Решения задач М2309—М2315; Ф2315—Ф2322

27

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Ф2339. В вакуумированный сосуд емкостью V = 1,5 л с жесткими и не проводящими тепло стенками впрыснули m = 1,1 г жидкой тяжелой воды $T_{2} O$ при температуре $0 \infty C$ и герметизировали сосуд. Период полураспада ядер трития $\tau = 12,33$ года. При распаде одного моля ядер трития выделяется E = 1,79 ГДж энергии. Молярная теплоемкость тяжелой воды такая же, как и молярная теплоемкость обычной воды, т.е. 75,6 Дж ( моль ◊ К ). Теплота испарения тоже такая же, как и для обычной воды, т.е. L = 40 кДж/моль. Какая температура и какое давление будут внутри сосуда через время t = 2 ч после начала эксперимента? Н.Уклонов

Ответ: всегда. Упорядочим камни по возрастанию весов. Затем переклеим этикетки «по кругу»: на 1-й камень – этикетку со 2-го, на 2-й – с 3-го, …, на 100-й – с 1-го. Теперь на каждом камне, кроме первого, указан больший вес. Если в набор А камней 1-й камень не входит, то сумма весов, указанных на его этикетках, больше веса набора А. Если же 1-й камень в набор А входит, то сумма весов на его этикетках меньше веса набора А, поскольку вес дополнительного набора B (составленного из всех камней, не входящих в А) больше суммы весов на этикетках из B. Л.Медников, А.Семенов, И.Рубанов, А.Шаповалов

Решения задач М2309–М2315, Ф2315–Ф2322

М2311. Внутри единичного куба летает муха. Какой наименьший путь она должна пролететь, чтобы побывать на всех гранях куба и возвратиться в начальную точку?

М2309. На доске 8 ¥ 8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдается этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

Ладья A бьет всего 15 клеток (на рисунке – розовые) – в своей вертикали и своей горизонтали. Рассмотрим другую клетку C в той же горизонтали, в которой находится A. Ее бьет еще ровно одна ладья B, находящаяся с ней в одной вертикали. Эта же ладья бьет одну клетку D, находящуюся в одной вертикали c A. Тогда A, B, C, D – угловые клетки клетчатого прямоугольника. Если этот прямоугольник – квадрат, ладьям A и B достанется по половине от клеток C и D. Если же он не квадрат, то одна из клеток C и D достанется ладье A, а другая – ладье B. Отсюда ясно, что ладье A из 15 розовых клеток всего достанется 8 клеток: та, на которой она стоит, и половина от оставшихся 14 клеток (остальные ладьи «заберут» по одной из оставшихся 7 розовых клеток). Аналогично, во владении каждой ладьи окажется 8 клеток. Л.Медников, А.Семенов, И.Рубанов, А.Шаповалов

М2310. Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?

Ответ: 2 3. Поместим начало координат в одну из вершин куба и направим оси по его ребрам. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда траектория мухи – замкнутая n-звенная ломаная. Пусть $( x_{i}, y_{i}, z_{i} ), i = 1, 2,$ …, n, – координаты векторов, задающих ребра ломаной, тогда $d_{i} = x_{i}^{2} + y_{i}^{2} + z_{i}^{2}$ – длина i-го ребра и $D = d_{1} + d_{2} +^{…} + d_{n}$ – длина ломаной. Положим $X = x_{1} +^{…} + x_{n}$ (это путь проекции мухи на ось Ox), аналогично, $Y = y_{1} +^{…} + y_{n}, Z = z_{1} +^{…} + z_{n}$. Можно считать, что муха вначале находилась в плоскости x = 0 (плоскости одной из граней), побывала в плоскости x = 1 противоположной грани и вернулась назад. Это означает, что $X \ge 2$. Аналогично, $Y \ge 2$ и $Z \ge 2$. Сумма векторов с координатами $( x_{i}, y_{i}, z_{i} )$ равна вектору (X, Y, Z). Так как сумма длин этих векторов не меньше длины их суммы, имеем

$d_{1} + d_{2} +^{…} + d_{n} \ge$

$X^{2} + Y^{2} + Z^{2} \ge 2 3. 1$

Примером траектории с длиной 2 3 является большая диагональ куба, пройденная дважды. Замкнутая траектория такой же длины получится, если муха начнет движение из любой точки внутри куба с вектором скорости, параллельным большой диагонали куба, а далее будет «упруго отражаться» от каждой из граней куба (докажите!). В заключение отметим, что ответ на аналогичный (гораздо более трудный!) вопрос про правильный тетраэдр рассматривался в задаче М1400 (решение см. в «Кванте» №2 за 1994 г.). А. Канель-Белов

М2312. В квадратной таблице 10 ¥ 10 записаны сто положительных чисел. Сумма чисел в каждой строке равна 100. Коле разрешается переставить числа внутри каждой из строк (но не между строками).

1 Читатель может подумать о том, как выкладки в приведен-

ном решении заменить более геометричным рассуждением с использованием отражения траектории относительно плоскостей граней.