Задачи М371—М375; Ф383—Ф387

38

Задачи
M371—M375;Ф383—Ф387

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 мая 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, ул. Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». Последа на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта»» M371 или «…Ф383».
Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просба присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в различных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). Последе формулировки задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Нанболее трудные задачи отмечены звездочкой.

M371. В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причем в разных клетках — разные числа. За один вопрос, указывая любую совокупность полей, узнать совокупность (множество) чисел, стоящих на этих полях. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой клетке?

C. Фомин

M372. Дан треугольник ABC. Доказать, что условие $ACB \geq 120^\circ$ необходимо и достаточно, чтобы для любой точки P плоскости выполнялось неравенство $|AP| + |BP| + |CP| \geq |AC| + |BC|$.

П. Хайдуков

M373. a) Все натуральные числа (записанные в десятичной системе) разбиены на два класса. Докажите, что любую бесконечную десятичную дробю разрезать на такие конечные куски, чтобы все они, кроме, быть может, первого куска, принадлежали одному классу.
b) Та же задача, но натуральные числа разбиены не на два, а на несколько классов.

M374. Пусть $a, b$ и $c$ — положительные числа, $a > c$ и $b > c$. Докажите неравенство
$$\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$$
A. Резников

M375. Внутри выпуклого многогранника объема 1 отмечено $3 \cdot (2^n - 1)$ точки.
Доказать, что из него можно вырезать выпуклого многогранника объема $(1/2)^n$, не содержащий внутри себя ни одной отмеченной точки.

B. Макеев

Ф383. Цепочка массы $m$ и длины $l$ надета на главный круговой конус с углом при вершине $2\alpha$. Конус вместе с цепочкой вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрики конуса. Плоскость цепочки горизонтальная. Найти наяжение цепочки.

Ф384. Две взаимодействующие между собой частицы 1 и 2 с массами $m_1$ и $m_2$ соответственно об-