Волны в мелкой тарелке (интерференция)

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Волны в мелкой тарелке (интерференция)

А.КОСОУРОВ

Бросая в воду камешки, наблюдай круги, ими образуемые. Козьма Прутков

НЕТ В ПРИРОДЕ ЯВЛЕНИЯ БОЛЕЕ УНИ- версального, чем распространение волн. Волны на поверхности воды, звук, свет, радио, передача деформации от одних частей твердого тела к другим – все это волновые процессы. Квантовая механика показывает, что и движением микрочастиц управляют волновые законы. Все эти волны имеют разную физическую природу, разные скорости распространения, разные частоты и длины волн. Но независимо от этого в движении любых волн много общего. Изучив законы распространения волн одной природы, можно большинство их них практически без изменения перенести на волны другого типа.

Опубликовано в «Кванте» №1 за 1971 год.

Практически изучать волны удобнее всего на поверхности воды. Что такое волна? Бросьте в пруд камень. На спокойной горизонтальной поверхности пруда возникнут разбегающиеся круги. Точки поверхности воды, до которых дошла волна, начинают колебаться относительно своего равновесного положения. Это положение соответствует горизонтальной поверхности. Чем дальше находится точка от места падения камня, тем с большим запозданием «узнает» она о падении камня. Возмущение распространяется с определенной скоростью. Точки, до которых возмущение дошло одновременно, находятся в одинаковой стадии колебательного движения, т.е. в одинаковой фазе. Скорость перемещения этой фазы и есть скорость волны. Она измеряется в направлении нормали к фронту волны. Для волн любой природы всегда можно указать физические объекты, которые под действием волны испытывают возмущение, т.е. отклонение от своих равновесных значений. Для звука – это периодические повышения и понижения давления. Для радиоволн и света – быстрые изменения напряженности электрического (и магнитного) поля. Свойства всех без исключения сред таковы, что возмущение, возникшее в некоторой области, распространяется, передаваясь от точки к точке с конечной скоростью, которая

36

КВАН T 2020/№2

Наблюдать волны лучше всего по тени на дне тарелки при прямом солнечном свете или свете яркой лампы. Каждая волна, действуя как цилиндрическая линза, дает на дне тарелки светлую полосу, повторяющую форму фронта волны. Однако волны, бегущие со скоростью около 10 см с, сливаются для взгляда, фиксированного на неподвижной тарелке. Они видны только вблизи источника, где их амплитуда велика. Чтобы увидеть их на всей поверхности воды, нужно быстро поворачивать голову. Точно так же при быстрых движениях головы можно рассмотреть спицы катящегося колеса. Очень эффектно наблюдать волны на матовом стекле фотоаппарата, особенно крупноформатного. Держа камеру в руках и плавно покачивая ее, легко добиться, чтобы волны были видны на всей поверхности. При этом кажется, что они бегут очень медленно. Можно смотреть на отражение поверхности воды и в зеркале. Легкие движения зеркала также делают волны видимыми по всей поверхности. Но удобнее всего наблюдать волны при стробоскопическом освещении. Если освещать установку короткими вспышками света с частотой, равной частоте источника волн, то от одной вспышки до другой волны переместятся на одну длину волны и волновая картина волн будет казаться неподвижной. Такое освещение чрезвычайно легко осуществить. Достаточно параллельно обмоткам магнита звонка включить небольшую лампочку. С расстояния 0,5–1 м она хорошо и равномерно осветит установку, и неподвижная теневая картина волн будет хорошо видна. Для фотографирования лучше воспользоваться прямым солнечным светом. Укрепите теперь на молоточке звонка согнутую из проволоки «вилку» с кусочками пробки на концах. Расстояние между концами вилки 2–3 см. Если концы будут опускаться в воду одновременно, получится два источника волн, колеблющихся не только синхронно, или в такт, но и синфазно, т.е. волны от обоих источников будут возникать в один и тот же момент времени. Картина будет примерно такой. От источников волн веером расходятся области больших амплитуд, разделенные областями «молчания».

Центральная область больших амплитуд расположена перпендикулярно линии, соединяющей источники. Как области молчания, так и области больших амплитуд проходят между источниками. Исследование интерференционной картины с линейкой покажет, что расстояние между двумя максимумами на линии, соединяющей источники, равно половине расстояния между двумя горбами, т.е. половине длины волны. Если изменить расстояние между источниками, то изменится и число полос большой амплитуды. Чем больше расстояние между источниками, тем больше «перьев» в нашем веере. Но расстояние между максимумами на линии, соединяющей источники, всегда равно половине длины волны. Поэтому общее число полос с максимальной амплитудой будет вдвое больше, чем число длин волн, укладывающееся на расстоянии между источниками. Отсюда следует, что если расстояние между источниками меньше половины длины волны, то интерференции вообще не будет. Такие источники действуют как один, давая одну систему круговых волн. Это можно увидеть, постепенно уменьшая расстояние между источниками. Обратите внимание еще и на то, что, продолжая в какой-нибудь области больших амплитуд фронт волны, проходящий через горб, мы в соседней области встретим впадину. Другими словами: при переходе через нулевую область фаза волны меняется на половину полного колебания. Теперь представьте себе, что у нас не два молоточка, а два источника света, излучающих световые волны, и перпендикулярно поверхности воды мы помещаем экран. Мы увидим освещенные места, соответствующие пересечению экрана и областей с большой амплитудой, и темные, не освещенные места. Иными словами, мы увидим темные и светлые интерференционные полосы. О том, как осуществить интерференционный опыт в оптике, поговорим как-нибудь в другой раз, а сейчас попробуем объяснить то, что увидели. Нарисуем на листе бумаги обе системы волн так, словно они замерли в какой-то момент (рис.2). Горбы волн отметим красным цветом, а впадины – синим. Перенумеруем волны, отметив одинаковыми числами те,

