А так ли хорошо знакома вам теория относительности?

Квант 2024, №2 с. 34, 35, 40 Тег B4XI

…ни по чему-либо, что станет происходить с вами самими, вы не сможете удостовериться, движется ли корабль или стоит неподвижно, …если только движение будет равномерным… Галилео Галилей

…с математической мощью,…с безошибочным пониманием физической действительности …Эйнштейн в течение десяти лет воздвигал здание своей теории… Арнольд Зоммерфельд

…кажется, будто лодка стоит в воде неподвижно; а если мелькнет мимо коряга, то…думаешь: вот здорово летит коряга! А что сам летишь, это и в голову не приходит. Гекльберри Финн

В мир с сокрушительной силой ворвалась теория относительности. О ней неожиданно заговорили все… Поль Дирак

Отныне пространство по себе и время по себе должны стать тенями, и только особого рода их сочетание сохранит самостоятельность. Герман Минковский

Пространство воздействует на материю, «указывая» ей, как двигаться. Материя, в свою очередь, оказывает обратное действие на пространство, «указывая» ему, как искривляться. Джон Уилер

…когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут, мне же посчастливилось заметить это. Альберт Эйнштейн

…по теории относительности Эйнштейна все, любой объект, обладающий энергией, обладает и массой в том смысле, что он должен тяготеть к другим объектам. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакома вам

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Четверть века назад журналом «Физический мир», издаваемым Британским обществом физиков, среди ученых был проведен массовый опрос. Согласно нему, первенство среди величайших физиков в истории завоевал Альберт Эйнштейн, а важнейшим из физических открытий была признана его теория относительности. Создание и становление заключенной в теории новой физической картины мира сродни захватывающему детективу или приключенческому роману. Однако лишь несколько, возможно, не самых увлекательных страничек этого огромного труда оказались в школьных учебниках. Хотя с термином «относительность», вспомните, вам приходилось сталкиваться еще до начала изучения физики. Попробуем перекинуть пусть узенький, но, надеемся, крепкий мостик от первичных представлений об этом глубоком понятии до его современного обличия.

Вопросы и задачи

В какой системе отсчета расстояние между событиями «выстрел пушки» и

«разрыв ее снаряда» (при попадании его в цель) равно нулю? 2. Зависит ли скорость истечения воды из отверстия в стенке сосуда, находящегося в вагоне поезда, от того, стоит поезд на месте или движется равномерно и прямолинейно? 3. Почему у колеса велосипеда при его движении спицы в нижней части видны довольно отчетливо, а в верхней их не разглядеть? Пропадет ли этот эффект, если смотреть на велосипедиста из окна движущегося с той же скоростью автобуса? 4. Легковой автомобиль движется по шоссе навстречу автобусу со скоростью, в два раза превышающей скорость автобуса. С какой скоростью и в каком направлении движется фура, относительно которой скорости легкового автомобиля и автобуса одинаковы? 5. Несколько футболистов бегут по полю прямолинейно со скоростью 10 км ч в разных направлениях. Известно, что каждый встретился с каждым. Могли ли они все встретиться в одном месте поля? 6. Тело обладает электрическим зарядом q в одной инерциальной системе

отсчета. Каков его заряд в другой инерциальной системе отсчета? 7. Допустим, что бегун побежал со скоростью, близкой к скорости света. Увидит ли он себя в зеркале, которое держит перед собой в вытянутой руке? 8. Расстояние от Земли до Сириуса – 10 световых лет. Как же объяснят астронавты (со своей собственной точки зрения) свой прилет к Сириусу через два года после вылета «Звездолета» с Земли? 9. Длина стержня, движущегося относительно наблюдателя, меньше его собственной длины. Означает ли это, что стержень деформирован? 10. Прямоугольный брусок перемещается в направлении одного из своих ребер. Как сказывается быстрое движение на его объеме? А на его плотности? 11. Возможно ли понятие безмассовой частицы в ньютоновой механике? 12. Какой закон теории относительности подтверждают явления аннигиляции покоящихся электрона и позитрона и образования гамма-квантом пары частиц? 13. Когда энергия гамма-квантов, образуемых при аннигиляции электрона и позитрона, будет одинакова, а сами они будут двигаться в противоположных направлениях? 14. При наблюдении спектра водорода далекой галактики оказалось, что зеленая линия его спектра сместилась в красную область. Почему это произошло?

