Московская физическая олимпиада школьников 2019 года

Квант 2019, №4 с. 52 Тег HWN0

ОЛИМПИАДЫ

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ

7 класс

Нильс на веточке (1 тур) Рост Нильса Хольгерссона после заклятия гнома уменьшился в 10 раз. Пропорции тела остались прежними. Когда он был большим, то сил рук еле-еле хватало, чтобы подтянуться на турнике. Какой груз маленький Нильс может поднять вместе с собой, подтягиваясь на руках на горизонтальной веточке дерева? Масса большого Нильса 30 кг. Подсказка. Сила мышц пропорциональна площади их поперечного сечения. С.Варламов
«Жидкий» песок (1 тур) Если сосуд с песком подвергнуть вибрации (проще говоря, потрясти), то можно наблюдать интересное явление – песок становится похож на жидкость. Тяжелые предметы (с большой плотностью) тонут в этом «жидком» песке, а легкие (например, деревянные) предметы наоборот всплывают на поверхность, даже если изначально они были на дне сосуда. Это происходит потому, что при встряхивании уменьшаются силы трения между песчинками. Рассмотрим опыт. На дне цилиндрического сосуда находится песок. Поверх песка насыпана галька. Сосуд подвергают вибрации, и песок становится «жидким». Галька постепенно опускается на

Рис. 1

дно сосуда, а песок заполняет все пустоты между ее камнями. Чему станет равен уровень содержимого в сосуде после оседания гальки, если изначально уровень песка был $h_{1} = 0,6$ м, а уровень гальки $h_{2} = 1$ м (рис.1)? Плотность камней гальки $U_{0} 2600$ кг $м^{3}$ , а ее насыпная плотность $U_{1} 1500$ кг $м^{3}$ . М.Ромашка

Василий и бетон (2 тур) Василию нужно залить фундамент дачного дома, для чего ему необходимо $9,4 м^{3}$ бетона, при этом бюджет Василия ограничен суммой 50000 рублей. Известно, что для получения бетона необходимо смешать цемент с песком и щебнем, при этом чем больше объемная доля цемента в смеси, тем качественнее получается бетон и тем больше значение марки бетона. В магазине Василий узнал, что цена цемента 180 руб. за 50 кг, цена песка 102 руб. за 50 кг, цена щебня 130 руб. за 40 кг, а соотношения объемов материалов для разных марок бетона указаны в таблице. К сожалению, часть данных в таблице была утеряна.

Помогите Василию заполнить пустые ячейки в таблице. Известно, что объем песка в марке бетона М400 в два раза меньше объема щебня. 2) Определите, какую наилучшую марку бетона может позволить себе Василий. Плотность цемента $U_{ц} 1200$ кг $м^{3}$ , плотность песка $U_{п} 1600$ кг $м^{3}$ , плотность щебня $U_{щ} 2100$ кг $м^{3}$ . Н.Трушников

К ВАН T 2019/№4

Рис. 8

Рис. 10

Рис. 9

собрано устройство, называемое стабилизатором напряжения, обеспечивающее неизменное напряжение $U_{0}$ на нагрузке (резистор сопротивлением R = 300 Ом) при различных значениях напряжения на входе (между точками A и B). При этом напряжение $U_{AB}$ должно лежать в некотором диапазоне напряжений $U_{1}$ ’ $U d U_{AB} d U_{1}$ ’ U, в противном случае устройство перестает выполнять свою функцию стабилизации напряжения. 1) Чему равны напряжение $U_{0}$ и сопротивление резистора r в данной схеме? 2) Найдите сопротивление резистора $R_{1}$ , при котором полуширина диапазона входных напряжений ’ U будет максимально возможной при напряжении середины диапазона $U_{1} = 6$ В. З.Резников

Двигатель Стирлинга (2 тур) В задаче рассматривается термодинамическая модель двигателя Стирлинга, схематично изображенного на рисунке 10. Поршни 3 совершают возвратно-поступательные движения, преобразующиеся во вращательные движения с помощью кривошипно-шатунных передач. Рабочий цилиндр 1 нагревают горелкой. В рамках модели считается, что его температура поддерживается постоянной, обозначим ее T. На вытеснительном цилиндре 2 закреплен радиатор 6 для улучшения теплообмена, температура в цилинд- ре считается равной комнатной температуре $T_{0}$ . Рабочее тело 4 – воздух – перекачивается из рабочего цилиндра в вытеснительный и обратно по трубке 5. Максимальный объем воздуха в рабочем цилиндре обозначим $V_{01}$ , а в вытеснительном – $V_{02}$ . Объемом трубки можно пренебречь. В результате компьютерных расчетов были получены диаграммы зависимости относительного давления от относительного объема: для рабочего цилиндра – красная линия на рисунке 11, для вытеснительного – синяя линия. При этом цикл для рабочего цилиндра обходится по часовой стрелке, а для вытеснительного – против часовой стрелки; $V_{02} 1,25 V_{01}$ . 1) Определите числовое значение отношения температур T и $T_{0}$ . 2) Какая часть общей массы воздуха находится в рабочем цилиндре при давлении $3p_{0}$ ? 3) Определите отношение работы, совершаемой всем газом за цикл, к работе, совершаемой газом в рабочем цилиндре, если площадь фигуры, ограниченной красной линией, $S_{1} = 1,5$ (относительных единиц), а

Рис. 11

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №3)

1. Среди чисел от 1 до 100 единицу в записи содержат ровно двадцать: это сама единица, десять чисел от 10 до 19, числа 21, 31,…, 91 (их восемь) и число 100. Значит, ни одно из этих чисел не было стерто. Аналогично, чисел с двойкой ровно девятнадцать: сама двойка, десять чисел третьего десятка, а также 12, 32, 42,…, 92 (таких восемь). Значит, и из них Миша ни одно не стер. Всего таких чисел 19 + 20 - 2 = 37 (мы вычитаем 2, поскольку числа 12 и 21 посчитаны два раза). Всего осталось 37 + 30 = 67 чисел, а Миша $стер^{100} - 67 =^{33}$ числа. 2. См. рисунки 1 и 2.

Рис. 1

Рис. 2

Комментарий. Решение задачи может стать нагляднее, если вместо обычной сетки с горизонтальными и вертикальными линиями рассмотреть диагональную, изображенную на рисунке 3

Рис. 3

Рис. 4

пунктирными линиями. На диагональной сетке наша фигура имеет площадь 4 клетки, и ее надо разрезать на 4 фигуры площади 1. Аналогичная фигура на обычной сетке изображена на рисунке 4, ее разрезание там проще увидеть, а потом его можно перенести на исходную фигуру. 3. 5. Если Сеня с ошибкой пишет Д, то из букв О, Е, К, А, Э, Р, которые еще входят в ДОДЕКА- ЭДР, он в трех ошибается, а три пишет верно. Но все эти буквы, кроме Е, входят и в ИКОСА- ЭДР, т.е. там он напишет верно как минимум две буквы и никак не сможет $сделать^{7}$ ошибок. Значит, букву Д Сеня пишет правильно. Тогда он неминуемо пишет с ошибкой все остальные буквы слов ДОДЕКАЭДР и ИКОСАЭДР, а в слове ТЕТРАЭДР, таким образом, помимо Д, еще верно пишет букву Т, но ошибается во всех

остальных. Теперь ясно, что в слове ОКТАЭДР Сеня сделает пять ошибок. 4. Пример с пятью дополнительными рейсами показан на рисунке 5. Можно доказать, что добавить меньшее число рейсов невозможно.

Рис. 5

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №2) 21. а) Да. Расставим в нечетных вертикалях и горизонталях по 1 фишке, а в четных – по 5 так, как на $рисунке^{6.}$ б) Нет. Допустим, нам удалось найти такую расстановку. Тогда в каждой горизонтали и вертикали либо 1 фишка – назовем такие ряды тощими, $либо^{6}$ – назовем такие ряды толстыми. Толстых $вертика-^{Рис.} 6$ лей, как и толстых горизонталей, 4, поэтому фишек, стоящих в толстой вертикали и толстой горизонтали, не более 16. А фишек, стоящих в толстой вертикали и тощей горизонтали, не более 4 – по одной на каждую горизонталь. Итого в толстых вертикалях получается не более 20 фишек, а должно $быть^{4}$ ◊ $6 =^{24}$ . Противоречие. 22. а) Нет. Пусть такая раскраска нашлась. Возьмем три точки A, B, C разных цветов. Они не могут образовывать треугольник, иначе описанная вокруг него окружность содержала бы три цвета. Значит, они лежат на одной прямой. Возьмем теперь любую точку X вне этой прямой. Она совпадает по цвету с одной из точек A, B, C, пусть с A. Тогда X, B, C имеют разные цвета и снова образуют треугольник. Противоречие. б) Да. Выберем три точки на одной прямой и покрасим их в три первых цвета, а все остальные точки плоскости – в четвертый цвет. Так как окружность не может содержать три точки, лежащие на одной прямой, на любой окружности не будет хотя бы одного из первых трех цветов. 23. Пусть O – точка пересечения $A_{1} M$ и $B_{1} K$ (рис.7). Чтобы доказать равенство площадей $MC_{1} KO$ и $B_{1} OA_{1} C$ , добавим к каждому них треугольник $OMB_{1}$ и докажем, что площади получившихся многоугольников $MC_{1} KB_{1}$ и