Парадокс Толи Втулкина

Квант 2020, №5 с. 47, 52 Тег 45Q4

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

C.ДВОРЯНИНОВ

Часть I

Вниманию читателей предлагается научно-фантастический рассказ для будущих физиков-теоретиков. Уже много лет прошло с тех пор, как на нашем школьном физическом кружке Толя Втулкин демонстрировал изобретенную им экспериментальную установку. А кажется, это было вчера… Конструкция очень простая. Главная ее часть – тонкая стеклянная трубка, но не прямая, а изогнутая в виде полуокружности радиусом R. Есть еще металлический шарик 1, масса которого m. Он очень маленький и может свободно двигаться внутри трубки. Трубка закреплена на штативе в вертикальной плоскости в форме буквы C (рис.1). Ее верхний конец В и нижний Н располагаются точно на одной вертикали. Когда мы пытались поместить шарик в точку В, то это нам никак не удавалось. И ясно, почему: это положение шарика неустойчиво. А еще к точке В была привязана тонкая нить длиной 2R. К этой нити можно было привязывать другие шарики, которых были три. Массы M у

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200505

них были разные, а диаметры – чуть больше диаметра трубки. Сначала Толик поместил наш шарик 1 в точку Н, а к нити привязал легкий шарик 2, масса которого M существенно меньше массы m. Затем он отвел нить в сторону и натянул ее. В результате нить расположилась вдоль горизонтали. Это, можно сказать, была стартовая позиция. – Что будет происходить дальше, если я выпущу свой шарик 2 из рук? – спросил Толик. Ответ был всем очевиден. Шарик в руках у Толика обладает потенциальной энергией Mg 2 R. Он, двигаясь вниз как маятник, столкнется с шариком 1 и передаст ему часть своей кинетической энергии. Шарик 1, обладая некоторой энергией, начнет двигаться по трубке вверх, но, не дотянув даже до уровня точки О, на миг остановится, потом начнет скатываться вниз и выкатится из трубки. Так оно и оказалось на опыте. Во второй раз Толик привязал к нити тяжелый шарик 2, масса М которого много больше m. И эта ситуация была понятна. Шарик 1 после удара по нему шарика 2 получил такую порцию энергии, что смог подняться по трубке до точки В, причем с ненулевой скоростью. И действительно, шарик 1 вылетал из трубки, как из пушки. После этих простых опытов некоторые стали было терять всякий интерес к Толиной установке. – Подождите, не уходите, сейчас будет самое интересное, – воскликнул Толик. – Пожалуйста, посмотрите! – с этими словами он привязал к нити шарик 2 с массой m, отвел нить в сторону и натянул. – Что теперь будет с шариком 1, который сейчас покоится в точке Н, после того как я выпущу из рук свой шарик 2? А? Какие ваши предположения? – обратился ко всем Толик. Дело это всем показалось нехитрым. Потенциальная энергия шарика 2 в руках у Толика равна 2mgR. После столкновения она переходит в энергию шарика 1 с массой m. Этой энергии ему в точности, тютелька в тютельку, хватит для того, чтобы по трубке подняться в точку В.

ШКОЛА

Применим эту теорему для прямоугольных треугольников FBG и EDH. Имеем GF > GB, тогда $10 P_{BGF}$ ! BG GF!! 2BG, следовательно, BG < 5 и GC = BC – – BG > 6,25 – 5 = 1,25, т.е. GC > 1,25. Аналогично, HE > HD, тогда $6 P_{EHD}$ !! EH HD! 2 HD, следовательно, HD < 3 и CH = CD – HD > 6,25 – 3 = 3,25, т.е. CH > 3,25. Теперь применим теорему для прямоугольного треугольника CHG. Получаем $7 P_{GCH} GC CH GH$ ! GC 2 CH! > 1,25 2 3,25 7,75.

