Задачи

34

КМШ

КВАНТ 2010/№1

Задачи

По результатам опроса общественного мнения, работой президента довольны 76% опрошенных, работой премьера – 83%, работой правительства в целом – только 59%. Назовем опрошенного безнадежным, если он доволен и работой президента, и работой премьера, но недоволен работой правительства в целом. Какая наименьшая доля безнадежных могла быть среди опрошенных? М.Ахмеджанова

ей сделать это с помощью найденной волшебной палочки? Г.Гальперин

Дан равносторонний треугольник. а) Можно ли разрезать его на равносторонние треугольники двух видов – большие и маленькие – так, чтобы тех и других треугольников было поровну? б) А можно ли разрезать его на равносторонние треугольники трех видов – большие, средние и маленькие – так, чтобы треугольников каждого размера было поровну? С.Дворянинов

Имеется проволока в виде окружности. Как ее изогнуть, чтобы при проекции на одну плоскость она давала квадрат, а при проекции на другую плоскость – равносторонний треугольник? А.Жуков

Врач сообщил Змею Горынычу, что если Змей будет выкуривать по 6 сигарет в день, то помрет через 10 лет, а если – по 17, то – через 5 лет. Сколько лет проживет Змей Горыныч, если бросит курить? (Считаем, что все годы одинаковой длины, а каждая сигарета сокращает жизнь на одно и то же время.) А.Ковальджи

Иллюстрации Д.Гришуковой

Однажды Алиса нашла в Зазеркалье волшебную палочку, которая создает любой предмет по Алисиному желанию, но только в одном экземпляре. При этом, создав однажды какой-то предмет, волшебная палочка не сможет в дальнейшем создать такой же предмет вторично. Алисе нужно изготовить 10 одинаковых башмачков для своих путешествий по Зазеркалью. Как

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

38

КВАНТ 2010/№1

продолжал колдун. – И будете вы сидеть там и думать о своем поведении. Каждый вечер одного из вас будут отводить в Черную-черную комнату, где нет ничего, кроме волшебной лампы, и господин мой дракон будет обращаться к избранному лично. Сейчас лампа погашена. Хотите – внимайте ему во тьме, хотите – зажигайте лампу. Или гасите, если она будет гореть, это ваше дело. Лампа зажигается и гаснет просто – достаточно хлопнуть в ладоши. И будет так продолжаться долго, долго… – Вечно? – спросил шепотом юный Бертольд. – Может быть, и вечно, – сердито бросил старик. – Не перебивайте, молодой человек. Уж что я вам точно обещаю – все вы непременно побываете в Чернойчерной комнате, никого не пропустим. И будьте уверены, что каждого из вас будут вызывать туда снова и снова. Но, как я уже сказал, господин мой дракон милостив… Он обвел взглядом понурившихся воинов. – Я, черный маг Курундис, клянусь вам всей моей магией и именем господина моего дракона Грыора, что в тот же миг, как кто-либо из вас скажет мне, что все вы уже побывали в Черной-черной комнате, вы будете отпущены на волю – разумеется, без оружия и пешком, – если сказанное будет верно. Но бойтесь ошибиться! Ибо в случае ошибки все вы будете съедены, и, уверяю вас, господин мой дракон сделает это с большим удовольствием. Все ли вы поняли, господа драконоборцы? – Поняли, как не понять… – проворчал дядька Элвард. Маг кивнул и вышел, вслед за ним стражники. Захлопнулась дверь, загремели замки. – Сожрет… Сначала нравоучениями замучает, а потом все равно сожрет… – раздалось в зале. Юный Бертольд поднял голову. – Дядь Элвард, правду ли говорят, что драконы не лгут? – спросил он. Усатый воин кивнул. – Тогда выход обязательно есть, – сказал юноша. – Нужно только хорошенько подумать. Ведь дракон обещал. – Устами младенца глаголет истина, – веско произнес здоровенный Том из Стоунбриджа. – Давайте, братья, поразмыслим. – Мечом-то проще, – проворчал кто-то. И в зале повисла глубокая тишина. С непривычки думалось медленно и тяжко. – Н у, что ты изобрел для наших пленников? – спросил Грыор за завтраком. Курундис объяснил. – Эй, маг, я же сказал, что не хочу воспитывать их лично! – Сэр, вам не нужно трудиться, я сохранил запись вашей прошлогодней речи. Помните, вы наставляли того барона, как бишь его звали… Магический кристалл воспроизведет каждое слово без изъяна. – А, тогда ладно… И все же ты неправ, маг. Зачем было клятвенно обещать, что я их непременно съем сам, да еще и с удовольствием? Вдруг придется? Знаешь ведь, терпеть не могу человечины…