Микроопыт

Понаблюдайте за бегущим по дорожке тренажера спортсменом. Почему кажется, что он бежит «на месте»? Как определить скорость его бега?

Любопытно, что…

… эксперимент по описанной Галилеем схеме (см.эпиграф) был впервые поставлен французским ученым Пьером Гассенди в 1651 году. С верхушки мачты галеры, плывшей в марсельской гавани со скоростью примерно 3,5 м с, бросали камни, которые неизменно падали параллельно мачте. … ответ на вопрос, какая из двух компонент взаимодействия – электрическая или магнитная – проявляется при движе- нии свободных носителей заряда, целиком зависит лишь от системы отсчета. … уравнения Максвелла предсказывали распространение электромагнитного излучения со вполне определенной скоростью – скоростью света. Однако они ничего не говорили о том, в какой системе отсчета скорость будет именно такой. Эта проблема и озаботила Альберта Эйнштейна. … в представленной Эйнштейном в Бернский университет работе по теории относительности никто ничего не понял. Позднее французский ученый Поль Ланжевен шутил, что эту теорию понимают только 12 человек в мире. … идеи Лоренца, Эйнштейна и Пуанкаре подытожил немецкий математик и физик Герман Минковский, введя понятие пространственно-временнуго мира. Тем самым он завершил построение специальной теории относительности, придав ей адекватную математическую форму. … в ускорителях на встречных пучках как в классическом, так и в релятивистском случае вся кинетическая энергия сталкивающихся частиц может перейти в энергию покоя рождающихся частиц. … несколько лет назад перестал быть видимым один из пульсаров, т.е. сверхплотных нейтронных звезд. Как считают ученые, это произошло из-за сильных гравитационных полей, изменивших геометрию пространства-времени вблизи пульсара. … главным достижением Нобелевского лауреата Поля Дирака, предсказавшего существование позитрона, стал гармонический синтез теории относительности и квантовой механики.

Что читать в «Кванте» о теории относительности

(публикации последних лет)

«Рождение гравитационно-волновой астрономии» – 2018, №3, с.14; 2. «От пузырька до черных дыр» – 2019, №6, с.21; 3. «Черные дыры существуют» – 2021, №3, с.2; 4. «Кто искривил пространство-время?» – 2021, №10, с.26; 5. «Следы невидимого…» – 2022, №8, с.2.

Материал подготовил А. Леонович

КВАН T 2024/№2

Как же мы устанавливаем периодичность? А дело в том, что при делении «уголком» мы работаем с последовательностью остатков (умножаем, вычитаем, берем остаток; сносим цифру, находим неполное частное, умножаем, вычитаем, берем остаток и т.д.). Итак, каждый остаток однозначно определяет неполное частное (цифру десятичной дроби) и следующий остаток. Остатки зацикливаются, значит, зацикливаются и десятичные знаки. Это замечательная идея – рассмотреть другую последовательность, которая порождает исходную последовательность, а каждый ее член однозначно определяет следующий. Теперь можно приступить к «многоклеточной» задаче. Задача 3. Жители Гавайских островов гордятся тем, что у них с незапамятных времен существует президенская форма правления. Каждые 4 года президентом избирается либо республиканец, либо демократ. Местные социологи обнаружили строгий закон, по которому определяется партийность очередного президента. Хотя этот закон засекречен, в печать просочились сведения, что партийность очередного президента полностью определяется партийностью предыдущих десяти. Последние три срока на Гаваях правит республиканец. Докажите, что всегда будут периоды правления трех республиканцев подряд. Решение. Нам достаточно показать, что партийности президентов периодически повторяются. Назовем «предвыборным состоянием» или просто «состоянием» последовательность партий, к которым принадлежали последние 10 президентов. Каждое состояние определяет партийность следующего президента, а значит, и следующее предвыборное состояние. Состояний конечное число (не больше чем $2^{10} ),$ следовательно, по принципу Дирихле, какое-то из них повторится. Повторение одного состояния вызовет повторение следующих состояний, и с этого момента состояния начнут периодически повторяться, а значит, и последовательность правящих партий будет периодической. Но поскольку президентская форма правления на Гаваях существует с незапамятных времен, повторение двух состояний уже произошло, и состояния давно повторяются. Как видите, во всех разобранных задачах присутствует одно и то же рассуждение,

устанавливающее периодичность. Сформулируем его в общем виде. Рассуждение 1. Если нечто может находиться только в конечном числе состояний и состояние в данный момент времени однозначно определяет состояние в следующий момент времени, то, начиная с некоторого момента, состояния начнут периодически повторяться. Однако в задаче про президентов надо было проверить, что в данный момент мы находимся в периоде – только тогда можно утверждать, что всегда будут моменты правления трех республиканцев подряд. Для этого и потребовались «незапамятные времена». Это важный момент: рассуждение 1 утверждает только периодичность, начиная с некоторого места, но при этом вовсе не обязательно, чтобы повторилось первое состояние. (Это видно уже на примере задачи 1. Другой пример – условно периодические дроби.) Если период начинается не сразу, то последовательность состояний, предшествующая периоду, называется предпериодом. Чтобы доказать, что начальное состояние когда-нибудь встретится, надо еще показать, что предпериода нет. Для этого часто используется несколько другая идея, чем в задаче о президентах, – идея «обратного хода». Рассуждение 2. Если число состояний конечно и каждое состояние однозначно определяет как последующее состояние, так и предыдущее, то в последовательности состояний предпериод отсутствует. Это простое рассуждение не сразу становится понятным. Попробуем его пояснить. С какого-то момента появится период (рассуждение 1). Выберем состояние, например из третьего периода. Оно однозначно определяет предыдущее состояние. Во втором периоде это состояние повторится, и повторение вызовет дальнейшее повторение (рассуждение 1 при «обратном ходе»). Период «перенесется в прошлое», а значит, все состояния периодически повторяются. Вот типичный пример (см. статью А.Орлова «Принцип Дирихле» в «Кванте» №7 за 1971 г.). Задача 4. Докажите, что найдется член последовательности Фибоначчи, делящийся на 1990. (Напомним, что последовательность Фибоначчи начинается с двух еди-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ниц, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих.) Решение. Запишем формулу для определения очередного числа Фибоначчи:

u n u n 1 u n 2.

Прежде всего изучим остатки чисел Фибоначчи при делении на 1990. Хотелось бы найти остаток, равный нулю. Как же его искать? В том-то и задача. Однако обратимся к прошлому. (Задача о президентах показала полезность изучения истории.) Заметим, что последовательность можно «продолжить в прошлое» с помощью формулы u n 2 u n u n 1.

Тогда получим, что $u_{0} 0$ . Прекрасно! Ноль делится на 1990. Осталось установить периодичность остатков, начиная с нулевого члена. Заметим: нам не нужно находить член последовательности Фибоначчи с нулевым остатком – достаточно установить его существование. Нетрудно понять, что по остатку одного числа Фибоначчи ничего нельзя сказать об остатке следующего. Тут на помощь приходит задача о президентах: ведь и там, чтобы предсказать результат выборов, недостаточно знать партийность предыдущего президента – нужны результаты последних 10 выборов. Потому-то «предвыборным состоянием» мы назвали партийность последних 10 президентов. Теперь ясно, что в качестве состояния члена $u_{n}$ надо взять пару остатков от деления на 1990 членов $u_{n} 1$ и $u_{n} 2$ . Два предыдущих остатка уже определяют следующий. Здесь ключ к решению: во-первых, «состояние» определяет остаток числа, а во-вторых, каждое «состояние» определяет следующее состояние. Теперь все ясно: состояний конечное число (оцените, сколько), они начнут повторяться, а значит, повторятся остатки чисел Фибоначчи. Впрочем, радоваться рано. Почему период начинается с нулевого члена? Тут нам поможет идея «обратного хода»: состояние каждого остатка определяет состояние не только следующего, но и предыдущего (в этом нас убеждает формула $u_{n} 2 u_{n} u_{n} 1 ),$ а отсюда вытекает отсутствие предпериода.

Упражнение 2. Могут ли два соседних числа Фибоначчи делиться на 1990?

Задача 5 (обобщение задач 1, 2, 4). Последовательность $u_{n}$ такова, что при неко-

КРУЖОК

торых $a_{1}, a_{2}$ , … $, a_{k}$ справедливо равенство $u_{n} a_{1} u_{n} 1 a_{2} u_{n} 2$ … $a_{k} u_{n} k$ . (Такая последовательность называется возвратной или рекуррентной. Примеры – последовательность Фибоначчи или последовательность степеней целого числа m: если $u_{n} m^{n}$ , то $u_{n} mu_{n} 1 ).$ Пусть все $a_{i}$ и $u_{n}$ целые. Докажите, что остатки чисел $u_{n}$ при делении на заданное целое l периодически повторяются. В каких случаях в этой последовательности остатков будет отсутствовать предпериод? Оцените длину периода. Приведите пример, когда предпериод будет. До сих пор мы включали в понятие «состояние» как можно больше характеристик, чтобы каждое состояние однозначно определяло следующее. Однако бывают случаи, когда состояние надо «разукрупнять». Задача 6. Докажите, что если при переводе обыкновенной дроби P Q (P Q ) в десятичную один из неполных остатков от деления P на Q равен Q P, то сумма двух цифр ее десятичного разложения, отличающихся на полупериод, равна 9. Набросок доказательства. Назовем состоянием процесса деления не сам неполный остаток, а остаток с точностью до знака, т.е. его квадрат. Период последовательности состояний равен полупериоду исходной дроби (почему?). С другой стороны, дробь Q P Q в сумме с дробью P Q равна 1 или 0,999… Так что сумма соответствующих цифр дробей P Q и Q P Q равна 9. Процесс же деления дроби Q P Q начинается с неполного остатка Q P, т.е. получается из процесса деления исходной дроби P Q сдвигом на полупериод. Одно и то же рассуждение может появляться в различной «упаковке». Например, рассуждение 2 может выглядеть так. Рассуждение 2 c. Несколько точек соединены стрелками, причем из каждой точки исходит одна стрелка и входит тоже одна. Тогда все стрелки (и точки) образуют несколько циклов.

Упражнение 3. Сформулируйте рассуждение 1 в терминах точек и стрелочек.

Идею цикличности можно формализовать не только на языке точек и стрелок. Другой способ – на языке функций. Теорема о периодичности. Пусть M – конечное множество (множество состоя-

КВАН T 2024/№2

37* (А.Канель). Дано бесконечное слово z (в русском алфавите), u и v – его различные подслова. Докажите, что можно найти такие слова s и t, что svt – подслово z и при этом в слове z найдутся сколь угодно длинные периодические подслова (длина периода не больше max u, v ) либо сколь угодно длинные подслова без вхождений sut. 38 (ТГ, 1987 88). Рассматривается последовательность слов из букв «A» и «B». Первое слово – «A», второе – «B», k-е слово получается приписыванием к k 2 -му слову справа k 1 -го (так что начало последовательности имеет вид «A», «B», «AB», «BAB», «ABBAB», …). Может ли в последовательности встретиться «периодическое» слово, т.е. слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них? 39*. Существует ли бесконечная последовательность из трех букв такая, что никакая комбинация из букв не повторится два раза подряд? 40**. а) B языке племени МБУ-МБЫ только 4 звука: М, Б, У, Ы. Синонимами являются любые два слова UXXV и UXV, где U, X, V – произвольные последовательности звуков. Докажите, что число понятий племени конечно. б) А что если синонимами являются только слова UXXXV и UXV?

