23
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
ИНВЕРСИЯ
и задага Аполлония
А. П. Савин
КАК ПОЙМАТЬ ЛЬВА В ПУСТЫНЕ?
Наблюдатель в пустые нахождения в круглой клетке. Лев нахождения в клетки. Производится инверсия. Тогда лев попадет в клетку, а нахождение — вне ее.
Из аспиранского фольклora
МГУ 20-х годов
Геометрия в переводе с греческою — землемерие. Своим рождением она обязана древним землемерам, архитекторам, строители. Не имеет тех совершенных приборов, которые вооружены их потомки, они обходились простейшим средствами: циркулем, линейкой и мерной лентой. Естественно, что древние математики пользовались именно эти средствами для геометрических построений, отвергнуть лишь merную ленту, как инструмент неточный.
Порой поражаешься, как много разнообразных задач на построение они могли решать, использую лишь эти простейшие инструменты.
Казалось, что нет таких задач на построение, которые нельзя было решить с помощью циркуля и линейки.
Но такие задачи нашлись. Многие математики ломали голову над задачи «трисекции угла» и «удвоения куба». Лишь в конце прошло века была доказана их неразрешимость *). Однако и сейчас еще встречаются учадки, пытающиеся осуществить трисекцию угла с помощью лишь циркуля и линейки.
Из задач, волне разрешимых с помощью циркуля и линейки, одной из самых интересных является задача выдающегося древнегреческого гео-
*) Задача о трисекции угла: «Указыть способ деления любого угла на три равные части»; задача об удвоении куба: «Найти ребро куба, объем которого вдвое больше объема данного куба». Доказательство неразрешимости этих задач можно найти в книге «Энциклопедия элементарной математики», т. IV, «Геометрия», М., Физматиз, 1963, стр. 220—223.
24
метра Аполлония из Перги *), которая формируется так:
Известно, что решение этой задачи содержалось в сочинении Аполлония «О касаниях», но само сочинение было utterно. В дальнейшем задача Аполлония породила многочисленные математические исследования, к ней обращались и также выдающие математики, как Л. Эйлер и И. Г. Ламберт.
В настоящее время существует много различных решений этой задачи, одно из них будет приведено здесь. Однако цель этой статьи — не только расссказать о решении задачи Аполлония, но и вооружить вас «методом инверсии», использованным в этом решении.
Инверсия
О пределене. Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Инверсей относительно этой окружности называется следующей преобразование плоскости: каждый точке M плоскости, отличной от точки O, ставится в соответствие точка M’, лежащая на луче OM на расстоянии от точки O. Точка O называется центром инверсии, а число — степень или коэффициент инверсии.
*) Аполлоний (ок. 260—170 гг. до н. э.) родился в городе Перга — одной из колоний Греции в Малой Азии, долго время работы в Александрии, а затем вернулся в Пергу. Его сочинения о концепциях ценных легли в основе изучения алгебраических кривых (кривых, задаваемых уравнениями), а применяемый им метод приведЕкарта и Ферма к созданию аналитической геометрии.
Инверсия еще называют преобразением обратными радиусами, а также симметрией относительно окружности. Она была введена в 1830 году немецким математиком Л. Магнусом, однако встречается в трудах самого Аполлония, например в сочинении «О плоских геометрических местах». После своего второго рождения инверсия оказалась мощным инструментом в математических исследованиях.
Рассмотрим ряд свойств инверсии.
-
Точки на выборной нами окружности при инверсии переходят в себя; точки, лежащие внутри окружности, переходят во внешние точки (кроме точки O), а внешние точки — во внутренние.
-
Если при инверсии фигура Ф переходит в фигуру Ф’, то фигура Ф’ переходит в фигуру Ф.
-
При инверсии точки, лежащие на прямой, проходящей через центр инверсии, переходят в точки P, а точки P — в точку O. Тогда и любые две прямые пересекались бы в точке P. Верятоно, теперь вам легче будет понять следующее свойство инверсии.
-
Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Доказательство. Опустим из точки O перепедикляр на прямую (рис. 1). Найдем для точки P — основания перепедикляра — точку P’, в котором она переходит при инверсии. Пусть теперь M — произвольная точка данной прямой и M’ — точка, в которой она переходит при инверсии. Тогда из соответствия
26
Решение задачи Аполлония
Итак, путь на плоскости даны три окружности… Стоп! Взгляните на рисунок 3. Сколько большим числом способов могут быть расположены три окружности, даже если мы разрезим им либо касаться, либо вообще не иметь общих точек? А если рассмотреть возможность с пересечениями? Нeyужели рассматривать каждой случай в отдельности? Конечно, нет! Расмотрим сначала сразу все случаи, в которых хотя бы две из данных окружностей касаются (безразлично, внешним или внутренним образом). Приимем интересно относительно вспомогательной окружности произвольного радиуса с центром в точке касания данных окружностей. Тогда по свойству 7 касающейся окружности перейдет в паралельные прямые, третья окружность—в окружность или прямую. Искомая окружность должна получаться инверсей из окружности, касающейся указанных паралельных прямых и окружности (или прямой). А задачу «построить окружность, касающейся двух данных паралельных прямых и данной окружности (или прямой)» каждой из вас, найдесь, может решить в течение нескольких минут. Построение, естественно, должно быть произведено с использованием лишы циркуля и линейки. А теперь заметим, что с помощью только циркуля и линейки мы легко можем построить ту окружность или прямую, в которой переходит любая данная окружность или прямая при инверсии относительно каждой линии окружности. Для этого нужно выбрать на ней какие-нибудь три точки, построить точки, в которых они переходят (это вы имеете дело), а затем через полученные три точки проведите окружность (или прямую).
Из всего сказанного вытекает следующий ход построения:
a) построить паралельные прямые и окружность (или прямую), в которых переходит данные окружности при инверсии относительно вспомогательной окружности с центром в точке касания;
b) построить окружности (их может быть несколько), касающейся полученных прямых и окружности (или прямой);
b) на трех первоначальной данных окружностей отметить те точки, которые переходят в найденные точки касания;
г) по каждой тройке точек восстановить исходные окружности.
Рис. 3. Три окружности на плоскости можно расположить многоими способами.