– О, сэр, не волнуйтесь. Я верю, что настоящая опасность способна научить думать даже драконоборцев. – Посмотрим, посмотрим, – хмыкнул Грыор. – Хуже всего, если они так и не рискнут дать тебе ответ. Сколько их? Двадцать? Двадцать камер заняты, неизвестно на сколько лет, а могут же еще явиться… ээээ… соискатели. – Сэр, готов поспорить, – они справятся! – На что спорим? – оживился дракон. – На щелбаны? Двадцать щелбанов, по числу пленников – идет? Если через пять лет они все еще будут здесь, – я выиграл! – Идет, – согласился маг. Ударили по рукам. В ремя шло. Иногда Грыор вспоминал о своих узниках, спрашивал, как у них дела. – По-прежнему, – отвечал Курундис. – Ведем воспитательную работу. Некоторые уже выслушали вашу речь по четыре раза, сэр. – И как? – интересовался Грыор. – О, кто как, сэр. Некоторые бранятся. Некоторые рыдают. Один поклялся, если спасется, уйти в монастырь. – Ну-ну, – хмыкал Грыор. – Будем надеяться, ему это удастся. О днажды утром маг вбежал в тронный зал драконьего замка, слегка подпрыгивая. – Я же говорил! – воскликнул он. – Сегодня этот мальчишка, который из Рокслея, заявил мне, что все уже побывали в Черной-черной комнате. – И это действительно так? – спросил дракон. – Да, сэр! – отвечал маг. – Так отпустим или вы еще скажете им пару слов? – Пусть катятся на все четыре стороны, – фыркнул Грыор. – Наконец-то я от них избавлюсь. – Да, сэр, – кивнул маг. – Пойду распоряжусь. А вы пока готовьте лоб. – Что? – недоуменно повел хвостом дракон. – Двадцать щелбанов, сэр, – поклонился маг. – Только не делайте вид, будто вы забыли. Драконы никогда ничего не забывают. – Тьфу, – проворчал дракон. – Действительно. Ничего не поделаешь, проиграл – так проиграл… …Д раконоборцы вышли на свет, спотыкаясь с непривычки. – Воистину, это был великий подвиг, о Бертольд из Рокслея, – сказал Элвард, усы которого за время заключения стали длиннее втрое. – Не сомневаюсь, ты заслужил рыцарские шпоры, а в будущем станешь великим воином, и все драконы склонятся перед тобой… – Ну уж нет, – покачал головой Бертольд, – драконами я теперь сыт по горло. Поеду лучше в университет, учить латынь и арифметику. Ручаюсь, ни один профессор не может быть таким занудой, как Грыор Большой Хвост…

А вы поняли, сэры, как юному Бертольду удалось совершить сей подвиг?

47

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

i) внутренним образом тогда и только тогда, когда

AB + CD = BC + DA;

(1) ii) (AC)-внешним образом тогда и только тогда, когда она не центральная и

AB + DA = BC + CD;

(2) iii) (BD)-внешним образом тогда и только тогда, когда она не центральная и

AB + BC = CD + DA.

(3)

Подробного доказательства этой теоремы мы здесь не приводим, ограничиваясь следующими замечаниями. Из того, что 4-ломаная описанная, нетрудно получить одно из соотношений (1), (2), (3), используя равенства отрезков касательных (аналогично тому, как это было проделано в решении задачи 2). Доказать же то, что ломаная описана, исходя из соотношений, труднее. Это можно сделать аналогично доказательству критерия ( ∗ ), рассмотрев разные случаи расположения 4-ломаной. Идея геометрического доказательства, основанного на свойствах коник, описана в последней части этой статьи.

Упражнение 5. Докажите, что: а) существует не более двух окружностей, вписанных в 4-ломаную; б) в 4-ломаную можно вписать две окружности тогда и только тогда, когда она не центральная и имеет ось симметрии.

Теорема транзитивности

Теперь схему решения задачи 2 можно описать так: происходит перенос (или транзит) условия существования вписанной окружности с двух 4-ломаных (BD|AC) и (BD|CR) на третью 4-ломаную (BD|RA). Та же схема работает и в такой более общей ситуации. Теорема 2 (теорема транзитивности). Пусть даны 4-ломаные (AB|XY), (AB|YZ) и (AB|ZX). Тогда i) если для двух из них существуют окружности, вписанные внутренним образом, то и для третьей – тоже; ii) если для (AB|XY) и (AB|YZ) существуют окружности, вписанные соответственно (XY)-внешним и (YZ)- внешним образом, и 4-ломаная (AB|ZX) не центральная, то для нее существует окружность, вписанная (ZX)-внешним образом; iii) если для (AB|XY) и (AB|YZ) существуют окружности, вписанные (AB)-внешним образом, то для (AB|ZX) существует окружность, вписанная внутренним образом; iii’) если для (AB|XY) существует окружность, вписанная (AB)-внешним образом, для (AB|ZX) существует окружность, вписанная внутренним образом, и 4-ломаная (AB|YZ) не центральная, то для нее существует окружность, вписанная (AB)-внешним образом. Доказательство. Докажем, например, утверждение (ii). Если в ломаные (AB|XY) и (AB|YZ) можно вписать окружности соответственно (XY)-внешним и (YZ)-внешним образом, то по теореме 1 имеем

AX + BX = AY + BY, AY + BY = AZ + BZ. Отсюда AX + BX = AZ + BZ, и получаем (снова по теореме 1), что в ломаную (AB|ZX) можно вписать окружность (ZX)-внешним образом.

Упражнение 6. Докажите другие утверждения теоремы 2.

