Воздушный шар Перельмана
И.АКУЛИЧ
ВСВОЮ ЗНАМЕНИТУЮ КНИГУ «Знаете ли вы физику?» (первое издание книги вышло в 1934 году, после чего книга переиздавалась многократно) классик-популяризатор естественных наук Я.И.Перельман включил такую задачу: «С воздушного шара, неподвижно держащегося в воздухе, свободно свешивается лестница. По ней начал взбираться человек. Куда при этом подвинется шар: вверх или вниз, и на сколько?» Там же он разместил и вот такое решение: «Шар в покое не останется. Пока человек взбирается по лестнице, аэростат будет опускаться. Здесь происходит то же, что наблюдается, когда вы идете по приставшей к берегу легкой лодке, чтобы выбраться на сушу: лодка отступает под вашими ногами назад. Точно так же и лестница, отталкиваемая вниз ногами взбирающегося по ней человека, будет увлекать аэростат к земле. Переходя к решению этой задачи с точки зрения законов механики, мы должны рассуждать так. Шар с лестницей и человек на ней представляют собой изолированную систему, центр тяжести которой не может быть перемещен действием внутренних сил. Он сохранит неизменным свое положение при подъеме человека по лестнице только тогда, когда сам шар опустится вниз, иначе центр тяжести поднялся бы. Что касается величины перемещения шара, то оно во столько же раз меньше высоты поднятия человека, во сколько раз шар тяжелее человека». Здесь имеет место как раз тот самый случай, когда заслуженный авторитет Якова Исидоровича сыграл злую шутку, потому что эта задача вместе с приведенным
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20221002
решением, что называется, пошла в народ. Так, в 1989 году она была напечатана в «Кванте» (условие – №7, решение – №9). Читатель может спросить: а что здесь не так? Решение-то вполне логичное и обоснованное, и на уровне здравого смысла представляется безупречным. Как бы не так! Чтобы ошибка стала вполне наглядной, попробуем решить тем же способом другую (но по сути – абсолютно такую же) задачу. В решении, как мы помним, Перельман упомянул лодку. Вот ее и используем: На поверхности водоема находится лодка массой 100 кг. С нее спущена в водоем лестница, на ступеньке которой на глубине 10 м стоит водолаз массой тоже 100 кг. Водолаз поднимается по лестнице вверх, пока не достигнет лодки. Куда и на сколько сдвинется лодка? Задача действительно полностью аналогична – здесь лишь среда, создающая выталкивающую силу, является не воздухом, а водой. Но какая разница? Если решать задачу, используя те же рассуждения, что и Перельман, то, учитывая равные массы лодки и водолаза, можно сделать однозначный вывод: водолаз и лодка встретятся на глубине 5 метров под водой. Каково? Но еще более впечатляющим оказывается ответ, если водолаз начнет не подниматься, а спускаться по лестнице. Тогда к тому моменту, как он окажется на глубине 20 метров, лодка поднимется в воздух на высоту 10 метров над поверхностью воды! Хотелось бы посмотреть на такое – зрелище, наверное, внушительное. В чем же ошибка рассуждений? Перельман утверждает, что шар с лестницей и человеком на ней представляют собой изолированную систему, центр тяжести которой не может быть перемещен действием внутренних сил. И приводит в
10
КВАНТ 2022/№10
качестве аналога лодку, скользящую горизонтально по поверхности воды, когда человек проходит по ней. Да, для человека с лодкой их суммарный центр тяжести сохранит свое местоположение, но только потому, что в направлении движения человека и лодки не действуют никакие внешние силы (и система является изолированной в проекции на ось, по которой идет человек и сдвигается лодка). А для воздушного шара все наоборот – система не изолирована, поскольку именно в вертикальном направлении на все ее элементы действуют весьма существенные внешние силы. Это, во-первых, сила тяжести, а во-вторых – выталкивающая сила воздуха. Они и определяют перемещение шара. Да, собственно говоря, само по себе нахождение шара с человеком в воздухе в состоянии равновесия определяется в первую очередь именно этими внешними силами, а не каким-то там перемещением человека по лестнице. Что, не очень убедительно? Ладно. Поскольку лучший критерий правильности любой теории – практика, давайте выполним расчет и выясним, каково же будет действительное смещение шара, если принять некие более-менее реальные условия. Изобразим схематично (см. рисунок) положение шара и человека на лестнице в начале подъема (слева) и в конце (справа). Здесь человек обозначен маленьким черным кружком, а шар – большим белым. Конечно, кое-что пришлость упростить. В частности, не нарисована корзина
– непременный атрибут любого воздушного шара. Но вполне допустимо считать, что корзина составляет неразрывное целое с самим шаром, так что масса корзины включена в массу шара. Находится же корзина непосредственно под самой нижней частью шара – практически вплотную. А так как немаловажную (даже, пожалуй, первостепенную) роль в нашей задаче играет выталкивающая сила, то заодно отметим, что собственным объемом корзины и оболочки шара вполне можно пренебречь, а выталкивающую силу, действующую на них, считать отсутствующей. В отношении лестницы будем еще суровее – пренебрежем и ее массой, и объемом. Таким образом, из рассматриваемых объектов остаются два: заполненный газом шар и человек. Массу оболочки шара (с учетом корзины) примем равной кг, массу человека – кг. Полагаем, что шар находится довольно высоко – на высоте Н 1000 м над уровнем моря, а длину лестницы будем считать равной L 100 м. После подъема человека снизу под самое «брюхо», согласно Перельману, шар опустится на некую величину х, которую мы и будем искать. На рисунке фигурирует еще одна величина – радиус воздушного шара (будем считать его сферическим). Этим значением задаваться нельзя – его придется вычислять из условий равновесия. Но об этом чуть позже. Выталкивающая сила со стороны воздуха на находящиеся в нем тела определяется плотностью воздуха. Плотность воздуха, как известно, убывает с высотой (и, кстати, именно это убывание позволяет воздушным шарам «зависать» на определенной высоте – в противном случае шар поднимался бы вверх до самого конца атмосферы). Но как убывает? На этот счет подробные сведения противоречивы, однако есть широко известная зависимость среднего давления воздуха от высоты (справедливая вплоть до нескольких километров): на уровне моря давление составляет 760 мм рт. ст. (или 101,3 Па) и снижается на 1 мм рт. ст. (133,3 Па) при подъеме на каждые 12 м. Следовательно, подъем на 1 м приводит к уменьшению давления