37
К
М
Ш
Хорошо темперированный клавир
И.ГЕЛЬФАНД, А.ШЕНЬ
ВСЕ ЗНАЮТ, ЧТО ОДНУ И ТУ ЖЕ МЕЛОДИЮ МОЖ- но играть в разных тональностях. Но что означают слова «одну и ту же»? Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с другого: что такое мелодия? Формально говоря, мелодия – это сыгранные друг за другом звуки разной высоты. А что такое высота звука? С точки зрения физики, звук – это колебания воздуха. Высота звука определяется частотой колебаний, т.е. количеством колебаний в секунду. Камертон, колеблющийся 440 раз в секунду (физики говорят «с частотой 440 герц»; название единицы частоты дано в честь немецкого физика Генриха Герца), дает ноту ля первой октавы. На слух бульшая частота соответствует более высоким нотам. Очень низкие и очень высокие звуки становятся уже неслышимыми. Считается, что человек может услышать звуки в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц (хотя на самом деле у разных людей эти границы могут быть разными; с возрастом диапазон слышимых частот уменьшается). Звук низкой частоты, который мы не слышим, иногда называют «инфразвуком», высокой – «ультразвуком». С помощью ультразвуков разговаривают друг с другом дельфины. Частота тока в электросети – 50 герц, т.е. 50 колебаний в секунду (это относится к Европе, в Америке – 60 герц). Если из-за неисправности сетевой фон проникает в звуковой тракт магнитофона, слышно низкое гудение. Задача 1. Натягивая струну сильнее, мы изменяем частоту колебаний. Как вы думаете, увеличивается частота или уменьшается? Попробуйте сделать это с натянутой ниткой. Задача 2. Зажимая струну (например, гитары) пальцем, мы как бы уменьшаем ее длину, почти не меняя натяжения. Как вы думаете, что происходит с высотой звука? Задача 3.Пластинку на 33 оборота поставили на 45; как изменится частота всех записанных на ней звуков? Задача 4. Где в рояле более низкие ноты – слева или справа? Как это связано с формой рояля? Задача 5. Комар зудит почти как камертон. Сколько взмахов в секунду делают его крылья? Задача 6. Как вы думаете, кто издает более высокий звук – комар или большая муха?
Глава из книги: И.Гельфанд, А.Шень. Алгебра. – М.: МЦНМО, 2009.
Оказывается, что на слух в первую очередь воспринимаются отношения частот соседних звуков мелодии, а не сами частоты. Лишь немногие люди с «абсолютным слухом» (далеко не у всех музыкантов он есть) могут отличить взятую на рояле ноту ля от ноты соль. Однако почти каждый человек после небольшой практики легко отличит интервал ре—ля (квинта, отношение частот ре: ля = 2: 3) от ре—соль (кварта, отношение частот ре: соль = 3: 4). Задача 7. Найдите отношение частот соседних нот соль и ля, используя эти данные. Теперь мы можем сказать, какие мелодии звучат одинаково (отличаясь лишь «тональностью») – это те, в которых одинаковы отношения частот. Задача 8. Мелодия ля—ми—ля (нисходящая) состоит из трех нот с частотами 440, 330 и 220 герц. Какими будут частоты, если сыграть такую же (с теми же отношениями частот) мелодию, начиная с ноты ми (ее частота 330 герц)? ⊳ Согласно сказанному, нужно, чтобы
440: 330: 220 = 330: х: у.
Поскольку
440: 330: 220 = 4: 3: 2, получаем . Соответствующие ноты называются ми—си—ми. ⊲ Посмотрев на клавиатуру рояля, легко заметить, что она «периодична»: одни и те же комбинации белых и черных клавиш повторяются – как говорят, в «разных октавах». Отстоящие на период (на октаву) ноты называются одинаково и отличаются по частоте ровно в 2 раза. Таким образом, ноты ля в разных октавах имеют частоты
…55, 110, 220, 440, 880, 1760, …
образующие геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Задача 9. Как много октав может быть у рояля, если все должны быть слышны? (Считайте, что слышны звуки в диапазоне от 20 до 20000 герц.) Геометрическую прогрессию образуют не только ноты ля, но и другие одноименные ноты: ноты соль образуют еще одну геометрическую прогрессию (также со знаменателем 2), ноты фа – третью и так далее. Задача 10. Глядя на клавиатуру рояля (рис.1), подсчитайте, сколько всего прогрессий получается (сколько нот в одной октаве). Ответ. 12 (7 белых клавиш и 5 черных).