似一致；如果身体移动，它就不同了。 然而，在运动物体的速度与平均固体速度相比较小的情况下（永远不要通过最小部分西利佩夫，其中所研究的问题看起来更简单），运动物体的速度几乎与固体没有什么区别，原子的能量根本不足以穿透固体的深处。

虽然我们称原子从固体表面反射的本质是最简单的，但它也需要出现……

*) 幸运的是，空气中的水分子很少会飘到飞行者身上。不然的话，关于冰川作用的描述就会增加很多倍。
**) 氧原子的动能等于10 keV（见下文）。

原子，尤其是固体，都是由大量粒子组成的复杂系统。当原子从物体表面反射时，它的部分能量可能会被用来轻微改变原子或固体的内部状态，简单地说，原子和固体组成的部分发生了位移。如果发生这种情况，则碰撞称为非弹性碰撞。如果没有，则有弹性。每次碰撞都具有一定的非弹性性，但如果用于改变碰撞物体（原子、固体）内部状态的能量部分与原子的能量相比较小，则可以忽略非弹性性，并且可以认为碰撞是完全弹性的。我们将精确地考虑此类碰撞。

关于球的几句话

可能而且应该出现这样的问题：“为什么非弹性很小？”这并不容易回答。让我们更详细地看看球从墙上或更简单地从地板上反弹的情况。如果碰撞是弹性的，那么以零速度开始运动的球在撞击地板后会跳到它下落时的高度（我们忽略空气摩擦力）。如果碰撞是非弹性的，则球不应到达初始高度。经验表明，充气良好的硬球弹跳良好，而软球弹跳较差。球在木地板上弹得很好，但在沙子上弹得不好。一切都取决于构成碰撞体（球、地板）的分子或原子相对于彼此移动容易还是困难。如果很容易（未充气的球从沙子上弹起），则压缩是无弹性的；如果困难，那么它就是有弹性的。看来应该有所不同。如果移动起来很困难，那么就会花费更多的精力，如果移动起来很容易，那么就会花更少的精力。那么情况就会相反：软球会比硬球弹到更高的高度。虽然是间接的

观察回答了这种可能性，通过计算来检验自己是有意义的。

守恒定律和不平等

让我们考虑一下两个元素粒子在其中一个比另一个重得多的情况下的碰撞。通过识别基本粒子，我们断言粒子的内部运动不存在或在所研究的现象中不发挥任何作用。因此，在研究月球的运动时，如果没有潮汐的涨落，地球可以被认为是一个基本粒子，“吸收”它的能量。一个坚硬的、充分膨胀的球在碰撞过程中充当基本粒子，而一个弱膨胀的球则充当一个复杂的物体。

让质量$M$的重粒子在碰撞前积累。让我们用$p = mv$表示碰撞前光粒子的动量。为了估计碰撞后粒子的动量和能量，我们将使用能量和动量守恒定律。

很明显，由于碰撞，重粒子的动能只会增加（回想一下，碰撞之前它为零）。由于总能量不变，碰撞后光粒子的动能减小，光粒子的速度$v$和动量大小也随之减小。因此，轻粒子的动量变化$\Delta p = p' - p$不会超过$2mv$。

现在让我们应用动量​​守恒定律。他指出，轻粒子和重粒子的动量变化$\Delta p$和$\Delta P$大小相等，方向相反：$\Delta p = -\Delta P$。

另一方面，由于重粒子在碰撞前被掩埋，则$\Delta p = \Delta P = MV'$（$V'$为重粒子碰撞后的速度）。这就是为什么

$$V' \leq \frac{2m}{M} v$$

22

图 3.
现在我们真的已经远离了我们感兴趣的主题。

什么是摩擦力？

那么，让我们回到硅脂烯作用于以相对低的速度$u$穿过稀薄气体（其温度为$T$）的物体的计算。方便地认为身体处于静止状态，气体以$-u$的速度运动。让我们在身体表面选择一个无穷小的区域 $^*$ $\Delta S$ (图 3)。如果气体分子在可见区域上的一点与物体发生弹性碰撞，则气体分子的动量将变为$2P_n$，其中$P_n$是分子动量在物体表面法线上的投影。这意味着气体分子与物体碰撞时会产生等于 $2P_n$ 的冲量。现在我们的任务是计算单位时间内气体传输到身体的总脉冲。每单位时间动量的变化就是力（在这种情况下，是气体作用在物体上）。为了计算总传递动量，首先需要考虑单位时间内落在给定区域上的所有分子，其次，对所有区域进行求和。

*) 参见 N. Ya 的关于“无穷小平台”的文章。维兰金《无限的秘密》（«Kvant» No. 3，1970）。

Ya的文章中也进行了类似的操作。 A.斯莫罗金斯基《理想气体》（«Kvant»第10号）。这里我们将使用现成的结果。静止壁上的气体压力等于$1/3$ nmv²，其中$n$是每单位体积的气体分子数，$m$是分子的质量，$v^2$是分子速度平方的算术平均值。如果身体结束（$u = 0$），则左右的打击次数平均相同，因此没有冲动传递到身体。在 $u \neq 0$ 情况并非如此。让身体动起来。在这种情况下，分子撞击前面的速度要大$u$，而分子撞击后面的速度要小$u$。因此，力作用在移动平面的$\Delta S$截面上

$$F = (P_{\text{спереди}} - P_{\text{задди}}) \Delta S = \frac{1}{3} nm \Delta S \left[ (v + u)^2 - (v - u)^2 \right] = \frac{2}{3} nmvu \Delta S.$$

回顾 $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$（参见文章“理想气体”），我们得到

$$F = \frac{2}{3} n \sqrt{3kTm} u \Delta S.$$

对于任意形状的物体，我们必须获得公式

$$F = \beta Sn \sqrt{mkT} u.$$

这里$S$是身体的表面积，$\beta$是数值系数，取决于身体的形状。它考虑到分子垂直于表面进入一个区域，并以一定角度进入其他区域。

如果我们使用克拉佩龙定律$PV = NkT$（$N = nV$是体积$V$中气体部分的总数），那么我们可以通过气体的压力$P$和温度$T$来表达摩擦力：

$$F_{\text{Tp}} = \beta SP \sqrt{\frac{m}{kT}} u.$$

结果是自然的：在固定温度和

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物体速度越快，摩擦力越大，气体压力越大。

气体粘度

我们已经详细描述了为什么当物体在气体中移动时，会有一个力作用在其上，即摩擦力，这是单个分子撞击移动物体表面的结果。与此同时，我们对碰撞后气体及其分子发生的情况一点也不感兴趣。让我们思考一下与身体接触的分子的命运。显然，如果我们有机会改变与物体相互作用的所有分子的速度，我们将确信它们的平均速度不等于零。分子虽然很小，但会被移动的物体带走。如果你改变远离身体的分子的速度，那么（在没有有限风的情况下，它们的平均速度为零）。换句话说：在运动物体的表面附近，气体有有序的运动，但在远离物体的地方则没有。有一定的冲动与有序的运动相关。表层中的气体层比其他气体分子更频繁地与运动物体发生碰撞。因此，如果没有从边界层去除动量的过程，它们的平均动量就会增加。

