29
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШК О ЛЬНИК О В
Многогранники из трубочек
Д.ПАНОВ, А.ПУШКАРЬ, Д.ЧЕБАСОВ
ВЭТОЙ СТАТЬЕ РАССКАЗЫВАЕТСЯ, КАК трубочки и маленькие резиновые колечки можно использовать для геометрических построений. Подходящие для наших экспериментов трубочки продаются в магазине «Веселая затея» и называются там палочками для воздушных шаров. Они достаточно длинные – 37,5 см и при этом одновременно жесткие и упругие. Маленькие резиновые колечки для плетения продаются практически в любом магазине. Сначала мы взяли три трубочки и попарно скрепили их концы резиновыми колечками. Получился равносторонний треугольник (рис.1). А почему бы не собрать из тех же трубочек квадрат? И вот тут нас ожидал сюрприз. Мы соединили как надо четыре одинаковые трубочки, но это был не совсем квадрат или даже совсем не квадрат. Если положить эту конструкцию на стол, она мгновенно превращается в ромб, а если приподнять за вершину, то и вовсе перестает быть плоской фигурой (рис.2). Мы назвали этот
Рис. 2. Непослушный квадрат
квадрат или этот четырехугольник непослушным квадратом. Математики называют фигуры, которые легко меняют свою форму, изгибаемыми. Так вот, треугольник, состоящий из трех отрезков, жесткий – неизгибаемый, а квадрат и любой другой четырехугольник, и пятиугольник, и шестиугольник и т.д. – изгибаемы. Это хорошо известный факт, и мы смогли убедиться в нем с помощью трубочек и резиночек. А почему бы теперь не собрать чтонибудь пространственное? И мы легко собрали из трубочек самый простой многогранник – треугольную пирамиду (рис.3).
Рис. 1. Равносторонний треугольник
Эта статья (с небольшими изменениями) перепечатана из журнала «Квантик» №3 за 2018 год. Там она называется «Брызгалки и многогранники».
Рис. 3. Каркас пирамиды
30
КВАН T 2018/№2
Рис. 4. Настоящая пирамида
Правда, в математике многогранником называют другой объект – каркас вместе с гранями-многоугольниками (рис.4). При этом общие отрезки соседних граней называются ребрами – они соответствуют нашим трубочкам. А точки, где сходятся несколько ребер, называются вершинами – можно сказать, что это наши резиночки. Вот еще два замечательных многогранника: из 12 трубочек собирается октаэдр, у него 8 граней, а из 30 трубочек – икосаэдр, у него 20 граней (рис.5). У всех трех собранных многогранников все грани треугольные, и эти многогранники неизгибаемые. Теперь попробуем собрать из трубочек куб. Посмотрите на рисунок 6: этот куб совсем не держит форму – он изгибаем, и изгибаем совершенно чудовищным образом. Мы назвали его «разболтанным» кубом. А если без шуток, то тут возникает
Рис. 5. Трубчатые октаэдр и икосаэдр
Рис. 6. «Разболтанный» куб
серьезный математический вопрос: какие многогранники, собранные из трубочек, изгибаемы, а какие нет? Конечно, трубочки и резиночки могут что-то подсказать, но различных многогранников слишком много, чтобы без строгого доказательства доверять этим подсказкам. У нас появились кое-какие предположения, но мы не были уверены в них. К счастью, сейчас в интернете есть места, где на трудный математический вопрос можно получить квалифицированный ответ. Самое известное из них – блог профессиональных математиков MathOverflow. Там обсуждаются многие вопросы, связанные с современными математическими исследованиями, а также нерешенные математические проблемы, но совсем не приветствуются вопросы непрофессиональные или вопросы типа домашних заданий. Поэтому мы с опаской обратились туда. Мы спросили: если взять выпуклый многогранник, т.е. многогранник без впадин (рис.7), и убрать из него все грани, а оставить только ребра (тогда как раз получится что-то вроде нашего многогранника из
31
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШК О ЛЬНИК О В
Рис. 7. Выпуклый многогранник – без впадин, а у невыпуклого впадины имеются
трубочек), то в каком случае он будет изгибаемым, в каком – нет? Нас порадовало, что ответ был получен, и довольно быстро. Как мы и предполагали, если в многограннике есть хоть одна не треугольная грань, он будет изгибаемым, а если все грани треугольные, он – жесткий. Обсуждение нашего вопроса на MathOverflow было очень В самом начале было сказано, что из теоремы Коши следует неизгибаемость трубчатого выпуклого многогранника. После этого привел пример многогранника с квадратной гранью, который, как он считал, неизгибаем (рис.8). Мы собрали этот многогранник из трубочек (рис.9),
Рис. 8. Многогранник О’Рурка
1 Если вы знаете английский, можете посмот- реть это обсуждение, набрав в Google: «Rigidity of convex polyhedron in R3 with faces В MathOverflow каждому участнику добавляют очки за популярные вопросы и популярные ответы. Среди 64000 участников О’Рурк по популярности идет на третьем месте, у него 80000 баллов.
Рис. 9. Многогранник О’Рурка изгибаем
и оказалось, что О’Рурк ошибся – многогранник прекрасно изгибался. А затем А.Петрунин привел простое доказательство изгибаемости трубчатого многогранника, у которого есть хотя бы одна не треугольная грань. В своем доказательстве он использовал теорему А.Д.Александрова. Вот так был получен ответ на наш вопрос. Упомянутые здесь теоремы Коши и Александрова – самые знаменитые в теории многогранников. Их формулировки достаточно просты, а доказательства доступны старшим школьникам. Советуем почитать книжку Н.П.Долбилина «Жемчужины теории многогранников» (М.: МЦНМО, 2012), посвященную доказательствам этих теорем и рассчитанную на школьников. Несколько слов в заключение. Важным классическим вопросом является вопрос о жесткости и изгибаемости настоящих многогранников – многогранников с гранями. Здесь есть красивая теория с большой историей и с неожиданными открытиями, частично доступная школьникам. Советуем прежде всего посмотреть в интернете популярную лекцию «Изгибаемые многогранники и кузнечные мехи», год назад прочитанную А.Гайфуллиным на XXVIII Математическом празднике в Москве.