Задачи 6—10

Квант 2008, №5 с. 29-31 Тег 76DS

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

Имеются 11 гирь, массы которых равны 1 г, 2 г, 4 г,… …, 1024 г. На каждой гире надписана масса в граммах, но надписи возможно перепутаны. Как за 10 взвешиваний на чашечных весах выяснить, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно)? Удастся ли сделать это за 9 взвешиваний? К.Шрамов
В «неправильной» пятиконечной звезде биссектрисы углов при вершинах пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисы углов внутреннего пятиугольника пересекаются в одной точке. Фольклор

Назовем натуральное число a хорошим, если найдется прямоугольный треугольник с целыми сторонами, одна из сторон которого равна a. Найдите все хорошие числа. Е.Поршнев
Докажите, что через точку пересечения медиан треугольника нельзя провести прямую, которая делила бы его площадь в отношении 2:1. В.Доценко
Концами пятидесяти отрезков на числовой прямой являются все натуральные числа от 1 до 100. Длина каждого отрезка кратна пяти, а сумма всех длин равна 2500. Докажите, что отрезки можно разбить на пять десятков так, что в каждом десятке сумма длин отрезков будет равна 500. В.Произволов

Летний турнир имени А.П.Савина «Математика 6-8»

В выпуклом многоугольнике сумма тупых углов равна $2008^\circ.$ Сколько сторон у этого многоугольника? А.Шаповалов

С 26 июня по 2 июля 2008 года под городом Судиславлем Костромской области состоялся летний турнир математических боев имени А.П.Савина. Это уже 14-й такой турнир, и популярность его растет с каждым годом. Организаторами турнира выступили образовательная программа «Большая перемена» (директор Г.В.Кондаков) и база отдыха «Берендеевы поляны». Лишь размеры базы вынудили организаторов ограничиться 32 командами 6–9 классов. Кроме москвичей, составивших львиную долю команд, в турнире приняли участие команды из Иванова, Кирова, Костромы, Ленинградской области, Магнитогорска, Харькова и Черноголовки. Команды были разделены на 5 лиг: четыре основные лиги по классам и еще одна лига, объединившая четыре оставшиеся команды 6 и 7 классов.

В первый день для разминки была проведена новая математическая игра $«Абака»^{1}$ , вызвавшая большой интерес у школьников. Во второй день у старших школьников начались круговые турниры матбоев (5 туров), у младших прошла устная командная олимпиада для разделения на лиги, а 4 тура матбоев начались со следующего дня. В лиге 9 классов интрига сохранялась до последнего: сборные Магнитогорска (руководитель Н.С.Никифорова), Костромы (руководитель Д.А.Калинин) и «Квантик-1» из Москвы (руководитель И.А.Николаева) выиграли друг у друга по кругу и победили остальные 3 команды. Блиц-бой вывел на первое место Кострому, на 2-е – «Квантик-1», оставив Магнитогорск на 3-м месте. В лиге 8 классов борьба была менее острой: с заметным отрывом, выиграв все бои, победила команда «Эврика» из Харькова (руководитель А.Л.Берштейн), 2-е и 3-е места – у московских

1См. об этом статью К.Кнопа «Абака для математиков» в газете «Математика» («Первое сентября») № 16/2008.

КВАНТ 2008/№5

команд «Л2Ш» (т.е. лицей «Вторая школа», руководитель А.Г.Кондакова) и гимназии 1514 (руководитель Л.О.Бычкова). В лиге 7 классов диплом I степени достался команде «Москва-Юг» (руководитель Т.П.Зорина), дипломы II степени – командам Кирова (руководитель Н.Н.Франчески) и «2007-Б» из Москвы (руководитель Д.В.Прокопенко), дипломы III степени – командам Ленинградской области (руководитель С.П.Павлов) и «2007-А» из Москвы (руководитель О.Е.Данченко). В лиге 6 классов диплом I степени выиграла команда Кирова (руководитель М.А.Прокашева), дипломы II степени – команды «Кострома 6-6-6» (руководитель Н.Л.Чернятьев) и «Интеллектуал» из Москвы (руководитель Н.М.Нетрусова), дипломы III степени – команды «Эврика-1» и «Эврика-2» из Харькова (руководитель Е.Л.Аринкина). Один из дней в середине турнира был отдан под личную устную олимпиаду. Участнику выдавался листочек с тремя задачами. Решив одну, участник получал второй листочек с еще тремя задачами. Решив задачу из второго листочка, участник получал последний, третий листочек с еще тремя задачами. Ученики 6–7 классов решали одни и те же задачи, но с раздельным зачетом. Аналогично проходила личная олимпиада и для учеников 8 и 9 классов.

Призеры личной олимпиады

Гран-при завоевали семиклассник Всеволод Гулин («Эврика», Харьков), опередивший всех в олимпиаде для старших на 2 задачи и разделивший первое место в олимпиаде для младших, и шестиклассница Юлия Гребенникова («Интеллектуал», Москва), опередившая своих сверстников на одну задачу.

Дипломы I степени получили Глухов Евгений – Кострома, 9 кл., Николаев Семен – Москва, «Квантик-1», 9 кл., Бурова Ольга – Москва, «Л2Ш», 8 кл., Лисичкин Сергей – Харьков, «Эврика», 8 кл., Сандрикова Мария – Москва, школа 218, 7 кл., Синяков Лев – Москва, «Москва-Юг», 7 кл., Любчик Евгений – Харьков, «Эврика-2», 6 кл., Зверев Иван – Москва, «Москва-Юг», 6 кл.

Дипломы II степени получили Зиборов Артем – Москва, школа 218, 9 кл., Ноздрин Михаил – Магнитогорск, 9кл., Пастух Денис – Москва, школа 218, 9 кл., Яцкевич Максим – Москва, гимназия 1514, 9 кл., Вилкул Даниил – Москва, «Л2Ш», 8 кл., Матвеевский Дмитрий – Харьков, «Эврика», 7 и 8 кл., Логвинов Сергей – Москва, «Москва-Юг», 7 кл., Баев Будимир – Москва, «Фрактал», 6 кл., Бакунов Никита – Харьков, «Эврика-2», 6 кл., Горбунов Дмитрий – Москва, «Интеллектуал», 6 кл.

Дипломы III степени получили Абрамян Левон – Магнитогорск, 9 кл., Деревицкий Иван – Магнитогорск, 9кл., Ланина Наталья – Москва,«Квантик-1», 9 кл., Яцкевич Максим – Москва, гимназия 1514, 9 кл.,

Топеха Артур – Москва, «Квантик-2», 9 кл., Завадский Дмитрий – Ленинградская область, 8 кл., Циглер Александр – Магнитогорск, 8 кл., Шолохов Александр – Иваново, 8 кл., Виноградов Алексей – Москва, гимназия 1514, 7 кл., Котельникова Дарья – Киров, 7 кл., Мирский Алексей – Москва, «Интеллектуал», 7 кл., Рахматулин Ян – Киров, 7 кл., Жабрёв Илья – Ленинградская область, 6 кл., Калашников Вадим – Харьков, «Эврика-1», 6 кл., Князева Алиса – Харьков, «Эврика-2», 6 кл., Корякин Данил – Киров, 6 кл., Малыгин Виталий – Киров, 6 кл., Мизюк Соломия – Москва, школа 2007, 6 кл., Сиротина Анастасия – Москва, школа 2007, 6 кл.

Поощрительными дипломами отмечены семиклассники: кировчане Никита Козицын и Роман Маракулин, москвичи Ирина Булушева, Артем Закиров и Сергей Рафаэлов (все из школы 2007), Денис Булейко (гимназия 1514), Наталья Остроухова (школа 218) и Мария Щербакова («Фрактал»). Книги и другие призы для победителей предоставили редакция журнала «Квант», компания «Яндекс» и Фонд математического образования и просвещения. Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия турнира: А.Л.Берштейн, М.А.Берштейн, А.Д.Блинков, Ю.А.Блинков, А.С.Горская, Н.Гребеник, С.А.Дориченко, А.Ефремов, Д.А.Калинин, П.Мартынов, К.Матвеев, Д.В.Прокопенко, В.А.Сендеров, А.Б.Скопенков, К.Скопцов, С.И.Токарев, А.В.Шаповалов.

Избранные задачи турнира

По традиции, идущей еще от первых турниров, большинство задач турнира были новыми и авторскими. Из них мы постарались выбрать такие, где есть пусть маленькое, но чудо: из условий следует чуть-чуть больше, чем можно ожидать, или в решении есть неожиданный поворот и краткость. У каждой задачи указано, для каких классов она наиболее подходит и кто ее автор. Звездочками отмечены трудные задачи, двумя звездочками – особо трудные.

1 (6–7). На поверхности кубика Рубика 3 ѣ 3 ѣ 3 отмечены несколько точек так, что в каждом из 54 квадратиков, включая его границу, отмечена ровно одна точка. Какое наименьшее число точек может быть отмечено? А.Шаповалов

2 (6–7). Дано натуральное число, у которого все цифры, кроме одной, нечетные. Может ли оно делиться на 2008? С.Токарев

3 (6–8). В однокруговом волейбольном турнире участвовали 14 команд. Интересной назовем команду, выигравшую нечетное число матчей, а особенной

11 (7–8). Даны два равных прямоугольника ABCD и AEFG (AB = AE, AD = AG ) таких, что точка G лежит на отрезке BC. Точка P – пересечение отрезков FG и CD. Докажите, что отрезки PB и PE равны. Д.Калинин

12 (7–9). За круглым столом сидят 2000 рыцарей, которые представляют 999 рыцарских орденов, причем каждый орден кем-нибудь представлен. Среди любых 1000 подряд сидящих рыцарей есть представители не более чем 500 орденов. Сколько рыцарей первого ордена присутствует за круглым столом? Найдите все возможные ответы и покажите, что других нет. К.Матвеев

– команду, выигравшую нечетное число матчей у интересных. Докажите, что число особенных команд четно. С.Токарев

13 (7–9). Существуют ли ненулевые целые числа $x_{1}, x_{2}, K, x_{2008}$ такие, что x 1 x 2 K x 2008 = ( x 1 + x 2 )( x 2 + x 3 ) K ( x 2008 + x 1 )? С. Токарев, В. Сендеров

4 (6–8). Двум игрокам выдано по карточке с числами a и b из набора, где 1, 2,…, 10 встречаются по разу. Каждый видит только свое число. Игроки Первый и Второй по очереди называют числа, каждое должно быть больше предыдущего и заведомо (для называющего) делить НОК(a, b). Кто не смог сделать ход – проиграл. Есть ли такая карточка, получив которую Первый может быть уверен в выигрыше? А.Шаповалов

14 (7–9). Дан клетчатый квадрат n ѣ n, в котором стерли все клетки выше главной диагонали. В каждой клетке оставшейся фигуры записывают 0 или 1, при этом если в какой-то клетке написана единица, то и в соседних с ней по стороне слева и сверху также должна стоять единица. Сколькими способами это можно сделать? А.Горская

5 (6–9). Какое наименьшее число слонов можно расставить на доске 2 N ѣ 2 N так, чтобы каждое свободное поле было побито ровно один раз? А.Шаповалов

6 (6–9). На шахматную доску по одной выставляются ладьи так, чтобы каждая выставленная побила (на момент выставления) четное число пустых полей. Какое наибольшее число ладей можно выставить? А.Шаповалов

$7^{**}$ (6–9). Можно ли поверхность куба оклеить без перекрытий тремя одинаковыми пятиугольниками? С.Токарев

$8^{*}$ (7–8). В четырехугольнике ABCD $\angle A = 85^\circ, \angle B = 115^\circ, AD =$ BC. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке M. Найдите $\angle MAB.$ А.Шаповалов

9 (7–8). Натуральное число n можно заменить на одно из следующих 6 чисел: 3n, 3n + 1, 3n + 2, n/3, (n + 1)/3, (n + 2)/3 при условии, что получающееся число – целое. Докажите, что с помощью таких операций из любого натурального числа можно получить любое. Л.Смирнова

10 (7–8). Корень n-й степени из n-значного числа равен сумме цифр этого числа (n > 1). Найдите все значения, которые может принимать этот корень. C.Шестаков

15 (7–9). Диаметром треугольника назовем длину его наибольшей стороны. Докажите, что любой треугольник можно разбить на два треугольника одинакового диаметра. А.Шаповалов

16 (7–9). Дана таблица из 40 строк и 20 столбцов. В первом столбце закрашена самая нижняя клетка, во втором столбце закрашены 3 нижние клетки и т. д.; в 20-м столбце закрашены 39 нижних клеток. Два игрока по очереди ставят ладьи в закрашенные клетки так, чтобы ладьи не били друг друга. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может выигрывать, как бы ни играл соперник? К.Матвеев

$17^{*}$ (7–9). Натуральное число N равно произведению первых l простых чисел. Докажите, что любое натуральное число, меньшее N, может быть представлено как сумма нескольких различных натуральных делителей N. К.Матвеев

$18^{*}$ (7–9). В системе коридоров, показанной на рисунке, расстояние между каждыми двумя соседними развилками одно и то же. По коридорам бегает мышка, способная развивать скорость до 7 м/c. За мышкой согласо-

(Продолжение см. на с. 34)