LX Международная математическая олимпиада

Квант 2019, №10 с. 36, 39, 47, 49 Тег EFO8

ОЛИМПИАДЫ

Юбилейная LX Международная математическая олимпиада прошла в июле 2019 года в университете города Бат, расположенного в графстве Сомерсет в юго-западной части Англии. Среди достопримечательностей Бата выделяются основанное в VII веке аббатство и термы – наследие Римской Британии. В часе езды от Бата находятся памятник еще более древний – загадочный Стоунхендж и город Солсбери, знаменитый своим собором. Все эти места с интересом посетили участники олимпиады в свободное от решения задач время. В олимпиаде приняли участие 621 школьник из 112 стран мира – это очередной рекорд как по общему числу участников, так и по количеству участвующих стран. В этом году нашу страну представляли выпускники школы Олег Смирнов, Валерий Кулишов (оба – Москва), Владимир Петров (Санкт-Петербург), а также десятиклассники Иван Гайдай- Турлов (Москва), Алексей Львов (Новосибирск), Тимофей Ковалев (Астрахань – Москва). Наши ребята завоевали 2 золотые и 4 серебряные медали. По традиции приводим таблицу с баллами по задачам участников нашей сборной (каждая задача оценивалась из 7 баллов) и результаты первых десяти стран в командном рейтинге. Полная информация о результатах на международных математических олимпиадах имеется на официальном сайте олимпиады www.imo-official.org. В мероприятиях по подготовке команды были задействованы А.Антропов, Б.Баев, И.Богданов, С.Берлов, В. Брагин, Н.Власова, А.Гаврилюк, Р.Газизуллина, А.Гайфуллин, А.Голованов, М.Григорьев, М.Дидин, М.Иванов, Д.Карпов, П.Кожевников, П.Козлов, А.Кузнецов, Д.Крачун, А.Кушнир, И.Митрофанов, Ф.Петров,

М.Пратусевич, К.Сухов (руководил подготовкой), И.Фролов, Г.Челноков. Благодарим организации, оказавшие большую помощь в подготовке команды: Образовательный центр «Си- риус» (Сочи), Центр педагогического мастерства (Москва), Президентский физико-мате-

(Продолжение см. на с. 34)

…униженная механика была отделена от геометрии. Она стала одним из военных искусств. Плутарх (об изобретениях Архимеда)

Под каким углом следует поставить ствол пушки, чтобы она стреляла как можно дальше? Вопрос артиллериста к Никколо Тарталье

…успехи наполеоновских воин обязаны… множеству инженеров, строивших мосты, дороги, фабрики оружия и всякого рода снабжения, пороховые, пушечные, снарядные заводы. Алексей Крылов

Во второй мировой войне было три лучших оружия: английская пушка, немецкий самолет «Мессершмитт», советский танк Т-34. Уинстон Черчилль

…похоже, что я был единственным, кто видел взрыв [атомной] бомбы ничем не защищенными глазами. Ричард Фейнман

…я предложил альтернативный проект термоядерного заряда, совершенно отличный… по происходящим при взрыве физическим процессам и даже по источнику энерговыделения. Андрей Сахаров

А так ли хорошо знакомы вам

физика+техника

Увы, известно, что одним из мощных катализаторов научно-технического прогресса во все времена служили военные конфликты. История создания самых разных видов ОРУ- ЖИЯ свидетельствует о все большем включении, особенно в последние столетия, изобретателей, инженеров и ученых в разработку ружей и пушек, пулеметов и танков, истребителей и бомбардировщиков, крылатых и баллистических ракет, подводных лодок и авианосцев… Физика теснейшим образом оказалась переплетена с производством вооружения, апофеозом чего стало появление в XX веке атомной и водородной бомб. Конечно, эта связь не могла не коснуться школы, о чем можно судить по названиям предметов – «гражданская оборона», «начальная военная подготовка» и, как же, любимые уроки по ОБЖ. Однако больше всего военной тематики отражено в курсе физики: нам было из чего выбирать сегодняшние сюжеты «Калейдоскопа». Справедливости ради заметим, что множество изобретений и открытий в области обороны перекочевало в «гражданку» – и к этому мы еще вернемся в нашей рубрике.

