Что такое функция

27

---

running_head:
folio:

А. Н. КОЛМОГОРОВ

В этой статье объявляется современное
общее понимание слова «функция».
Стация не для легкого чтения:
она требует от читателя внимания к каждому слову,
хотя и не предполагает каких-либо специальных знаний,
выходящих за рамки средней школы.
Имеется также в виду,
что читатели умют обращаться со словами
«множества» и «элемент множества».

1. ВВЕДЕНИЕ

На вопрос «Что такое функция?» школьники часто отвечают: «Функцию можно задать таблицей, графиком или формулой». Ясно, что это не оределене. Но школьники, которые уklоняются от формулировки явного определения и сразу переходят к описанию того, как залают функции, и не совсем неправы. Математика не может начинаяся с определений. Формулиру определение некоторого понятия, мы неизбежно в самом этом определении употребляем какие-либо другие понятия. Пока мы не понимаем смысл каких-либо понятий, мы не свидимся с места и не сможем формулировать ни одного определения. Поэтому изложение любой математической теории начинается с того, что какие-либо основные понятия принимаются без определения. Пользуясь ими, уже возможно бывают формулировать определение дальнейших произвольных понятий.

Каким же способом люди объявляют друг другу свое понимание смысл основных понятий? Для этого не существует другого способа, как разяснение на примерах и при помощи подробного описания характеристиков свойств определляемых вещей. Эти описания могут быть в деталях не вполне ясными и сначала не исчерпывающими. Но постепенно из них смысл понятия вырисовывается с достаточной ясностью. Так мы подойдем к понятию функции, считая его одним из основных математических понятий, не подлежащих формальному определению.

[Правда, далее будет сказано, что функция есть не что иное, как отображение одного множества на другой (obластmi определения функции на множество ее значений). Но здесь слова отображение является просто синонимом слова функция. Это — два названия для одного и того же понятия. Пояснение одного слова другим равнозначим не может заменить определения выражаемого им понятия.]

28

Пример 1. Будем считать, что буквы $x$ и $y$ обозначают действительные числа. Знак $\sqrt{1-x^2}$ будем считать знаком извлечения аргументакого квадратного корня. Равенство

$$y = \sqrt{1-x^2}$$

обозначает, что выполнены условия

$$x^2 \leq 1, \quad y \geq 0, \quad x^2 + y^2 = 1.$$

Точек, координаты которых удовлетворяют этим условиям, образуют полукругность, изображенную красной линий на рис. 1.

Рисунок 1 делает наглядными следующие факты, которые вы можете доказать и чисто алгебраическим путем:

1. формула (1) позволяет для любого $x$, удовлетворяющего условиям

$$-1 \leq x \leq 1,$$

вычислить соответствующее ему $y$, которое удовлетворяет неравенству (4), соответствует хотя бы одно такое $x$, которое по формуле (1) соответствует это заданное $y$.

Можно сказать, что формула (1) задает отображение множества чисел $x$, удовлетворiousих неравенствам (3), на множество чисел $y$, подчиенных неравенствам (4). Математики часто (особенно в последнее время) для обозначения отображений употребляют стрелку. Занимающее нас отображение можно записать при помощи стрелки так:

$$x \rightarrow \sqrt{1-x^2}.$$

Например:

$$\begin{align*} -1 &\rightarrow \sqrt{1-(-1)^2} = 0, \\ -\frac{4}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}, \\ \frac{3}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}, \\ 0 &\rightarrow \sqrt{1-0^2} = 1. \end{align*}$$

Заметьте: отображение полностью определено, если

a) задано множество $E$, которое отображается,

b) для каждой элемента $x$ это множество $E$ задан элемент $y$, на котором элемент $x$ отображается.

Рис. 1.

Рис. 2.

29

Множество всех значений $y$ обозначает буквой $M$. В примере 1 $E$ — множество чисел, удовлетворяющих условию (3), а $M$ — множество чисел, удовлетворяющих условию (4) *).

Пример 2. Правила

1. $x \to \sqrt{x^2}$,
2. $x \to \begin{cases} x, \text{ если } x \geqslant 0, \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases}$

определяют одно и то же отображение

$$x \to |x|$$

(7)

действительных чисел $x$ на их модели (абсолотные величины) $|x|$ (рис. 2).

Отображение (7) отображает множество всех действительных чисел

$$R = (-\infty, \infty)$$

на множество

$$R_+ = (0, \infty)$$

неотрицательных действительных чисел.

Вместо слова отображение можно говорить функция и записать отображение (5) так:

$$f(x) = \sqrt{1-x^2},$$

(8)

а отображение (7) так:

$$f(x) = |x|.$$

(9)

Частные значения функции (8), перечисленные в формулах (6), будут тогда записаны в таком виде:

$$f(-1) = 0, \quad f\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}, \quad f\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}, \quad f(0) = 1.$$

Область определения функции (9) является множеством всех действительных чисел $R$. Множествором ее значений является множество $R_+$ неотрицательных действительных чисел.

Пример 3. Петя, Коля, Саша и Володя живут в комнате общежития. На февраль они установили такой график деятельности:

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | . . . | 28 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Петя | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | . . . | |
| Коля | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| Саша | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| Володя | ■ | | | ■ | | | | ■ | | | | | | | . . . | |

*) Множество можно обозначить любой буквой. Здесь взяты буквы $E$ (от французского слова ensemble — множество) и $M$ (немецкое — Менge; случайно и русское слово «множество» начинается с этой же буквы). Но это не обязательно: уже в следующем примере мы обозначим множество действительных чисел, как это принято, буквой $R$ (французское гел — действительный, реальный).

30

Сразу бросается в глаза сходство этой таблицы с привчными вам из школьного курса алгебры графики функций. Имеет ли эта аналогия точный логический смысл? Установили ли здесь мальчики отображение одного множества на другое, т. е. определили ли некоторую функцию? И не начертили ли они график этой функции? (Обратите внимание на житейское выражение «установили график функции»!)

2. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Нетрудно видеть, что в примере 3 на каждый из 28 дней февраль назначен определенный дежурный. Иначе говоря, множество дней февраль отображено на множество мальчиков, распределенших между собой дежурства. Можно условиться, что буква x обозначает любой день февраль, а y=f(x) — дежурного в день x. Нет никаких оснований отказывать отображению

день x→y = дежурный на день x

в права называть функцией и записать это отображение так:

y=f(x).

Любое отображение f множество E на множество M мы будем называть функцией с области определения E и множество значений M.

Не забудьте, что, говоря об отображении f множество E на множество M, мы имеем в виду, что y=f(x) определено для любого x из E и

Отображение E на M

Отображение E в M

то лько для x из этого множества, а значение y функции f непременно принадлежит множеству M, и каждое y из этого множества M является значением функции f хотя бы при одном значении аргумента x.

Если известно только, что значения функций f непременно принадлежат множеству M, но не утверждается, что ли ю бой элемент этого множества является значением функции f, то говорят, что функция отображает свою область определения E в множество M или что отображение f есть отображение множества E в множество M.

Таким образом, надо строго различит смысл выражений

«отображение на множество M»
«отображение в множество M»*).

*) Заметьте еще, что каждое отображение «на» можно назвать и отображением «в» но не наборот.

31

Например, про ображение

$$x \rightarrow |x|$$

можно сказать, что оно является ображением $R$ в $R$, но нельзя сказать, что это «ображение $R$ на $R$».

С чисто логической точки зрения наиболее простым случае является случай, когда область определения функций конечна. Ясно, что функция, область определения которого состоит из $n$ элементов, не может принимать более $n$ различных значений. Таким образом, функция, определенные на конечных множестве, осуществляют ображения конечных множеств на конечные множества. Такие ображения являются одним из предметов изучения важной части математики — компинаторики (см. задачи 8, 11, 18, 19).

Пример 4. Рассмотрим функции, области определения которых есть множество

$$M = \{A, B\}$$

из двух букв $A$ и $B$ и значения которых принадлежат тому же множеству, т. е. ображения множества $M$ в себя.

Таких функций существует всего четыре. Зададим их таблицым способом:

| $x$ | $f_1(x)$ | $f_2(x)$ | $f_3(x)$ | $f_4(x)$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

Функции $f_1$ и $f_2$ являются константами, т. е. постояны ми: множество значений каждой из этих функций состоит из одного-единственного элемента.

Функции $f_3$ и $f_4$ — ображают множество $M$ на себя. Функция $f_3$ может быть задана формулой

$$f_3(x) = x.$$

Это — мождестшение ображения: каждый элемент множества $E$ обрабатывается в самом себе.

Чтобы закончить выяснение смысла самого понятия «функция», остается обратить внимание на то, что выбор букв для обозначения «независимого переменного», т. е. произвольного элемента обрабатения, и «зависимого переменного», т. е. произвольного элемента множества значений, совершенного несущением. Записи

$$x \rightarrow \sqrt{x}, \quad \xi \rightarrow \sqrt{\xi}, \quad y \rightarrow \sqrt{y},$$

$$f(x) = y = \sqrt{x}, \quad f(\xi) = \eta = \sqrt{\xi}, \quad f(y) = x = \sqrt{y}$$

определяют одну и ту же функцию $f$, которая обрабатывает неотрицательное число в арифметической квадратной корень из него. Пользовать любой из этих записей, мы получим

$$f(1) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(9) = 3$$

и т. д.

32

3. ОБРАТИМАЯ ФУНКЦИЯ

Функция

$$y = f(x)$$

называется обратимой), если каждое значение она принимает один-
единственный раз. Таковые функции $f_3(x)$ и $f_4(x)$ из примера 4. Функции же
$f_1(x)$ и $f_2(x)$ примера 4 и функции примеров 1, 2 и 3 нео́ргатны.

Чтобы доказать, что какая-либо функция необратима, достаточно ука-
зать какие-либо два значения аргумента $x_1 \neq x_2$, для которых

$$f(x_1) = f(x_2).$$

В примере 3 достаточно заметить, что Петя дежурит как 1-го, так и 5
февраль. Поэтому функция примера 3 необратима.

Пример 5. Функция $f$

$$x \xrightarrow{f} y = -\sqrt{x}$$

обратима. Она определяна на множество $R_+$ неотрицательных чисел. Мно-
жестом ее значений является множество

$$R_- = (-\infty, 0]$$

всех неположительных чисел. Задав любое $y$ из множества $R_-$, можно найти
соответствующее $x$ по формуле $x = y^2$.

Функция $g$

$$y \xrightarrow{g} x = y^2$$ при $y \leqslant 0$

есты функции, обратная к функции $f$. Она отображает множество $R_-$ на множество $R_+$. Как уже говорилось, выбор букв для обозначения независящего и зависящего переменного не существует. Функции $f$ и $g$ можно записать в виде

$$f(x) = -\sqrt{x}$$ при $x \geqslant 0$, $g(x) = x^2$ при $x \leqslant 0$.

На рисунке 3 изображены графики взаимно обратных функций $f$ и $g$.

Рис. 3.

Рис. 4.

*) Проискождение названия выясится далее: функция обратима, если для нее
существует обратная ей функция.

33

Пример 6. Функция $f$, заданная таблицей

$$\begin{array}{c|cccc} x & A & B & B & \Gamma \\ y = f(x) & 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{array},$$

определяена на множество perвых пяти букв русского алфавита, а множество ее значений есть множество perвых пяти натуральных чисел. Обратная функция $g$ задается таблицей

$$\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y = g(x) & B & B & A & D & \Gamma \end{array}.$$

На рисунке 4 даны графики этих функций.

Дадим точные определения. Пусть $f$ — отображением множества $E$ на множество $M$. Если для любого элемента $y$ из множества $M$ существует один-единственный элемент

$$x = g(y)$$

множества $E$, для которого

$$f(x) = y,$$

то отображение $f$ является обратным, а

$$y \rightarrow x$$

называется отображением, обратным к отображению $f^*$.

Обратимое отображение $E$ на $M$

Обратимое отображение $E$ в $M$

Таким образом, обратимость отображения $f$ означает, что у него есть обратное отображение $g$. Отображение, обратное к $f$, приято обозначать знаком $f^{-1}$. Например, если

$$f(x) = x^3,$$

то

$$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}.$$

Так как слово «функция» есть просто синоном слова «отображения», то тем самым мы определили и смысл выражения «обратная функция».

