XLIII Турнир городов

ОЛ И МП И АДЫ

XLIII Турнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1 (3)^{1}$. Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперед от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного? А.Рубин

2 (4). Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом еще на 5 и так далее. Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи? С.Дориченко

3 (5). На Поле Чудес выросло 11 золотых монет, но стало известно, что ровно четыре из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать Буратино четыре монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь? А.Грибалко

4 (5). На диагонали AC квадрата ABCD взята точка P. Пусть H – точка пересечения высот треугольника APD, M – середина AD и N – середина CD. Докажите, что прямые PN и MH взаимно перпендикулярны. И.Кухарчук

5 (6). Прямоугольник 1 u 3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

от друга разбивают доску 20 u 21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети? А.Глебов

10–11 классы

1 (4). Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали k умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных k чисел нет цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно k раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи. А.Грибалко 2 (4). На Поле Чудес выросло 8 золотых монет, но стало известно, что ровно три из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать Буратино три монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь? А.Грибалко 3 (5). Пусть n – натуральное число. Назовем последовательность $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ интересной, если для каждого i 1, 2,…, n верно одно из равенств $a i^{i}$ или $a i^{i} 1$. Назовем интересную последовательность четной, если сумма ее членов четна, и нечетной – если иначе. Для каждой нечетной интересной последовательности нашли произведение ее чисел и записали его на первый листок. Для каждой четной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от n.) А.Глебов 4 (5). См. задачу 5 для 8–9 классов. 5 (6). Четырехугольник ABCD вписан в окружность Z с центром в точке O. Описан-

51

ОЛ И МП И АДЫ

7. Звездолет находится в полупространстве на расстоянии a от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолет может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолет гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной а) (6) не более 14а; б) (6) не более 13а? М.Евдокимов

Устный тур для 11 класса

1. Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Еще он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень? Б.Френкин

2. Назовем расположенный в пространстве треугольник ABC удобным, если для любой точки P вне его плоскости из отрезков PA, PB и PC можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник? Д.Бродский

3. Дан клетчатый $квадрат^{n} u^{n}, где^{n}$! 1. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть x – количество слов в кроссворде, y – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения x y при данном n. Б.Френкин

4. На доске написана функция sin x cos x. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух

написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных x некоторой константе c. Чему может равняться c? М.Евдокимов

5. Дан неравнобедренный треугольник ABC. Выберем произвольную окружность Z, касающуюся описанной окружности треугольника ABC внутренним образом в точке B и не пересекающую прямую AC. Отметим на Z точки P и Q так, чтобы прямые AP и CQ касались Z, а отрезки AP и CQ пересекались внутри треугольника ABC. Докажите, что все полученные таким образом прямые PQ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности Z. А.Марданов

6. На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве а) приписывать А слева; б) приписывать Б справа; в) одновременно приписывать Б слева и А справа. Например, БААБ так получить можно $(^{A} o$ БАА o БААБ ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном n половину слов длины n получить можно, а другую половину – нельзя. Фольклор, предложил А.Шень

Материал подготовили: Е.Бакаев, Н.Белухов, И.Богданов, Д.Бродский, А.Глебов, А.Грибалко, С.Дориченко, М.Евдокимов, А.Заславский, П.Кожевников, Э.Лю, М.Малкин, А.Марданов, Л.Медников, В.Ретинский, М.Святловский, А.Тертерян, А.Толпыго, Б.Френкин, И.Фролов, А.Шень