Вопросы и задачи

Почему плохо стреляют и слишком туго и слишком слабо натянутые луки?
Пуля, вылетевшая из ружья, не может отворить дверь, но пробивает в ней отверстие, тогда как давлением пальца открыть дверь легко, но проделать отверстие невозможно. Как это $объяснить?^{3.}$ Почему пуля пробивает в тонкостенном пустом стакане лишь два отверстия, а стакан, наполненный водой, при попадании пули разбивается $вдребезги?^{4.}$ Для чего внутри ствола винтовок и пушек делают винтовые $нарезки?^{5.}$ Какую максимальную скорость может приобрести пуля при выстреле? Какие требования следует предъявить к пороху, чтобы эта скорость была как можно $больше?^{6.}$ Почему пуля, пущенная из ружья, производит свист, а брошенная рукой летит $бесшумно?^{7.}$ Отчего порох, рассыпанный на столе, сгорает почти бесшумно, а то же количество пороха при выстреле из ружья создает громкий $звук?^{8.}$ Ствол пушки нагревается сильнее при холостом выстреле, чем при выстреле снарядом. Чем это $объясняется?^{9.}$ Наибольшая теоретическая дальность стрельбы из орудия достигается при угле наклона ствола в $45^{o}$ , практически же она может быть получена при бульших углах. С чем это связано?

Почему сброшенные бомбы, мины и другие подобные снаряды падают на землю ударником $вниз?^{11.}$ Отчего самолет-бомбардировщик вздрагивает, освобождаясь от груза подвешенных к его крыльям $бомб?^{12.}$ Слышит ли военный летчик звук работы реактивного двигателя, если самолет летит со сверхзвуковой скоростью, а двигатель находится позади $пилота?^{13.}$ Почему для локации летающих объектов выгоднее использовать электромагнитные, а не звуковые $волны?^{14.}$ Одна из составляющих конструкции миноискателей – это генератор электромагнитных колебаний звуковой частоты. Индуктивность контура выполнена в нем в виде проволочного кольца. Когда оно приближается к мине, в телефонных наушниках высокий тон сменяется на низкий. Как это получается? $^{15.}$ Ракета равномерно движется в далеком космосе, на ее сопло надели изогнутую трубу выходным отверстием в сторону движения и включили двигатели. Изменилась ли скорость $ракеты?^{16.}$ Источником энергии Солнца являются термоядерные реакции синтеза легких элементов. Почему Солнце не взрывается подобно водородной бомбе, в которой используются аналогичные реакции?

Микроопыт

Давняя школьная забава – стрельба из трубочек комочками бумаги. Каков принцип действия этого «оружия»? (Надеемся, что при испытаниях вы уже не будете направлять его на своих одноклассников!) Что с его помощью можно исследовать?

Любопытно, что…

…первым в письменной истории военнотехническим достижением является, видимо, изобретение кочевыми племенами гиксосов боевых колесниц, позволивших им покорить в 18 веке до новой эры часть могучего Египета. …при обороне Сиракуз искуснейший инженер Архимед строил катапульты, «стрелявшие» камнями массой под 80 килограммов на одну стадию (один стадий), т.е. на расстояние около 185 метров. Кстати, прин-

цип действия некоторых древних метательных орудий был положен в основу конструкции минометов, появившихся в первую мировую войну. …головки ракет, снарядов и торпед естественно делать круглыми в поперечном сечении. Какой же именно должна быть форма самых этих тел вращения, чтобы испытывать наименьшее сопротивление среды при своем движении, выяснил, поставив и решив «аэродинамическую задачу», сам Ньютон. …во время крупных военных сражений, включая наполеоновские войны и битвы обеих мировых войн, поля боев зачастую превращались в непролазную грязь из-за дождей. Дело в том, что частички пороха после выстрелов, поднимаясь вверх, служили центрами конденсации влаги, образуя достаточно крупные для выпадения дождя капли. …в 1882 году изобретатель телефона Александр Белл создал портативный электромагнитный прибор для безболезненного поиска пуль и других металлических предметов в теле человека. Этот прибор долго и успешно применялся в клиниках, а впоследствии стал прообразом миноискателя. …к созданию нового оружия, обладающего невиданной ранее разрушительной силой, привлекались многие ученые-физики, в том числе и будущие Нобелевские лауреаты. Так, в Манхэттенском проекте по созданию атомной бомбы участвовал Ричард Фейнман, а одним из «отцов» советской водородной бомбы стал Андрей Сахаров.

