А так ли хорошо знакомо вам движение со связями?

…то, что проигрывается в силе, выигрывается в скорости. Симон Стевин

В состоянии равновесия сила не производит реального действия; она вызывает лишь простое стремление к движению; но ее следует всегда измерять по тому эффекту, какой она вызвала бы, если бы она действовала при отсутствии каких-либо препятствий. Жозеф Луи Лагранж

Движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом…, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном… согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т.е. происходит с наименьшим возможным принуждением… Карл Фридрих Гаусс

…для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. Корнелиус Ланцош

…статика достигла своего высшего развития в законе возможных перемещений… Частным случаем является закон рычага; другой пример – правило Архимеда… Макс фон Лауэ

Такой подход именуют принципом виртуальной (т.е. возможной или воображаемой) работы, потому что для его применения мы обязаны представить себе, что наша система чуть сдвинулась, даже если она в действительности не двигалась или вовсе неспособна двигаться. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомо вам движение со связями?

Выдержки из трудов целой шеренги видных ученых свидетельствуют об их долговременном – несколько столетий! – внимании к теме нашего сегодняшнего выпуска. В этом «конспекте» бросается в глаза кропотливый поиск наиболее общих закономерностей, лежащих в основе механики, так называемых первых принципов, или, по словам Лагранжа, некой «общей формулы». Из этих универсальных начал деятели науки надеялись вывести, как частные случаи, все многообразие открываемых законов. И это им удалось! Создание аналитической механики – альтернативного ньютоновскому подхода – оказалось чрезвычайно продуктивным не только для решения собственных поставленных задач, но ее методы проросли из классической физики в современную, теснейшим образом связали разные исторические научные эпохи. Возможно, вам придется с этим столкнуться в будущем, и вы оцените как интеллектуальную мощь ваших предшественников, так и поразительную красоту полученных ими результатов. Но это впереди – далеко и высоко. А что нам, еще не выросшим из «штанишек» школьной физики, делать сейчас? Вы не могли не заметить, что в эпиграфах постоянно упоминаются препятствия, ограничения, наложенные на положение или движение механических систем, – то, что называют связями. А это – не что иное, как наклонные плоскости, точечные шарниры, жесткие и легкие стержни, нерастяжимые и невесомые нити, идеальные блоки… Знакомые действующие лица? Так давайте сейчас без боязни «свяжемся» с героями нашей темы, ведь одно из значений слова «связь» – это контакт. Пусть он будет тесным и плодотворным.

Вопросы и задачи При необходимости воспользуйтесь подсказками из раздела «Ответы, указания, решения».

1. Доска длиной l одним концом лежит на цилиндре, а другой ее конец удерживается человеком так, что доска находится в горизонтальном положении. Человек начинает толкать доску вперед, из-за чего цилиндр катится без проскальзывания. Какой путь должен пройти человек, чтобы дойти до цилиндра? 2. Катушка с намотанной на нее нитью лежит на горизонтальном столе и может катиться без скольжения. Сначала нить тянут горизонтально со скоростью v «сверху» катушки, затем – с такой же горизонтальной скоростью «снизу». Куда и с какой скоростью будет двигаться ось катушки? 3. По внутренней поверхности закрепленного лежащего цилиндра радиусом 2R катится без проскальзывания колесо радиусом R. Пусть центр колеса совершит один оборот вокруг центра цилиндра. Сколько раз обернется за это время колесо вокруг своей оси? По какой траектории будет двигаться какая-либо точка его обода? 4. Невесомый стержень с точечными грузами на концах соскальзывает по сторонам прямого двугранного угла. Чему равна скорость верхнего груза в тот момент, когда скорость нижнего груза горизонтальна и равна $v_{0}$, а стержень составляет с горизонтом угол $\alpha$? 5. Какая точка стержня в условиях предыдущей задачи движется с минимальной скоростью? Чему равна эта скорость? 6. Может ли спортсмен на водных лыжах двигаться быстрее тянущего его катера? Может ли катер двигаться быстрее воднолыжника? 7. Равносторонний треугольник ABC скользит по поверхности стола. Скорость вершины A равна v и направлена к вершине B. Скорость вершины B равна 2v. Найдите построением скорость вершины C. 8. Шар катится без скольжения вдоль ребра прямоугольного желоба ACB, как показано на рисунке 1,

