Решения задач М2722—М2725; Ф2729—Ф2732

24

КВАН T 2023/№2

Ф2742. В калориметр с горячей водой бросили кусочек льда, температура которого была равна 0 q С. После установления теплового равновесия температура воды понизилась на 12 q С. Когда в калориметр бросили второй такой же кусочек льда, температура воды понизилась еще на 10 q С. На сколько градусов понизится температура воды, если в нее бросить третий такой же кусочек льда, который полностью растает? Теплоемкостью калориметра и теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Ответ выразите в градусах Цельсия и округлите до десятых долей. А.Бычков

провода в точке Т, если R = 20 Ом. Ответ выразите в амперах и округлите до десятых долей. М.Ромашка

Ф2744. Два плоских зеркала размерами a u a, где а = 10 см, расположены перпендикулярно плоскости рисунка, касаются друг друга и образуют угол E 70 q (рис. 4).

Ф2743. Школьник собрал почти бесконечную электрическую цепь, состоящую из очень большого числа резисторов (рис. 3).

Рис. 4

Рис. 3

Если двигаться вдоль этой схемы слева направо, то после каждого ее разветвления сопротивление резистора, находящегося выше точки разветвления, равно сопротивлению резистора, находящегося слева от точки разветвления, а сопротивление резистора, находящегося ниже точки разветвления, в два раза больше, чем сопротивление резистора, находящегося выше точки разветвления. Напряжение источника в этой цепи U= 27 В. Найдите силу тока, текущего через поперечное сечение

Между зеркалами на расстоянии l = 5 см от точки их касания располагают небольшое тело, размерам которого можно пренебречь. Угол между зеркалом В и направлением из точки соединения зеркал на тело обозначим D. Определите, при каких значениях угла D в системе зеркал будут создаваться 5 изображений (сам предмет за изображение не считается). М.Карманов

Решения задач М2722–М2725, Ф2729–Ф2732 M2722. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?

Ответ: не могут. Докажем, что всегда среди имеющихся треугольников найдется неравнобедренный

25

ЗАДАЧНИК

непрямоугольный треугольник. В начальный момент это так. Пусть на очередном ходе имеющийся неравнобедренный непрямоугольный треугольник ABC был разрезан по медиане BM (см. рисунок). Так как он неравнобедренный, медиана BM не совпадает с высотой, т.е. один из углов AMB, CMB – тупой. Пусть это угол AMB. Покажем, что AMB – нужный нам треугольник. Он тупоугольный (а значит, непрямоугольный). Так как ‘ ABC z 90 q, медиана BM не равна половине стороны AC, следовательно, AM z BM. Кроме того, AB! AM и AB! BM (AB – сторона напротив наибольшего угла в треугольнике AMB). Значит, треугольник AMB – неравнобедренный. Е.Бакаев

M2723. Известно, что среди нескольких купюр, номиналы которых – попарно различные натуральные числа, есть ровно N фальшивых. Детектор за одну проверку определяет сумму номиналов всех настоящих купюр, входящих в выбранный нами набор. Докажите, что за N проверок можно найти все фальшивые купюры, если: а) N 2; б) N 3.

а) Проверив набор из всех купюр, найдем сумму S номиналов двух фальшивок. Далее можно действовать по-разному. Способ 1. Пары купюр с суммой номиналов S не пересекаются. Взяв по купюре из каждой пары, найдем за одно испытание одну фальшивку в этом наборе. Тем самым, пара фальшивок будет определена. Способ 2. Проверим набор всех купюр, номиналы которых меньше S 2. В этом наборе ровно одна фальшивка, значит, мы узнаем ее. Вторая фальшивка – та, номинал которой дополняет номинал первой до S. б) Проверив набор из всех купюр, найдем сумму S номиналов всех трех фальшивок. Укажем два алгоритма, как действовать дальше. Способ 1. Для второй проверки включим в набор наименьшую по номиналу купюру из каждой тройки с суммой S. В этот набор

«КВАНТА»

заведомо не войдет никакая наибольшая купюра K из каждой тройки: действительно, если K – наименьшая по номиналу купюра в тройке $T_{1}$ и наибольшая в тройке $T_{2}$, то сумма номиналов $T_{2}$ меньше суммы номиналов $T_{1}$. Значит, в проверенном наборе одна или две фальшивки. Пусть сумма их номиналов равна D. Все подозрительные тройки (с суммой номиналов S) разбиваются на тройки первого типа – с парой купюр с суммой номиналов D и купюрой S – D, и второго типа – с купюрой номинала D и парой купюр с суммой номиналов S – D. Заметим, что тройка второго типа $D, B_{1}, B_{2}$ не пересекается с тройкой первого типа $A_{1}, A_{2}, S D$. Действительно, $A_{1} A_{2} D$, откуда $A_{1} D, A_{2} D$. В тройке второго типа D – наименьшая по номиналу, поэтому $D B_{1}$ и $D B_{2}$. Но так как $B_{1} B_{2} S D$, имеем $B_{1} S D$ и $B_{2} S D$. Теперь для третьей проверки достаточно выбрать по одной купюре, не равной D, из троек второго типа и по одной купюре, не равной S – D, из троек первого типа. В этом наборе ровно одна фальшивка, узнав которую, мы однозначно определим тройку фальшивок. Способ 2. Среди купюр, больших S 3, одна или две фальшивых (назовем их крупными). Узнаем сумму s их номиналов. Имеется два случая. 1) s d 2 S 3. Тогда крупная купюра одна. Следовательно, среди купюр, меньших S s 2, ровно одна фальшивая. Узнаем ее, а далее однозначно определяется и третья фальшивая. 2) s! 2 S 3. Если крупная купюра одна, то оставшиеся две фальшивые в сумме дают S s, что меньше S 3, и ровно одна из них меньше S s 2. Если же крупных две, наименьшая фальшивая купюра имеет номинал S s и ровно одна из крупных фальшивых меньше s 2, но больше S 3. В любом случае в объединении интервалов 0, S s 2 и S 3, s 2 находится ровно одна фальшивая купюра. Узнаем ее (проверив все купюры с номиналами из указанных интервалов) и поймем, в каком из