这个过程很容易理解。从边界层逸出的气体分子只是带走了多余的动量。远离身体，它们通过与其他分子的多次碰撞或与静止的身体碰撞来“分散”它。

气体将脉冲从一个地方转移到另一个地方，最重要的是，不可逆地浪费它的能力称为粘性。粘度和摩擦力是相同的。粘度是一种有趣的现象，其中分子之间的碰撞起着重要作用。我们在计算从气体侧作用在运动体上的摩擦力时忽略了。

我们在这一点上错了。但如何呢？您是否夸大或低估了摩擦力？很容易理解他们夸大了。事实上，我们相信分子一旦与身体接触，就永远不会再返回到身体，因此无法将其收到的脉冲“返回”到身体。事实上，如果我们仔细监测与身体碰撞的许多分子，我们将确信其中一些分子会返回身体（在与任何气体分子碰撞后），另一些分子将从身体获得的多余能量传递给它们的碰撞伙伴，而它们反过来又可以与身体碰撞。严格来说，由于这些新分子相互作用，身体的冲动发生了部分回归，这意味着身体失去的冲动比我们想象的要少。

这里导出的公式仅适用于非常稀薄的气体，其中斯托恩分子之间的平均拉伸远大于物体的尺寸。如果我们计算作用在尺寸不超过几微米的尘埃颗粒上的摩擦力，我们的空气也可能属于稀薄气体的范畴。

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为什么
可持续的
自行车

几乎每个人都知道如何骑自行车，但显然他们仍然不知道如何骑自行车。每一种简单和轻松都隐藏着未探索的微妙之处，我花了很多时间和精力试图揭示自行车稳定性的原因。通常，有关该主题的出版物都是零散的，并且不包含对该理论的实验测试。在我的研究中，我希望通过修改自行车设计来找出共享单车稳定性的原因。第一次尝试制造一辆不能骑的自行车以失败告终。这促使我仔细研究前轮叉的形状。之后，借助电子计算机的计算，我设计并制造了一辆完美的不稳定自行车。

本文基于 D.E.H.Jones 发表于《今日物理学》1970 年第 4 期的文章《自行车的稳定性》。

D. E. H. Jones 的文章由 V. N. Berezny 和 G. N. Sukhova 翻译和修订。

现有理论

大多数关于自行车的力学教科书和手册要么根本不考虑其稳定性问题，要么认为它太简单。人们相信，自行车是通过自行车的成功来平衡的：当自行车感知到汽车正在下落时，它会将其转向下落的方向。自行车旋转并沿着曲线行驶。这有助于他恢复直立姿势并避免跌倒。

不难理解为什么会出现这种情况。让我们考虑一下作用在速度为 VELOSPEED (图 1) 的自行车上的力。 F是地球的反作用力（它等于摩擦力Ftr和法向反作用力N之和），P是重力。这些力的合力等于 P·ctgα（其中 α 是汽车的倾斜角度），并且指向 VELOSPEED 行驶所沿圆的中心，从而传达

图 1.

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随着骑车人的加速度改变自行车的重心

$$a = \frac{P}{M} \text{ctg} \alpha = g \text{ctg} \alpha.$$

由于摩擦通常很大，并且自行车的车轮不会在地面上滑动，因此车轮与地面接触点的加速度由轨迹半径决定，等于$\frac{v^2}{R}$。如果骑车人的倾斜角度使得汽车重心与中心的加速度等于车轮与地面接触点的向心加速度，则骑车人不会摔倒或伸直：力$F$穿过系统的重心；如果$a > \frac{v^2}{R}$，那么骑车人将会摔倒（力$F$经过系统重心上方）；如果$a < \frac{v^2}{R}$，即$R < \frac{v^2}{g \text{ctg} \alpha}$，则自行车将变平（力$F$穿过系统重心下方），产生使系统绕穿过质心的轴旋转的力矩）。

如果骑车人以$\alpha$角度倾斜，那么为了让汽车走直，必须沿着半径为$R < \frac{v^2}{g \text{ctg} \alpha}$的圆圈行驶。

速度越高，为了不摔倒而需要沿着的圆圈半径越大。这意味着，在较高的速度下，如果车把以相对较小的角度转动，自行车就会保持水平。因此，自行车移动得越快，就越容易控制。

然而，观察结果揭示了与该理论相反的令人信服的可能性，该理论认为自行车的稳定仅归功于驾驶员。毕竟，如果你在没有骑车人的情况下推一辆自行车，它会行驶相当长的距离，尽管它不受控制，并且会在20秒左右的时间内控制它，而不是像固定自行车那样需要2秒。显然，汽车的稳定不仅得益于自行车的努力，而且还得益于自行车的努力。

图 2.

远方。此外，当快速骑行时，自行车只是稳定，即使你想翻倒也很难。

解释自行车稳定性的更复杂的理论考虑了前轮的吸湿效应。

陀螺仪通常被称为绕其轴快速旋转的物体。海普罗索普的一个典型例子是普通纤维。当你尝试倾斜旋转狼的轴时，你会感到阻力。狼的轴开始不是沿着你推动它的方向移动，而是沿着垂直的方向移动。这种现象被称为“陀螺炉效应”。正因为如此，旋转狼的轴通常沿着圆锥体移动，如图2所示：在垂直方向的重力影响下，轴在水平面内转动。轴的旋转方向取决于狼绕轴的旋转方向。

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图 3.