Бильярды

41*. a) К квадрату из внешней точки проводится касательная. Точка отражается относительно точки касания. Через нее проводится другая касательная и процедура повторяется. Может ли точка убежать на бесконечность? б) Из точки вне правильного пятиугольника, не лежащей на продолжении сторон, проводят к нему касательную и точку симметрично отражают относительно точки касания. С новой точкой происходит то же, только выбирается другая касательная, и т.д. Если мы выйдем на продолжение стороны, то процесс остановится. Докажите, что найдется бесконечно много точек периода 10. в) Что можно сказать в общем случае? 42 (ММО, 1965). В прямоугольном бильярде размером p u 2 q, где p и q – целые нечетные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длиной 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45q к стороне. Докажите, что шарик обязательно попадет в одну из средних луз. 43* (ЛМО). B квадратном зале с зеркальными стенами стоит профессор Cмит. Он хочет расставить в зале несколько студентов так, чтобы со своего места он не мог увидеть собственного отражения. Удастся ли профессору это сделать? 44. На кольцо нанизаны одинаковые шарики, которые абсолютно упруго соударяются. Докажите, что их расположение периодически повторяется.

Разные задачи

45*. Из каждого города выходит нечетное число дорог. На центральной площади города поднят черный или белый флаг. Каждое утро в каждом городе меняется цвет флага, если соседей с флагом другого цвета больше. Докажите, что цвет каждого флага либо стабилизируется, либо мигает с периодом 2. 46* (из книги «Mатематический аквариум»). Имеется неограниченное число черных и белых кубиков. Надо построить из них сплошную башню в форме параллелепипеда так, чтобы каждый черный кубик граничил с четным числом белых, а каждый белый – с нечетным числом черных. При любом ли заданном нижнем слое кубиков такую башню (конечной высоты) можно построить? 47* (п.б), в) – А.Канель). Бесконечная в обе стороны полоса клетчатой бумаги состоит из черных и белых клеток. Каждую секунду клетка, имеющая четное число черных соседей, становится белой, а имеющая нечетное число черных соседей – черной. Докажите, что: а) если через $2^{n}$ секунд исходная раскраска повторится, то она периодична с периодом 3 $2^{n}$ ; б) исходная раскраска периодически повторяется тогда и только тогда, когда она сама периодична (периодичность во времени равносильна периодичности в пространстве). в ) Что можно сказать о полосе произвольной ширины? Или о всей клетчатой плоскости? 48 (А.Канель, B.Уфнаровский). Дан прямоугольник с отношением сторон 1991. От него отрезают квадрат, а с оставшимся прямоугольником производят ту же процедуру. Докажите, что последовательность отношений сторон у построенных прямоугольников периодична (решив эту задачу, вы сможете доказать, что каждую квадратичную иррациональность можно разложить в периодическую цепную дробь, возможно, с предпериодом). Верно и обратное утверждение: число, разлагающееся в периодическую цепную дробь, – квадратичная иррациональность (см. книгу А.Я.Хинчина «Цепные дроби»). 49*. Hа книжной полке стоит в беспорядке полное собрание сочинений неизвестного классика. Библиотекарь выбирает наугад том, стоящий не на своем месте, и ставит его на место (при этом часть томов сдвигается ). Всегда ли он может за конечное число операций поставить тома по порядку?

(Продолжение следует)