Что читать в «Кванте» по теме «Физика+техника» (оружие)

(публикации последних лет)

«Как воздух сопротивляется движению тела» – 2015, №1, с.35; 2. «Чуть-чуть физики для настоящего охотника» – 2015, Приложение №1, с.141; 3. «В тире и рядом» – 2016, №4, с.30; 4. «Как срочно доставить лекарство на воздушный шар» – 2017, №11, с.26; 5. «Как не быть мазилой» – 2018, №7, с.37; 6. «Человек-легенда XX века» – 2018, №9, с.14; 7. «Снаряд Тимофея» – 2018, №12, с.32; 8. «Симметрии в несимметричной вселенной Андрея Сахарова» – 2019, №7, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

КВА НT 2019/№10

На олимпиаде в Тель-Авиве участникам были предложены три теоретические задачи и два экспериментальных задания. В отличие от тренда последних лет готовить задачи в том числе о современных, не школьных разделах физики, олимпиадный комитет этого года подготовил задачи исключительно по «классическим», хорошо известным школьникам разделам физики. Многие руководители команд отметили подборку задач этого года как один из лучших комплектов за последние несколько лет. Максимальное количество баллов, которое мог набрать каждый школьник, равнялось 50. Члены сборной России показали следующие результаты:

В неофициальном командном зачете по сумме баллов команда России заняла второе место. Вот как распределились первые 10 мест:

Ниже приводятся условия задач теоретического тура олимпиады.

Теоретический тур

Задача 1. Пружина нулевой длины и слинки

Пружина эффективной нулевой длины – ПНД – это пружина, у которой сила упругости пропорциональна длине пружины: F kL для L! $L_{0}$ , где $L_{0}$ – минимальная длина (длина нерастянутой пружины). На рисунке 1 показана зависимость силы F от

Рис. 1. Зависимость силы F от длины пружины L

длины L для ПНД, где наклон характеризует жесткость пружины k. ПНД используются в сейсмографии и позволяют очень точно измерять изменения в ускорении свободного падения g. Здесь и далее мы рассматриваем однородную ПНД, у которой сила тяжести Mg превышает $kL_{0}$ . Введем безразмерный коэффициент $D kL_{0} Mg 1$ , характеризующий относительную жесткость пружины. Игрушка-пружинка «слинки» может являться примером такой ПНД (но не обязательно).

Часть A. Статика (3,0 балла) А1. Рассмотрим кусочек нерастянутой ПНД длиной ’ l. Пружину растянули силой F в условиях невесомости. Какова длина ’ y этого кусочка в зависимости от F, ’ l и параметров пружины? (0,5 балла) A2. Для кусочка длиной ’ l вычислите работу ’ W, необходимую для его растяжения от длины ’ l до длины ’ y. (0,5 балла)

Далее в этой задаче мы будем обозначать точки пружины с помощью расстояния $l ( 0 d l d L_{0} ),$ которое измеряется от нижней точки пружины, когда она не растянута. В частности, для каждой точки пружины значение l остается неизменным при растяжении пружины. A3. Предположим, что мы удерживаем пружину за верхний конец так, что пружина растягивается под собственным весом. Определите полную длину Н растянутой пружины в положении равновесия. Выразите ответ через $L_{0}$ и D. (2 балла)

Часть B. Динамика (5,5 баллов) Проведем следующий эксперимент. Пружина подвешена за верхний конец и находится в покое. В некоторый момент пружину отпускают, и она начинает сжиматься, причем сжатие происходит постепенно, сверху вниз, и нижняя часть остается неподвижной (рис.2). С течением времени сжатая часть

