Квант
Олимпиады

XXXIX Турнир городов

Дориченко С. А., Медников Л. Э.

Квант 2018, №1с. 52Тег X1UX

ОЛИМПИАДЫ

XXXIX Турнир городов

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2017 ГОД)

Базовый вариант

8–9 классы

1.(3)11. (3)^{1}

ки равна 1). Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более 1/3 от ее длины. М.Евдокимов

Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять сумм отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько – отрицательны? Б.Френкин

  1. (4) Существуют ли нецелые числа x и y, для которых { x } ◊ { y } = { x + y }? (Здесь { x } – дробная часть числа x.) М.Евдокимов

  2. (4) Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, …, последнее делится на 2? П.Кожевников

  3. (4) В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает отрезок CL в точке K. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и AKL касаются. М.Панов

  4. (4) В ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причем они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету? Р.Женодаров

  5. (4) Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений? Б.Френкин, С.Кудря

  6. (5) На одной из клеток поля 8 ¥ 8 зарыт клад. Вы находитесь с металлоискателем в центре одной из угловых клеток этого поля и передвигаетесь, переходя в центры соседних по стороне клеток. Металлоискатель срабатывает, если вы оказались на той клетке, где зарыт клад, или в одной из соседних с ней по стороне клеток. Можно ли гарантированно указать клетку, где зарыт клад, пройдя расстояние не более 26? М.Евдокимов

  7. (5) Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клет-

1

В скобках после номера задачи указано максимально количество баллов, присуждавшихся за ее решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

10–11 классы

  1. а) (2) Может ли некоторый шар высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3 и 4? б) (3) Тот же вопрос, если радиус шара должен быть равен 5. М.Евдокимов

  2. (5) В левой нижней клетке доски 100 ¥ 100 стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход – горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки A и B, что фишка не менее двух раз делала ход из A в B. А.Грибалко

Сложный вариант

8–9 классы

  1. (4) Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном коли-

52

КВАНТ 2018/№1

честве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3:4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара? Г.Гальперин 2. (4) Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трех монет оказались на одной прямой? Е.Бакаев 3. (6) См. задачу М2486 «Задачника «Кванта» для трех месяцев вместо двенадцати.

  1. а) (1) См. задачу М2490 а «Задачника «Кванта». б) (3) См. задачу М2490 б «Задачника «Кванта». в) (4) См. задачу М2490 в «Задачника «Кванта».

  2. (9) Цифры натурального числа n > 1 записали в обратном порядке и результат умножили на n. Могло ли получиться число, записываемое только единицами? Ф.Петров 6. (9) См. задачу М2487 «Задачника «Кванта».

  3. а) (5) См. задачу М2488 а «Задачника «Кванта». б) (5) См. задачу М2488 б «Задачника «Кванта».

10–11 классы

  1. а) (1) См. задачу М2490 а «Задачника «Кванта». б) (2) См. задачу М2490 б «Задачника «Кванта». в) (3) См. задачу М2490 в «Задачника «Кванта».

  1. (5) Дан правильный шестиугольник с центром O. Провели такие шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника, что точка O находится внутри окружностей. Угол величины A с вершиной O высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6 A. Е.Бакаев

  2. (6) См. задачу М2486 «Задачника «Кванта».

  3. (8) См. задачу М2489 «Задачника «Кванта».

  4. а) (3) См. задачу М2491 а «Задачника «Кванта». б) (4) См. задачу М2491 б «Задачника «Кванта». в) (4) См. задачу М2491 в «Задачника «Кванта».

  5. (10) Дан треугольник ABC. Пусть I – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB, а A1A_{1} и B1B_{1} – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами BC и AC соответственно. Пусть M – середина отрезка IC, а отрезки AA1AA_{1} и BB1BB_{1} пересекаются в точке N. Докажите, что точки N,B1,AN, B_{1}, A и M лежат на одной окружности. Ф.Ивлев

  6. (10) Город имеет вид квадрата n ¥ n, разбитого на кварталы 1 ¥ 1. Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идет из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за n дней он пройдет все улицы целиком. М.Дидин

Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников