[Задачи М56—М60; Ф66—Ф71]

Квант 1970, №12 с. 32-33 Тег 21Q8

ЗАДАЧНИК
кваша

М56. На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единиц и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторили этот процесс, мы никогда не получим набора из девятей единиц.

М57. а) Найти число $k$ , которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делитель (включая 1 и $k$ ).

Доказать, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замени 14 на 17 решений вообше не будет.

М58. На плоскости даны три прямые, пересекающие в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами неокоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.

М59. Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г,…, $n$ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$ это удасса сделать?

М60. Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвует лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

Ф66. К батарее с э. д. с. 9 волт и неизвестным внутренним сопротивлением подключены последовательно амператор и волтметр (рис. 1). Сопротивления приборов неизвестны. Если паралельно волтметру включено сопротивление (его величины тоже

В этом номере все задачи по математике взяты из брошюры «Математические задачи»), новое, переработанное издание которого скорой выдает из печати.

Рис. 1.
неизвестна), то показание амператора вдвое увеличивается, а показание волтметра вдвое уменьшается. Каким стало показание волтметра после подключения сопротивления?

А. Р. Зильберман

Ф67. Буферное устройство (рис. 2) состоит из стержня $A$ ,ружины $B$ , надетой на стержень, и направляющей втулки $C$ . Втулка может перемещаться внутри канала, сделанного в массивной стене $D$ . При движении втулки $C$ между ее внешней поверхностью и стеной действует постоянная по величины сила трения $F_{\tau p}$ . Стержень втулки иружина по стержню перемещаются без трения.

На торцевую поверхность стержня $A$ налетает шар массы $M$ , имея перед соударением скорость $v_0$ . С какой скоростью шар отлетит?

Массы стержня,ружины и втулки пребрежимо малы по сравнению с массой шара. Коэффициент жесткостиружины $k$ .

В. К. Петерсон, 31-я школьная физическая олимпида МГУ, 1970 г.

*) Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь, А. К. Толпго, Математические задачи, издание 3-е, «Наука» (серия «Библиотека физико-математической школи»).

Рис. 2.

Ф68. Степки сосуда, в котором находится газ, имеет температуру $T$ . Температура газа $T_1$ . В каком случае давление газа на стенки сосуда больше: когда стенки сосуда холоднее газа ( $T < T_1$ ) или когда теплое ( $T > T_1$ )?
Г. Я. Мякциев, 31-я школьная физическая олимпида, МГУ, 1970 г.

Ф69. В сосуд с водой погружается свинцовый шар. В какую сторону выгнется поверхность воды в сосуд за счет дополнительного поля тяготения, создаваемого шаром?

Ф70. Велосипедист легко развивается слиу тягги 10 кГ. Сила треня не превышает 5 кГ. Казалось бы, за несколько часов велосипедист может достичь второй космической скорости. Однако это еще нikому не удавалось. Почему?
Физiko-mатематическая олимпида МИЭМ, 1969 г.

Ф71. Имеется равномерно заряженный отрезок $AB$ . Как направлена направленность электрического поля, создаваемого этим отрезком в точке $C$ : по медиане треугольника $ABC$ ? по его биссекtrice? по высоте? ни по одной из этих линей?
Физiko-mатематическая олимпида МФТИ, 1970 г.

Помогите художнику!

Художник должен изобразить на рисунке тонкую линию. Можно, конечно, проверить просто черную линию на белом фоне, но наш художник любит разнообразные яркие цвета.

Сделаем следующие предложения о типографских возможностях передачи цвета (см. рисунок на обложке журнала). Кроме белого, существует четые основных цвета: розовый ( $P$ ), желтый ( $Ж$ ), голубой ( $Г$ ) и черный ( $Ч$ )— и еще четые смещанных: красный ( $P+Ж$ ), сиреневый ( $P+Г$ ), зеленный ( $Ж+Г$ ) и коричневый ( $Ж+P+Г$ ). Черный цвет в смеси с любым дает снова черный цвет. Для простоты мы считаем, что «полутонов» не существует.

Спрашивается, сколькоми способами можно нарисовать цветную линию на цветном фоне (и линия, и фон могут быть любых, но, разумется, различных цветов; можно использовать и белый цвет)? Ответ оченьен: 72 = 9x8. Для фона можно выбрать любой из 9 цветов, затем для линии — любой из остальных 8 цветов (кроме уже выбранного для фона).

Но нужно учеть еще одно обстоятельство: поскольку красный краски накладываются при печати не одновременно, а последовательно, то они могут не сколько сместиться одна относительно другой. Поэтому, скажем, вместе зеленой линия на розовом фоне может получиться белый процесс и рядом коричневая (или даже отдельно красная и сиренвая) линия. Нас это не устранает. Пусть уже цвета смещаются, но линия тем не менее должна быть одна! Подсчитайте, сколькоми способами художник может удовлетворить это требования.