37

ЛАБОРАТОРИЯ

Рис. 2. Сложение колебаний при интерференции волн от двух точечных источников. Красные линии – горбы, синие – впадины. Утолщенными дугами показаны результирующие волны

которые вышли из источников одновременно. Из рисунка видно, что на линию, равноудаленную от источников, одновременно приходят волны, имеющие одинаковые номера. Это и понятно, так как до точек этой прямой волны прошли одинаковые пути. По принципу суперпозиции мы можем заключить, что на этой линии удвоятся как высоты горбов, так и глубины впадин. Правее и левее этой линии лежат точки, в которых горбы одной системы волн совпадут со впадинами другой. В то время как волны от одного источника вызовут в этих точках отклонение вверх, волны от другого в тот же момент вызовут в этих точках отклонение вниз. Суммарное отклонение в этих точках будет близко к нулю. Соединим все такие точки непрерывной черной линией. Если проследить за нумерацией горбов и впадин, легко заключить, что до всех точек правой линии левые волны проходят путь на половину длины волны больший, чем правые. Для левой линии на половину длины волны отстают правые волны. Справа и слева от нулевых линий лежат точки пересечения первого горба со вторым,

«КВАНТА»

второго с третьим и т. д. Легко понять, что это тоже области максимумов. Соединив эти точки, мы получим линию, до точек которой одна система волны отстает от другой на одну длину волны. Продолжая анализ чертежа, можно найти все нулевые линии и все линии максимумов. Линии, которые мы получили, математики называют гиперболами. (Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух точек – фокусов – постоянна.) Теперь совершенно ясно, почему расстояние между максимумами на линии, соединяющей источники, равно половине длины волны. Действительно, в среднюю точку этой линии волны приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга. Если сместиться из этой точки на полдлины волны, то путь одной волны увеличится на половину длины волны, а другой – уменьшится на такую же величину. Разность хода между волнами в этой точке (разность путей, пройденных волнами от источников до точки) будет равна одной длине волны, и волны снова будут взаимно усиливаться. Так будет происходить через каждую половину длины волны. Максимум, соответствующий нулевой разности хода, называют нулевым максимумом или нулевым порядком интерференции. Максимумы с разностью хода в одну длину волны – максимумами первого порядка интерференции и т. д. Максимальный порядок интерференции определяется целым числом, ближайшим к 2d O, где d – расстояние между источниками, а O – длина волны. Теперь попробуйте проанализировать сами с помощью чертежа, а может быть, и проверить экспериментально, как изменится картина, если один из источников будет излучать волны с запозданием на половину периода или на какую-нибудь другую его часть. А если сдвиг между колебаниями будет меняться случайным образом? Для экспериментального осуществления волн со сдвигом фаз достаточно сделать концы вилки разной длины.

39

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

тайм – со счетом 4:3. Докажите, что в некоторый момент счет на табло был ничейный. Решение. Рассмотрим последовательность, элементами которой являются разности между мячами, забитыми первой и второй командами. Первый элемент последовательности представляет собой разность в начале второго тайма, последний элемент – разность в конце второго тайма. Вместе с каждым забитым мячом появляется новый элемент последовательности (т.е. каждый элемент последовательности соответствует обновлению счета на табло). Так как первый элемент последовательности равен –1, последний равен 1 и каждые два соседних значения отличаются на 1, по дискретной теореме о промежуточном значении есть элемент последовательности, равный нулю. Этот элемент соответствует моменту, когда счет на табло был ничейным. Задача 3. В некоторой стране человек считается богатым, если его зарплата больше зарплаты премьер-министра. В этой стране богатые мужчины предпочитают жениться на бедных женщинах. Докажите, что можно установить премьер-министру такую зарплату, чтобы количество богатых мужчин было в точности равно количеству бедных женщин. (Все зарплаты в стране различные. Считайте, что зарплата бывает любым вещественным числом.) Решение. Упорядочим по возрастанию все имеющиеся в стране зарплаты: $z_{1}, z_{2}$, … $, z_{n}$, зарплату премьер-министра обозначим через Z. Определим последовательность натуральных чисел так: $a_{k}$ равно разности между количеством богатых мужчин и бедных женщин, если $z_{k} Z z_{k} 1$. Кроме того, $a_{0}$ (соответственно, $a_{n} )$ равно той же разности, если $Z z_{1}$ (соответственно, $Z > z_{n} ).$ При таком определении любые два соседних элемента последовательности $a_{k}$ и $a_{k} 1$ отличаются на 1, так как при соответствующем изменении зарплаты премьер-министра человек с зарплатой $z_{k} 1$ становится богатым, что уменьшает текущую разность на 1, если этот человек был женщиной, или увеличивает на 1, если он был мужчиной. Первый элемент последовательности соответствует ситуации, когда все люди в стране богатые (кроме самого премьера), и тогда $a_{0}$! 0. Соответственно, последний элемент после-