ОЛИМПИАДЫ

Вернемся теперь к обсуждению магнетрона. Расстояние между катодом и анодом 15 мм. Пусть также из-за описанных ранее потерь энергии максимальная кинетическая энергия электрона не превышает $K_{max} = = 800$ эВ. Индукция постоянного магнитного поля $B_{0} = 0,3$ Тл. Масса и заряд электрона равны m 9,1 $10^{31}$ кг и e 1,6 $10^{19}$ Кл соответственно. A3. Рассмотрим электрон в системе отсчета, в которой его движение можно считать почти движением по окружности. Оцените численно максимальный радиус r этой окружности. Систему отсчета считать инерциальной. (0,4 балла) A4. На рисунке 4 изображены силовые линии переменного электрического поля

ни (силовые линии постоянного поля не показаны). Положения шести электронов в этот момент времени обозначены $A,^{B,} C, D, E$ и F. Все электроны расположены на одинаковом расстоянии от катода. A5. Рассмотрим пары электронов AB, AC, ВС, DE, DF, EF (см. рис.5). Для каждой из пар укажите, как будет влиять дрейф на угол между векторами, направленными из точки О (центр катода) к точке, где находится электрон. Будет ли угол увеличиваться или уменьшаться в этот момент времени? (1,2 балла)

Поведение системы, которое вы обнаружили в пункте A5, это механизм фокусировки. Электроны концентрируются в пространстве между катодом и анодом в сгустки. Такие сгустки называются «спицами». Одна из спиц показана на рисунке 6 и обозначена S.

Рис. 4. Пять электронов в переменном электрическом поле

между анодом и катодом в некоторый момент времени (силовые линии постоянного поля не показаны). Положения пяти электронов в этот момент времени обозначены $А,^{B,} C, D$ и Е. Укажите в листе ответов, какие из этих электронов дрейфуют в сторону анода, какие в сторону катода, а какие дрейфуют в направлении, перпендикулярном радиусу в этот момент времени. (1,2 балла)

На рисунке 5 изображены силовые линии переменного электрического поля между анодом и катодом в некоторый момент време-

Рис. 5. Шесть электронов на одинаковом расстоянии от катода

Рис. 6. Фокусировка электронов

A6. Нарисуйте на листе ответов остальные спицы в этот момент времени. Стрелками укажите направление их вращения. Вычислите их угловую скорость Z. (0,8 балла)

Пусть полная напряженность электрического поля на середине расстояния между анодом и катодом равна среднему значению напряженности постоянного поля, измеренной вдоль радиуса. Считайте, что спицы направлены радиально. Радиусы анода и катода равны b и а соответственно (см. рис.6). A7. Оцените, какое постоянное напряжение $U_{0}$ нужно, чтобы магнетрон работал в режиме, описанном в этой части задачи. (Найденное выражение будет соответствовать минимальному значения напряжения;

Э КЗАМЕ Н АЦИО НН ЫЕ

На тонкой нити подвешен шарик массой m. Нить приводят в горизонтальное положение и отпускают. Чему равна сила натяжения нити в тот момент, когда вектор ускорения шарика направлен горизонтально? (10 баллов) 4. Рита и Маруся сварили 2 литра клюквенного морса. До прихода гостей оставалось совсем немного времени, а морс все еще был теплым (40 $^\circ$ С). Девочки хотели охладить его побыстрее с помощью 20 пластмассовых шариков со льдом (–20 $^\circ$ С), но поспорили и разделили морс и шарики между собой поровну. Рита положила сразу все шарики в морс, а Маруся разлила морс в два одинаковых кувшина и положила шарики в один из них, подождала, помешивая морс, пока температуры шариков и морса сравняются, и переложила шарики во второй кувшин. Когда температуры снова сравнялись, Маруся слила морс в один большой кувшин. Чей морс оказался в итоге холоднее и на сколько градусов? Масса льда в шарике 20 г. Удельная теплоемкость воды (и морса) 4,2 кДж кг К, удельная теплоемкость льда 2 кДж кг К, удельная теплота плавления льда 340 кДж кг. (15 баллов) 5. Определите КПД цикла (рис.5), проводимого с одноатомным идеальным газом,

