М АТ ЕМ АТИ ЧЕС КИ Й КР УЖ ОК
Трисекция угла и другие классические задачи
А. ЗАСЛАВСКИЙ, С.МАРКЕЛОВ
Мы знаем, что задача не имеет решения. Мы хотим знать, как ее решать. А.Стругацкий, Б.Стругацкий. «Понедельник начинается в субботу»
В школьной геометрии задачи на построение, как правило, требуется решать циркулем и линейкой. Причиной этого является историческая традиция: именно эти инструменты использовали геометры Древней Греции. Они же сформулировали три, ставшие классическими, задачи, одной из которых является трисекция, или деление данного угла на три равные части, а двумя другими – удвоение куба, т.е. построение куба с объемом вдвое больше данного, и квадратура круга, т.е. построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга. То, что решить все эти задачи, пользуясь только циркулем и линейкой без делений, невозможно, было доказано в XIX веке, когда задачи были переформулированы на алгебраическом языке. Например, задача о трисекции угла M S 3 сводится к решению кубического уравнения . У этого уравнения нет рациональных корней, и можно доказать, что его корни не являются квадратичными рациональностями и не могут быть построены циркулем и линейкой (подробнее о доказательствах невозможности построений см. [1]). Однако можно пытаться решить задачу, если допустим более широкий арсенал инструментов, а также если на плоскости предварительно начерчена некоторая кривая. Этим методам был посвящен проект, предложенный авторами статьи на XXXVI Летней конференции Турнира городов в августе 2024 года.
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240903
Начнем с двух задач, известных с античных времен.
Задача 1. Разделите данный угол на три равные части с помощью циркуля и линейки, на которой отмечен единичный отрезок. Линейку можно прикладывать к плоскости так, чтобы она проходила через ранее построенную точку, а концы отмеченного на ней отрезка лежали на ранее проведенных линиях. Решение. Обозначим данный угол через M и на единичной окружности с центром O возьмем точки A и B такие, что AOB M. Используя линейку с отмеченным единичным отрезком, проведем через B прямую, пересекающую окружность и продолжение отрезка AO за точку O в таких точках X, Y, что XY = 1 (рис. 1). Тогда OBX OXB 2 XYA и AOB OBY OYB 3 XYA, следовательно, XYA M 3.
Рис. 1
Определение. Пусть точка равномерно движется по лучу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью вокруг своего начала. Тогда кривая, которую она описывает, называется спиралью Архимеда.
Задача 2. Пусть на плоскости начерчена спираль Архимеда. Разделите данный угол с помощью циркуля и линейки а) на три равные части; б) на n равных частей. Решение. а) Проведем из центра O спирали два луча, образующие угол M, и найдем точки X, Y их пересечения со спиралью (рис. 2). Отложим на OY отрезок OX c OX, разделим отрезок X c Y на три равные части и проведем через точки деления окружности с центром O, пересекающие спираль в точках P и Q. Тогда XOP POQ QOY. б) Решение аналогично предыдущему пункту. Множество кривых, при наличии которых трисекция угла становится выполнимой,