Противоречие. Итак, такого квадрата не существует! Блестящая идея со сложением и вычитанием периметров разбилась о свойства прямоугольных треугольников. Обнаружение скрытой ошибки в условии задачи заставляет нас задуматься над несколькими вопросами. Один из вопросов можно отнести к педагогике и методике обучения математике. Засчитывать ли решение задачи школьнику, нашедшему ответ в задаче, условие которой сформулировано некорректно? Применительно к нашим задачам – засчитывать ли решение задачи школьнику, получившему в задаче 1 ответ 6,25 тем способом, который описан выше, или школьнику, нашедшему в задаче 2, что площадь прямоугольного треугольника равна $30 см^{2}$ ? Здесь могут быть разные мнения. Время, отведенное на выполнение вступительной работы, ограничено, и у школьника вряд ли есть возможность провести полное исследование. Поэтому мы бы засчитали ему такое решение. Естественно, что школьник, доказавший невозможность существования такого квадрата, выше любой похвалы. Такой школьник наверняка усвоил, что одним из важнейших действий, которому учат при решении задач, является проверка! В то же время, мы можем привести следующий логический аргумент, основанный на известном свойстве импликации. Из ложного утверждения может следовать как истинное утверждение, так и ложное. Но из истинного утверждения ложное утверждение не следует. Таким образом, к задаче с противоречивыми условиями подходит любой ответ (даже тот, который мы здесь не привели), и его нужно засчитать. Однако оставим обсуждение этого непростого

«КВАНТЕ»

педагогического и методического вопроса за рамками этой статьи. Второй вопрос связан с попыткой исправить ошибку в условии и, возможно, провести небольшое математическое исследование. Можем ли мы спасти идею задачи, немного «пошевелив» ее условие?

Прямоугольник

Что произойдет, если в условии задачи квадрат заменить на прямоугольник? Чтобы не загромождать чертеж, уберем из рассмотрения ’ FQK. Переформулируем задачу. Задача 3. От прямоугольника ABCD отрезали треугольники и внутри каждого из них написали его периметр (рис.2). Найдите периметр прямоугольника ABCD при условии, что периметр четырех- Рис. 2 угольника FGHE равен 10. Применяя те же рассуждения со сложением и вычитанием периметров треугольников, найдем, что периметр прямоугольника ABCD равен 25. Но теперь мы хотим знать: существует ли такой прямоугольник? При обсуждении задач 1 и 3 с друзьями возник вопрос о большом разбросе значений периметров четырехугольника FGHE и квадрата ABCD. Такая конструкция казалась невозможной. Периметр четырехугольника FGHE, равный 10, подозрительно мал по сравнению с периметром квадрата (прямоугольника) ABCD. Дальнейшие выкладки подтверждают верность высказанной догадки. Начнем наше исследование с определения. Назовем четырехугольник вписанным в прямоугольник (квадрат), если каждая из его вершин лежит на одной из сторон прямоугольника (квадрата). В нашей задаче четырехугольник FGHE является вписанным в прямоугольник ABCD. Получим несколько несложных оценок, связывающих периметры прямоугольника (квадрата) и вписанного в него четырехугольника. Задача 4. Для периметров прямоугольника ABCD и вписанного в него четырехугольника FGHE выполняются неравенства $P_{FGHE} P_{ABCD} 2 P_{FGHE}$ . Докажите это.

КВАН T 2020/№5

Рис. 4 углы при основаниях равны 60q H. Покажем, что треугольник с углами A 120 q, B H 2, $C^{60} q H 2$ не накрывается такими равнобедренными треугольниками. На рисунке 4 показано, как проходят три стороны этих равнобедренных треугольников внутри ‘АВС (углы, отмеченные одной дугой, это углы при основаниях равнобедренных треугольников, они равны 60q H ). Красным цветом выделена область, которая останется ненакрытой. 27. а) $2^{n}$ . Пронумеруем лампочки. Если у кнопки номер k, то соединим ее со всеми лампочками с номерами от 1 до k. Тогда для любого t можно будет поменять состояние лампочки под номером t, не поменяв состояния других: при t > 1 для этого надо нажать на кнопки t и t 1, а при t 1 – просто нажать на кнопку 1. Значит, можно поменять состояние одной лампочки независимо от других; соответственно, можно получить любую комбинацию горящих и не горящих лампочек. $б)^{2} m^{1}, где^{m}$ – наибольшее натуральное число такое, что $2^{m} d^{n}$ . Оценка. Количество возможных комбинаций горящих и не горящих лампочек, которые можно получить, нажимая на кнопки в некоторой конфигурации кнопок и лампочек, назовем разнообразием этой конфигурации. $Рассмотрим^{n}$ лампочек и теперь будем последовательно рассматривать кнопки в таком порядке: номер 1, номер 2, номер 4, 8,… $…,^{2} m^{1},^{n.}$ Такие кнопки назовем важными, их количество $равно^{m} + 1.$ Покажем, что при каждом добавлении важной кнопки разнообразие конфигурации увеличивается ровно в 2 раза. Добавим очередную важную кнопку K. Так как номер очередной кнопки больше суммы номеров всех предыдущих подключенных кнопок, то найдется лампочка L, которая соединена только с новой кнопкой. Рассмотрим одну из старых комбинаций горящих и не горящих лампочек – она попрежнему достижима. Нажав на кнопку K, получим комбинацию, которую до этого нельзя было получить, так как в ней горит лампочка L, чего раньше нельзя было достичь. (При этом понятно, что из двух разных старых комбинаций указанным образом не может получиться одна и та же новая.) Таким образом, достижимы все старые конфигурации и количество новых комбинаций равно количеству старых, т.е. количество достижимых конфигураций увеличилось в 2 раза. Итак, после добавления важных кнопок разнообразие конфигурации станет $равным^{2} m^{1}$ . Добавим

Рис. 5 теперь все остальные кнопки – они, очевидно, не понизят разнообразие. Пример. Покажем, как соединять кнопки с лампочками, чтобы разнообразие было $равно^{2} m^{1}$ . На $рисунке^{5}$ показан пример конфигурации $для^{n} 13, тогда^{m} 3$ , разнообразие $равно^{2} 4$ . Строчки соответствуют кнопкам, столбцы – лампочкам; если клетка закрашена, то соответствующие кнопка и лампочка соединены. Построение примера разбито на три этапа. Кнопки, добавленные на первом этапе, отмечены красным (это важные кнопки), на втором – синим, на третьем – зеленым. Первый этап. Подключим сначала важные кнопки с номерами $1, 2, …,^{2} m^{1}$ так, чтобы никакие две не соединялись с одной лампочкой. Это возможно сделать, так как общее количество $лампочек^{n}$ не $меньше^{2} m$ , что в свою очередь больше суммы номеров кнопок, которые мы сейчас подключаем. Теперь подключим последнюю важную кнопку с $номером^{n.}$ Как мы уже показывали, к этому моменту разнообразие $равно^{2} m^{1}$ . Покажем теперь, как добавлять остальные лампочки, чтобы оно не увеличилось. Второй этап. Теперь подключим все неважные кнопки с номерами $меньше^{2} m$ следующим образом. Номер каждой такой кнопки представляется как сумма некоторых степеней двойки, меньших $2^{m}$ . Кнопки с номерами, равными этим степеням двойки, мы уже добавили; соединим рассматриваемую кнопку с теми же лампочками. Нажатие на новую кнопку можно заменить нажатием на несколько старых, так что ее добавление не повышает разнообразия. Третий этап. Оставшиеся кнопки – с номерами от $2^{m} до^{n} 1$ – подключим по следующему правилу. Кнопка c номером i должна соединяться с теми лампочками, с которыми не соединена «противоположная» ей кнопка с $номером^{n} i$ . Все кнопки, «противоположные» к добавляемым на этом этапе,