Игра с тенью

Квант 2025, №1 с. 51, 54 Тег 2NI8

Игра с тенью

ЛА Б ОРАТОРИЯ «КВАНТА»

И.СЫЧЕВ

В солнечный летний день дети (да и взрослые) любят поиграть с тенью. Наиболее наблюдательные, наверное, обращали внимание на такой факт. Если стоять, например, под крышей дома и приближать свою тень к тени дома, то своя тень начинает вытягиваться в направлении тени дома (рис. 1). В чем же причина такого искажения тени? Дифракцию не рассматриваем – не ее масштабы, все здесь макроскопическое. Воспользуемся законами геометрической оптики и изобразим схему данного явления (рис. 2). По-видимому, дело прежде всего в том, что источник света имеет ненулевые угловые размеры. Рассмотрим для упрощения только крайние лучи, идущие от диска Солнца (рис. 3,а). На большом расстоянии между экранами 1 и 2 тень от первого экрана не искажена (левое фото на рисунке 1). При достаточном сближении теней от головы и крыши на тело, более близкое к земле (экран 1), начинает попадать свет не со всей поверхности источника света, а только с той части, которая еще не загорожена более отдаленным телом (экран 2). При достижении этого положения экраном 1 начинает расти угол D между падающим лучом и вертикалью (начало солнечного луча как бы смещается по окружности диска Солнца по

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250106

Рис. 1. Искажение тени объекта

Рис. 2. Геометрическая схема явления

Рис. 3. Изменение угла D при движении экрана 1

часовой стрелке вниз) и, следовательно, тень от экрана 1 вытягивается навстречу тени от экрана 2 (рис. 3,б). Таким образом, скорость смещения тени возрастает с увеличением угла D. Поэтому при приближении тени от головы (экран 1) к тени дома (экран 2) участки, близкие к дому (бо c льшие углы D ), дают более длинную тень: голова «вытягивается» в направлении крыши дома (правое фото на рисунке 1). Попробуем оценить по величине удлинения тени угловой размер Солнца (рис. 4). Для упрощения расчета примем, что Солнце находится практически в зените и угол M мал. В нашем опыте при росте человека

ОЛИМПИАД Ы

в которые входят $dT_{A} dH$ и $dT_{E} dH$ . Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения H на один процент.

Рис. 2. Тепловые потоки между Землей и атмосферой

и пропускает остальную часть. Такое поведение, известное как парниковый эффект, изменяет среднюю температуру Земли. Поверхность Земли отражает часть $r_{E}$ видимого и ультрафиолетового излучения и поглощает остальную часть этого излучения и все инфракрасное излучение. B1. Предположим, что H 1 и $r_{E} 0$ . Найдите температуру Земли $T_{E}$ и температуру атмосферы $T_{A}$ . Теперь предположим, что $r_{E} z 0$ . В этом случае система «Земля + атмосфера» отражает некоторую другую долю солнечного излучения, называемую «альбедо» и обозначаемую D. B2. Найдите альбедо D через $r_{E}$ и $r_{A}$ . Рассчитайте его численное значение при $r_{E} 0,102$ (и $r_{A} 0,255 ).$ B3. Выразите температуру Земли через $V, D, S_{0}$ и H. Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение H, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_{E} 288$ К. B4. Найдите $dT_{E} dH$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если H увеличится на один процент. Предположим, что $T_{A} 245$ К и $T_{E} 288$ К. Эти значения получены из реальных данных и могут отличаться от результатов, которые вы получили в предыдущих пунктах. Теперь предположим, что имеет место нерадиационный (например, конвективный) тепловой поток $J_{NB} k T_{E} T_{A}$ от Земли к атмосфере, где k – постоянная. Величина $J_{NR}$ – это передаваемая мощность с единицы площади. B5. Выразите H и k через $T_{E}, T_{A}, V, D$ и $S_{0}$ . B6. Дифференцируя по H выражения, полученные в пункте B5, получите два уравнения,

Задача 2. Ионная ловушка и охлаждение атомов (10 баллов) В последние десятилетия удержание и охлаждение атомов и ионов стали увлекательной темой для физиков, а за работы в этой области было присуждено несколько Нобелевских премий. В первой части этой задачи мы рассмотрим технику захвата ионов, известную как «ловушка Пауля». За эту работу Вольфганг Пауль и Ханс Демелт получили половину Нобелевской премии по физике 1989 года. Далее мы исследуем технику доплеровского охлаждения – одну из работ, упомянутых в пресс-релизе Нобелевской премии по физике 1997 года, присужденной Стивену Чу, Клоду Коэн-Таннуджи и Уильяму Филлипсу «за разработку методов охлаждения и удержания атомов с помощью лазерного излучения».

Часть A. Ловушка Пауля (5,6 баллов) Известно, что с помощью электростатических полей невозможно создать устойчивое равновесие для заряженной частицы. Поэтому для создания точки стабильного равновесия для ионов требуются более сложные методы. Одной из таких методик является ловушка Пауля. Рассмотрим равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда O и радиусом R. Положительный точечный заряд Q с массой m помещен в центр кольца (рис. 3).

Рис. 3. Равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда O и радиусом R; начало системы координат находится в центре кольца

A1. Используя декартовы координаты x, y, z, получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по x R, y R, и z R.