*) Такие отображения называются еще взаимно однозначными отображениями $E$ на $M$.

34

Попробуйте сами повторить сказаное выше, употребляя вместе слова «отображение» слова «функция».

Ясно, что область определения обратной функции $f^{-1}$ является множество значений функции $f$, а множество значений $f^{-1}$ есть область определения функции $f$.

Функцией, обратной к обратной функции $f^{-1}$, является исходная функция $f$:

$$(f^{-1})^{-1} = f.$$

Таким образом, функции $f$ и $f^{-1}$ всегда взаимно обратны.

При мер 7. Существуют функции, которые сами себе обратны. Таковые функции

a) $f(x) = x,$
b) $f(x) = \frac{1}{x},$
b) $f(x) = \frac{x}{x-1}$.

Проверьте! Графики этих функций даны на рисунке 5. Заметьте, что все эти графики симметрины относительно биссектрисы первого и третього квадратов, т. е. прямой $y=x$.

Изображим схематически соответствия между разными видами отображения множества $A$ на множество $B$ и $A$ в множество $B$.

Напомним еще раз, что самый общим понятем является понятие отображения $A$ в $B$. Если при таком отображении образ $A$ совпадает с $B$, говорят об отображении $A$ на $B$.

35

Обратимые отображения называют еще взаимно однозначными отображениями. Этот термин вам часто встретиется в книгах. Но не принято говорить о «взаимно однозначных функциях». Так как мы считаем слова «функция» и «отображение» синонимими, то вместе слов «взаимно однозначный» мы предполили применять слова «отображаемая функция» или, что то же самое, «отображенное отображение».

В последнее время в нашей литературе получила еще распространение французская терминология:

1. отображение $A$ на $B$ французы называют «сюрьективными», или «сюрьективными»;
2. отображемые отображения $A$ в $B$ они называют «инъективными» или «инъекциями»;
3. отображемые отображения $A$ на $B$ во французской терминологии называются «биективными», или «биекциями».

Обратите внимание на то, что при визитальном отношении к употреблению предлогов «в» и «на» такое общие терминов излишне.

3 АДАЧИ

Нуликом отмечены совсем легкие вопросы, отвечая на которые, вы можете проверить, поняли ли вы написанное в статусе. Более трудные задачи отмечены звездочкой. Не обязательно их решать все.

1. Введение

1.0. Найдите области определения и множество значений следующих функций:

a) $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$, 6) $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

2. Целой частю числа $x$ называется наиболее целое число, не превысаящее $x$. Целая часть $x$ обозначает $[x]$. Например,

$$[0] = 0, [7,5] = [7] = 7, [-0,3] = -1, [-\pi] = -4.$$

Разность $x - [x]$ называется дробной частю числа $x$ и обозначает $\{x\}$. Постройте графики следующих функций и найдите их области определения и множество значений:

a) $f_1(x) = [x]$, 6) $f_2(x) = \{x\}$, b) $f_3(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$, r) $f_4(x) = \left| \{x\} - \frac{1}{2} \right|$,

$$d^*) f_5(x) = \left[ \frac{1}{x} \right], e^*) f_6(x) = \frac{1}{[x]}, j^*) f_7(x) = \left\{ \frac{1}{x} \right\}, 3^*) f_8(x) = \frac{1}{[x]}.$$

3 *. Для любого натурального числа $n$ определим $s(n)$ как сумму делителей числа $n$ (не считая самого $n$). Например,

$$s(1) = 0, s(2) = 1, s(6) = 6, s(12) = 16, s(28) = 28, \dots$$

Доказать что, $s(n)$ не принимает значений 2 и 5.

2. Функция

4.0. Два целых ($A$ и $B$) могут поселиться в двух комнатах четырьмя способами:

Сколько способами можно поселить: a) двух целых в трех комнатах, b) трех целых в двух комнатах, b) трех целых в двух комнатах так, чтобы ни одна из комнат не осталась незаанятой?

36

5. Множество $M$ состоит из трех элементов, а множество $N$ — из двух элементов. Сколько существует: а) отображений $M$ в $N$, б) отображений $M$ на $N$, в) отображений $N$ в $M$, г) отображений $N$ на $M$?

6. Сколько существует семизначных телефонных номеров? Какое число из них образовано только цифрами 0, 1, 2 и 3?

7. Докажите, что существует более миллиона функций, принимающих только два значения 0 и 1 и определенных на множество первых двацати натуральных чисел.

8. Множество $M$ состоит из $m$ элементов, а множество $N$ из $n$ элементов. Сколько существует функций, определенных на множество $M$ со значениями, принимающих $N$?

Заметим и е. Задание 8, 11, 18, 19 принимает к числу основных задач комбинаторики. Мы приводим их здесь, чтобы показать, что комбинаторика в значительной связи с частями и занимается подсчетом числа отображений того или иного типа конечных множеств в конечные множества.

9. Сколько способами можно рассадить: а) двух гостей на двух стульях, б) трех — на трех стульях, в) шестеры — на шестей стульях?

10. Множество $E$ состоит из шести элементов. Показать, что существуетровно 720 функций, для которых $E$ является как область определения, так и множество значений.

11. Отображение конечного множества на себя называется подстранной. Число различных подстановок множества зависит только от числа его элементов $n$ и обозначется $n!$. Показите, что

$$1! = 1, \ 2! = 2, \ 3! = 6, \ 4! = 24, \ 5! = 120, \ 6! = 720.$$

Укажите общий способ вычисления $n$!

3. Обратная функция

12.0. Какие из следующих функций обратны и какие не обратны?

$$f_1(x) = x^3, \ f_2(x) = x^4, \ f_3(x) = x^{17}, \ f_4(x) = x^{18}$$

13. В классе за каждой парой сидит не более двух человек. Поставим в соответствии каждому ученику его соседа по парте, а если он сидит один, то его самого. Каково будет обратное обратение?

14. Пусть каждому слову русского языка поставлено в соответствии с словом, записанное теми же буквами, но в обратном порядке (словом называется последовательность букв). Является ли эта функция обратной? Если да, то какова обратная функция?

15. Отображение конечного множества на себя всегда обратимо. Дайте пример необратного отображения множества натуральных чисел на себя.

16. Девять туристов должны разместиться в трех lodках. Сколько способами они могут это сделать, если требуется, чтобы a) в каждой lodке было по три человека, b) в каждой lodке было не более четырех и не менее двух человек, b) в каждой lodке плыл хотя бы один турист? (Лодки имеют номера: № 1, № 2, № 3.)

17*. Если у хозяйв доставочного студентов, то не принято скажать на один студоль одного гостя: множество гостей отображается в множество студентов обратным образом. Если в комнате всего шесть студентов, то сколькими способами можно рассадить на них: a) одного гостя, b) двух гостей, c) четырех, d) пяты, e) шесть гостей?

18*. Обратные отображения одного конечного множества $M$ в другой конечное множества $N$ называются размещением (гостей «размещаются» по стульям). Число отображений множества $M$ в множестве $N$ зависит только от числа элементов $m$ множества $M$ и числа $n$ элементов множества $N$ и обозначется $A_m^n$. Показите, что

$$A_1^1 = 1, \ A_2^1 = A_2^2 = 2, \ A_3^1 = 3, \ A_3^2 = A_3^3 = 6, \ A_1^2 = 90,$$

и установлен общее правило вычисления $A_n^m$. Показите, что всегда $A_n^{n-1} = A_n^n$.

19*. Задание 16в может быть сформирована абстрактно: сколько существует отображений множества из девятых элементов на множестве из трех элементов. Обозначим $D_n^m$ число отображений множества из $n$ элементов на множестве из $m$ элементов. Проверьте, что

$$D_3^2 = 6, \ D_4^2 = 12, \ D_4^3 = 36, \ D_n^n = n!$$

Попробуйтеать общее правило вычисления $D_n^m$ (это несколько более трудная задача, чем задачи 8, 11 и 18).

20*. Сколько существует функций, определенных на множестве из 28 элементов, которые принимают каждое из четырех значений П, К, С и В по шесть раз?

Это задача о числе способов справедливо распределить в февраль дежурства между Петей, Колей, Сашей и Володей (пример 3 на стр. 29).