Региональный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

ОЛИМПИАДЫ

Региональный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Региональный этап XLIII Всероссийской олимпиады поводился одновременно во всех регионах нашей страны 30 и 31 января 2017 года.

Задачи олимпиады

9 класс

1. В произведении трех натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016? Н.Агаханов, И.Богданов

2. Вася задумал 8 клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску 8 ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, четно (т.е. 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть? И.Богданов

3. См. задачу М2457 «Задачника «Кванта».

4. См. задачу М2455 «Задачника «Кванта».

5. Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около ее строки и ее столбца («таблица сложения»). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами? О.Подлипский

6. В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если $\angle$ MAC $= 30 ^\circ$, то AK = = BC. Б.Обухов

7. См. задачу М2456 «Задачника «Кванта».

8. Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечетными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трех карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, делящимся на $2^{10000}$. Докажите, что число, делящееся на $2^{10000}$, было на одной из карточек уже через день после начала. И.Богданов

10 класс

1. В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз? Н.Агаханов, И.Богданов

2. Окружность с центром в точке I вписана в четырехугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на окружности $\omega$, описанной около треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности $\omega$. А.Кузнецов

3. Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел $a_{1}, a_{2}$, …

51

ОЛИМПИАДЫ

… $, a_{2017}$ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) $a_{1}$ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – $a_{2}$ камней, …, наконец, в оставшуюся коробку – $a_{2017}$ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов? И.Богданов

4. Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что задумал многочлен P ( x ) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит k целых чисел $n_{1}, n_{2}$, … $, n_{k}$ и отдельно сообщит значение выражения $P ( n_{1} ) P ( n_{2} )$ … $P ( n_{k} )$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным? Г.Жуков

5. Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами? О.Подлипский

6. См. задачу М2454 «Задачника «Кванта».

7. См. задачу 7 для 9 класса.

8. Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что AC || DE. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности $\omega$ таковы, что DP P EQ. Лучи QA и PC пересекают пря- мую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что $\angle$ XBY $+ \angle$ PBQ $= 180 ^\circ$. А.Кузнецов

11 класс

1. В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз? Н.Агаханов, И.Богданов

2. См. задачу 2 для 9 класса.

3. См. задачу 4 для 10 класса.

4. Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр треугольника ABC. Окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_{b}$ и $\Gamma_{c}$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на $\omega$. А.Акопян

5. Олег нарисовал пустую таблицу $50 \times 50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами? О.Подлипский

6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность $\Gamma c$ центром в точке O. Его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P, причем точка O лежит внутри треугольника BPC. На отрезке BO выбрана точка H так, что $\angle$ BHP $= 90 ^\circ$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника PHD, вторично пересекает отрезок PC в точке Q. Докажите, что AP = CQ. А.Кузнецов

7. На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые

55

ОЛИМПИАДЫ

ся. На каком этаже это произошло? Зависимость температуры двигателя от времени T ( t ) изображена на рисунке 8. Известно,

Рис. 8

что на двигатель всегда подается одно и то же напряжение; трением в подшипниках двигателя и лебедки пренебречь. Принять g = 10 м $с^{2}$, высоту одного этажа h = = 3 м, теплоемкость электродвигателя C = 4,5 кДж $^\circ$ С. И.Юдин

11 класс

Задача 1. Сообщающиеся сосуды В двух одинаковых сообщающихся вертикальных цилиндрических сосудах находит- начинает поступать жидкость плотностью $\rho$, причем скорость прироста ее уровня над поршнем составляет v = 0,2 мм/с. 1) С какой скоростью $v_{п}$ движется поверхность жидкости в правом сосуде в начале процесса? 2) С какой скоростью $v_{л}$ и в каком направлении (вверх или вниз) движется поверхность жидкости над поршнем в начале процесса? 3) На какой высоте h от дна сосуда будет находиться поверхность жидкости над поршнем: а) через 600 с; б) через 1100 с? Температуру в сосудах можно считать постоянной. Жидкость из сосудов не выливается. А.Аполонский

Задача 2. Стеклоподъемники При включении электродвигателя стеклоподъемника одной двери автомобиля стекло поднимается из нижнего в верхнее положение за время $t_{1}$. Если включить одновременно два стеклоподъемника, то стекла поднимутся за время $t_{2} ( t_{2} > t_{1} ).$ 1) За какое время $t_{3}$ поднимутся три стекла автомобиля при одновременной работе трех стеклоподъемников? 2) За какое время $t_{4}$ поднимутся все четыре стекла автомобиля при одновременной работе всех четырех стеклоподъемников? Примечание. Считайте, что сила, необходимая для подъема стекла, не зависит от скорости подъема, а сила тяги мотора стек-

Рис. 9

ся жидкость плотностью $\rho$ (рис.9). Первоначальный уровень жидкости в сосудах l = 10 см от дна. Сосуды соединены через отверстия в их дне маленькой трубочкой пренебрежимо малого объема. В левом сосуде на высоте 2l от дна имеется легкий поршень, который может свободно перемещаться без трения о стенки. Под поршнем находится воздух при атмосферном давлении $p_{0} = 2 \rho gl$. С момента времени t = 0 в левый сосуд в пространство над поршнем

«Черный ящик»