科普物理和数学
量子
2
1971
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

在房间里：

S. I. Vavilov 1 V. A. Fabrikin 的悖论
两场比赛 4 I. M. Yael
关于温度11M的对话。Ya。阿布泽尔

数学圈

两个正数的不同平均值的比较 20 Z. A. Skopet

问题“昆塔”

问题 24
M21—M25题的解答； F29—F34 26
N.B.瓦西里耶夫，I.Sh。斯洛博德希

申请人工作坊

两打进展问题 37 A. G. Mordkovich
运动和通信 44 S.A. Bellev
其他国家大学数学入学考试 47 V. V. Ryzhkov

评论。参考书目

火箭飞行 52 余。 M·布鲁克

信息

第十二届国际小学生数学奥林匹克竞赛 54 I. S. Petrakov
第四届国际小学生物理奥林匹克竞赛 56 于． M.布鲁克，N.A.米尼

答案、指示、解决方案 60

填字游戏 - 封面第四页

2

S.I.瓦维洛夫的悖论

在几何光学中，具有有限横截面的平行光束的概念经常被有效地使用。而且，即使在积分这样的波动现象的理论中，在很多情况下也允许使用这个概念。

在很多情况下，但不是全部。苏联著名物理学家S.I.瓦维洛夫在《光的微观结构》一书中分析了一个非常有启发性的光学悖论。

让我们简单回忆一下积分图的能量是什么样子的。我们知道，积分就是振荡的相加。在我们的例子中，电场和磁场的方向在波浪中波动。每个时刻空间中每个点的这些方向决定了电磁场的能量。电磁波传递能量，可以引入能通量密度的概念。这就是我们所说的等于每单位时间流过单位表面的场能的量。

每个波还具有一个阶段的特征。如果在添加两束光束时，它们的相位差始终保持相同，我们就说我们正在处理正确的光束。

在积分图中，由于两束正确光束相加，发生了光能的重新分配。光条纹中的能量大于折叠光束的能量之和；相反，深色条纹则较少。亮条纹中的多余能量正好被暗条纹中的能量不足所补偿。分布在整个积分图像上的总能量恰好等于两个积分光束的能量之和。

图1 显示积分图中的能通量密度与观察屏幕上的位移的相关性。该图片是通过将两束正确的能量相等的光束相加而获得的。地平线-

图 1.
1 量子 2 号

2

图 2.

高虚线描绘了添加点处的能量通量密度之和。位于该直线上方的曲线部分对应于光干涉条纹，位于虚线下方的曲线部分对应于暗干涉条纹。分布在干扰卡烯中的总能量由曲线下的平面表示。该面积正好等于虚线下方的面积。严格的自然会计师的要求——能量守恒定律——得到了严格的满足。

现在让我们继续讨论 S.I.瓦维洛夫的悖论。想象两个完全相同的、正确的、宽度为 $a$ 的、锐利有限的光点，以小角度 $\alpha$ 相交。在$ABCD$区域将发生干扰(图2)。

要观察干涉图案，可以安装垂直于绘图平面的屏幕，穿过点$A$和$C$。干涉图案将由从点 $A$ 到点 $C$ (图 3) 填充屏幕的直线明暗交替条纹组成。

干涉卡顿中的能流密度分布对应于图1上的图形。如果公共光束具有相同的光振荡初始相位，则第一光束和第二光束在直线$BD$上的点处的光波相位差将等于0。因此它对应于中央光带的中间。在相邻暗条纹的中间，相位差应等于$π$，换句话说，公共光束中的光振动应是反相的。相位差$\Delta φ$等于两个波到达给定位置的路径差$\Delta L$除以波长并乘以$2π$：

$$\Delta φ = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda}.$$ (1)

波穿过的光束长度增加$\lambda$对应于$2π$的相位延迟。由式(1)可知，在最靠近干扰卡顿中心的暗条纹中间，$\Delta L$应等于$\frac{\lambda}{2}$。

我们来计算点 $A$ 处的路径差。平行光束可以被认为是垂直于光线方向的平面波流。

让我们通过点 $D$ (图 2) 绘制第一束波面（等相位面）。点 $D$ 和 $A'$ 位于该波面上。

束到达点 $D$ 的路径是相同的。为了到达点$A$，穿过点$D$的第一束光束的波面必须

3

移动到线段$A'A$，并且之前也穿过点$D$的第二束波面必须移动到线段$DA$。结果就会产生行程差异

$$\Delta L = DA - AA' = a \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\tg \alpha} \right) = \frac{2a \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}.$$

(2)

很明显，相同的路径差，但符号相反，将位于点$C$。现在让我们开始减小角度 $\alpha$。如果$\alpha$足够小，我们可以使$\Delta L$等于$\frac{\lambda}{4}$。然后所有$AC$区域将充满一条明亮的干涉条纹。因此，能量将超过两个相交光束的能量之和。深色条纹的形成不会造成任何补偿，因为它们完全不存在！

可以说，通过强制初始相位差等于 $\pi$ 的光束相交，也可能获得负结果。那么$AC$区域将充满暗干涉条纹。在第一种情况下，不清楚额外的能量来自哪里，在第二种情况下，不清楚能量在哪里消失。

这两种情况都明显违背了能量守恒定律。显然，我们的推理存在一些缺陷，导致了自然基本定律之一的存在。为了理解这里发生了什么，让我们写下所示情况的公式（2），当$\Delta L = \frac{\lambda}{4}$时，并使用角度$\alpha$的小值（对于小$\alpha$，使用$\sin \alpha \approx \alpha$）。下面我们将证明角度$\alpha$确实很小。然后我们得到

$$\frac{\lambda}{4} = \frac{2a \left( \frac{\alpha}{2} \right)^2}{\alpha} = \frac{a\alpha}{2},$$

(3)

或者

$$\alpha = 0,5 \frac{\lambda}{a}.$$

(4)

我们取$a=1$厘米，$\lambda=5 \cdot 10^{-5}$厘米，然后$\alpha=2,5 \times 10^{-5}$弧度。从（4）我们看到，当光束之间的角度达到光束横截面的相对波长的量级时，能量守恒定律就会出现问题。

悖论的解决方案在于这样一个事实：在如此小的角度下，不再可能使用有限横截面的平行光束的可理解的理想。

任何实施此类捆绑的尝试都将失败。通过限制光束的尺寸，衍射现象必然导致其转变为发散光束。光束发散角由式(4)精确确定。在这种情况下，自然地，可以仅通过相交光束的发散角的量级的精度来确定光束相交的角度。

如果衍射还没有被发现，那么根据能量守恒定律和式（4），我们不仅应该同意它的存在，而且应该指出支配衍射角大小的基本规律。这是物理学中的守恒定律如何始终充当可靠的指导星的一个很好的例子。

当然，就光束而言，我们永远不会与能量守恒定律相矛盾。在此类干涉实验中，应始终将其简化为能量流的空间重新分布。

然而，在干扰实验中，会出现更微妙的能量悖论，但正如他们所说，那是另一回事了。

4

两场比赛

I.M.亚格洛姆

在这篇文章中我们向您介绍游戏“他”
和“Izyanshizians”。 “nim”和“izianshiz”都是中国民间游戏； “Izyanshiztsy”翻译过来的意思是“选择棋子”（当然，在游戏中用火柴代替棋子并不会改变其本质）。随后，这些游戏渗透到欧洲；一度，“nim”游戏在西欧流行。

5

这是这个游戏的规则。

游戏“他”
桌子上有三堆火柴。两个查拉亚齐轮流从这些堆中取出火柴，并且一次查拉亚齐可以从一堆（必须只能从一堆！）中取出任意数量的火柴。我们将忍受并引用最后一个收回的人。

游戏“Izyanshiztsy”
桌子上有两堆火柴。两个查拉亚齐轮流从这些堆中取出火柴，并且一次查拉亚齐可以从一堆中取出任意数量的火柴，或者从两堆中取出相同数量（但任意数量！）的火柴。我们将忍受并引用最后一个收回的人。

任务是确定初学者在哪些初始位置（即每堆比赛的数量）可以获胜，哪些不能获胜，并指出正确（双赢）获胜的方法。

对于实际玩家来说，在黑板上玩它或izyanshiztsy 非常方便 - 无需任何比赛，但手上有粉笔和三脚架。在棋盘上，您可以绘制三行以棋盘右边缘结束的字段，以及三个棋子 - 每行字段中一个（图1）。轮到的每个玩家都会摧毁一个棋子，并将其“重播”到右侧任意数量的区域（这里我们谈论的是与他一起玩）；胜利者是迈出最后一步的人。您可以用同样的方式玩 Izyanshizi - 只是现在游戏板包含两行

图 1.