Рис. 1

Рис. 2

причем расстояние AB равно радиусу шара. Какие точки шара обладают максимальной скоростью? 9. На неподвижном клине, образующем угол $\alpha$ с горизонтом, лежит нерастяжимая веревка (рис. 2). Один из ее концов закреплен в точке A, к другому прикреплен небольшой грузик. Найдите построением ускорение грузика, пока он находится на клине, когда тот движется вправо с ускорением a. 10. На концах и в середине невесомого вертикального стержня укреплены три массивных шарика. Будут ли отличаться скорости шариков в момент их падения на горизонтальный стол в двух случаях: а) нижний шарик укреплен шарнирно; б) нижний шарик не закреплен, трение между ним и столом отсутствует? 11. Через блок переброшена нить с грузиками на концах. Ось блока поднимают вверх со скоростью v, а один из грузиков опускают с такой же скоростью. С какой скоростью поднимается второй грузик? 12. Чему равны ускорения грузов в системе, изображенной на рисунке 3? Массой блоков, нитей, а также трением пренебречь. В какую сторону будут вращаться блоки при движении грузов?

Рис. 3

Рис. 5

Рис. 4

13. На проволочное кольцо радиусом R надето маленькое колечко, которое может свободно скользить по кольцу под действием спицы, вращающейся вокруг точки О с угловой скоростью $\omega$ (рис. 4). Найдите скорость колечка для произвольного момента времени. 14. Найдите силу натяжения нити, связывающей оси шарниров верхнего ромба легкой шарнирной подвески, изображенной на рисунке 5. Масса груза m.

Микроопыт Зажмите между двумя горизонтальными деревянными линейками круглый карандаш, желательно толстый и шероховатый. Подвигайте линейки то в одну, то в разные стороны с различными скоростями. Какие виды движения карандаша вы сможете наблюдать?

Любопытно, что… …первая, хотя и скрытая, формулировка принципа виртуальных перемещений содержалась еще в «Физике» Аристотеля, что помогло ему вывести закон рычага. Тот же принцип в иной форме был использован Стевином при выводе законов равновесия блоков. …Галилей, исправив Аристотеля, применил принцип виртуальных перемещений к расчету условий равновесия тела на наклонной плоскости, а также вывел с его помощью установленные Архимедом на иной основе законы гидростатического давления. …хорошо знакомое школьникам «золотое правило механики» – выигрыш в силе компенсируется проигрышем в перемещении и наоборот – не что иное, как принцип виртуальных перемещений в простейшем случае. …в 1717 году Иоганн Бернулли разработал новый подход к нахождению условий равновесия механической системы, опирающийся на свойство сил реакций связей: при малом отклонении системы от положения равновесия полная работа сил реакций связей равна нулю. …перу Лагранжа принадлежит классическая работа «Аналитическая механика», в основу которой, в том числе, положен принцип виртуальных перемещений. …понятие «абсолютно твердое тело» абсолютно необходимо при решении задач на кинематические связи. Оно представляет собой модель системы материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными. А это позволяет, например, использовать так называемое правило проекций, когда приравниваются проекции скоростей точек тела на связывающую их ось. …при наличии жестких связей упрощаются условия равновесия: достаточно рассматривать только равновесие сил в тех направлениях, в которых связи не препятствуют движению (например, для поршня – вдоль цилиндра). Равновесие сил в других направлениях обеспечивается само собой, так как уже при малой деформации связи появятся силы реакции, уравновешивающие приложенную силу. …принцип виртуальных перемещений – «первая ласточка» в целой «стае» родившихся затем так называемых вариационных принципов уже не только механики, но и оптики, электродинамики, термодинамики, а в XX веке – теории относительности и квантовой теории.

Что читать в «Кванте» о движении со связями (публикации не только последних лет) 1. «Кинематика и связи» – 1971, №2, с.44; 2. «Кинематические связи в задачах динамики» – 1988, №2, с.57; 3. «Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений» – 1989, №1, с.45; 4. «Эта «простенькая» кинематика» – 2008, №1, с.40; 5. «Скорость и ускорение» – 2011, №1, с.34; 6. «Волшебная формула, или Движение со связями» – 2012, №1, с.34; 7. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с. 11, 50; 8. «Кинематика отрезка» – 2015, №3, с.43. Материал подготовил А.Леонович

$\int$

$\ge$

£ £

$^\circ C$