XXXV Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XXXV Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

Базовый вариант

8–9 классы

1 (3). Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число еще раз увеличили на 1. Изменится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько? А.Шаповалов

1

2 (4). Мама испекла одинаковые с виду пирожки: 7 с капустой, 7 с мясом и один с вишней, и выложила их по кругу на круглое блюдо именно в таком порядке. Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. Оля знает, как лежали пирожки, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Оле наверняка добиться этого, надкусив не больше трех невкусных пирожков? А.Хачатурян

3 (4). См. задачу М2350 «Задачника «Кванта».

4 (5). На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L так, что AL в два раза больше медианы CM. Оказалось, что угол ALC равен $45\infty$. Докажите, что AL и CM перпендикулярны. Р.Женодаров

5 (6). На переправу через пролив Босфор выстроилась очередь: первый – Али-Баба, за ним 40 разбойников. Лодка одна, в ней могут плыть двое или трое (в одиночку плыть нельзя). Среди плывущих в лодке не должно быть людей, которые не дружат между собой. Смогут ли все они переправиться, если каждые двое рядом стоящие в очереди – друзья, а Али-Баба еще дружит с разбойником, стоящим через одного от него? А.Шаповалов

10–11 классы

1 (4). У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г,…, 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить 3 камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное? Е.Бакаев

2 (4). В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. На сторонах AD и CD отмечены соответственно точки M и N так, что углы ABN и CBM прямые. Докажите, что прямые AC и MN параллельны. А.Полянский

3 (5). См. задачу 5 для 8 – 9 классов.

1 В скобках после номера задачи указано максимальное число баллов, присуждавшихся за ее решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

4 (5). Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству ab + cd = ac – 10bd. Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других. Б.Френкин

5 (5). Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пешеход Петя выходит из вершины A, идет по стороне AB и далее по контуру четырехугольника. Пешеход Вася выходит из вершины A одновременно с Петей, идет по диагонали AC и одновременно с Петей приходит в C. Пешеход Толя выходит из вершины B в тот момент, когда ее проходит Петя, идет по диагонали BD и одновременно с Петей приходит в D. Скорости пешеходов постоянны. Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей O одновременно? Б.Френкин

Сложный вариант

8–9 классы

1 (3). Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на одну шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на одну мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей? Е.Бакаев

2 (5). На клетчатой доске $5 \times 5$ Петя отмечает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки неперекрывающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трех клеток (уголки разрешается класть только «по клеточкам»). Какое наименьшее число клеток должен отметить Петя, чтобы Вася не смог выиграть? А.Шаповалов

3 (6). На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, ее размеры могут отличаться от размеров стола.) Е.Бакаев

4 (7). Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; в противном случае из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков? И.Богданов

5 (7). Даны несколько белых и несколько черных точек. От каждой белой точки идет стрелка в каждую черную, на

44

КВАНТ 2014/№4

каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту из стрелок, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на ее концах? А.Пахарев

6 (9). Из кубиков $1 \times 1 \times 1$ склеен куб $3 \times 3 \times 3$. Какое наибольшее количество кубиков можно из него выкинуть, чтобы осталась фигура с такими двумя свойствами: i со стороны любой грани исходного куба фигура выглядит как квадрат $3 \times 3$ (глядя перпендикулярно этой грани, мы не увидим просвета – видны 9 кубиков фигуры); i переходя в фигуре от кубика к кубику через их общую грань, можно от любого кубика добраться до любого другого? А.Марачев

7 (9). На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: $A_{1}, A_{2},..., A_{10}$, причем известно, что их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках $A_{1}, A_{2},..., A_{9}$, а десятый кузнечик сидит на дуге $A_{9} A_{10} A_{1}$. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке $A_{10}$? Е.Бакаев

10 –11 классы

1 (3). Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между каждыми соседними единицами знак «+» или знак « $\times$ », расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки «+» на знаки « $\times$ », а знаки « $\times$ » на знаки «+», все равно получится 2014. Может ли он быть прав? В.Клепцын

2. Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и а) (4) равными наибольшими сторонами; б) (4) равными наименьшими сторонами? А.Шаповалов

3 (6). Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на какихто карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; в противном случае из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков? И. Богданов

4 (7). См. задачу М2351 «Задачника «Кванта».

5 (8). См. задачу М2354 «Задачника «Кванта».

6 (9). Каждому городу в некоторой стране присвоен индивидуальный номер. Имеется список, в котором для каждой пары номеров указано, соединены города с данными номерами железной дорогой или нет. Оказалось, что, какие ни взять два номера M и N из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером M получит номер N, но список по-прежнему будет верным. Верно ли, что, какие ни взять два номера M и N из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером M получит номер N, город с номером N получит номер M, но список по-прежнему будет верным? А.Пахарев, М.Скопенков, А.Устинов

7 (10). Многочлен P ( x ) удовлетворяет условиям: $P ( 0 ) = 1 ; 2 ( P ( x ) ) = 1 + x + x^{100} Q ( x )$, где Q ( x ) – некий многочлен. Докажите, что коэффициент при $x^{99}$ в многочлене 100 ( P ( x ) + 1 ) равен нулю. Д.Звонкин

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

1. В множестве {1, 2, 3,…, 2014} выбрали подмножество A. Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат A, не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в A? Г.Жуков

2. Дан треугольник ABC. Луч, проведенный из вершины B через середину AC, пересекает внешнюю биссектрису угла A в точке P. Прямая PC пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла A, в точке Q. Докажите, что BA = BQ. Ф.Ивлев

3. См. задачу М2349 «Задачника «Кванта».

4. В равногранном тетраэдре ABCD точки $A ', B ', C ', D '$ – центры вневписанных сфер. Докажите, что A, B, C, D – центры вневписанных сфер тетраэдра $A ' B ' C ' D '$. (Тетраэдр называется равногранным, если его грани – равные треугольники. Вневписанная сфера – это сфера, которая касается одной из граней и продолжений остальных граней.) А.Заславский

5. В белом клетчатом прямоугольнике, стороны которого больше 10, в черный цвет покрасили K клеток. Далее за ход выбирают ряд (горизонтальный или вертикальный), в котором черных клеток хотя бы 10, и красят в черный цвет все белые клетки этого ряда. После нескольких таких ходов все клетки стали черными. Докажите, что $K \ge 100$. П.Кожевников

6. Докажите, что не существует многочлена от двух переменных P ( x, y ), для которого множеством решений неравенства P ( x, y ) > 0 является квадрант { ( x, y ): x > 0, y > 0 }. Л.Стунжас

Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников, А.Семёнов