图 2.

7

不幸的是，这里也没有制定该表的具体法律。

表一和表二是否可以写成不同的形式？

我们无法理解表一和表二是如何编制的，在第一种情况下由表冠形成，在第二种情况下由两行数字形成。现在让我们思考一下我们遭遇失败的可能原因。

我们已经说过，表一和表二是数值表；它们由一系列数字组成。当然，我们用通常接受的十进制数字系统，以通常的方式写下了这些表中出现的数字；例如，构成表 II 最后一列的数字 24 和 39 将为：“2 个十和 4 个单位”和“3 个十和 9 个单位”。然而，十进制数字系统本身，其起源与一个人手上有 10 个手指的随机情况有关，与我们正在考虑的游戏没有任何关系；因此，尝试以不同的方式编写表格似乎是一种简化。

本文的进一步内容与《数字系统》一文（«Kvant»第6期）有关。我们需要本文中的以下内容。

有许多使用少量符号（数字）书写正数的系统。位置数字系统（更准确地说，用于书写数字的位置系统）的构造如下。指定了某个基础或关键数字系统，它表示无限可能的整数序列：

$$1 = q_0 < q_1 < q_2 < q_3 \dots$$

之后，每个数字 $N$ 都表示为我们的基数的总和，并采用某些整数系数：

$$N = a_m q_m + a_{m-1} q_{m-1} + \dots + a_2 q_2 + a_1 q_1 + a_0 q_0;$$

这个表达式是这样写的：

$$N = a_m a_{m-1} \dots a_2 a_1 a_0,$$

其中$a_m, a_{m-1}, \dots$是数字$N$的“数字”。

例如，如果基数系统是：

$$1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots$$

那么数字27写成如下：

$$27 = 1 \cdot 23 + 0 \cdot 19 + 0 \cdot 17 + 0 \cdot 13 + 0 \cdot 11 + 0 \cdot 7 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = \text{«1000000101»}.$$

在这种情况下，以 (*) 为基数的数系中任何数字 $N$ 表示法中的第 $k$ 位 $a_k$ 始终小于相对的 $q_k + 1/q_k$。

如果数系的基础具有以下形式：

$$1 = q^0, q = q^1, q^2, q^3, q^4, \dots,$$

其中$q$是某个整数，则该数系称为“q位”，其中所有数字都由数$q$的幂之和表示，并且数$N$的表示法中的所有数字都小于$q$（在普遍接受的十进制数系中小于10）。

8

所有书写整数的系统中最简单的是双数系统，其中所有数字都由 2 的幂和表示。如果我们使用这个数系统，那么我们的表 I 和表 II 将采用完全不同的形式（双数系统中的数字将用红色数字书写）：

表Ia

| №№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| a | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 10 | 0 | 11 | 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| b | 1 | 10 | 10 | 11 | 100 | 100 | 101 | 100 | 110 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1000 |
| c | 1 | 10 | 11 | 11 | 100 | 101 | 101 | 110 | 110 | 111 | 111 | 111 | 111 | 1000 | 1001 |

表IIa

| №№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| a | 1 | 11 | 100 | 110 | 1000 | 1001 | 1011 | 1011 |
| b | 10 | 101 | 111 | 1010 | 1101 | 1111 | 1111 | 1010 |

| №№ | 110 | 1000 | 10001 | 10011 | 10101 | 1101 | 1111 | 10101 | 1010 | 1010 | 1010 | 1010 | 1010 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 1110 | 10000 | 10001 | 10011 | 10101 | 1101 | 1111 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 |

**仔细研究表Ia，我们可以在其中看到该模式的完整定义：是的，当然，cerem“nim”中的析取位置（a，b，c）是.me位置，意味着数字a，b，c cemena的双重表示法中的数字之前的数字之和（即等于0或2）！然而，表IIa结果更加阴险：它并不比表II好，并且不能从中辨别出失败对(a，b)的组成的明确模式。

但为什么双数制应该成为寻找千石双赢体系的关键呢？确实，我们看到这个系统似乎有助于发展 nim 游戏的理论：但是千世子是一个完全不同的游戏，打开一扇门的钥匙根本不需要适合另一扇门。是否有可能以不同的方式重写表II：也许是不同的记录图像的系统

这个数字系统是否更能说明其结构？

仔细研究表 II，我们可以注意到其中经常出现斐波那契数列，例如表的第 1、2、5 和 13 列 *)。反过来，这可能会让我们思考尝试在“斐波那契数字系统”中编写表二是否明智，其中所有数字都由斐波那契数列中的数字之和表示（我们将用蓝色数字书写该数字系统中的数字）。例如，斐波那契数列中的数字 100

*) 斐波那契数列是以 1 和 2 开始的数字序列，然后根据以下规律构建：斐波那契数列中的哪个数字等于前两个数字之和。它的第一项是： 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … N. N. Vorobyov 的一本很好的小册子“斐波那契数”（M.，“Hayka”，第 3 版，1969 年）专门介绍了斐波那契数。

10

对于仪式中的上述条件a)和6))，“it”是.me，而不是位置(a,b,c)，对于水泥的所有数字，其与双数系统中数字a、b、c记录中的一位数字对应的所有数字之和。

定理二。仪式中的程序“izanyitsy”是.me，而不是位置（a，b），其中a，以斐波那契数系书写，以整数个零结尾，而数字b是从数字a获得的，我们在末尾再添加一个零。

然后呃。从定理 I 和 II 可以看出，“nim”和“izanyitsy”这两种游戏在某种意义上都对初学者有利：按位置划分，初学者有不少输家（见表 I 和 II），也就是说，它们比所有其他（初学者获胜）位置要少得多。

这些定理的证明构成了下面练习的内容。第 60 页给出了这些问题的答案（但是，请尝试自己找到解决方案）。我们建议您首先处理练习 1-4，因为练习 5-7 更加困难。

练习

1. 证明如果“他”在游戏中的位置（a，b，c）不是败局，即不满足定理一的表述所规定的条件，那么玩家可以通过自己的走法使其成为败局。

2. 证明如果“nim”博弈中的位置（a，b，c）不是败局，即不满足定理一的表述所规定的条件，那么玩家可以通过一步操作将其变为败局。

3. 如果火柴堆的数量是任何预定的数字 n ≥ 2，则在游戏“nim”中指示正确的游戏（我们让正确游戏的其余部分保持不变）。 n = 2 的情况下双赢博弈的证据是什么？

4. 描述游戏“nim”中的失败位置 (a, b, c)，将数字 a、b、c 写成四进制而不是双进制（也就是说，以 a = aₙaₙ₋₁…a2a₁a₀ = aₙ4ⁿ + aₙ₋₁4ⁿ⁻1 + … + a24² 的形式表示数字 a） + a₁4 + a₀；这里 0 ≤ aᵢ ≤ 3 对于所有 i = n, n − 1,…, 2, 1, 0 *))

5. 证明对于任意正整数p，赔率博弈中存在且仅有一个失败位置（a，b）（即满足定理二条件的位置），使得b − a = p。检查表 II 中列出的前 15 个亏损头寸。

