Задачи М2586—М2589; Ф2593—Ф2596

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2586–М2589 предлагались на XLI Турнире городов. Автор задач Ф2593–Ф2596 – С.Дмитриев.

Задачи М2586–М2589, Ф2593–Ф2596

M2586. Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовем две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин четно. М.Скопенков, А.Заславский

M2587. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят а) ровно три фишки; б) ровно четыре фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке? Е.Бакаев

$M2588^{*}$. Точка M лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырехугольника ABCD равна

MA ◊ MC + MB ◊ MD.

Докажите, что четырехугольник ABCD а) вписанный; б) описанный. Н.Седракян

$M2589^{*}$. Дана возрастающая последовательность положительных чисел … $< a_{-} 2 < a_{-} 1 < a_{0} < a_{1} < a_{2} <$ …, бесконечная в обе стороны. Пусть $b_{k}$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает $b_{k}$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, … либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3,…, либо с некоторого момента постоянна. И.Митрофанов

Ф2593. Две одинаковые по длине дорожки в парке заметены снегом. Два дворника, Вася и Петя, должны очистить дорожки от снега. Первую дорожку они начали чистить с двух концов, и, когда она была очищена, выяснилось, что Вася очистил 20 метров длины. Вторую дорожку они тоже начали чистить с двух концов, но теперь Вася увеличил скорость в 3 раза, а Петя сохранил прежний темп. Когда обе дорожки были очищены, оказалось, что на Васину долю пришлось всего 50 метров. А сколько метров дорожек очистил Петя?

Ф2594. Для переправки цистерн с нефтепродуктами по Каспийскому морю из Баку в Астрахань во время второй мировой войны их заполняли не полностью, и в этом случае стальная цистерна вместе со

15

ЗАДАЧНИК

доски должно примыкать четное количество коротких сторон. (i) Имеем 2 k = 10 коротких сторон, примыкающих к краям доски, значит, на одной из сторон доски не менее 3, а значит, не менее 4 коротких и не более 2 длинных сторон. Ясно, что тогда среди коротких сторон на периметре найдутся две соседствующие – противоречие. (ii) Имеем 2 k = 12 коротких сторон, примыкающих к краям доски ABCD (рис.1).

«КВАНТА»

ние доминошек, закрывающих клетки с номерами 1–14. Но после этого закрыть, не нарушая правила, клетку, помеченную синей точкой, невозможно. Противоречие. Пример с длиной границы 50 приведен на рисунке 2. Тем самым, доказанная в пун-

Рис. 2

Рис. 1

Так как не должно быть пар соседствующих друг с другом длинных сторон на периметре доски, к каждой стороне доски примыкают не менее двух коротких сторон. Значит, к какой-то стороне доски, для определенности к горизонтальному отрезку AB, примыкают ровно две короткие стороны, в таком случае примыкание к AB определяется так: длинная-короткая-длинная-короткая-длинная. Тогда к каждому из отрезков AD и BC примыкает не менее 4 коротких сторон, а значит, ровно по 4; к CD тогда примыкают ровно две короткие стороны. Далее, обе клетки, помеченные красными точками, не могут быть покрыты горизонтальными доминошками, иначе на AD найдутся два соседних длинных отрезка. Для определенности, пусть верхняя клетка с красной точкой покрыта вертикальной доминошкой, так что на рисунке 1 закрашены зафиксированные в настоящий момент доминошки. Теперь, так как никакие доминошки не могут примыкать друг к другу короткими сторонами, мы последовательно однозначно определяем положе- кте б) оценка точна, и задача полностью решена. В завершение несколько слов об истории задачи. Пункт а) (автор – Б.Френкин) был предложен летом 2019 года на Турнире матбоев имени А.П.Савина, причем на тот момент жюри не знало точного значения максимума. Задача не была решена ни одной из команд, однако участница турнира Е.Аржанцева построила пример с длиной границы, равной 50, после чего автору удалось усилить оценку до точной. А.Заславский

$M2577^{*}$. Внутри остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q такие, что – ABP = – CBQ и – ACP =

Рис. 1