Где ошибка?

38

Задание 9. Длины ребер SA и BC метраэдра SABC равны a, ребер SB и AC—b, ребер SC и AB—с. Определить его объем.

Решение. Пусть вершины A, B, C метраэдра SABC являются серединами ребер NK, MK и MN метраэдра SMNK (рис. 12). Тогда $|KN|=2|BC|=2a$, $|MN|=2|AB|=2c$, $|KM|=2|AC|=2b$. По условию задачи $|AS|=a$, $|BS|=b$, $|CS|=c$. Следовательно, в треугольнике KSN длина медианы AS равна половине длины стороны KN и, следовательно, $\triangle KSN$ — прямогольный ($\widehat{KSN}=90^\circ$). Аналогично доказываем, что $\widehat{NSM}=\widehat{MSK}=90^\circ$. Если треугольник SMNK поставить на боковой грань, например, SKM, то ребро SN будет его высотой и, следовательно, $V_{SKNM}=\frac{1}{6}|SK|\times|SN|\cdot|SM|$.

Объем искомой примиды составляет $\frac{1}{4}$ часть объема примиды SKNM (треяэдры SKAB, SANC, SMCB и SABC равновелики), поэтому $V_{SABC}=\frac{1}{24}|SK|\cdot|SN|\cdot|SM|$.

Положим $|SM|=x$, $|SN|=y$, $|SK|=z$; тогда

$$\begin{cases} x^2+y^2=4c^2, \\ x^2+z^2=4b^2, \\ y^2+z^2=4a^2. \end{cases}$$

Отсюда

$$x^2+y^2+z^2=2(a^2+b^2+c^2).$$

Вычтя из уравнения (4) каждое из уравнений системы (3), получим

$$\begin{cases} z^2=2(a^2+b^2-c^2), \\ y^2=2(a^2+c^2-b^2), \\ x^2=2(b^2+c^2-a^2). \end{cases}$$

Отсюда

$$x^2y^2z^2=8(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2).$$

Искомый объем равен:

$$V=\frac{1}{12}\sqrt{2(a^2+b^2-c^2)}\times(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2).$$

Уражнения

1. Для данного треугольника построить прямогольник с данной диагональной так, чтобы на прямой, содержащей одну сторону треугольника, лежали две вершины прямогольника, а на двух других сторонах треугольника — по одному вершине этого прямогольника.

2. Построить квадрат так, чтобы на прямой, содержащей одну сторону данного треугольника, лежали две вершины квадрата, а две других стороны треугольника содержали по одному вершине квадрата.

3. Большое основание правильно четырехугольной усеченной прямиды образует с боковой гранью угол $\alpha$, а с плоскостью, проходящей через противоположные стороны верхнего и нижнего основания, угол $\beta$. Найти отношение площадей оснований.

4. Длины оснований равноведренной трапеции равны a и b ($a>b$), величины угла при большем основании равна $\alpha$. Найти длину радиуса окружности, описанной около трапеции.

5. Определить длину радиуса сферы, касающейся всех ребер правильно треугольра с боковым ребром a.

Где ошибка?

Не вызывает сомнения следующие логические правила: если из высказывания A следем высказывание B и из B следем высказывание C, то из A следем C.

Приименим это правило:

Я утверждаю, что Сократ — буйный человек (A)

Я утверждаю, что Сократ — буйный человек, то тем самым я утверждаю, что Сократ — буйный человек, то я,

разумеется, говорю правду. Получается, что если я утверждаю, что Сократ — буйный человек, то я говорю правду.

Где ошибка?

H. Михайленко

41

кус $F$ лежит перед линзой (по ходу лучей), у рассеивающей — за линзой.

Термины «передний фокус» и «задний фокус» помогают в лаконичной форме формировать правила построения изображений, единые для положительной и отрицательной линз.

Рассмотрим несколько конкретных задач. Все они предлагались на вступительных экзаменах в Московский физico-технический институт.

Задача 1. Зная расположение предмета $A$ и изображения $A'$ относительно главной оптической оси MN линзы (рис. 4), найти построением положение фокусов линз.

Прямая, проходящая через точки $A$ и $A'$, при пересечении с осью MN дает центр линзы $O$ (рис. 5). Перpendикляр к оси MN, восстанавливающий из точки $O$, определяет положение плоскости линзы.

Луч $AB$, параллельный оси MN, предполившись в линзе, проходит через точки $A'$ и задний фокус $F'$ линзы. Если $F'$ лежит за линзой (рис. 5, а) — линза собирающая, если перед линзой (рис. 5, б) — рассеивающая. Симметрично относительно линзы расположен предний фокус $F$.

Построив луч $AC$, проходящий через предний фокус, убедимся, что он после преломления в линзе попадает в точку $A'$.

Задача 2. На рисунке б изображен луч, выведший из рассеивающей линзы. Построить ход луча до линзы.

Проведем побочную оптическую ось параллельно лучу, выведшем из линзы (рис. 7). Лучи, индические после линзы параллельным лучом, до встречи с линзой пересекались в ее передней фокальной плоскости. Соединив точки $A$, в которой побочная ось пересекается с передней фокальной плоскостью, и точку $B$, в которой выведший луч пересекается с плоскостью линзы, определяем направление параллельного луча $CB$.

Задача 3. С помощью собирающей линзы получен сходящей лучок лучей. Как подумать лучи, если на пути луча поставить рассеивающую линзу (рис. 8)?

Проведем побочную оптическую ось, параллельную верхнему лучу лучка (рис. 9). Параллельные лучи после линзы пересекаются в ее задней фокальной плоскости (точка $A$). Продолжив прямую $AB$, найдем ход верхнего луча за линзой. Симметрично построим нижний луч лучка.

Задача 4. Рассеивающий линzy с известным расположением фокальных плоскостей распилли по диаметру. Половинки развинули по вертикали на расстояние $h$ другом друга (рис. 10). Построить изображения точки $A$, лежащей на оси симметрицы системы.

Каждая половина линзы дает свое изобравжение точки $A$. Сначала построим изобравжение в верхней половине линзы. Главная оптическая ось $M_1N_1$ верхней половины проходит через линзы параллельно оси симметрицы системы, $O_1$ — оптический центр верхней части, $AO_1$ — ее побочная оптическая ось (рис. 11).

Проведем произвольный луч $AB$, падающий из точки $A$ на верхнюю часть линзы, и параллельную ему побочную оптическую ось $CD$. После встречи с линзы параллельные лучи пересекаются в задней фокальной плоскости в точке $E$. Точка пересечения прямых $BE$ и $AO_1$ определяет положение изобравжения $A'$.

Нжняя часть линзы дает симметрично расположенное изобравжение $A''$.

В сферических зеркахах изобравжения строятся по тем же правилам, что и в линзах (рис. 12):

1. луч $AO$, проходящий через центр зерка $O$, при отражении от зерка не меняет свое направление;
2. луч $BB_1$, падающий на зерка параллельно главной оптической оси, отражившись, идет через фокус $F$ зерка (напомним, что фокус сферического зерка расположен после меду полюсом зерка $P$ и его центром $O$);
3. луч $DF$, проходящий через фокус, отражившись, идет параллельно главной оптической оси.

Удобно использовать еще один луч: