ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Олимпиада «Покори Воробьевы горы!»
ФИЗИКА
Олимпиада «Покори Воробьевы горы!» проходит с 2005 года. С самого начала она возникла как социальный проект, направленный на поиск талантливых школьников во всех регионах России. В 2018/19 учебном году олимпиада по физике проводилась для двух категорий школьников: «младшие» (7, 8 и 9 классы) и «старшие» (10 и 11 классы). Отборочный этап олимпиады проходил дистанционно: каждому участнику после получения заданий давалась неделя (168 часов) на выполнение задания. Заключительный этап проводился в очной форме в шести городах РФ: Железноводск, Кемерово, Москва, Челябинск, Нижний Новгород, Уфа. В олимпиаде традиционно используются оригинальные задачи достаточно высокого уровня сложности, наиболее сложные и интересные – в творческой части отборочного этапа. У некоторых из них не бывает «единственно правильного» решения, так как участник может использовать различные модели рассматриваемых явлений, а оценка его решения зависит и от адекватности и уровня точности используемой модели, и от корректности решения в рамках выбранной модели. Ниже приводятся примеры заданий обоих этапов олимпиады по физике для «старших» школьников.
12 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите t. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м . Ответ запишите в секундах, без указания единиц измерения, с точностью до десятых. 3. Постоянное количество гелия участвует в процессе, в котором газ сначала расширяется адиабатически, а затем в изобарном процессе возвращается к исходной температуре. Во всем процессе гелий совершил работу 735 Дж. Найдите работу, совершенную гелием в адиабатическом процессе. Ответ запишите в джоулях, без указания единиц измерения, при необходимости округлив до ближайшего целого значения.
Часть II (творческое задание) Неизвестные исследования д-а Ф.Д.Ч. Уилларда 1. Тени на орбите В одном из проектов Ф.Д.Ч.Уилларда, известного специалиста по криогенике, по-
Отборочный этап
Часть I (тестовое задание) 1. Цилиндрический медный стержень длиной 2 м вносят в область, где создано электрическое поле с напряженностью 50 В/м, и располагают так, что его ось составляет угол 60q с направлением напряженности этого поля (каким оно было до внесения стержня). Найдите разность потенциалов между концами стержня. Ответ запишите в вольтах, без указания единиц измерения. 2. Маленький тяжелый шарик бросили с балкона под углом к горизонту со скоростью 9 м/с. Спустя время t, когда его скорость стала перпендикулярна исходной, она равна требовалось разместить его установку на геостационарном спутнике. Так называют спутники, вращающиеся в плоскости земного экватора таким образом, что они все время находятся над одной точной земной поверхности. Оборудование на спутнике работает от солнечных батарей, но поступление энергии от Солнца, конечно же, неравномерное. Энергопотребление установки было очень небольшим, поэтому ее нужно было снабдить аккумулятором, рассчитанным только
54
КВАН T 2019/№8
и также построим хорды, стягивающие их (рис.3; здесь m = 2 и k = 3). После этих построений получится выпуклый n-угольник, который можно разбить непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Действительно, соединив точку O с точками, делящими первую окружность на дуги, мы получим k равнобедренных треугольников. Точки деления второй окружности можно сначала соединить через одну, при этом будут отрезаны равнобедренные треугольники, а в оставшейся фигуре количество хорд на второй окружности уменьшится вдвое. После этого можно снова соединить точки через одну и так далее. Осталось добиться того, чтобы хорды первой и второй окружностей были равными. Если точки A и B выбрать очень близко друг к другу, то хорды первой окружности будут меньше, чем хорды второй. Будем двигать точки A и B по окружности в разные стороны, непрерывно увеличивая длину дуги АВ. Когда они станут почти диаметрально противоположными, дуга AB второй окружности будет очень близка к диаметру первой. Значит, дуга AB второй окружности будет меньше, чем дуга первой, а так как , то хорды второй окружности будут меньше, чем хорды первой. Следовательно, в силу теоремы о промежуточном значении, в какой-то момент длины хорд обеих окружностей были равны, т.е. построенный n-угольник был равносторонним. 11. Второй. Разобьем доску на части так, как показано на рисунке 4. Тогда каждым ходом первый игрок закрашивает две клетки, находящиеся в одной части. В ответ второй может закрасить уголок, находящийся полностью в этой же части между только что закрашенными клетками (на рисунке 4 показаны два варианта ответного хода второго). Таким образом, у второго всегда будет ход, поэтому он не проиграет, а так как игра рано или поздно закончится, то он выиграет. 12. При N = 4k или N = 4k + 1. Оценка. Пусть числа получилось расставить тре-
Рис. 4
буемым образом. Тогда разности между соседними числами равны 1, 2,…, N – 1 в каком-то порядке. Будем идти по кругу, следя за четностью чисел. При переходе через нечетную разность (и только в этом случае) четность будет меняться. Чтобы круг замкнулся, нечетных разностей должно быть четное количество. Но это будет только для N = 4k и N = 4k + 1. Примеры. 1) N = 4k. Выкидываем число 3k. Далее расставляем числа по часовой стрелке так: 1, 4k, 2, 4k –1, 3, 4k – 2, 4, 4k – 3, …, 3k + 1, k +1. Тогда расставлены числа от 1 до k + 1 и все числа, большие выкинутого. Получили разности от 2k до 4k – 1 включительно. Затем от 1, двигаясь против часовой стрелки, последовательно расставляем: 2k, 2k + 1, 2k – 1, 2k + 2, 2k – 2, 2k + 3, 2k – , т.е. на нечетных местах числа уменьшаются от 2k до k + 2, на четных местах они растут от 2k + 1 до 3k – 1. Тем самым расставлены все оставшиеся числа, кроме выкинутого. Получили разности от 1 до 2k – 3 включительно. Разность 2k – 1 будет между единицей и числом 2k. Разность 2k – 2 будет между числами 3k – 1 и k + 1 и замкнет круг. 2) N = 4k + 1. Выкидываем число 3k + 1. Далее расставляем числа так: 1, 4k + 1, 2, 4k, 3, 4k – 1, 4, 4k – 2, …, 3k + 2, k + 1. Тогда расставлены числа от 1 до k + 1 и все числа, большие выкинутого. Получили разности от 2k + 1 до 4k включительно. После этого в другую сторону от единицы расставляем числа так: 2k + 1, 2k, 2k + + 2, 2k – 1, 2k + 3, 2k – , т.е. на четных местах числа уменьшаются от 2k до k + 2, на нечетных растут от 2k + 1 до 3k. Тем самым расставлены все оставшиеся числа, кроме выкинутого. Получили разности от 1 до 2k – 2 включительно. Разность 2k будет между единицей и числом 2k + 1. Разность 2k – 1 будет между числами 3k и k + 1 и замкнет круг. 13. Можно. Пусть, например, О – центр равностороннего треугольника АВС со стороной 3, а точки D, Е и F делят отрезки ОА, ОВ и ОС в отношении 2: 1
Рис. 5