[Объявление о приёме в школу-интернат при ЛГУ]

51

1. Доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел $a$ со следующими свойствами: число $z = n^4 + a$ не является простым или для какого натурального $n$ (ГДР, 5 очков).

2. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — действительные постоянные, $x$ — действительное переменное и
   $$f(x) = \cos(a_1+x) + \frac{\cos(a_2+x)}{2} + \frac{\cos(a_3+x)}{2^2} + \dots + \frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}.$$
   Доказать, что из $f(x_1) = f(x_2) = 0$ следует, что $x_1 - x_2 = m$, где $m$ — целое число (Венерия, 7 очков).

3. Для каждого значения $k = 1, 2, 3, 4, 5$ найти необходимые и достаточно условия, которые должны удовлетворять число $a > 0$ для того, чтобы существовал терраэр, $k$ ребер которого имеют длину $a$, а остальные $6 - k$ ребер — длину 1 (Полыша, 7 очков).

Во второй день были предложены задачи:

4. Полуокружность $\gamma$ построена на диаметре $AB$. Точка $C$ лежит на $\gamma$ и отличают $A$ и $B$. Ортогonalную проекцию $C$ на $AB$ обозначим через $D$. Расмотрим три окружности $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$, имеющие $AB$ в качестве общей касательной: из них $\gamma_1$ вписана в треугольник $ABC$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$ обе касаются отрезка $CD$ и $\gamma$. Доказать, что $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ имеют вторую общую касательную (Голландия, 6 очков).

5. В плоскости данных $n > 4$ точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Показать, что можно найти не менее $C_n^2 - 3$ выпуклых четырехугольников с вершинами в четырех из данных точек (Монголия, 7 очков).

6. Доказать, что если $x_1 > 0, x_2 > 0$ и $x_1y_1 - z_1^2 > 0, x_2y_2 - z_2^2 > 0$, то
   $$\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1-z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1 - z_1^2} + \frac{1}{x_2y_2 - z_2^2}.$$
   Установить необходимые и достаточно условия, при которых в данной неравенстве имеет место равенство (ССCP, 8 очков).
   Н. С. Петраков

Школа-интернат при ЛГУ принимает успешно окончивших сведений и восьмой класс общеобразовательной школи и проявивших способности к изучению естественных предметов, проживающих в Архангельской, Волгодской, Калининградской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Карельской и Коми АССР, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР.

Для поступления в восьмой класс школьи-интерната необходимо сделать конкуренный экзамен по математике (письменно) и проити собственование с представлениями приемной комиссии (с физиком, математиком или биологом).

В восьмые классы принимаются учащся, применущественно проживающие в сельской местности, в рабочих поселках, небольших городах Северо-Запада.

Поступление в девятый класс сделают письменный экзамен по математике, устный по физике. Поступление на физико-mатематическую специализацию проходят собственание по математике, на химico-biolогическую — либо по химии, либо по биологии.

Вступительные экзамены проходят во время весенних каникул одновременно с областным (песпубликанским) туром физико-mатематической, химической и биологической олимпiadы, а также в июне в области иеспубликанских центрах среди кандидатов, отображенных организами народного образования.

Желание участовать в конкурсных экзаменах предметов в органы народного образования (ОБЛОНО или Министерство просвещения Республики):

Рекомендацию педагогического совета своей школе.

Характеристику (утвержденную педагогическую советом).

Заявление родитель или лице их заменяющих.

Medицинский справку (форму № 26).

Вопрос о зачислении в интернат решается в приемной комиссии в Ленинграде. Решение приемной комиссии сообщается до 10 июля.

Наш адрес: Ленинград, П—228, улца Савушкина, 61. Специализированная школа-интернат при Ленинградском университете.