Бруски Женая—Люка

Бруски Женая–Люка

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Д.ЗЛАТОПОЛЬСКИЙ

ОСТАРИННОМ СЧЕТНОМ ПРИборе – так называемых «палочках Непера» – рассказывается во многих источниках. Прибор, впервые описанный в книге «Рабдология» («Rabdologi seu Numerationis per Virgulas libri duo») шотландского барона и любителя математики Джона Непера (кстати – первым предложившего понятие логарифма), изданной в 1617 году, позволял быстро получать произведение многозначного числа на однозначное. Он состоял из прямоугольных брусков (рис. 1); в верхней части брусков указыва-

Палочки с цифрами числа-множимого размещались так, чтобы в верхней части было представлено это $число^{1}$, а слева от них располагалась вспомогательная палочка (рис.3). Затем выделялся ряд, соответствующий числу-множителю на вспомогательной палочке. Результат определялся следующим образом.

Рис. 3

Рис. 1

лась та или иная цифра, а ниже были записаны пары цифр, разделенных наклонной чертой. Что за цифры нанесены на палочках, вы, конечно, уже поняли. Например, на палочке с цифрой семь – это цифры произведения числа 7 на 2, 3, …, 9. Аналогично устроены и другие палочки. В комплект прибора входила также палочка с цифрами 2, 3, …, 9 (рис. 2). Рис. 2 Назовем ее «вспомогательной». Как определялся результат умножения? Рассмотрим пример определения произведения числа 5619 на 5.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220603

Последняя цифра произведения – 5 – равна цифре под наклонной чертой на крайней правой палочке. Предпоследняя – это сумма цифры над чертой на крайней правой палочке – 4 – и цифры под чертой на предпоследней палочке – 5, т.е. 9. Аналогично определялись остальные цифры (справа налево): 0 + 0 = 0, 3 + 5 = 8, 2 (первая цифра результата). Все произведение равно 28095. Конечно, были возможны случаи, когда при определении очередной цифры имел место перенос единицы в уме в соседний слева разряд, где она также должна быть учтена (убедитесь в этом, например, для случая умножения числа 8365 на 8). Существенным недостатком палочек Непера было то, что приходилось при определении очередной цифры произведения

1 Конечно, в наборе должны были присутствовать по нескольку палочек с одной и той же цифрой в верхней части.

19

ИЗ

ИСТОРИИ

НА У КИ

Рис. 4

складывать числа в уме, часто с учетом переноса из разряда справа, и запоминать сумму. В 80-х годах XIX века французский инженер Анри Женай по предложению математика Эдуарда Люка автоматизировал указанные вычисления. Прибор, получивший название «Бруски Женая– Люка», показан на рисунке 4. Он состоял из ряда узких деревянных брусков, на длинных гранях которых были изображены цифры и темные треугольники. Как же работал этот прибор? Прежде чем ответить на этот вопрос, объясним, почему на нем множество цифр расположено именно так и что это за темные треугольники. Рассмотрим умножение 10-значного числа на однозначное, приняв при этом, что все цифры множимого различны, например 2607194385. Поскольку результат может быть и 11- значным, составим таблицу с 11 отдельными табличками – это будут наши «бруски».

В верхней части табличек укажем соответствующие цифры множимого (рис.5). Крайнюю левую табличку в дальнейшем будем называть «базовой». Разделим ее на два столбца. В первом столбце базовой таблички предусмотрим 8 клеток с возможными цифрами множителя (2–9), а во втором столбце для каждой цифры запишем все возможные значения первой цифры произведения на нее. Какими они могут быть, эти первые цифры? При умножении на однозначное $число^{n}$ первая цифра произведения может быть равна $1, 2, …,^{n}$ – 1. Запишем это в таблицу (цифры синего цвета), учтя также цифру 0 (искомое произведение может быть и 10-значным). В каждой из табличек-брусков, кроме базовой левой, запишем также возможные значения количества единиц в произведении цифры в ее верхней части на соответствующую цифру в базовой таблице. Минимальная цифра единиц (без учета возможного переноса из разряда справа) рав-

20

Рис. 5

КВАНТ 2022/№6

на последней цифре указанного произведения и выделена в таблице красным цветом. Учтем также перенос, имея в виду, что при умножении $на^{b}$ в базовой табличке он может быть равен $1, 2, …,^{b}$ – 1 (убедитесь в этом!). Если сумма с учетом переноса получается двузначная – запишем только единицы. Теперь можно переходить к вычислению произведений. Предположим, мы ищем произведение 2607194385 и 4. В этом случае нас будет интересовать фрагмент всей таблицы рисунка 5, относящийся к цифре 4 на базовой табличке (рис. 6). Рис. 6

Последняя цифра произведения равна 0, при этом имеет место перенос двойки в соседнюю табличку. В ней должна использоваться цифра 4 (2 + 2): за счет переноса двойки происходит сдвиг на две позиции вниз. Цифра 4 и будет второй справа цифрой результата. При этом также произойдет перенос тройки в соседний старший разряд. В нем должна использоваться цифра 5 (2 + 3). Это будет третья справа цифра искомого произведения. В следующем разряде учет переноса единицы дает очередную цифру 7 (6 + 1). Продолжая перемещаться справа налево, учитывая возможные переносы, получим цифры, на рисунке 6 они обведены красными кружочками. Итак, результат равен 10428777540. Эффектно, не правда ли? Но это еще не все. Можно ли учитывать перенос автоматически, а не проводить расчеты и каждый раз рисовать стрелки, как это делали мы? Оказывается – можно! Это и было реализовано Анри Женаем. Темные стрелкитреугольники на брусках как раз и делают этот перенос. Посмотрите на рисунок 4. Например, стрелка-треугольник на бруске с цифрой 6, расположенная напротив цифры 7 в базовой табличке, учитывает перенос 4 в разряд слева. На бруске с цифрой 3, расположенном напротив цифры 6 в базовой таблице, две стрелки-треугольника, поскольку в разряд слева может случится и перенос 1, и перенос 2. В качестве примера применения всего вышесказанного рассмотрим вычисление произведения 7569 и 4 с помощью брусков Женая (рис.7). Передвигаясь вдоль направления стрелок-треугольников, быстро получаем в результате 30276.