Задачи 1—4

26

КВАНТ 2017/№9

все треугольники, как на рисунке 12. Так как угол в общей вершине уменьшается с

Рис. 12

увеличением n, все гипотенузы наклонены к горизонтали под разными углами. А теперь, чтобы сделать гипотенузы равными, растянем каждый треугольник в целое

число раз. Если это число-масштаб выбрать как произведение длин гипотенуз всех остальных треугольников (целое число!), то после такого растяжения длина каждой гипотенузы окажется равной произведению длин всех исходных гипотенуз. Осталось лишь, как обычно, расположить эти отрезки (и их отражения) друг за другом, и они выстроятся в равносторонний многоугольник! Так что число сторон в таких многоугольниках ничем не ограничено.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором Вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Желаем успеха!

1. У Умного Кролика есть участок квадратной формы 8 ¥ 8, состоящий из 64 одинаковых грядок 1 ¥ 1. На некоторых грядках он выращивает капусту, а на остальных – морковь (пустых грядок нет). Известно, что рядом с каждой капустной грядкой ровно две капустные, а рядом с каждой морковной – ровно две морковные (грядки находятся рядом, если они соседние по стороне). Может ли доля капустных грядок составлять: а) ровно половину, б) более 60% от общего числа грядок? М.Евдокимов

2. Натуральное число n больше 1 и не делится на 10. Могут ли его последняя цифра и предпоследняя цифра числа $n^{4}$ быть одинаковой четности? (Последняя

Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

цифра – в разряде единиц, предпоследняя – в разрядке десятков.) С.Дворянинов

3. Можно ли разрезать прямоугольник 2 ¥ 5: а) на четыре части, б) на три части, из которых можно сложить квадрат? (Прикладывать части друг к другу можно только без просветов и наложений.) Фольклор

4. В ряд выписаны миллион чисел: первое число 123456789, а 999999 чисел – нули. За ход разрешается выбрать число, если оно хотя бы на 10 меньше, чем соседнее слева, и увеличить его на 1, а все числа левее уменьшить на 9. Так делают, пока можно сделать ход. Какой набор чисел может получиться в конце? (Требуется найти все варианты и доказать, что других нет.) Е.Бакаев

30

КВАНТ 2017/№9

очень быстро толкать снизу вверх шариком, насаженным на геликоид, в результате пропеллер начинает очень быстро вращаться и, срываясь с геликоида, поднимается вверх довольно высоко. В этой игрушке геликоид неподвижен, а перемещается пропеллер – он же отрезок, он же ступенька.

Как геликоид раскручивает юлу

Принципиальное устройство юлы (рис.7) таково. Корпус юлы – это два конуса с совпадающими основаниями. Вершина ниж-

Рис. 7

него конуса, т.е. острие, располагается на столе или на полу. Вершина верхнего конуса чуть срезана, так что получается усеченный конус. Его верхнее основание – круглая пластина некоторой толщины. В этой пластине имеется прорезь, получается она так. Представим пересечение нашего геликоида и верха юлы. Реальный геликоид имеет толщину, поэтому в пересечении с круглой пластиной оказывается часть геликоида. Вот эта часть и выбрасывается из основания. Если юла неподвижна, то через эту щель геликоид можно протолкнуть сверху вниз. Геликоид при этом вращается по часовой стрелке. Итак, в этом случае прорезь неподвижна, геликоид движется вниз и вращается. Взаимное вращение геликоида и прорези можно представить и подругому: геликоид (без вращения!) движется вниз, а прорезь вращается против часовой стрелки. Но прорезь – это корпус юлы,

тем самым, юла вращается против часовой стрелки. При этом геликоид скользит по поверхности прорези. Можно увидеть некоторую аналогию с тем, как велосипедная цепь набегает на звездочку. Когда одно звено цепи покидает звездочку, на смену ему приходит другое звено и так далее. Так же две шестерни цепляются одна за другую: один зубец уходит, тут же приходит следующий, за ним еще один… Сила, которую мы прикладываем к штоку-геликоиду, передается на корпус юлы. Касающиеся (совпадающие) поверхности геликоида и прорези можно приближенно считать поверхностями двух клиньев, о которых мы говорили раньше. Поверхность прорези – это полоска, движущаяся по геликоиду-штоку. Раскручиваем мы юлу непостоянно. Вдвинув шток-геликоид на максимальную глубину, мы выпускаем его из рук – юла крутится. Заметив замедление вращения, мы поднимаем шток вверх. При этом он никак с юлой не взаимодействует. Затем мы снова надавливаем на шток. Процесс повторяется циклически. Подобным же образом происходит подпитка энергии при движении велосипеда. Мы крутим педали, прикладываем к ним силу, велосипед ускоряется. Потом мы можем не крутить педали – велосипед движется по инерции. Устройство сцепления штока с юлой похоже на сцепление ведомой звездочки с задним колесом велосипеда. При вращении в одну сторону есть зацепление, в другую – его нет. В заключение предлагаем вам своими руками сделать модель юлы (рис.8). Вам потребуется стеклянный пузырек, лист бумаги с прорезью и кусок упомянутой выше проволоки. Ставим пузырек на стол, сверху кладем лист бумаги, в прорезь вставляем нашу проволоку. Теперь надавливаем сверху на шток-геликон – и лист бумаги вращается, как $юла._{Рис.} 8$