КРУЖОК

довательности означает ситуацию, когда все люди бедные, и $a_{n} 0$. По дискретной теореме о промежуточном значении существует такое k, что $a_{k} 0$. Тогда установим зарплату премьер-министру, соответствующую этому значению k. Задача 4. На окружности отмечены 77 точек, среди которых нет диаметрально противоположных. Докажите, что можно провести диаметр через одну из этих точек так, что по обе стороны диаметра точек окажется поровну. Решение. Проведем диаметр окружности через произвольную отмеченную точку и раскрасим одну из половинок круга в синий цвет, а другую – в красный. Если в половинках поровну точек, то нужный диаметр найден. В противном случае определим последовательность следующим образом: $a_{1}$ равно разности между количеством отмеченных точек в синей части и красной части для данного положения диаметра. Будем постепенно поворачивать диаметр вокруг центра окружности (раскрашенные половинки круга поворачиваются вместе с ним) и каждый раз, когда с диаметра уходит отмеченная точка либо попадает на него, мы записываем новый элемент последовательности (который тоже равен разности между количеством отмеченных точек в синей части и красной части). Последний элемент последовательности соответствует такому положению диаметра, когда он снова проходит через первую отмеченную точку. В этом положении диаметр поворачивается на 180q, а синяя и красная половинки меняются местами. Следовательно, последний элемент последовательности противоположен первому, т.е. один из них положителен, а второй – отрицателен. Так как любые два соседних элемента последовательности отличаются на 1, по дискретной теореме о промежуточном значении найдется элемент последовательности, равный нулю. Осталось заметить, что этот элемент последовательности соответствует положению диаметра, проходящему через одну из отмеченных точек, так как общее количество точек нечетно.

Наконец, обсудим еще один тип дискретной непрерывности. Представим себе кузнечика, который прыгает по прямой вперед или назад. Прыжки кузнечика по длине не

44

КВАН T 2020/№2

Рис. 7

Рис. 9

Рис. 8

Доказательство этого утверждения уже несколько раз появлялось на страницах «Кванта», например на первой странице статьи [3]. Тут мы его воспроизводить не будем. Вооружившись прямой Симсона, вернемся к доказательству теоремы 1. На рисунке 8 мы видим, что точки $A_{1}, B_{1}$ и P – проекции точки I на прямые, содержащие стороны треугольника A c B c C. Поскольку точки $A_{1}, B_{1}$ и P лежат на одной прямой, то по теореме 2 точка I лежит на описанной окружности треугольника A c B c C. Поскольку CI – биссектриса угла C, а I – середина дуги A c IB c, то P – середина A c B c (IP – высота в равнобедренном треугольнике A c IB c ). Тем самым, использование прямой Симсона позволяет по-новому взглянуть на решение задачи 1. Отметим, что такая скрытая прямая Симсона в задачах – не такое уж редкое явление.

Немного истории

Здесь мы можем остановиться и немного отдохнуть. Оказывается, у задачи 1 есть своя история. Недавно первому автору этой статьи попал в руки старый номер журнала «Математика в школе» за 1996 год. Выяснилось, что в том же году на Всероссийской олимпиаде в 10 классе была дана наша задача 1 в других обозначениях. В журнале приводились два решения этой задачи. Первое – векторное, чисто вычислительное – занимало примерно половину страницы печатного текста, второе использовало свойства проективного преобразования и двойных отношений. Стало интересно, а есть ли более доступные геометрические решения. Плоды этих размышлений перед вами. Теперь вернемся из 1996 года более чем на 20 лет назад, в 1973 год. Итак, «Задачник «Кванта», задача М178, автор – Игорь Федорович Шарыгин. Здесь задача 1 дана в более общем виде: вместо центра вписанной окружности можно рассматривать любую точку на биссектрисе! Оказывается, что сама окружность ни при чем. Для удобства формулировку дадим в наших обозначениях. Задача 2 (обобщение задачи 1). Из некоторой точки T биссектрисы угла C треугольника ABC опустим перпендикуляры $TA_{1}, TB_{1}$ и $TC_{1}$ на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть P – точка пересечения прямых $TC_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ (рис.9). Докажите, что CP делит сторону AB пополам.

Упражнение. Решите эту задачу. Указание. Используйте задачу 1.

И наконец, более века назад в фундаментальной книге Д.Ефремова «Новая геометрия треугольника» [1], опубликованной в 1902 году (рис.10), была помещена теорема, совпадающая с задачей И.Ф.Шарыгина с точностью до обозначений. Вообще книгу Д.Ефремова можно рекомендовать всем любителям геометрии. Она содержит богатейший теоретический обзор геометрии треугольника.