Сложение гармонических колебаний

44

Сложение гармоничских колебаний

В п. 80 § 16 учебника «Алгебра и начала анализа 10» понятие гармоничского колебания вводится на примере движения шарика, прикрепленного к двум горизонтальным пружинам (рис. 1). О физических процесах, в которых естественно возникнет гармоничное колебания, мы здесь говорить не будем. Наша цель — разобраться со сложением гармоничских колебаний одинаковой частоты.

Как мы уже отмечили (рис. 1), гармоничское колебание можно представить как колебание точки начала координат O вдоль оси Ox. График этого движения такой же, как у функции

$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi).$$

Нанбольшее отклонение точки x(t) от точки O в процессе колебания равно, разумеется, числу |A| и называется амплитудой колебания. Перiod колебания равен $$\frac{2\pi}{|\omega|}.$$ Величина |ω| называется частотой колебания. Начальное положение точки x(t) (в момент времени t=0) задается величиной A cos φ.

Разумеется, одно и то же гармоничное колебание может быть задано различными формулами.

На примере движения колебающихся точек посящим, что означает сложение двух гармоничских колебаний. Если одна точка x₁ с начальным положением на оси Ox A₁cos φ₁ совершает колебание по закону x₁(t) = A₁cos(ω₁t + φ₁), а другая точка x₂ с начальным положением A₂cos φ₂ — по закону x₂(t) = A₂(cos ω₂t + φ₂), то суммой этих колебаний будет колебание неокоторой точки x с начальным положением A₁cos φ₁ + A₂cos φ₂ по закону x(t) = A₁cos(ω₁t + φ₁) + A₂cos(ω₂t + φ₂). Оказывается, что если точки x₁ и x₂ колебются с одинаковой частотой ω₁ = ω₂ = ω, то суммой их будет также гармоничское колебание той же частоты ω. Этот факт в п. 82 § 16 учебника выводится из того, что сумма двух решений дифференциального уравнения y’’ = -ω²y — снова решение этого уравнения (а все его решения имеют вид y = A cos(ωt + φ). А нельзя ли получить этот результат как-нибудь попрощше, не зная дифференциальных уравнений?

Можно попробовать складывать гармоничное колебания графически. На рисунке 2 изображены графики двух функций с одинаковым периодом: y = 2cos(2t + π/3) и y = cos(2t + π/6). По этим двум графикам совсем неопонятно, что их сумма y = 2cos(2t + π/3) + cos(2t + π/6) будет гармоничим колебанием. Так что, как видим, это не очень-то удобно.

Рис. 1.

45

В случае, когда $\omega_1 = \omega_2 = \omega$, гораздо проще проиллюстрировать сложение гармонических колебаний с помощью их векторных диаграмм. Объясним, что это такое.

Прежде всего условия гармоничное колебание записывается в виде $A \cos(\omega t + \varphi)$, где $A > 0$, $\omega > 0$ и $\varphi \in [0, 2\pi]$. К таким виду мы можем привести любое гармоничное колебание. Рассмотрим теперь некоторую систему координат $XOY$ и возьмем окружность радиуса $A$ с центром $O$ в начале координат (напомним, что $A$ выбрано положительным). Предположим, что по этой окружности против часовой стрелки движется некоторая точка $P(t)$ — ее положение зависит от времени $t$, — так, что вектор $\vec{OP}(t)$ врашается равномерно, проходя $\omega$ радиан за единицу времени ($\omega$ выбрано положительным). Допустим, что в начальной момент времени $(t = 0)$ вектор $\vec{OP}(0)$ составляет с положительным направлением оси $OX$ угол $\varphi$ ($\varphi \in [0, 2\pi]$), то есть, что координаты точки $P(0)$— это $(A\cos\varphi; A\sin\varphi)$. Тогда угол, который образует вектор $\vec{OP}(t)$ с положительным направлением оси $OX$ в момент времени $t$, равен $\omega t + \varphi$, так что координаты вектора $\vec{OP}(t)$— это $(A\cos(\omega t + \varphi); A\sin(\omega t + \varphi))$, и мы получаем, что проекция точки $P(t)$ на ось $OX$ и проекция точки $P(t)$ на ось $OY$ совершают гармони-ческие колебания, имеющие одинаковые амплитуды и частоты! Поэтому гармоничное колебание точки, например, на оси $OX$, можно интерпретировать как колебание проекции некоторого вектора $\vec{OP}(t)$, равномерно врашающего вокруг точки $O$, на ось $OX$. Начальное положение вектора $\vec{OP}(t)$, то есть $\vec{OP}(0)$, определяет амплитуду колебания (она равна длине вектора $\vec{OP}(0)$) и начальное фазу $\varphi = (\vec{OP}(0), \vec{OX})$; — нет только частоты. Вектор $\vec{OP}(0)$ и называется векторной диаграммой гармоничского колебания с амплитудой $A$ и начальной фазой $\varphi$.

Задача 1. Нарисуйте векторные диаграммы следующих гармоничных колебаний:

a) $-3\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$; b) $3\cos\left(2t + \frac{4\pi}{3}\right)$; c) $3\cos\left(-2t + \frac{2\pi}{3}\right)$; d) $3\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$; e) $3\sin\left(-2t + \frac{\pi}{3}\right)$.

С помощью векторных диаграмм разобрать со сложением гармоничных колебаний уже легко. Нарисуем векторные диаграммы двух гармоничных колебаний (одинаковой частоты!): векторы $\vec{OP}_1$ и $\vec{OP}_2$ (рис. 3). Тогда векторной диаграммой суммы этих колебаний будет вектор $\vec{OP} = \vec{OP}_1 + \vec{OP}_2$. В самом деле,

46

Рис. 3.

проекции векторов $\vec{OP}_1(t)$ и $\vec{OP}_2(t)$ на ось $OX$ записьюются так:
$$x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1),$$
где $A_1 = |\vec{OP}_1|$, $\varphi_1 = (\vec{OP}_1, \vec{OX})$;
$$x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2),$$
где $A_2 = |\vec{OP}_2|$, $\varphi_2 = (\vec{OP}_2, \vec{OX})$.
Проекция на ось $OX$ их суммы $\vec{OP}(t) = \vec{OP}_1(t) + \vec{OP}_2(t)$ равна $x_1 + x_2$, то есть $A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(\omega t + \varphi_2)$, так что вектор $\vec{OP}$ в самом деле является векторной диаграммой для суммы наихих гармоничских колебаний.

Заметим теперь, что вектор $\vec{OP}(t)$ — диагональ параллелограмма со стороны $OP_1(t)$ и $OP_2(t)$ (см. рис. 3). Поскольку векторы $\vec{OP}_1(t)$ и $\vec{OP}_2(t)$ врашают с одинаковой угловой скоростью, весь параллелограмм врашается как жесткая фигура. Поэтому и диагональ его врашается с той же угловой скоростью $\omega$, так что проекция вектора $\vec{OP}(t)$ на ось $OX$ (абсцисса точки $P(t)$) совершает гармоничское колебание с той же частотой $\omega$, что и проекции векторов $\vec{OP}_1(t)$ и $\vec{OP}_2(t)$ на ось $OX$ (абсциссы точек $P_1(t)$ и $P_2(t)$).

Ясно, как вычислить амплитуду и начальную фазу этой суммы (амплитуда — это диагонали параллелограмма, а начальная фаза — угол, который эта diагональ составляет с осью $OX$ — см. задачу № 260 на с. 59 учебника).

Задча 2. Изображите векторные диаграммы суммы колебаний $a$ и $b$, г) и е) из заданий 1 и найдите их амплитуды и начальные фазы.

С помощью векторных диаграмм можно доказать еще одно важное утверждение, именно, что всякое гармоничское колебание можно представить формулой $f(t) = a \cos \omega t - b \sin \omega t$. Остановимся на этом подробнее.

Пусть у нас есть гармоничское колебание $A$ cos $(\omega t + \varphi)$ с частотой $\omega$, и пусть $\vec{OP}(0) = (A \cos \varphi; A \sin \varphi)$ — его векторная диаграмма в системе координат $XOY$. Пусть $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — взаимно перпендикулярные единичные векторы, заданное систему координат $XOY$ (см. п. 70 § 14 учебника «Алгебра и начала анализа, 9»). Тогда $\vec{OP}(0) = A \cos \varphi \cdot \vec{i} + A \sin \varphi \cdot \vec{j}$. Допустим теперь, что векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ равномерно и одновременно с вектором $\vec{OP}(t)$ врашают вокруг точки $O$ с той же угловой скоростью $\omega$, что и вектор $\vec{OP}(t)$. Тогда $\vec{i}(t) = (\cos \omega t; \sin \omega t), \vec{j}(t) = (-\sin \omega t; \cos \omega t)$. Поскольку векторы $\vec{OP}(t)$, $\vec{i}(t)$ и $\vec{j}(t)$ врашают как жесткая фигура, и в начальный момент времени $\vec{OP}(0) = a \cdot \vec{i} + b \cdot \vec{j}$ ($a = A \cos \varphi, b = A \sin \varphi$), то в момент времени $t$ х-я координата, то есть число $A \cos (\omega t + \varphi)$, вектора $\vec{OP}(t)$ будет равна сумме $x-x$ координат векторов $a \cdot \vec{i}(t)$ и $b \cdot \vec{j}(t)$, то есть $A \cos (\omega t + \varphi) = a \cos \omega t - b \sin \omega t$.

Таким образом, мы представили гармоничское колебание $A$ cos $(\omega t + \varphi)$ в виде суммы двух также гармоничских колебаний той же частоты $\omega : a \cos \omega t - b \sin \omega t$ (ведь график синуса — это сдиинутый по фазе на четверть перiode график косинуса.