КРУЖОК

Следующая задача, как и предыдущие, оказывается следствием теоремы 2. Задача 5 (M1025). Две прямые, проходящие через точки пересечения пар противоположных сторон выпуклого четырехугольника, делят его на четыре меньших четырехугольника. Докажите, что если два меньших четырехугольника, не имеющих общей стороны, описанные, то и исходный четырехугольник описанный. Решение. Возможны два случая расположения четырехугольников, про которые известно, что они описанные (рис.5 и 6).

Рис. 6

Рис. 5

В первом случае 4-ломаные (PQ|BR) и (PQ|RD) являются описанными соответственно (BR)-внешним и (RD)-внешним образом, значит, по теореме 2, 4-ломаная (PQ|DB) является описанной (DB)-внешним образом, т.е. четырехугольник ABCD описанный. Во втором случае 4-ломаные (PQ|AR) и (PQ|RC) являются описанными внутренним образом, следовательно, 4-ломаная (PQ|CA) также является описанной внутренним образом, откуда следует требуемое.

Упражнения

7. а) Сформулируйте и докажите аналоги утверждений задачи 4 в том случае, когда треугольник XYZ не обязательно содержит окружности. б) Сформулируйте аналогичную задачу для точки X на внешней касательной и точек Y и Z на внутренней. 8. Сформулируйте и докажите еще одну теорему транзитивности про три 4-ломаные (AB|CD), (AC|BD) и (AD|BC). В частности, получите решение такой задачи: На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты соответственно точки A¢, B¢, C¢ так, что отрезки AA¢, BB¢, CC¢ пересекаются в одной точке D. Докажите, что если два из четырехугольников AB ¢ DC ¢, BC ¢ DA ¢, CA ¢ DB ¢ описанные, то третий также является описанным.

Описанные ломаные с вершиной… на бесконечности

Если вершина D 4-ломаной (AC|BD) расположена далеко от остальных, то лучи AD и CD «почти сонаправленные». А что если в самом деле сделать их сонаправленными? Итак, давайте называть $4_{\infty}$ -ломаной $( BD_{\infty} AC )$ объединение отрезков AB, BC и сонаправленных, но не лежащих на одной прямой, лучей $AD '$ и $CD ''$ (точки A, B, C предполагаются различными; рис.7). Окружность, вписанная в $4_{\infty}$ -ломаную $( BD_{\infty} AC ),$ должна одновременно касаться прямых AB и BC и быть вписанной в полосу между параллельными $пря-_{Рис.} 7$

49

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

Рис. 9

$( 1 ' )$ (соответственно $( 2 ' ))$ означает, что точки A и C лежат на одной параболе с фокусом B и осью, противоположно направленной (для $( 2 ' )$ – сонаправленной) лучу $AD '$. С помощью этих соображений и свойств коник можно доказать существование вписанной окружности в теоремах 1 и $1 '$. Возьмем, например, утверждение (ii) теоремы 1. Точки A и C лежат на одном эллипсе с фокусами B и D. По условию, 4-ломаная (AC|BD) не центральная, поэтому точки A и C – не диаметрально противоположные точки эллипса. Касательные к эллипсу, проведенные в точках A и C, пересекаются в некоторой точке I. Оказывается, что I равноудалена от прямых AB, BC, CD, DA, т.е. 4-ломаная (AC|BD) описана вокруг окружности с центром I. Действительно, в силу оптического свойства эллипса (см., например, [3]), I лежит на внешних биссектрисах углов BAD и BCD и, кроме того (см. например, задачу 1.4 из книги [1]), прямая BI – биссектриса угла ABC. Похожие рассуждения можно провести с использованием гиперболы и параболы – всякий раз центр искомой окружности находится на пересечении соответствующих касательных к конике (см. рис.9). Ситуацию, происходящую в теоремах транзитивности 2 и $2 '$, теперь можно трактовать таким образом: в утверждении (i) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одной ветви гиперболы с фокусами A, B или на серединном перпендикуляре к отрезку AB;

в утверждении (ii) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одном эллипсе с фокусами A, B; в утверждении (iii) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одной гиперболе с фокусами A, B, причем две из них – на одной ветви, а одна – на другой; в теореме $2 '$ точки X, Y, Z лежат на одной параболе с фокусом A и осью, противоположно направленной – в случае (i) или сонаправленной – в случае (ii), с лучом $XB '$.

Упражнения

12. Дана $4_{\infty}$ -ломаная $( AC BD_{\infty} ),$ в которой $AB \ne BC$. Докажите, что она описана тогда и только тогда, когда $AD'$ параллельна одной из асимптот гиперболы с фокусами A и C, проходящей через B. 13. Докажите, что центр окружности, вписанной в вырожденную 4-ломаную или вырожденную $4_{\infty}$ -ломаную, лежит на директрисе (определение директрисы см., например, в [2]) соответствующей коники.

Список литературы

1. Акопян А.В., Заславский А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка. – М.: МЦНМО, 2007. 2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые (издание 6-е, стереотипное). – M.: МЦНМО, 2006. 3. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. – М.: МЦНМО, 2005.