陀螺的质量和旋转速度越大，陀螺效应就越大：当试图倾斜陀螺时，陀螺的轴旋转得越快。快速旋转的前轮与陀螺一样。当向前倾斜时，力作用在轮轴上，使其随着向前运动而旋转。在这种情况下，由于陀螺效应，车轴、叉和方向盘必须在垂直于加速度平面的平面内转动 (图 3)。它转动并因此返回到垂直位置。

这个理论的吸引力在于它是由滚环模仿的，因此滚环是真正稳定的。 Vvosped 在这个解释中只是一个带有瞄准器的篮圈。

有人从理论上对这一理论表示怀疑。他们认为车轮的重量太小，无法产生足以使重型车轮保持水平的陀螺效应。

反陀螺加速

我开始了我的一系列稳定性实验，对这里讨论的理论有相当模糊的想法。

我突然想到，建造一个不稳定的游乐设施将会很有趣，它可以将最有经验的骑手从水中击落。首先，我修改了标准 vsed，将第二个轮子放在前叉上，离开地面，这样这个轮子就可以以与 vsed 中前轮旋转方向相反的方向旋转。这应该可以消除陀螺效应的影响。我将这个装置称为“不受控制的 vsped”——HB-I (图 4, 6)。他并没有证明自己心中升起的希望是合理的。无论附加轮朝任何方向旋转还是保持静止，都可以轻松控制。 NB-I 的表现有些笨拙（我将此归因于前叉和前轮重量的增加），但这并没有使其变得太难控制，即使以我的平均驾驶能力和低速而言。这意味着即使在低速下，陀螺仪效应对前向控制的影响也很小。

意想不到的结果给了我灵感。如果 vvosped（被视为带有瞄准器的环）由于陀螺仪效应而不稳定，那么也许环根本就不是陀螺仪？

我继续用一个额外的 HB-I 轮进行实验，在其上连接一个可以沿相反方向旋转的内部环。当我鼓励它滚动时，该设备安全落下。这意味着箍的行为就像 girrosopp 一样。

另一个更严峻的测试是：如果驾驶员的手离开方向盘，HB-I是否会被控制？根据可能是“无手”驾驶前向控制的唯一理论，假设驾驶员通过身体的角度运动来倾斜车架，从而利用前轮的旋转来转向。

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图 4.

由于陀螺效应，它的轮子。

我带着对结果的恐惧，小心翼翼地做了一个实验，自行车下坡；从而消除自行车对教师的影响。 HB-I 对于“免提”骑行来说并不是很方便，即使是“静态”版本也是如此。有些东西失去了平衡，在前轮和附加轮转向不同方向的情况下，虽然很难控制，但还是有可能的。

这让我想到自行车在移动时还出现了另一种力。

然后我尝试在没有驱动器的情况下滚动 HB-I。当附加轮以与自行车前轮旋转方向相反的方向旋转时，自行车笨拙地摔倒；当车轮与前轮同向旋转时，自行车会快速移动，之前已经跑了一圈。

我清楚地意识到，轻型、无人骑乘的自行车可以稳定陀螺仪自行车，但较重的型号则不能。因此，仍然可以解决由驾驶员加重的自行车的稳定性问题。

更多理论

在研究的初期阶段，我把它放在我认识的每个人身上，向他们解释自行车的原理。除了我已经提到的两个著名的理论之外，我还提出了新的理论。

1. 由于轮胎的厚度，自行车可以保持直立，这意味着它就像一个薄的充气滚筒。

2. 如果自行车倾斜，前轮与地面的接触点会移动到其平面的一侧，从而产生转动倾斜轮的摩擦力矩。这可以保持自行车水平。

3. 自行车轮胎与地面的接触点位于车把控制轴（图4）的后面。因此，当自行车倾斜时，会产生地面反作用力F，使前轮绕转向轴转动。

人们可能会认为理论 1 并不那么重要。我也对理论 2 表示怀疑，因为作用在不到轮胎宽度一半的力应该产生非常小的扭矩，这仅取决于轮胎充气的紧密程度。

理论 3 提出了关于形状的问题

关于卫星的轨道周期

1970年9月，自动站“Luna 16”发射。 9月17日，进入月球轨道，周期为1小时59分（119分钟）。根据这些数据可以对月球说些什么？

让我们记住，当一颗卫星绕地球发射时，其周期通常约为一个半小时（90 分钟）。关于地球你有什么想说的？

事实证明，根据这些数据可以估计月球和地球的密度。

如果卫星的高度很小（与其旋转的天体的半径相比），那么我们可以近似地假设卫星在地表附近移动。让我们将重力加速度等同于向心加速度：

$$G \frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R,$$

其中$G$为万有引力常数，$M$为天体质量，$R$为天体半径，$v$为卫星速度，$T$为其公转周期。接下来我们用半径写出质量：

$$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho,$$

其中$\rho$是平均密度。

将这个表达式代入前面的公式，我们得到了一个显着的结果：

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}}.$$

由此可见，低卫星的轨道周期只取决于天体的大小，而不取决于其大小。因此，知道周期，就可以确定月球和地球的密度。该表显示了太阳系不同行星的周期和密度值。

| 中央体 | 密度 ($\rho/cm^3$) | Period |
| :— | :— | :— |
| 太阳 | 1,42 | 166 |
| 汞 | 5,61 | 83 |
| 金星 | 5,16 | 87 |
| 地球 | 5,52 | 84 |
| 月亮 | 3,36 | 108 |
| 火星 | 3,95 | 100 |
| 木星 | 1,34 | 171 |
| 土星 | 0,64 | 238 |
| 天王星 | 1,36 | 170 |
| 海王星 | 1,30 | 174 |

对于地球来说，该周期为 84 分钟。在气体中，报告的总体值略大。这意味着卫星飞得不是很低。如果我们用$h$表示卫星的高度，那么就不难得到圆形轨道的精确公式（尝试自己推导）：

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}} \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{\frac{3}{2}} \approx T_0 \left(1 + \frac{3h}{2R}\right),$$

其中 $T_0$ 是低卫星的周期（表中给出），最后一个等式是近似值 - 如果 $h \ll R$ 则为真。如果您了解开普勒定律，您还可以获得椭圆轨道的公式。您将在 1971 年的«Kvant» No. 1 中读到它们。

Y.A.斯莫罗丁斯基

32

问题工人
克瓦沙

M56。四个一和五个零以随机顺序写在圆圈上。然后在两个相同的数字之间写入一个单位，在不同的数字之间写入一个零，并擦除原来的数字。证明无论我们重复这个过程多少次，我们永远不会得到一组九个单元。

M57。 a) 找到数字$k$，它能被2和9整除，总共有14个约数（包括1和$k$）。

6. 证明如果把14换成15，那么问题会有多个解，但是如果把14换成17，那么问题就根本没有解。

M58。平面上给出三条直线，相交于一点。其中一个上标有一个点。已知直线是某个三角形的平分线，标记点是其顶点之一。构造这个三角形。

M59。砝码有几种，重量有1克、2克、3克、…、$n$克。它们必须分成三堆，重量相等。在什么$n$可以做到这一点？

M60。让我们考虑所有自然数，其十进制表示法仅涉及数字 1 和 0。将这些数字分为两组，使得同一组中任意两个不同数字的和至少包含两个十进制单位。

F66。用 e 接电池。 d.s. 9伏和未知内阻、安培和电压表（图1）串联。这些器件的电阻未知。如果在电压表上并联一个电阻（其值也是

本期所有数学问题均取自《数学问题》手册，该手册的新修订版即将出版。

图 1.
未知），则安培读数加倍，电压表读数减少一半。连接电阻后电压表的读数是多少？

A·R·齐伯曼

F67。缓冲装置（图2）由杆$A$、套在杆上的弹簧$B$、导向套$C$组成。套筒可以在实心壁 $D$ 制成的通道内移动。当衬套$C$移动时，其外表面与壁之间会作用恒定的摩擦力$F_{\tau p}$。衬套杆和弹簧沿杆移动，无摩擦。

质量为$M$的球飞到杆$A$的端面上，撞击前速度为$v_0$。球将以什么速度飞走？

与球的质量相比，杆、弹簧和衬套的质量可以忽略不计。弹簧刚度系数$k$。

V.K. Peterson，莫斯科国立大学第 31 届学校物理奥林匹克竞赛，1970 年

*) E. B. Dynkin、S. A. Molchanov、A. L. Rosenthal、A. K. Tolpgo，数学问题，第 3 版，“科学”（“物理和数学学校图书馆”系列）。

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图 2.

F68。气体所在容器的玻璃温度为 $T$。气体温度$T_1$。在哪种情况下，容器壁上的气压更大：当容器壁比气体冷时 ($T < T_1$) 或当容器壁比气体更热时 ($T > T_1$)？
G.雅. Myaktsiev，第 31 届学校体能奥林匹克运动会，莫斯科国立大学，1970 年

F69。将铅球浸入盛有水的容器中。由于球产生的附加引力场，水表面会朝什么方向弯曲到容器中？

F70。骑车人可以轻松地利用 10 公斤的牵引重量进行训练。摩擦力不超过5公斤。骑自行车的人似乎可以在几个小时内达到逃逸速度。然而，目前还没有人成功做到这一点。为什么？
物理和数学奥林匹克 MIEM，1969

F71。有一个均匀带电的段$AB$。该线段在点 $C$ 处产生的电场方向是什么：沿着三角形 $ABC$ 的中线？通过他的平分线？身高？这些行都不行吗？
MIPT 物理和数学奥林匹克竞赛，1970 年

帮助艺术家！

艺术家应该在图上画一条细线。当然，您可以只测试白色背景上的黑线，但我们的艺术家喜欢各种明亮的颜色。

让我们就显色性的排版可能性提出以下建议（参见杂志封面上的图）。除了白色之外，还有四种原色：粉色 ($P$)、黄色 ($Ж$)、蓝色 ($Г$) 和黑色 ($Ч$) - 以及四种偏移颜色：红色 ($P+Ж$)、淡紫色 ($P+Г$)、绿色 ($Ж+Г$) 和棕色 ($Ж+P+Г$)。黑色与任何颜色混合会再次产生黑色。为简单起见，我们假设“半色调”不存在。

问题是，有多少种方法可以在彩色背景上绘制彩色线条（线条和背景都可以是任何颜色，但当然可以是不同的颜色；也可以使用白色）？答案很明确：72 = 9x8。对于背景，您可以选择 9 种颜色中的任意一种，然后对于线条，可以选择其余 8 种颜色中的任意一种（已为背景选择的颜色除外）。

但还需要考虑一种情况：由于红色墨水在打印过程中不是同时施加的，而是按顺序施加的，因此它们之间可能会发生一定程度的相对移动。因此，比如说，与粉红色背景上的绿线一起，您可以得到一个白色的过程，旁边有一条棕色（甚至单独的红色和淡紫色）线。这并没有消除我们。即使颜色发生变化，线条仍然应该是一条！计算一个艺术家有多少种方法可以满足这个要求。

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解决方案

M16。证明具有整数系数的多项式$p(x)$，对于$x$的三个不同整数值取值1，不能有任何整数根。

解决方案，即请注意，对于任何具有整数系数的多项式 $p(x)$ 以及对于任何两个整数 $a$ 和 $b$，差值 $p(b) - p(a)$ 可以被 $b - a$ 整除，因为对于任何自然数 $m$，差值 $b^m - a^m$ 可以被$b - a$整除：

$$b^m - a^m = (b - a) (b^{m-1} + b^{m-2}a + b^{m-3}a^2 + \ldots + ba^{m-2} + a^{m-1}).$$

如果有四个整数$c_1, c_2, c_3$和$a$使得$p(c_1) = p(c_2) = p(c_3) = 1$和$p(a) = 0$，那么

$$p(c_1) - p(a) = p(c_2) - p(a) = p(c_3) - p(a) = 1,$$

因此每个数字$c_1 - a, c_2 - a, c_3 - a$只能等于1或-1，这意味着所有这些数字不能不同。这一决定是由来自加里宁地区 Volchkovo 村的 A. Veselov、来自明斯克的 I. Suprunenko 和其他读者添加的。

如果您知道多项式除法是什么*)，那么解决方案的开头可能会有所不同。让我们用“角度”多项式$p(x)$除以$x - a$，其中$a$是多项式的整数根。然后$p(x) = (x - a)q(x)$，其中$q(x)$也是具有整数系数的多项式。确实，由于多项式$x - a$的系数等于1，那么当我们用角点将多项式除以$x - a$时，多项式的所有系数都将由已经存在的加减乘运算得到，即它们也将是整数。余数为零，因为 $a$ 是多项式的根：$p(a) = 0$。因此，$(a - c_1)q(c_1) = (a - c_2)q(c_2) = (a - c_3)q(c_3) = 1$，进一步的推理与第一个解决方案完全相同。

M17。临近$60^\circ$角分岔的两条路的岔路口，农民问道：“怎样去NN村？”他们回答他：“沿着左边的路到N村——距离这里有八英里——在那里你会看到一条大平坦的路以直角向右延伸——这正是去NN的路。或者你可以走另一条路：现在沿着右边的路走；当你到达铁路时，这意味着你已经走了一半的路；在这里左转，或者沿着枕木一路走到NN。” - “那么，哪条路会更短？ - “无论是这条路还是那条路，都没有什么区别。”农民走上了正确的道路。

他需要步行多少英里才能到达 NN？多于十个还是少于十个？如果从岔路口直接走到NN怎么办？ （所有道路均被视为笔直。）

解决方案即令$A$为道路的岔路口，$B$为村庄$N$，$C$为村庄NN，$D$为右侧道路进入铁轨的点。根据条件（距离以俄里为单位）$AB = 8$、$\angle A = 60^\circ$、$AD = DC$、$\angle B = 90^\circ$、$AB + BC = 2AD$。让 $AD = 2x$、$DH \perp AB$ 和

*) 请参阅 A. N. Vilenkin 的文章“代数分数的约简”（«Kvant» No. 11）。

DK⊥BC (图1)。那么AH = x，KD = BH = 8 - x，AB + BC = 2AD = 4x，BC = 4x - 8，BK = DH = x√3，KC = |BC - BK| = |4x - 8 - x√3|并满足问题的所有条件*) 满足等式 CK² + KD² = AD² 或 (4x - 8 - x√3)² + (8 - x)² = 4x² 是必要且充分的，

其中 8 - x > 0 且 4x - 8 > 0，即 2 < x < 8。变换后，我们得到 (2 - √3)x² - 2(5 - √3)x + 16 = 0。

让我们用 f(x) 表示左侧的三项式。很容易验证，只有方程 f(x) = 0 (图 2) 的较小根 x₀ 才满足条件 0 < x < 8。可以写成这样的形式

x₀ = (5 - √3 - √6√3 - 4) / (2 - √3) = 7 + 3√3 - √44 + 26√3.

农民将不得不走4x₀路线。直接从方程中更容易算出该数字是否大于 10 还是小于 10。由于 f(5/2) = 1/4(14 - 5√3) > 0，很明显 x₀ > 5/2，即 4x₀ > 10。让我们证明该方向上的距离 AC 小于 10。事实上，对于 2 < x₀ < 8，不等式 √8² + (4x₀ - 8)² < 10 相当于： (4x₀ - 8)² < 36, 4x₀ - 8 < 6, x₀ < 7/2。如上所述，我们确信 f(7/2) = 1/4(22 - 21√3) < 0，因此 x₀ < 7/2，因此 AC < 10。

这个问题的解决方案是由来自托木斯克的 M. Preezer、来自 Ekibastuz 的 A. Mikhailov 和其他读者发送给我们的。

S. Berkolaiko（别尔哥罗德地区）发现了 AB + BC > 10 的简短证明。在我们的符号中，它看起来像这样：

*) 事实上，很容易证明垂线 K 的底位于线段 BC 之外（如图所示），但这在我们的解决方案中没有使用。

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由三角形 ABD 的余弦定理
$$BD^2 = 4x_0^2 + 64 - 16x_0;$$
另一方面，三角不等式给出
$$BD < BC + CD = 6x_0 - 8,$$
在哪里
$$4x^2 + 64 - 16x < (6x - 8)^2, 2x^2 - 5x > 0,$$
考虑到$2 < x_0 < 8$，我们得到$x_0 > \frac{5}{2}$。根据这封信的作者的说法，距离 $AB + BC$ 的更准确值是：11.044 俄里。

有些读者误解了问题的条件，认为$\angle D = 90^\circ$，即三角形ADC是等边直角的。当然，这不是真的。

M18。 a) 证明对于正三角形ABC外接圆的任意点$M$，三段MA、MB、MC之一等于另外两段之和。
6) 当相等时，圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$成对地彼此接触，并且在它们周围描述一个圆$\gamma$，它接触所有三个：$\gamma_1, \gamma_2$和$\gamma_3$。证明对于圆$\gamma$的任意一点$M$，从点$M$到三个圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$之一所画的切线等于从点$M$到另外两个圆所画的切线之和。

解a) 令点$M$位于外接圆的圆弧$AB$上。让我们围绕点 $A$ 旋转三角形 AMB $60^\circ$，使其占据位置 AKC (图 3)。由于角度 MBA 和 MCA 相等（它们位于同一圆弧 AM 上），因此点 $K$ 位于线段 MC 上。由于 AM = AK 且 $\angle MAK = 60^\circ$（通过构造），三角形 AMK 是等边三角形，因此 MK = AM。所以，
$$MA + MB = MK + KC = MC.$$

另一个解是直接从托勒密定理得出的，根据该定理，在任何循环四边形中，对角线的乘积等于对边乘积之和：如果在等式$MC \times AB = MA \cdot BC + MB \cdot AC$中，我们将$BC$和$AC$替换为$AB$，我们得到$MC \times AB = (MA + MB) AB$，从而得到$MC = MA + MB$。

我们的读者已经解决了很多这个问题。来自彼尔姆的 A. Braverman、来自加里宁地区的 A. Veselov、来自安加尔斯克的 V. Metlitsky、来自阿克秋宾斯克的 N. Mirolyubova、来自埃夫列夫的 O. Khudaverdyan 甚至添加了几种解决方案。

6. 让我们证明一个更普遍的事实。设半径为$r$的三个圆的圆心为等边三角形$C_0C_1C_2$的顶点，$O$为围绕它的半径为$a$的外接圆的圆心。那么对于任意点$M$

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以 $O$ 为圆心、半径为 $R = a + r$ 的圆，从点 $M$ 到半径为 $r$ 的两个圆之一所画的切线等于从点 $M$ 到另外两个圆所画的切线之和。注意，对于$r = 0$，得到了问题a)的结果。

让半径$OM$与半径$OC_k$($k = 0, 1, 2$)形成角度$\alpha_k = \alpha_0 + k \cdot 120^\circ$(图4)；则$MC_k^2 = R^2 + a^2 - 2Ra \cos \alpha_k^*$），从$M$点到对应圆的切线的平方为$MC_k^2 - r^2 = R^2 + a^2 - 2Ra \cos \alpha_k - (R - a)^2 = 2Ra (1 - \cos \alpha_k)$。

因此，切线等于 $2\sqrt{Ra} \sin \frac{\alpha_k}{2} \left( \sin \frac{\alpha_k}{2} \geq 0, \text{ поскольку } 0 \leq \alpha_k < 2\pi \right)$。剩下的就是检查是否相等 $\sin \frac{\alpha_0}{2} + \sin \frac{\alpha_2}{2} = \sin \frac{\alpha_1}{2}$。这已经很简单了：$\sin \frac{\alpha_0}{2} + \sin \frac{\alpha_2}{2} = 2 \cos 60^\circ \cdot \sin \frac{\alpha_0 + \alpha_2}{4} = \sin \frac{\alpha_1}{2}$。

