Прямоугольник из квадратов
Ф.ШАРОВ
СДАВНИХ ВРЕМЕН ЛЮДИ ЗАНИМАЛИСЬ задачами на разрезания. Можно ли разрезать определенную фигуру на какието другие (например, на квадраты)? Можно ли из некоторого набора фигур составить другую заданную фигуру (например, правильный треугольник)? В этой статье мы докажем один из классических результатов в этой области математики – теорему Дена. Теорeма 1 (М.Ден, 1903). Если прямоугольник разрезан на квадраты (не обязательно равные), то отношение длин его сторон рационально. Читатель, конечно, без труда сможет догадаться, как разрезать прямоугольник с рациональным отношением длин сторон на квадраты (рис.1). Содержательным
Рис. 1
является лишь вопрос невозможности разрезаний в остальных случаях. Например, у прямоугольника вида a + b 2 ¥ c + d 2, где a, b, c, d рациональны, длины сторон и их отношения уже могут быть иррациональны. На этом простейшем частном случае уже можно продемонстрировать все основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы 1. В дальнейшем для удобства латинские бук-
(
) (
)
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190302
вы a, b, c, d и эти же буквы с индексами будут означать рациональные числа, а все числа вида a + b 2 будем называть хорошими.
Теорема Дена для хороших чисел
Сначала докажем теорему для частного случая, когда стороны разрезаемого прямоугольника и стороны всех квадратов являются хорошими числами. Прежде всего рассмотрим пример: прямоугольник 1 ¥ 2. Решим следующую задачу. Задача 1. Можно ли прямоугольник 1 ¥ 2 разрезать на квадраты с рациональными сторонами? А со сторонами, которые либо рациональны, либо имеют вид b 2? А со сторонами, которые являются произвольными хорошими числами? Ответ на первые два вопроса: нет. Решение для третьего вопроса приведено в конце журнала. Ответим на первый вопрос. Предположим, что прямоугольник 1 ¥ 2 разрезан на квадраты с рациональными сторонами. Рассмотрим сторону, равную 2. Сумма примыкающих к ней сторон квадратов должна равняться 2. Сумма рациональных чисел не может быть равна иррациональному, следовательно, такое разрезание невозможно. Ответим на второй вопрос. Предположим, что прямоугольник 1 ¥ 2 разрезан на квадраты со сторонами вида a или b 2. Его площадь равна 2. Площади квадратов имеют вид либо , либо .
1 Решение задачи 1, а также приведенное ниже доказательство невозможности разрезания прямоугольника 1 ¥ 1 + 2 на квадраты и решение задачи 3 (приведенное в конце журнала) написаны Е.Алиевой.
(
)
14
КВАНТ 2019/№3
Доказательство теоремы 1. Пусть прямоугольник ¥ разрезан на квадраты, причем и несоизмеримы. По определению его y-площадь равна y. Это число отрицательно при y < 0. В то же время y-площадь любого квадрата неотрицательна по лемме 3. Получили противоречие с леммой 4: сумма неотрицательных чисел не может равняться отрицательному. В заключение отметим, что y-площадь – это не просто олимпиадный трюк. В математике есть важное понятие меры. Мерами являются, например длина отрезков на прямой; площадь (обыкновенная, а не y-площадь) фигур на плоскости; объем тел в пространстве. Из двух основных свойств меры – аддитивности и неотрицательности – наша y-площадь обладает только первым. Если свойство неотрицательности не требуется, вместо слова «мера» используется
термин «заряд». Вот примером заряда и является y-площадь.
Литература
- М.Скопенков, О.Малиновская, С.Дориченко, Ф.Шаров. Собери квадрат. В сборнике: Элементы математики в задачах: через олимпиады и кружки — к профессии. – М.: МЦНМО, 2018. 2. М.Скопенков, О.Малиновская, С.Дориченко. Собери квадрат. – «Квант», 2015, №2. 3. М.Скопенков, М.Прасолов, С.Дориченко. Разрезания металлического прямоугольника. – «Квант», 2011, №3. 4. Д.Фукс. Можно ли из тетраэдра сделать куб? – «Квант», 1990, №11. 5. Ф.Шаров. Разрезания прямоугольника на прямоугольники с заданными отношениями сторон. – Математическое просвещение, сер. 3, вып. 20 (2016), с.200–216. 6. И.М.Яглом. Как разрезать квадрат? – М.: Наука, 1968.
Вниманию наших читателей!
В предыдущем номере журнала в статье «Объять необъятное …» было допущено несколько опечаток. Необходимо сделать следующие исправления.