Случай с методом математической индукции

37

Случай с методом математической индукции

Однажды учитель задал ученикам 10-го класса на дом следующую задачу:

Доказать, попытясь методом математической индукции, что при любом натуральном $n$ верно неравенство

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2n} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

Коля В. нашел дома следующее решение;

a) При $n = 1$ неравенство верно, так как

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

6. Покажем, что из условия $P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ вытекает справедливость неравенства $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+2}}$. Для этого достаточно показать, что

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

или

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n+1}{n+2}},$$

или

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3.$$

или

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

или

$$0 < 3n + 2,$$

что, очевидно, верно. Таким образом, справедливо доказываемого неравенства следует из принципи математической индукции.

Однако, рассказывая в школе это решение, Коля забил поставить в знаменателье единицу и стал доказывать более «грубое» неравенство:

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Вот что у него получилось:

a) При $n = 1$ неравенство верно, так как

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{1}.$$

6. Покажем, что из условия $P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$ следует $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. Для этого достаточно показать, что

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}},$$

или

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n}{n+1}},$$

или

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3n,$$

или

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

или

$$0 < 3n + 2,$$

что, очевидно, верно. Таким образом, справедливо доказываемого неравенства следует из принципи математической индукции.

Разобравшимся в этом вопросе предлагаем доказать два неравенства:

1. $P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}$.

Интересно, что в этом неравенстве коэффициент 3,1 нельзя заменить на 3,2. Самый большой коэффициент, при котором оно остается верным, равен π (отношение длинны окружности к диаметру).

2. $\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$.