M. Preezer 使用解析几何提出了该问题的解决方案。 A. Braverman 给我们发了一个有趣的证明（使用托勒密定理），证明了问题 a) 的以下概括：令 $M$ 为围绕正则 ($2n + 1$) 边形 $A_1A_2A_3 \dots A_{2n}A_{2n+1}$ 外接圆的圆弧 $A_1A_{2n+1}$ 上的一点；然后

$$MA_1 + MA_3 + \dots + MA_{2n+1} = MA_2 + MA_4 + \dots + MA_{2n}.$$

（解决方案是写出四边形 $MA_1A_2A_3, MA_2A_3A_4, \dots, MA_{2n-1}A_{2n}A_{2n+1}, MA_{2n+1}A_{2n}A_1, MA_{2n+1}A_2A_1$ 的托勒密方程，将所有包含 $MA_{2k}$ 的项放在等式的左侧，将所有包含 $MA_{2k+1}$ 的项放在等式的右侧，然后将所有等式相加。）考虑如何使用三角函数来证明此陈述以及问题 6）的类似推广。

M19。在无尽的忠实细胞链中，每个细胞都可以处于两种状态之一：“休息”和“兴奋”。如果在给定时刻一个细胞被激发，那么它会发出一个信号，经过一个时间单位（例如一毫秒）后，该信号到达与其相邻的两个细胞。当且仅当每个细胞接收到来自其相邻细胞之一的信号时，每个细胞才会兴奋；如果信号同时从两侧到达，那么它们就会熄灭，并且细胞不会激发。

在初始时间$t = 0$只让一个细胞兴奋。 15个月后有多少细胞会处于兴奋状态？ 65个月内？ 1000个月后？ $t$ 个月内？

如果链不是无限的，而是仅包含 $N$ 个连接成圆圈的单元，会发生什么 - 激励会长期保持无限还是会消失？

解决方案。追踪单个细胞的激发如何传播超过十到十五个时钟周期 (图 5) 就足以注意到以下模式。

1. 在时间$t = 2^k$，即$k = 0, 1, 2, \dots$，只有两个细胞被激发：$x = -2^k$和$x = 2^k$。

2. 在时间$t = 2^k - 1$，从$x = -2^k + 1$到$x = 2^k - 1$的$2^k$细胞被激发，其中$x$为奇数。

3. 让$0 \leq t < 2^k$。那么在时间 $2^k + t$ 时，兴奋的细胞数量是时间 $t$ 时的两倍。

为了证明这些规律性（通过$k$归纳），我们可以利用以下事实：在时间$2^k$活跃的两个细胞中的每一个产生的“激发波”直到时间$t = 2^{k+1} - 1$才重叠，因此它们中的每一个的结构都与来自一个细胞在$t < 2^k$时的激发波完全相同。

*) $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$，因此该公式对于$\alpha > \pi$也有效。

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图 5.

现在很容易回答问题中提出的问题了。 15个月后，从图可以看出，将有16个可能的细胞。 64 = 2⁶ 之后将有两个，因此 65 之后将有四个。对于任意特定的 t，我们可以通过连续多次应用属性 3 来计算 f(t)——t 时刻可能的单元格数量：每次我们都可以从 t 中减去最大可能的 2 的幂；这将使 f(t) 减少一半。例如：

$$1000 - 2^9 = 1000 - 512 = 488, \quad f(1000) = 488 - 2^8 = 488 - 256 = 232, \quad = 2f(488) = 232 - 2^7 = 232 - 128 = 104, \quad = 4f(232) = 104 - 2^6 = 104 - 64 = 40, \quad = 8f(104) = 40 - 2^5 = 40 - 32 = 8, \quad = 16f(40) = 8 - 2^3 = 8 - 8 = 0, \quad = 32f(8) = 64.$$

f(t) 等于 2ⁿ，其中 m 是根据双数系统的数字 t 表示法中的单位数。

这个规则很容易通过归纳证明，对于第一个 t 你可以检查它 - 在右边的 图 5 上你可以看到数字 t 的双重展开。

也许，该杂志的读者还记得 D.B. 的这篇文章。福克斯和 M.B. Fuchs“生物系数的算术**”，提请注意这样一个事实：图 5 上可能的单元位置与帕斯卡三角形模 2 中的单位位置完全一致（封面上的图像«Kvant» 6 号）。这样，我们同时解决了以下问题：帕斯卡三角形模 2 的第 t 行有多少个单位，即生物系数 Cᵢᵢ (k = 0, 1,…, t) 的环境中有多少个是奇数？

任务条件中提出的第二个问题的答案——如果N个单元格排列成一个圆圈，会发生什么？ - 当然，不仅取决于 N，还取决于

***）（参见 I. M. Yaglom 的文章“数字系统”（«Kvant» No. 6）或 S. V. Fomin 的同名小册子。
***) («Kvant» № 6.

生命没有被拉伸，势能在最大拉伸到来的那一刻到来：除了重力和拉力之外，支架的反作用力也作用在身体上。这个力所做的功显然不为零。这是在身体离开看台后，我们可以假设身体的总能量和到达量不会改变。

让我们写下负载离开支架时来自负载的能量的表达式。此时负载的速度为$V = at$
$$a \sqrt{\frac{M(g-a)}{k \cdot a}}.$$

动能$\frac{MV^2}{2} = \frac{M^2(g-a)a}{k}$和势能$Mg(x_0-x) = Mgx_0 - \frac{M^2(g-a)g}{k}$（当拉伸最大值到达时，我们认为负载的势能为零）。

由于此时到达点被拉伸到$x = \frac{M(g-a)}{k}$的长度，因此到达点的潜在变形能等于$\frac{kx^2}{2} = \frac{M^2(g-a)^2}{2k}$。

将身体和到达的能量相加，我们发现它们的总能量等于
$$W_1 = \frac{M^2(g-a)a}{k} + Mgx_0 - \frac{M^2(g-a)g}{k} + \frac{M^2(g-a)^2}{2k} = Mgx_0 - \frac{M^2(g-a)^2}{2k}.$$

当达到最大拉伸时，负载的速度及其动能为零。因此，负载和到达的能量将等于$W_2 = \frac{kx_0^2}{2}$。

记下$W_1 = W_2$，我们得到方程
$$\frac{kx_0^2}{2} - Mgx_0 + \frac{M^2(g-a)^2}{2k} = 0.$$

求解，我们发现
$$x_0 = \frac{Mg}{k} \pm \frac{M\sqrt{a(2g-a)}}{k}.$$

最大拉伸必须大于身体平衡时的拉伸，当作用在身体上的重力$Mg$与拉力$T = kx_1$平衡时：当身体经过平衡位置时，会有一定的速度，所以肯定会计算出来。因此，由于$x_1 = \frac{Mg}{k}$和$x_0 > x_1$，则
$$x_0 = \frac{Mg}{k} + \frac{M\sqrt{a(2g-a)}}{k}.$$

$x_0$的第二个含义有物理意义吗？是的，但当身体摆动时，它不会给出最大的拉伸增益，而是给出最小的拉伸增益。如果我们认为当拉伸达到 $x_0$ 时，物体的势能等于 0，那么当拉伸达到最小时，根据能量守恒定律，我们将得到与最大拉伸相同的方程。

确定身体振动的幅度并不困难。它等于$x_0$方程根的值，即
$$\frac{2M\sqrt{a(2g-a)}}{k}.$$

如果$a \geq g$，则一旦支架开始移动，主体就会脱离支架。写下能量守恒定律后，我们发现在这种情况下到达的最大拉伸等于 $\frac{2Mg}{k}$

该问题的正确解决方案是由鄂木斯克的 N. Fedin 发送的。

42

图 8.

F25。如果光电池阳极的电势高于阴极电势，则电流$I_0=10\text{ ma}$（所谓的）流过光电池。否则，没有电流流过光电管。忽略电池的内阻，求图 8 所示电路中光电管两端的电压（图 中以千为单位表示电阻值）。

解决了并且e。我们首先考虑第一种方案。我们假设没有电流流过光电管。在这种情况下，电流 $I = \frac{200\theta}{1\text{ кОм} + 2\text{ кОм}} = \frac{1}{15}a$ 将流过 1 和 2 千卢姆的电阻。在这种情况下，2公里电阻上的电压降等于$2 \cdot 10^3\text{ ом} \cdot \frac{1}{15}a \approx 133\theta$。这意味着在这种情况下，光电池阴极电势为 $200\theta - 133\theta = +67\theta$。但阳极电位为$+100\theta$，即高于阴极电位。我们遇到了矛盾，因为在这种情况下电流必须流过光电管。这意味着电流$I_0 = 10\text{ ma}$流过光电管。让我们找出阳极和阴极之间的电势差。阳极的电势为$+100\theta$（我们假设$P$点的电势为零）。因此，我们需要找到阴极电势。为此，您需要确定 1 公里电阻上的电压降。

假设流过电阻的电流沿图上箭头所示的方向流动，并将它们表示为$I_1$和$I_2$，我们可以写成$I_0 + I_2 = I_1$。

为了找到$I_1$和$I_2$，我们需要创建另一个方程。让我们讨论一下由电阻和 e 源组成的电路。 d.s. 200$\theta$。由于在电场中转移电荷的功等于电势差乘以电荷的大小，我们可以写成

$$E - u_1 - u_2 = 0$$

或者

$$E = I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot R_2.$$

联立方程(1)和(2)，可得$I_1 \approx 73\text{ ma}$。这意味着阴极电势为$I_1R_1 = 73\theta$，阳极和阴极之间的电势差为27$\theta$。

我们以同样的方式来看第二个方案。如果我们像第一种情况一样，

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假设没有电流流过光电管，那么我们可以假设有两条链，其中一条由串联的 1 和 3 kΩ 电阻组成，第二条由 2 kΩ 和 4 kΩ 电阻组成，两条链并联并连接到具有电动势的源。和。 100$\beta$。那么，电流$I = \frac{100\beta}{4 \cdot 10^3 \text{ ом}} = 2,5 \cdot 10^{-2} a = 25 \text{ мa}$将流过1和3千卢姆的电阻，1公里电阻上的电压降将等于25$\beta$。这意味着阳极电势为$\varphi_A = 100\beta - 25\beta = 75\beta$。同样，您可以找到阴极电势。在这种情况下，它等于 $33\frac{1}{3} \beta$。事实证明，阳极电位高于阴极电位，电流必须流过光电管。

我们假设电流从上到下流过所有电阻，并从左到右流过光电管。然后我们可以写出以下等式：

$$I_4 + I_0 = I_2,$$
$$I_1 - I_0 = I_3,$$
$$I_1R_1 + U_0 - I_4R_4 = 0,$$
$$E = I_1R_1 + I_3R_3,$$
$$E = I_2R_2 + I_4R_4.$$

这里$U_0$是光电管上的电压降。

就像前面的方案一样，该系统中的前两个方程表达了电荷守恒定律。事实上，例如，在4kohm和2kohm的电阻与光电池的连接点处，每单位时间有电荷$I_0 + I_4$流入，并且$I_2$流出。

求解这个系统，我们得到$U_0 \approx 20,8\beta$。

F26。两个水平半平面的高度为$h$，彼此平滑地相互变换，如图 9 所示。沿与下降方向成$\alpha$ 角度的上半平面，一个小块以$v$ 的速度移动。它如何沿着下半平面移动？

假设该物块没有被破坏，即它移动时没有离开下降表面。我们来索赔吧。

图 9.

解决方案。让我们将木块的速度分解为两个分量：下坡方向的 $v_2 = v \cos \alpha$ 和垂直方向的 $v_1 = v \sin \alpha$ (图 10)。由于没有外力沿方向 $v_1$ 作用在块上，因此块速度的该分量不会改变。分量$v_2$增加。因此，酒吧的速度也会增加。

我们来求一下木块到达下半平面后的速度$u$是多少

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骨头。为此，我们可以使用能量守恒定律
$$\frac{mv^2}{2} + mgh = \frac{mu^2}{2}.$$
因此$u = \sqrt{v^2 + 2gh}$。

现在您可以找到块在底部移动的角度
半平面：
$$\sin \beta = \frac{v_1^2}{u} = \frac{v}{\sqrt{v^2 + 2gh}} \sin \alpha.$$
该解决方案由来自 GSSR 加格拉的 9 年级学生 G. Zaitsev 发送。

F27。紧紧地趴在桌子上的半球形钟，是从这个洞里倒出来的。
在水的顶部图 11. 当水到达洞口时，钟升起并开始流出。如果钟的半径为$R$，水的密度为$\rho$，求钟的质量。