6. 证明如果“Izyanytsy”游戏中的位置 (b, a) 不满足定理 II 的条件，则自己走棋的玩家要么立即获胜，要么导致该位置失败。

7. 证明如果“Izyanytsy”游戏中的位置 (a, b) 正在失败，那么在玩家进行任何移动之后，情况将不再如此。

8. 如果堆数为奇数，请在“Izyanytsy”仪式中指出正确的游戏（玩家每次移动都有权从每一堆中取出任意数量的火柴，或者同等地 - 也可以是任意数量！ - 从所有堆中取出火柴）。

问题。如果桩数为四，请指出“Izyanytsy”仪式中的正确游戏。

我想警告读者，作者不知道所提出问题的解决方案。

*) 数字上方的行表示这是一个以数字 aₙaₙ₋₁…a2a₁a₀ 书写的数字，而不是数字的乘积。

关于温度的对话

M.雅。阿兹贝尔

科普文章永远是作者和读者之间的一种游戏，作者相信他的话（因此欲望的可能性并不罕见），但他没有权利写得难以理解并引起无聊。否则，作者就会输：这篇文章不会被阅读，因此，白写了。

一篇普遍流行的文章看起来就像一篇长篇独白。但古希腊人已经明白科学对话要有趣得多。既然这并不违反游戏规则，那我们就以他们为例吧。因此，读者将有机会首先尝试找到所提出问题的答案，每个问题都是一项物理任务，有时甚至是一个完整的问题。

那么帷幕升起——我们开始了。

作者
温度，拜托，是一个人一生中遇到的第一个可以理解的量。一个五岁的孩子还不知道如何数数，但他已经说：“我很健康，我有 36.6”，甚至没有理解口头单词的含义（对于小数，你需要将大小加倍）。这意味着我们正在讨论最重要的物理概念之一。纵观其历史，人类一直在试图理解那些甚至在童年时期就令我们惊奇的事物：空间、时间……概念灌输得越多，提出的问题就越简单，通常也就越深刻，也就越难回答。然而，越是问它就越困难——它显得那么突出。因此，在一部侦探小说中，侦探们惊慌失措，寻找眼前的事物。

读者
愿上帝与他同在，与侦探同在，与哲学推理同在。不能说得具体一点吗？

作者
请。这是一个问题，对这个问题的一致澄清最终使我们得到了广义相对论的基本概念。

所有测量温度的方法都是基于温度的表达，即较热的物体被冷却，较冷的物体被加热。不是吗？

读者
当然。

作者
为什么会发生这种情况？为什么热量总是从温度较高的物体转移到温度较低的物体？

读者
并非总是如此！例如，即使附近没有较冷的物体，冰箱也会冷却。这里的热量被传递到更温暖的物体——周围的空气和房间里的一切。

作者
你比我的推理过程领先，提出了一个非常重要的观点。事实上，如果有必要且费力，您可以用冷的身体加热热的身体。难怪冰箱会自动打开。但在不与任何其他物体相互作用的系统中（物理学家称这种系统为封闭系统），温度总是均衡的，

12

身体由热转寒。在所有没有发生这种情况的情况下，您都可以找到系统“开放”的位置。因此，就冰箱而言，其冷却是由于从发电厂或最终从冷却的太阳接收到的能量而发生的。

读者
在我看来，你所说的一切都是绝对清楚的。

作者
我已经警告过：最深的源头——每一个都很大程度上是由从发电厂接收的能量驱动的，或者最终是从冷却的太阳接收的能量。

读者
在我看来，你所说的一切绝对非常重要 - 每个人都受到从发电厂或最终从冷却的太阳获得的能量的驱动。

通常，当实验结果与理论相矛盾时，必须纠正该理论。如果实验与热力学第二定律相矛盾，或者实验有错误。并且始终遵循所谓的“热力学第二定律”（“第一定律”是能量守恒定律），或者说“能量递增定律”。

通常，当实验结果与理论相矛盾时，必须纠正该理论。并且始终遵循所谓的“热力学第二定律”（“第一定律”是能量守恒定律），或者说“能量递增定律”。

热力学第二定律指出：“在封闭的过程系统中，温度是均衡的。”换句话说，热量从热体传递到冷体。第一个是制冷，第二个是制热。

为了以更热的身体来响应能量，必须付出努力。这不仅意味着从“无”开始运转的“第一城永动机”是不可能的，而且也意味着热力学第一定律——能量守恒定律的问题。这也是不可能的，也不矛盾这个“第二城市永动机”的定律，我们通过热力学第二定律很快形成了它，做功，冷却工作，冷却海洋、海洋、材料。它们的热能储备实际上取之不尽、用之不竭，但遗憾的是却难以获取。自己的进程有什么可以二次开始的！

因此，在封闭的过程系统中，温度是均衡的。

当温暖的东部气温相同时，这个过程结束。然后就会出现平衡状态，但不是机械平衡，而是热力学平衡。

但这立即引出了关于“宇宙的泰利安死亡”的结论，这个结论属于德国科学家克劳西斯。迟早，所有的恒星都会冷却下来，世界各地都会建立相同的温度，任何过程都将变得不可能——世界将变成一个没有生命、空虚的地方。在广义相对论出现之前，所有试图理解为什么在宇宙存在期间这种情况不会发生的尝试都是免费的！

读者
但根据相对温度理论，难道不是均衡的吗？

作者
不，答案并不那么简单。但为了理解广义相对论如何处理热寂，我们需要谈谈该理论的基本概念。

读者
而你现在说，这是一个小学生无法接触到的……

作者
相反，我确信它是可以访问的。我相信，物理或数学思想越深入，就越容易在不使用任何特殊知识的情况下表达它。

读者
那么请告诉我们广义相对论。

作者
这应该是一个单独对话的主题。今天我们谈论温度，对我来说重要的是要表明，通过思考温度计如何改变温度，您可以

13

但回到爱因斯坦的理论；让我看看通过阅读学校物理可以看到多少问题和观点。正如您所看到的，考虑温度是非常有成效的。什么是温度？

读者
根据你的说法，我了解到温度是两个物体接触时达到平衡的原因。在学校里我们被告知温度是一个与分子平均动能成正比的量：

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT,$$

其中 $k \approx 10^{-21} \text{ } \partial x/\partial p \text{ — постоянная Больцмана.}$

发生温度均衡是因为在碰撞过程中，能量从具有较高能量的粒子转移到具有较低能量的粒子。

作者
您认为绝对零温度下晶体中粒子之间相互作用的势能是多少？

读者
我们通过将晶体转化为气体来提供这种能量。这意味着每个原子的能量大约等于 $kT_k$，其中 $T_k$ 是沸点。

作者
绝对正确的评价。那么，在您看来，处于绝对零温度的晶体可以加热温度低于晶体沸点的气体？

读者
当然不是。我指的不是总能，而是动能，温度越高动能就越高。

作者
美好的。例如，考虑一块冰。当然，在它上面有水蒸气。由于温度均衡，冰和蒸汽在平衡时具有相同的温度。这意味着蒸气和冰晶中分子的平均速度是相同的。

读者（困惑）。

不，这很奇怪。毕竟，在融化的冰中，分子几乎是不动的，但它们以极快的速度移动。我记得很清楚，当液体蒸发时，它就会冷却。甚至还有一种获得极低温度的方法——液体凝胶的蒸发。这是可以理解的。只有最快的分子才能飞出液体中分子接受的界限。其余的慢速对应于较低的温度。

作者
但部分能量不会被消耗在液体中的前分子吸收上吗？分子会以与开始旅程相同的速度从液体飞入蒸气吗？

读者
老实说，争论是件好事。没想到，争执中竟然诞生了真理！我想我完全明白了一切！事实上，那些很快被冲走的分子会蒸发，所以液体首先冷却。在接受之前，分子会失去速度，就像一个飞向月球的包裹一样。因此，气体也不由破纪录的快速分子组成，并且气体和液体中分子的平均速度是一致的。由于蒸发，总温度得以确定。如果逃逸的、以前快速的分子被带走，如在泵送蒸发过程中，可以实现液体温度的显着降低。

作者
晶体中分子的速度怎么样？

读者
在晶体中，分子以与其上方的一对分子相同的平均速度移动，但它们不像气体那样进行自由平移运动，被稀有分子稍微扭曲，而是在晶格中的标准位置周围振荡……

14

作者
…这称为网格节点。完全正确。
但我还是会继续纠缠你。随着时间的推移，你将学会自己做这件事。一种对他的任何想法都敏感的写字狂色彩——这位科学家首先用日语开始，并可能提出反驳。
所以，他们说温度决定了分子的平均速度。这意味着任何物体中分子的平均速度，无论其成分和状态（水、铁、空气）如何，在相同温度下都是相同的。在绝对零时，速度为零。但是即使在绝对零温度下仍保持液态的凝胶该怎么办呢？
读者
但我读到绝对零是无法实现的。顺便问一下，为什么？

作者
为了理解其中的原因，我们需要讨论熵。这将大大增加我们的方向。而“零”是不可能实现的事实在我们的例子中并不存在。原则上，我们可以尽可能接近它。对我们来说唯一重要的是，在几开氏度的温度下，凝胶原子的平均速度已经微弱地依赖于温度，当温度从 1 度变化到 10⁻⁶ 度时，它实际上没有变化，尽管看起来它应该减少一千倍。
读者
也许这是由于凝胶的特殊性质，即超流动性？

作者
这些现象之间存在一些社会关系。然而，保持绝对零液体不仅仅是凝胶的特性。如您所知，金属良好的电子传导性归功于自由电子。它们的平均动能实际上并不取决于金属的温度，如果我们用公式$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT$$在该温度下计算，我们会发现它对应的温度为10⁵—10⁶度，即恒星内部的温度！
读者
也许金属和电子的温度不匹配？
作者
不，正如我们所说，在平衡状态下，温度总是趋于平稳。这里的重点是不同的。您分享的温度定义是正确的 - 但仅限于经典力学。像温度这样一个“简单”、众所周知的基本量，严格来说，是具有量子性质的！这是由于凝胶的超流动性以及它在大气压下永远不会取代的事实——这两种特性都是纯粹的量子特性。正如您所看到的，为了寻找重要的量子效应，没有必要寻找进入微观世界的方法——这些效应就在您的眼前。
不幸的是，在量子情况下，温度的含义并不像经典情况下那样清晰。让我们从绝对零温度开始，考虑纯粹的量子效应 - 我们确定绝对零的动能，即在经典理论中完全等于零的量。这使我们能够了解是否所有物质在零温度下都保持固态，压力的增加是否总是促进凝固，以及地球内部和恒星深处的物质状态如何。
所有这些结论都可以从一个非常重要的量子定律——不确定性原理中推导出来。
读者
我知道应用于粒子坐标和动量的不确定性原理。位置和动量无法准确测量，因为它们同时不具有特定值。测量它们时

15

脉冲粒子$p$和坐标$x$我们找出这些量的值，有一些误差$\Delta p$和$\Delta x$。
这两个量的性质是不可能使这些误差（有时称为“不确定性”）的乘积小于 $\hbar$ - 普朗克常数除以 2π

$$\left( h = \frac{h}{2\pi} \approx 10^{-32} \frac{\partial \hbar}{\partial e_k} \right): \quad \Delta p \Delta x \geq \hbar.$$

作者
在由相同原子组成的物体中，所有原子也都是活跃的，因此它们的位置改变的精度不能大于它们之间的距离。如果$\Delta x \sim a$，动量的最小可能值是多少？

读者
当然是$\frac{\hbar}{a}$！例如，如果我说动量小于 0.1 $\frac{\hbar}{a}$，那么这意味着以 0.1 $\frac{\hbar}{a}$ 的精度改变它，这是不可能的！

作者
这意味着尽可能低的动能…

读者
…等于$\frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$，即质量越小越大！我想知道这个能量在经典力学中对应的温度是多少？金属中原子和电子之间的平均距离为$a \approx 10^{-10}$m，电子的质量为$10^{-27}$e，氦原子的质量为$10^{-23}$e。由公式可知

$$\frac{3}{2} kT = \frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$$

我们发现对于电子来说温度是

$$T = \frac{\hbar^2}{3kma^2} = \frac{10^{-64}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-21} \cdot 10^{-30} \cdot 10^{-20}} \approx 2,5 \cdot 10^6 \text{°K}.$$

大万度！对于氦气，我们可以用同样的方式得到温度 $1^\circ \text{K}$。

作者
正是之前讨论过的数字。现在，您不再难了解一种物质在零温度下会是什么样子——固体与否。但首先，想一想为什么在低温下顶骨一般很难硬化。

读者
显然，因为在低温下粒子的动能变小。

作者
小是什么意思？与什么相比？

读者
显然，与粒子之间相互作用的势能相比。当势能明显大于动能时，它会迫使原子占据晶格中的某些位置。因此，为了说出物质在零温度下会是什么样子，您需要知道粒子之间相互作用的势能如何取决于它们之间的距离。

现在我清楚了，应该在具有轻原子和弱相互作用的物质中寻找一种在绝对零温度下不冻结的液体——进一步增加原子动能并放置潜在的相互作用能$U$。氦是最轻的惰性气体，其原子之间的相互作用很弱（事实上，与其他原子的相互作用 - 这就是它们的“惰性”）。显然，它满足一般条件。

在电子气的情况下，相互作用的势能符合库仑定律：$U(a) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$，其中$e$是电子电荷，大约等于$1,6 \cdot 10^{-18} \text{K}$和$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx$

16

$$\approx 9 \cdot 10^9 \frac{m^2}{\kappa}.$$

$a \approx 10^{-10} m$时电子的最小动能

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2} \approx \frac{10^{-64}}{2 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-20}} \approx 5 \cdot 10^{-15} \text{ дж}, a$$

$$U(a) \approx \frac{2,6 \cdot 10^{-36} \cdot 9 \cdot 10^9}{10^{-10}} \approx 2,3 \cdot 10^{-16} \text{ дж}.$$

$U(a)$ 与电子的最小动能大致相同！因此，电子气不能凝固。

作者

有趣的是，不确定性原理已经意味着原子核中不存在电子，其大小$R$的数量级为$10^{-13} \text{ cm}$。在那里它的速度必须是$v \geq \frac{\hbar}{mR} \sim 6 \times 10^{11} \frac{m}{\text{сек}}$，即光速的2000倍！

现在您可以追踪当压力增加（即机械距离减小）时，$T=0$ 处的物质会发生什么情况。

读者

嗯，是的，一切都是由势能和动能之间的对应关系决定的：$U(a)$和$\frac{\hbar^2}{2ma^2}$。如果$2ma^2U(a) \gg \hbar^2$，你会得到一个水晶；否则，您会得到液体或气体。

作者

如果某种物质被压碎到足以“压碎”并降低原子的程度，则 $U(a)$ 与 $\frac{1}{a}$ 成正比。

读者

因此，在$a \rightarrow 0$时，它会变得越来越气态！压力导致熔化——非常有趣！

作者

在非常高的压力下，当原子核分裂时，势能

$$E_2$$

$$E_1$$

$$E_0$$

图 1.

