Задачи М2184—М2190; Ф2190—Ф2197

19

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 ноября 2010 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №4–2010» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2184» или «Ф2190». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам math@kvant.info и phys@kvant.info соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2184–М2186, М2188–М2190 предлагались на XXXI Турнире городов. Задача Ф2195 предлагалась на заключительном этапе XLIV Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2184–М2190, Ф2190–Ф2197

M2184. Про функцию f ( x ) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком y = f ( x ) столько же общих точек, сколько с параболой $y = x^{2}$. Докажите, что функция f ( x ) тождественно равна $x^{2}$. А.Шаповалов

M2185. Дано натуральное число $n \ge 5$. Про пирамиду $SA_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ известно, что ее основание $A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ – правильный n-угольник, а все боковые грани – равнобедренные треугольники (не обязательно с вершиной S). Обязательно ли эта пирамида правильная? Г.Гальперин

M2186. Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P ( x ) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P ( 2 ) и P ( P ( 2 ) ). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон? С.Маркелов

M2187. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$, пересекающиеся в точке H. Прямые $A_{1} C_{1}$ и AC пересекаются в точке D. Докажите, что прямая DH перпендикулярна медиане, проведенной из вершины B. С.Ильясов (ученик 8 класса, Алматы)

M2188. На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на $45^\circ$ вокруг любого из ее концов. Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того,

чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом ее концы поменялись местами? А.Грибалко

M2189. Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга? А.Клячко, Е.Френкель

M2190. Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций. А.Толпыго

Ф2190. Камень брошен с начальной скоростью $v_{0} = = 40$ м/с под углом $\alpha = 30 ^\circ$ к горизонту. Найдите максимальную угловую скорость вращения вектора скорости камня в процессе свободного полета. А.Камнев

Ф2191. На гладком горизонтальном столе находится легкий стержень, к концам которого привязаны короткие, нерастяжимые куски легкой нити (рис.1). К свободным

Рис. 1