解决了并且e。桌子上的压力等于钟和水的重力之和：$F = Mg + \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$。但在水来的那一刻
提起钟并开始漏水，钟本身并没有压在桌子上。因此，桌子上的压力等于水压乘以面积
船的底座。桌子上的水压在所有点上都是相同的
等于$\rho g R$，所以$F = \rho g R \cdot \pi R^2$。

这意味着$\pi R^3 \rho g = Mg + \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$。因此$M = \frac{1}{3} \pi R^3 \rho$。

高尔基的阿纳托利·沃洛夫扬斯基（Anatoly Vorovlyansky）提出了一个有趣的解决方案想法。

假设钟被放置在一个具有半径和高度的圆柱形容器中。让我们将这个容器装满水，并假设钟的质量可以忽略不计。
不难报告，由于钟设备上的压力和来自内部的所有点
彼此相等（这是根据帕斯卡定律以及钟非常薄的条件得出的），
如果钟声有的话，那么水的平衡就不会被扰乱。桌子上的水压
在这种情况下，它也不会改变。但这意味着我们放入圆柱形容器中的水压作用力与钟的作用方式相同，这意味着钟的质量恰好等于添加的水的质量

$$M = (V \text{ цилиндра} - V \text{ полушара}) \rho = \left( R \pi R^2 - \frac{2}{3} \pi R^3 \right) \rho = \frac{1}{3} \pi R^3 \rho.$$

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再次关于方程
带参数

您已经遇到过多次包含一个参数的方程和不等式。如果有多个参数怎么办？很自然地预期需要考虑的可能案件数量将会增加。任何可能的选择都不应被错过。如何做到这一点？没有一种方法适用于任何带有参数的方程和不等式。在本文中，我们将通过示例展示如何求解具有两个参数的方程。

具有两个参数 $a, b$ 的 $x$ 方程的一般形式为：

$$F(x; a; b) = 0.$$

(1)

对于给定函数 $F$，方程 (1) 实际上是一个无限方程组，每个方程都由一对有序数字 $(a; b)$ 确定。

众所周知，这样的有序对可以解释为坐标平面上的点。这使得对于给定函数 $F$ 的形式 (1) 方程与平面上的点之间建立一一对应成为可能。

为此，我们引入坐标系 $aOb$ 并同意如何将 (1) 形式的方程分配给平面 $aOb$ 上坐标为 $(a; b)$ 的点，反之亦然。让我们把这个平面变成参数平面。这种对应关系有点不寻常（方程对应于一个点），但它将帮助我们在每种特定情况下找到一组允许的参数值，并且不会错过任何一个情况：形式（1）的方程对应于参数平面的哪个点，并且必须对应某个答案。

示例 1：求解方程

$$\frac{2a + b}{a + x} - \frac{2a - b}{a - x} = \frac{2a}{b}$$

(2)

解决方案。让我们立即注意到，对于$b = 0$方程（2）没有意义，也就是说，对于任何$(a; 0)$形式的数字，其中$a$是任何实数，都没有解（图1上的红线）。

让$b \neq 0$。让我们找到 ODZ：$x \neq \pm a$，去掉分母并引入类似的项。我们得到

$$a(x^2 - 2bx + b^2 - a^2) = 0.$$

(3)

如果$a = 0$，则方程（3）对于$x$的任何值都有其解。其中，对于等式（2），禁止取值$x = \pm a$，即$x = 0$。

因此，对于任何 $(0; b)$ 形式的数字，其中 $b \neq 0$，方程 (2) 都有除 0（绿线）之外的任何数字的解。现在让$a \neq 0$。求解方程$x^2 - 2bx + b^2 - a^2 = 0$，我们得到$x_1 = b + a$，$x_2 = b - a$。

*) 在形式 (1) 中，该方程为： $$\frac{2a + b}{a + x} - \frac{2a - b}{a - x} - \frac{2a}{b} = 0.$$

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我们是否可以假设对于任何不同于零的$a, b$，找到的值$x_1$和$x_2$是方程（2）的根？不，或者对于某些参数值$x_1$或$x_2$可能会与禁止值$\pm a$一致。

因此，仍然需要找出何时$x_1 = \pm a$或$x_2 = \pm a$。如果$x_1 = a$或$x_2 = -a$则$b = 0$，但我们正在考虑$b \neq 0$的情况。所以，$x_1 \neq a$，$x_2 \neq -a$。

让$x_1 = -a$，即$b + a = -a$，由此而来$b = -2a$。但随后$x_2 = -3a$。因此，如果参数$a$和$b$使得$b = -2a$，则方程(2)有一个单根$x = -3a$（图1处的蓝线）。设$x_2 = a$，即$b - a = a$。这可以通过 $b = 2a$ 实现。

但随后$x_1 = 3a$。因此，如果参数$a$和$b$使得$b = 2a$，则方程（2）有一个单根$x = 3a$（黄线）。

总而言之，我们得到以下答案：

若$b = 0$、$a$为任意实数，则无解；
如果$b \neq 0$，$a = 0$，则$x$是除零之外的任意实数；
如果$b = -2a$，$b \neq 0$，则$x = -3a$；
如果$b = 2a$，$b \neq 0$，则$x = 3a$；
如果$a, b \neq 0$，$b \neq \pm 2a$，则$x_1 = b + a$，$x_2 = b - a$。

示例 2*)。解方程

$$\sqrt{a^2 - x} + \sqrt{b^2 - x} = a + b.$$

(4)

解决方案。 ODZ 由不等式系统确定

$$x \leq a^2, \quad x \leq b^2, \quad \text{или } x \leq \min\{a^2; b^2\}.$$

方程(4)左边是非负的，因此对于$a + b < 0$，该方程无解。在 图 2 上，这一点的标志是直线 $b = -a$ 下的结果呈粉红色。

现在让我们考虑$a + b \geq 0$的情况。经过估计变换后我们得到

$$x(a + b)^2 = 0$$

(5)

让我们考虑两种情况：

我的情况是：$a + b > 0$。然后$x = 0$。在这种情况下，条件$x \leq a^2$和$x \leq b^2$自动满足，而条件$x \geq -ab$则不能这样说。如果$ab > 0$，那么这个条件就非常满足了。如果$ab < 0$，则$-ab > 0$和$x = 0 < -ab$。因此，在 II 区和 III 区的 图 2 处（其中 $a + b > 0$，但 $ab < 0$）没有解。所以 $x = 0$ 是根

*) 这个例子取自 N.P. 的书。安东诺夫等人。 “初等数学问题集”（莫斯科，“Nauka”，1969），其中解决错误。