Квант
Основные статьи

Гипотеза Каталана

Сендеров В. А., Френкин Б. Р.

Квант 2007, №4с. 8Тег 1D5S

8

КВАНТ 2007/№4

Гипотеза Каталана

В.СЕНДЕРОВ, Б.ФРЕНКИН являющиеся степенями (бóльшими первой) натуральных чисел. Получается последовательность: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, … Числа 8 и 9 выделены не случайно – это соседние натуральные числа. Возникает вопрос: существуют ли еще соседние степени натуральных чисел? Впервые этот вопрос поставил бельгийский математик Э.Каталан: в 1844 году он высказал предположение, что уравнение

xy−zt=1x^{y} - z^{t} = 1

(1) имеет единственное решение х = 3, у = 2, z = 2, t = 3 в натуральных числах, больших единицы. Эта гипотеза продержалась почти 160 лет, хотя многие известные математики пытались найти подходы к ее доказательству. В 2003 году румынский математик П.Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Доказа-

тельство Михайлеску весьма сложно и неэлементарно и потому не может быть изложено на страницах нашего журнала. Однако сам результат связан со многими математическими фактами и задачами, которые могут быть изучены в рамках элементарной математики. Например, из доказанной Михайлеску теоремы немедленно получается ответ на вопрос пункта а) задачи М2032 («Квант» №1 за 2007 г.; решение опубликовано в этом номере журнала).

История вопроса

Еще в XIV веке Леви бен Гершон, известный также как Лео Гебракус, доказал, что уравнение 3x−2y=±13^{x} - 2^{y} = \pm 1 имеет единственное решение х = 2, у = 3 в натуральных числах, больших 1. В 1657 году Френикль де Бесси решил в натуральных числах уравнение

x2−py=1x^{2} - p^{y} = 1, где у > 1, а р – простое число.

В 1738 году Л.Эйлер доказал, что уравнение

Иллюстрация В.Иванюка

ВЫПИШЕМ ПОДРЯД НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ЯВ-