随着$a$的减小，物质能量迅速增加，物质再次凝固。然后，在与中子星直接对应的超高密度区域，引力相互作用的能量变得决定性，并且可能发生新的熔化。

有些恒星的亮度会发生变化，其大小约为 10 公里，质量与太阳质量相当。它们有一个固体树皮（其密度从$10^6$到$5 \cdot 10^{13} \text{ e/cm}^3$变化）和一个密度为$5 \cdot 10^{14} \text{ e/cm}^3$的液体核心。

读者

这一切都很有趣，但我仍然不明白从量子力学的角度来看温度是什么。

作者

到目前为止，我们仅确定了原子或分子的最小能量。然而，这还不能确定物质的动能。需要记住的事情。根据量子力学定律，粒子的能量不可能是任意的。它只能呈现完全定义的值，或者正如我们所说，粒子可以处于某些能量水平。它们通常以水平线的形式描绘，水平线位于另一条之上（图1）。能量水平系统就像一个带架子的书柜。书可以放在书架上，但不能放在书架之间。

读者

颗粒物在货架层之间的分布是否完全是随机且无序的？

18

科学，也为了技术。在著名的量子发生器——激光器和微波激射器中——它们专门创造了一个负温度，就像你所说的那样，然后快速“突出”积累的能量。

读者
温度是否仅在量子力学中通过能级决定粒子的分布？

作者
当然不是。这在经典力学中也是如此。例如，“经典”理想气体的分子能量分布如图 4所示。它由以下公式确定
$$\frac{n}{n_0} = e^{-\frac{E}{kT}}.$$
这里$n_0$是我们开始状态下的粒子数，没有粒子$E$的能量； $n$是能量为$E$的粒子数； $e = 2,718$是自然对数的底，$k$是玻尔兹曼常数，$T$是气体温度。

读者
如果我们变换这个公式，继续等式两边的押韵，那么它将采取以下形式
$$\ln \frac{n}{n_0} = -\frac{E}{kI}.$$

图 4.

图 5.

从这里
$$T = -\frac{E}{k(\ln n - \ln n_0)}.$$

如果我们向气体提供能量，我们就会提高其温度，将越来越多的能量从较低能级转移到较高能级。这样做，我们可以确保$n$变为$n_0$并且$\ln n$大于$\ln n_0$。这意味着气体温度为负！在我看来，我们已经到了荒谬的地步。因此，谈论理想气体的负温度是没有意义的。

作者
如果我们只考虑几个能级，那么我们可以使较高的能级比较低的能级具有更多的气体分子。然而，不可能确保分子的能量分布与 图 5 中所示的相同：部分的数量对能量的依赖性是指数级的，并且处于非常高水平的部分比处于较低水平的部分更多。

重点是，我们关于负温度可能性的结论不适用于任何粒子系统，而仅适用于这样的粒子系统。

19

它具有有限数量的能级。毕竟，能量通常包括临床能量作为组成部分，而且可以大得多。用量子语言来说，这意味着能级的数量无限大。但在这种情况下，甚至不可能将有限数量的粒子均匀地分布在无限多的能级上，更不用说获得负温度了。这意味着我们的计算对于能量与临床能量无关的系统是正确的。

读者
这很难理解。我从来没有听说过有人拿在手上或看到过负体温的尸体。

作者
这并不奇怪。在稳定的平衡状态下，负温度是不可能的。正如他们所说，负温度状态是亚稳态。一旦它出现，它通常不会存在太久（尽管也有非常持久的亚稳态，例如玻璃，其在平衡状态下是不透明的晶体）。例如，当激光器的工作物质中产生负温度时，它很快就会转变为正温度状态：高能级的粒子移动，仿佛“落”到较低能级，在这种情况下损失的能量以激光束的形式释放。

读者
但我想回到那个温度。如果我理解正确的话，温度是一个有很多不同侧面的概念。一方面，温度是表征身体状态、身体更换的量，因此当系统过渡到平衡时，系统的所有部分都是相同的。另一方面，温度与构成身体的粒子的平均临床能量有关。最后，在量子力学中，它充当确定粒子能量状态分布的量。很容易注意到，在这三种表现形式中，温度与另一个物理量——能量的联系最为密切。但之前你提到了另一个我完全陌生的量——熵。是不是也和温度有关系呢？

作者
最直接的事情。如果不谈论熵，关于温度的故事就不可能完整。但熵所占用的空间应该总是不小于现在要完成的空间。

20

比较
不同的媒介
两个积极
数字

3. A·斯科佩茨

众所周知，两个正数$a$和$b$或两个长度为$a$和$b$的线段与其算术平均值$\frac{a+b}{2}$和几何平均值$\sqrt{ab}$以及$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$相关（该等式仅适用于$a=b$）。这个不等式的代数证明非常简单：

$$(a-b)^2 \geq 0, (a+b)^2 \geq 4ab,$$
$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \text{ и } \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$$

几何证明基于直角三角形元素之间的一种度量关系：直角三角形的高度，降低到斜边，是直角三角形腿在斜边上的投影的几何平均值。该高度不超过三角形外接圆的半径，而斜边线段的算术平均值恰好等于该圆的半径。

除了所示的两个间均值之外，还考虑了两个更频繁出现的均值：二次均值 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 和调和均值 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}$。

让我们先给出代数证明，然后再给出几何证明

$$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},$$

并且在所有情况下等号成立当且仅当$a=b$。让我们用字母 $M, N, K, L$ 交替表示 (1) 中写出的平均值。我们已经检查了不等式$N \leq K$。尚需证明 1) $K \leq L$; 2）$M \leq N$。

1. $K^2 - L^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{a^2+b^2}{2} = -\frac{1}{4} (a-b)^2 \leq 0,$

即，$K \leq L$，$K=L$仅适用于$a=b$；

2. $M^2 - N^2 = \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} - ab = -\frac{ab (a-b)^2}{(a+b)^2} \leq 0,$

即，$M \leq N$ 和$M=N$ 位于$a=b$。

不等式(1)的有效性已被证明*)。

我们现在来看看这些不等式的几何证明，结果可能是

*) 这些不等式已经在 A. P. Savin 的文章“最大值、最小值和平均定理”（«Kvant» No. 11, 1970）中讨论过。

21

在解决几何问题时很有用。

令给定的两个线段为$a$和$b$。如果$a=b$，那么通过检查我们确信不等式（1）的有效性。假设$a>b$并构造一个梯形$ABCD$，底边$AB$和$CD$等于$a$和$b$（图1）的对应关系。让我们画一条割线$l$，使它与梯形的底平行，并将其切成两个相等的梯形$T_1(ABL_2L_1)$和$T_2(L_1L_2CD)$。让我们计算线段$L_1L_2$的长度，用$x$表示。根据梯形 $T_1$ 和 $T_2$ 的等价性，可以得出 $(a+x)h_1=(x+b)h_2$，或者

$$h_1:h_2=(x+b):(a+x),$$

(2) 其中$h_1$是梯形$T_1$的高度，$h_2$是梯形$T_2$的高度。从三角形$AL_1U$和$DL_1V$的相似性可以得出：

$$h_1:h_2=(a-x):(x-b).$$

(3) 比较(2)和(3)，我们得到

$$\frac{x+b}{a+x}=\frac{a-x}{x-b},$$

$x^2-b^2=a^2-x^2$从哪里来，最后

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

所以，已经证明$L_1L_2=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

考虑到（2），我们有 $h_1<h_2$，所以该段 $L_1L_2$ 靠近更大的基地 $AB$ 梯形大于其中线 $K_1K_2$， 平等的 $\frac{a+b}{2}$。诺利纳段 $x$平行于梯形的底边，其端部位于梯形的侧面，被包围在其底边的长度之间（这是从相似性得出的）。所以，当 $a>b$ 我们有 $\frac{a+b}{2}<\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。即使当 $a<b$ （只需更改符号： $a$ 在 $b$ 和 $b$ 在 $a$）。因此，对于任何 $a$ 和 $b$ 我们有 $\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

让我们继续比较$N$和$K$。为此，我们绘制一条割线 $n$，以便将给定的梯形切割成两个相似（相似）梯形 $T_1'(ABN_2N_1)$ 和 $T_2'(N_1N_2CD)$ (图 2)。让我们用 $y$ 表示线段 $N_1N_2$ 的长度。根据梯形 $T_1'$ 和 $T_2'$ 的相似性，可以得出 $a:y=y:b$，或者

$$y=\sqrt{ab}.$$

因此，$N_1N_2=\sqrt{ab}$。根据梯形的相似性（考虑到（4））还可以得出：

$$AN_1:N_1D=a:y=\sqrt{\frac{a}{b}}>1.$$

这意味着线 $n$ 距离梯形的底$AB$ 更远，

22

中间线是$K_1K_2$，因此是$N_1N_2 < K_1K_2$。因此，对于任意 $a$ 和 $b$ 我们有

$$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$$

最后，让我们通过该梯形对角线的交点 $O$ 画一条线 $m$，平行于其底边，并在点 $M_1$ 和 $M_2$ (图 3) 处与侧边相交。显然$AM_1:M_1D = AO:OC = a:b$。

但是$\frac{a}{b} > \sqrt{\frac{a}{b}}$，因为$a > b$。因此，考虑到（5），我们得出结论，线段$M_1M_2$比线段$N_1N_2$更接近梯形的较小底，因此$M_1M_2 < N_1N_2$。另一边，

$$M_1O:a = DO:DB = CO:CA = OM_2:a.$$

这意味着$M_1O = OM_2$。下一个，

$$\frac{M_1O}{a} + \frac{OM_2}{b} = \frac{DO}{DB} + \frac{BO}{DB} = 1.$$

由此得出$M_1M_2 = 2M_1O = 2\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，因此$M_1M_2 = \frac{2ab}{a+b}$。所以，如果$a > b$，则$M < N$。同理，证明$M < N$如果$a < b$。因此，对于任何$a$和$b$，我们有

$$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}.$$

这正确地证明了不等式（1）。

所以四个都是平均水平

$$M_1M_2 = M = \frac{2ab}{a+b}; \quad N_1N_2 = N = \sqrt{ab};$$

$$K_1K_2 = K = \frac{a+b}{2}; \quad L_1L_2 = L = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

$a$和$b$这两个线段下面得到了一个几何原点：如果这两个线段作为梯形的底，那么靠近梯形较大底边的是二次均值，接下来是算术平均，然后是几何平均，最后是调和平均（图4）。显然，这些线段的长度并不取决于梯形的形状 - 对于具有给定长度 $a$ 和 $b$ 底边的所有梯形，相应梯形的指示平均值相等。当$a = b$时，梯形变成平行四边形，中间的四个四边形全部重合，等于$a$。

仍然需要在给定的段 $a$ 和 $b$ 上构造这四个平均值。我们给出这样的构造，以便人们能够以另一种方式确信不等式（1）的真实性。

让我们在点 $O$ 一侧的直线上绘制线段 $OA = a$、$OB = b$，其中 $a < b$。令 $S$ 为线段 $AB$ (图 5) 的中点。然后

$$OS = a + \frac{b-a}{2} \text{ или } OS = \frac{a+b}{2} = K.$$

23

图 5.

$$OC = M = \frac{2ab}{a+b};$$
$$OP = N = \sqrt{ab};$$
$$OS = K = \frac{a+b}{2};$$
$$OE = L = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}};$$
$$M < N < K < L.$$

让我们在线段 $AB$ 上构造一个圆，就像在直径上一样，并从点 $O$ 向其绘制切线 $OP$ 和 $OQ$（$P, Q$ 是切点）。让我们使用从点 $O$ 到圆绘制的割线和切线段之间的关系：
$$OP^2 = ab.$$ 因此，$OP = \sqrt{ab} = N$，$N < K$。接下来，让$PQ$与$OS$相交于$C$。然后 $OP^2 = OS \cdot OC$ 和
$$OC = ab: \frac{a+b}{2} = \frac{2ab}{a+b} = M,$$
和$M < N$。

最后，我们构造垂直于$AB$的半径$SE$。我们有
$$OE^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2,$$
$$OE = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} = L,$$
和$K < L$。所以，如果$a \neq b$，那么$M < N < K < L$。

练习

1. 在点 $O$ 一侧的直线上，布置线段 $OA = a, OB = b, a < b,$，并构造一个直径为 $AB$、中心为 $S$ 的圆 $k$。接下来，构造以 $O$ 为中心、半径为 $OP$ 的$k_1$ 和直径为 $OS$ 的$k_2$。

证明如果穿过$O$的直线与位于$k$内部的直线$g, k_1$和$k_2$的部分相交于点$C_1, P_1, S_1$，并且与圆$k$相交于点$A_1$和$B_1$，则
$$OC_1 = \frac{2a_1b_1}{a_1+b_1},$$
$$OP_1 = \sqrt{a_1b_1},$$
$$OS_1 = \frac{a_1+b_1}{2} \quad (a_1 = OA_1, b_1 = OB_1).$$

2. 求连接两个数字 $a$ 和 $b$ 的每三个平均值的偶数比率：
   $$M = \frac{2ab}{a+b},$$
   $$N = \sqrt{ab},$$
   $$K = \frac{a+b}{2},$$
   $$L = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

3. 证明下列不等式的正确性：
   a) $N - M \leqslant K - N,$
   b) $K - M \leqslant L - N,$
   b) $L - K \leqslant K - N.$

4. 圆心 $S$ 在直角坐标系 x 轴上的圆与该轴相交于点 $A(a, 0)$ 和 $B(b, 0), a > 0, b > 0, a < b$。通过原点 $O$ 的割线与圆相交于点 $A_1$ 和 $B_1$。写出割线上那些点 $C_1(x, y)$ 所属直线的方程，其中
   $$(OC_1)^2 = \frac{1}{2} \left[ (OA_1)^2 + (OB_1)^2 \right].$$

5. 在三角形$ABS$的边$AB$在点$A$之外的延续上，有一个底点$O$，通过该点画一条线与对应于点$B_1$和$A_1$的$AS$和$BS$相交。通过线 $AA_1$ 和 $BB_1$ 的交点 $P$，绘制一条线 $SP$，与 $AB$ 相交于点 $C$。证明$c = \frac{2ab}{a+b}$，其中$OA = a, OB = b, OC = c$。

6. 给定一个平行四边形 $OABC$ 和与 $AC$ 平行的三角形 $ABC$ 的中线 $MN$。通过顶点$O$画一条直线；与相应线的线 $BC, CA, AB, MN$ 相交于点 $A_0, B_0, C_0, D_0$。证明$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{d}$，其中$OA_0 = a, OB_0 = b, OC_0 = c, OD_0 = d$；点$A_0, B_0, C_0, D_0$位于$O$的一侧（$d$是线段$a, b, c, d$的调和平均值）。

如果点 $A_0, B_0, C_0, D_0$ 不位于 $O$ 的同一侧，那么规定的等式会如何变化？

26

解决方案

在杂志的这一部分中，我们继续发布拼图«Kvant»问题的解决方案。其中一些问题即使对于数学家和物理学家来说也很困难。其中许多引发了关于一整类问题、关于处理某些现象的方法的讨论。每个解决方案都是一篇简短的单独文章，即使对于那些以前没有尝试过解决问题的人，我们也建议您熟悉它。

在大多数情况下，我们会注明向我们发送最成功解决方案的读者的姓名，但是，当然，我们无法回复所有向我们发送信件的读者。

M21
正方形内部，边1上有几个圆，它们的长度之和为10。无法证明存在直线。那么AB边上的每个点最多被三个圆的投影覆盖（图1），否则穿过该点并垂直于AB的直线将与三个以上的圆相交。因此，所有投影的总和，即圆的直径的长度之和，不超过3；因此，圆的长度之和不超过3π，而根据条件则等于10>3π。由此产生的矛盾证明了问题的陈述。

这项决定是由列宁格勒的 D. Grigoriev 和莫斯科的 N. Rassin 补充的。

下面更一般的陈述可以用同样的方式证明。我们将凸图形的直径称为可以放置该图形的最窄条带的宽度。 （可以证明，这个定式对任何有界图形都有效。）那么，如果在直径为 h 的图形内有 n 个图形，其直径之和大于 kh，则有一条直线与这些图形中的至少 k + 1 个相交。

28

让我们将这个表达式的平方重写如下：

$$P_n^2 = \frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{3^2}{4^2} \cdot \frac{5^2}{6^2} \cdot \dots \cdot \frac{(2n-1)^2}{(2n)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^2}{2 \cdot 4} \cdot \frac{5^2}{4 \cdot 6} \cdot \dots \cdot \frac{(2n-1)^2}{(2n-2) \cdot 2n} \cdot \frac{1}{2n}.$$

因为对于任何整数 $k > 1$

$$\frac{(2k-1)^2}{(2k-2) \cdot 2k} = \frac{(2k-1)^2}{(2k-1)^2 - 1} > 1,$$

那

$$P_n^2 > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2n} \text{ и } P_n > \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$$

另一方面，因为一直以来

$$\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} = \frac{(2k)^2 - 1}{(2k)^2} < 1,$$

那

$$P_n^2 = \frac{3}{2^2} \cdot \frac{3.5}{4^2} \cdot \frac{5.7}{6^2} \cdot \dots \cdot \frac{(2n-1)(2n-3)}{(2n-2)^2} \cdot \frac{2n-1}{(2n)^2} < \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2n} \text{ и}$$

$$P_n < \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$$

D. Gritsoriev 提出了一个略有不同的解决方案（该解决方案也被该杂志的其他读者泄露）。让我们和这个表达式一起考虑

$$P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-1}{2n}$$

下列：

$$Q_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \dots \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}.$$

由于乘积$Q_n$的每个因子都不大于相应的因子$P_n$，则$P_n > Q_n$，从而得到$P_n^2 > P_nQ_n = \frac{1}{4n}$，即$P_n > \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$

另一边，

$$R_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot 1 > P_n,$$

可摆姿势 $P_n^2 < P_nR_n = \frac{3}{8n}$ 和 $P_n < \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$

不是用 1/2 而是用 2/3 来求 $R_n$ 似乎更自然。但对于$P_n$，结果将是比问题条件下所需的更粗略的估计。相反，如果我们在$R_n$中留下的不是一个，而是更多等于第一个因子$P_n$的因子，那么对于$P_n$，我们会得到更准确的$P_n < \frac{c}{\sqrt{n}}$形式的估计，其中$c$是小于$\sqrt{\frac{3}{8}}$的某个数字。同样的说法也适用于对方的评价。

还有一种基于数学归纳法的解决方案。 E. G. Nikolaev 的笔记《数学归纳法的案例》（参见 «Kvant» No. 7, 1970, p. 37 和 «Kvant» No. 12, 1970, p. 58）正是以这个问题为例，指出有时更强的不等式比更弱的不等式更容易通过归纳法证明。

29

根据已证明的不等式，随着 $n$ 的增加，$P_n$ 值趋于零，$P_n \sqrt{n}$ 值介于 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}$ 之间。可以证明（例如，参见 A. M. Yaglom 和 I. M. Yaglom 所著的《Non-elementary issues in anelementarypresentation》，GITTL, M., 1954 中的问题 145, 160, 161），$n \to \infty$ $P_n$ 趋向于等于 $\sqrt{\frac{1}{\pi}}$ 的极限。

M24

证明任何分数 $\frac{m}{n}$，其中 $0 < \frac{m}{n} < 1$，都可以表示为

$$\frac{m}{n} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \frac{1}{q_3} + \dots + \frac{1}{q_r},$$

其中 $0 < q_1 < q_2 < \dots < q_r$ 是整数，每个 $q_k$ ($k=2, 3, \dots, r$) 可被 $q_{k-1}$ 整除。

哪个分数 $\frac{m}{n}$ 可以整除，分母除以它们的最公约数，并用等于它的不可约分数代替。例如，$\frac{288}{504} = \frac{4.72}{7.72} = \frac{4}{7}$。接下来我们将只考虑这样的不可约分数。

让我们通过对 $m$ 的归纳来证明问题的陈述。对于 $m=1$ 来说，很明显：分数 $\frac{m}{n}$ 本身已经具有所需的形式。现在我们将证明，如果问题的陈述对于所有分子小于 $m$ 的分数都成立，那么对于分子等于 $m$ 的分数也成立。令 $\frac{m}{n}$ 为这样的分数 ($1 < m < n$)。将 $n$ 除以 $m$ 余数；你得到商（$d_0-1$）和余数（$m-k$），即

$$n = m (d_0-1) + (m-k) = md_0-k,$$

其中$d_0 > 1$和$0 < k < m$。让我们像这样重写 (1)：$md_0=n+k$，或者

$$\frac{m}{n} = \frac{1}{d_0} \left( 1 + \frac{k}{n} \right).$$

由于$0 < k < m$，分数$\frac{k}{n}$可以用所需的形式表示：

$$\frac{k}{n} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_1 d_2} + \dots + \frac{1}{d_1 d_2 \dots d_r},$$

其中$d_1, d_2, \dots, d_r$是一些大于1的自然数。从(2)和(3)我们得到

$$\frac{m}{n} = \frac{1}{d_0} + \frac{1}{d_0 d_1} + \frac{1}{d_0 d_1 d_2} + \dots + \frac{1}{d_0 d_1 d_2 \dots d_r}.$$

分数$\frac{m}{n}$以所需的形式呈现。

请注意，从我们对问题的解决方案中，不难提取出一个简单的算法 - 如何将任何给定分数表示为和 (3) 的规则。让我们用一个例子来演示一下。让我们得到分数 $\frac{5}{7}$：

$$7 = 2.5 - 3; \quad \frac{5}{7} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{3}{7} \right);$$

$$7 = 3.3 - 2; \quad \frac{3}{7} = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{2}{7} \right);$$

$$7 = 4.2 - 1; \quad \frac{2}{7} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{7} \right).$$

30

所以，

$$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{2.3.4.7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{168}.$$

当然，他们可以找到几种形式（3）的表示，例如：

$$\frac{3}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24}.$$

该问题的解决方案由 D. Gritsorye 发送。

M25

在由$n$个元素组成的集合中，选择$2^{n-1}$个子集，每三个子集都有一个公共元素。证明所有这些子集都有一个共同元素。

总共，在由 $n$ 个元素组成的集合 $A$ 中，有 $2^n$ 个不同的子集，包括集合和集合本身 $A$（参见 N. Ya. Vilenkin 的文章“Combinatorics”，«Kvant» No. 1，1971）。我们用字母$B, C, \dots$来表示不同的子集$A$，集合$B$和$C$的交集，即由公共元素$B$和$C$组成的集合，通常表示为：$B \cap C$；整个集合$A$的附加子集$B$，即由所有不包含在$B$中的元素$A$组成的集合，表示为：$\bar{B}$。

根据条件，选择了$2^{n-1}$个子集，即所有可能的子集的一半，并且每个选定的子集，其中任意两个（甚至三个）的交集不为空。因此，从每对子集$(B, \bar{B})$（彼此互补直至$A$）中，恰好选择一个。此外，如果选择$B$和$C$，则也会选择$D = B \cap C$，因为无法选择$\bar{D}$（所有三个子集$\bar{D}, B$和$C$不能具有公共元素，因为公共元素$B$和$C$包含在$D$中）。使用这个非常强的指示，我们可以证明如果选择$B_1, B_2, \dots, B_k$，那么所有这些子集的交集$B_1 \cap B_2 \cap \dots \cap B_k$也会被选择。因此，所有$2^{n-1}$选择子集的交集也属于选择子集，这意味着它不为空。

因此，我们证明了只有这样的子集系统满足问题的条件：集合$A$中的某个元素$a$是固定的，并且包含该元素的所有子集都被选择。

N·B·瓦西里耶夫

F29

求在温度$20^\circ\text{C}$下单位表面积的水蒸发到真空中的速率。 （该温度下的饱和蒸气压为17.5毫米汞柱。） 如果将普通茶碟装满，室内的水需要多长时间才能蒸发？少量水的蒸发实际上不会改变房间内的空气湿度，等于70%。

为了解决这个问题，你需要找到在 1 秒内离开其表面 1 cm$^2$ 的液体分子的数量。乘以水分子的质量，就可以求出蒸发率，即1秒内单位水表面积蒸发的水质量。

Bydem的理由是这样的。如果液体上方有饱和蒸汽，那么 1 秒内离开液体的液体分子数将与没有蒸汽时相同。与此同时，有一天，进入液体的分子数量与从液体中出来的分子数量完全相同。这使我们能够计算

31

1 秒内有多少分子从水中飞出，因为计算进入液体的分子数量非常简单。

让我们使用以下理想气体模型：所有气体分子具有相同的速度$v$，并且每个分子只能沿坐标轴（图4）沿三个相互垂直的方向之一移动。而且，在这三个方向上运动的分子数量是相同的。如果其中一个坐标轴垂直于液体，则在时间 $\tau$ 内，大量蒸汽进入液体，其距离液体为 $l = v \cdot \tau$。设单位体积内有$n$个蒸气分子，则$N = \frac{1}{6} nv\tau S$个蒸气分子落在面积为$S$的表面积上：沿垂直于液体表面的坐标轴，位于体积$v\tau S$内的部分$\frac{1}{3}$部分蒸气分子运动，其中一半的速度是背离液体的。如果蒸气分子的质量为 $m$，则在 $\tau$ 时间内，蒸气质量 $M = \frac{1}{6} nv\tau Sm$ 进入液体。 $n \cdot m$ 是蒸气密度$\rho$。这就是为什么

$$M = \frac{1}{6} v\tau S\rho.$$

蒸汽分子的速度可以用其压力和密度来表示。考虑一个立方体容器，其边为 $l$，面垂直于坐标轴 (图 4)。蒸气分子与壁面发生弹性碰撞时，动量变化$2mv$——碰撞前分子动量为$mv$，碰撞后为$mv$：分子远离壁面。由于分子与同一壁的两次连续碰撞之间经过时间$t = \frac{2l}{v}$，因此根据牛顿第二定律，我们可以假设平均力$f = \frac{2mv}{2l} = \frac{mv^2}{l}$从壁的一侧作用在分子上。根据牛顿第三定律，同样大小的力作用在墙上。由于沿着每个运动轴有 $N = \frac{1}{3} nl^3$ 个分子，每个分子都会对壁产生压力，因此作用在壁上的总力等于

$$F = \frac{mv^2}{l} \cdot \frac{1}{3} nl^3 = \frac{1}{3} nml^2v^2,$$

壁上的蒸气压等于

$$P = \frac{F}{l^2} = \frac{1}{3} nmv^2 = \frac{1}{3} \rho v^2.$$

32

所以
$$v = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}.$$

将$v$的表达式代入公式(*)，我们得到
$$M = \frac{1}{6} \tau S \rho \sqrt{\frac{3P}{\rho}}.$$

我们还用压力来表示蒸汽的密度。它们通过克拉佩龙方程相关：
$$P = \frac{\rho}{\mu} RT,$$

其中 $\mu$ 是一克分子蒸气的质量，$T$ 是其温度，$R = 8,3 \frac{\partial \kappa}{\partial \rho} - \text{газовая постоянная}.$

从这个公式我们发现$\rho = \frac{P \mu}{RT}$。因此$M = \frac{1}{6} \tau S \frac{P \mu}{RT} \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}.$

因此，如果液体上方有蒸汽，则 1 秒内每单位表面的蒸汽质量等于
$$\frac{M}{\tau S} = \frac{1}{6} P \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}.$$

这意味着液体蒸发到真空中的速率等于
$$\frac{1}{6} P \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}.$$

代入数值$T = 293^\circ \text{K}$、$\mu = 18 \frac{\kappa_2}{\kappa_0 \text{м}^2}$、$P = 2,3 \cdot 10^3 \frac{\mu}{m^2}$（$P$为$T = 293^\circ \text{K}$时的饱和蒸气压），可得蒸发率为$14,8 \cdot 10^{-8} \frac{\kappa_2}{m^2 \cdot \text{сек}}.$

考虑到分子以不同的速度和所有可能的方向移动，我们可以更准确地解决问题*)。然而，这不会改变我们获得的定性结果。只有最后一个公式中的数字因子会改变。

现在不难求出房间里的水倒入茶碟后蒸发的时间。在这种情况下，在液体表面均匀的情况下，总质量等于$\frac{1}{6} P_0 \sqrt{\frac{3\mu}{RT}} \left( P_0 = 10^{-5} \frac{\mu}{m^2} \right)$的分子在1秒内飞出，并且等于$\frac{1}{6} P \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}$的蒸汽质量（其中$P = \eta \cdot P_0 = 0,7P_0$）进入液体。因此，液体蒸发速率为
$$\frac{1}{6} \left( P_0 - P \right) \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}.$$

如果水的表面积为$S$，质量为$M$，那么及时所有的水都会蒸发
$$t = \frac{M}{\frac{1}{6} S \left( P_0 - P \right) \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}}.$$

*）Ya的文章中给出了这样的计算。 A.斯莫罗金斯基“理想气体”（«Kvant»第10期，1970）。

33

假设碟子里有 100 $e$ 水，其直径为 10 $cm$，房间内的空气温度为 $17^\circ C=290^\circ K$（在此温度为 $P_0 = 2,3 \cdot 10^3 \frac{H}{M^2}$ 和 $P = 1,6 \cdot 10^3 \frac{H}{M^2}$），我们求出 $t=1$ 秒。

结果是自相矛盾的。我们哪里错了？水表面附近的蒸气压的大小。这里的蒸汽压力明显大于房间内的蒸汽压力。在表面附近的薄层中，蒸气几乎饱和。只有这样，水才能蒸发得足够慢。

我们看到的例子表明，在解决物理问题时，了解现象的“物理原理”，即了解什么可以被忽视、什么不能被忽视是多么重要。

F30

电影摄影机和电影放映机每秒产生 8 帧。运动屏幕上有一辆带轮子的自动车辆，其实际直径为1 m。轮子的图像每秒旋转 2 圈。自动档的速度是多少？

由于在 8 帧通过投影仪的时间内，轮子的图像旋转了 2 圈，因此在每一帧上，与前一帧相比，轮子必须旋转 $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ 圈。此外，屏幕上的自动车辆车轮的图像可以“向前”和“向后”旋转，尽管自动车辆本身在第一和第二个方向上移动，并沿相同方向运行（图5）。如果自动车辆的移动速度使得在帧 $\tau = \frac{1}{8} c$ 之间的时间内自动车辆的轮子完成 $n$ 满并绕轴再旋转 $\frac{1}{4}$ 转，则屏幕上的轮子“向前”旋转。如果在$t$中，轮子绕$n$满并绕轴旋转$\frac{3}{4}$，则屏幕上轮子的图像将“向后”旋转。因此，自动机的角速度为$\omega_{\text{вп}} = \frac{\left(n + \frac{1}{4}\right) 2\pi}{\frac{1}{8}} \frac{pa\partial}{c} = 16 \left(n + \frac{1}{4}\right) \pi \frac{pa\partial}{c}$或$\omega_{\text{н}} = 16 \left(n + \frac{3}{4}\right) \pi \frac{pa\partial}{c}$。这意味着轮轴以及随之而来的自动车辆以 $v = 16 \left(n + \frac{1}{4}\right) \pi R \frac{m}{c}$ 的速度移动（在这种情况下，车轮图像“向前”旋转）或以 $u = 16 \left(n + \frac{3}{4}\right) \pi R \frac{m}{c}$ 的速度移动（在这种情况下，车轮图像“向后”旋转）。将$n = 1, 2, 3, \dots$代入这些公式，我们就可以得到答案

$$v_1 \approx 12,6 \frac{m}{c} = 45 \frac{km}{час}, \quad v_2 \approx 223 \frac{km}{час}, \quad u_1 \approx 136 \frac{km}{час}, \quad u_2 \approx 316 \frac{km}{час}, \dots$$