МАТЕРИАЛЫ

Рис. 6

(рис.6). Найдите скорость изменения индукции магнитного поля, если заряд батареи конденсаторов Q = 10 нКл. (15 баллов)

И НФОР МАТИКА

Отборочный тур

В таблице MS Excel (рис.7) содержатся данные о количестве двоек, троек, четверок

Рис. 7

и пятерок за практическую и лабораторную работы (известно, что их выполняли одни и те же студенты). Часть значений в таблице была отфоматирована белым по белому (так вышло…). На основе данных таблицы составлены две диаграммы (рис.8): левая по

Рис. 5

если известно, что КПД цикла Карно, проводимого в том же диапазоне температур, равен 64%, а при изобарном расширении объем газа увеличивается в 2 раза. (25 баллов) 6. Катушка с числом витков N = 100 и диаметром d = 1 см помещена в однородное магнитное поле, параллельное ее оси. Индукция поля равномерно возрастает со скоростью $B_{0}$ . Концы катушки замкнуты на батарею из трех одинаковых конденсаторов, каждый из которых имеет емкость С = 1 мкФ

Рис. 8

диапазону B2:B5, правая – по C2:C5. Пользуясь диаграммами, отметьте истинные высказывания среди перечисленных ниже. А. Получивших две пятерки не больше двух. Б. Число выполнявших работы делится на 2, 3 и 4. В. Наверняка есть хотя бы один студент с двойками по обеим работам. Г. Средний балл за лабораторную работу выше, чем средний за практическую.

Э КЗАМЕ Н АЦИО НН ЫЕ

клубе) в слезах: он списал с доски программу, которая должна была рисовать одно, а вместо этого рисовала немного другое (рис.11). Что надо изменить в программе, чтобы она заработала, как надо? А. В строке 12 заменить минус на плюс. Б. В строке 7 убрать «-0.01». В. В строке 6 заменить Math.PI на Math/ PI/2. Г. В строке 13 заменить 5 на 3. Д. Поменять местами синус и косинус. 6. См. рис.12. Ответ – число.

Рис. 12

Заключительный тур

Строки и рекурсия (8 баллов). Вот рекурсивная функция (рис.13).

Рис. 13

Здесь используются две встроенные функции: СЦЕПИТЬ объединяет две заданные в

Рис. 14

МАТЕРИАЛЫ

качестве параметров строки в одну, ПЕРЕ- ВЕРНУТЬ формирует зеркальное отражение переданной в качестве параметра строки (например, ПЕРЕВЕРНУТЬ(«БАР») вернет строку «РАБ»). Определите, какой по счету, начиная с единицы, в строке, полученной как Замена («XYXZW», 10) будет предпоследняя буква Z? 2. Побитные сортировки (10 баллов). Профессор проводит спектральный анализ фотографий срезов яблок. Для кодирования полученных изображений он использует 3-битную RGB палитру. Напомним, что белый – это наличие всех цветов, черный – отсутствие, в желтом нет синего, в фиолетовом – зеленого, а в голубом – красного. Для оптимизации своей работы профессор с помощью специальной утилиты отсортировал двоичные представления цветов и записал в таблицу, пронумеровав их начиная с единицы, чтобы потом использовать именно номер цвета. Сортировка выполнялась по каждому биту, но неизвестно, в каком порядке они анализировались и по возрастанию или по убыванию выполнялась сортировка. Расчеты были произведены так, чтобы самый популярный в исследовании цвет был на первом месте. Но вот незадача: пока профессор собирал материал для исследования, таблица была утеряна. Однако профессор запомнил, что синий и черный были в разных половинах таблицы, а красный был под номером 5. Напишите двоичное представление цвета, который оказался самым популярным, в 3-битном формате RGB. 3. Расчетная таблица (15 баллов). Имеется представленная на рисунке 14 таблица. В ячейку А1 (она залита черным) ввели некоторое десятичное число. Все формулы протянули по горизонтали до столбца G. В результате в целевой ячейке Н6 получилось 40. Какое наименьшее число могло быть в А1?