КВАНТ 2025/№1

поглощает свою звезду-компаньона, из-за чего ее сравнивают с черной вдовой – самкой паука, которая после спаривания съедает самца. В результате нагрева газа, падающего на «Черную вдову», возникает наблюдаемое излучение. Самые тяжелые нейтронные звезды зачастую оказываются «Черными вдовами» и служат для ученых естественными лабораториями для проверки фундаментальных законов физики. На рисунке 6,б показано изображение компаньона нейтронной звезды PSR J2215+5135, полученное 3,4- метровым оптическим телескопом Иранской национальной обсерватории. На этом изображении нейтронная звезда не видна, а видимый свет излучается ее компаньоном.

Часть A. Двойная система (5 баллов) Рассмотрим простую модель, в которой «Черная вдова» и ее звезда-компаньон представлены двумя точечными массами $M_{1}$ и $M_{2}$ , движущимися по круговой орбите вокруг общего центра масс. Чтобы исследовать динамику этой системы, перейдем во вращающуюся систему отсчета, в которой оба тела неподвижны. Примем центр масс за начало координат. Предположим, что тела лежат на оси x по разные стороны от начала координат на расстоянии a друг от друга и масса $M_{1}$ лежит на отрицательной полуоси. В произвольной точке x, y в плоскости орбиты эффективный потенциал M x, y единичной пробной массы равен сумме гравитационных потенциалов двух точечных масс и центробежного потенциала. A1. Выразите M x, y через $M_{1}, M_{2}, G$ и a. A2. Предполагая, что $M_{1}$ ! $M_{2}$ , постройте качественный график функции M x ,0. Пусть $M_{2} M_{1} 3$ (только в пункте A3) и звезда $M_{2}$ окружена разреженным газом. Масса этого газа мала по сравнению с массами звезд, поэтому его гравитационным влиянием можно пренебречь. Если газовое облако превысит некоторый критический размер, газ начнет перетекать на $M_{1}$ . Предположим, что перетекание начинается в точке $x x_{0}$ на оси x. A3. С помощью калькулятора вычислите значение $x_{0} a$ с точностью до двух значащих цифр. Пусть период вращения звезд вокруг центра масс равен P, а газ течет от $M_{2}$ к $M_{1}$ с очень малой скоростью $dM_{1} dt E$ . Ско-

рость перетекания настолько мала, что в течение одного периода вращения расстояние между звездами можно считать постоянным. При этом на больших масштабах времени расстояние между компонентами меняется, но движение компонент остается круговым. A4. Выразите скорость изменения величин a и P через $E, M_{1}, M_{2}, G$ и a. Газ, отделяющийся от $M_{2}$ , образует диск, вращающийся вокруг $M_{1}$ , в котором газ нагревается за счет трения. Теряя энергию, газ по спирали медленно перемещается к центру диска и, наконец, падает на $M_{1}$ . В равновесном состоянии масса перемещается с постоянной скоростью E от $M_{2}$ к диску и от диска к $M_{1}$ . При этом нагретый диск испускает тепловое излучение как абсолютно черное тело. Поскольку диск формируется очень близко к нейтронной звезде, гравитационным влиянием $M_{2}$ при рассмотрении диска можно пренебречь. Пренебрегите также теплоемкостью газа. A5. Определите температуру диска на расстоянии r от центра звезды $M_{1}$ . Выразите ответ через $r, E, M_{1}, G$ и V (постоянная Стефана–Больцмана). В бинарной системе PSR J2215+5135 масса нейтронной звезды составляет $M_{NS} 2,27 M e$ , а масса звезды-компаньона – $M_{S} 0,33 M_{e}$ , где $M_{e} 1,98$ $10^{30}$ кг – масса Солнца. Период вращения составляет P = 4,14 ч, постоянная Стефана–Больцмана V 5,67 $10^{8}$ Вт $м^{2}$ $К^{4}$ , гравитационная постоянная G 6,67 $10^{11} м^{3}$ кг $с^{2}$ . Предположим, что скорость потока массы к нейтронной звезде составляет E 9 $10^{10} M_{e}$ год. A6. Вычислите температуру диска на расстоянии r a 10. Ответ приведите в кельвинах. Предположим, что после внезапного взрыва звезда $M_{1}$ выбрасывает часть своей массы из двойной системы с очень большой скоростью и ее масса становится равной $M_{1}^{*}$ . Пусть после взрыва относительная скорость движения $M_{1}^{*}$ и $M_{2}$ равна $v^{*}$ . A7. При каком максимальном значении $v^{*}$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M_{1}^{*}$ это соответствует, если разлет вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M_{1}^{*}, M_{2}, G$ и a.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №10 за 2024 г.)

Нет. Пусть так могло быть. Тогда у любого жителя один сосед – правдолюб, а другой – лжец. Значит, жители, стоящие через одного,чередуются. Если занумеровать жителей по кругу, начиная с правдолюба, то 1-й – правдолюб, 3-й – лжец, 5-й – правдолюб, 7-й – лжец, и так далее. Так, 29-й – тоже правдолюб, но тогда у 30-го жителя одинаковые соседи, противоречие. 6. а) Да; б) нет. а) Разделим доску на 4 квадрата 4 u 4 и в каждом c помощью двух квадратов 3 u 3 перекрасим все черные клетки в белый. б) Запишем в белые клетки исходной доски белые нули, а в черные клетки – черные единицы. Каждое перекрашивание клеток в вершинах квадрата 2 u 2 или 4 u 4 поменяет цвета двух нулей и двух единиц, а в вершинах квадрата 3 u 3 поменяет цвет либо четырех нулей, либо четырех единиц. Значит, любое перекрашивание меняет цвет четного количества нулей. С другой стороны, каждый ноль, который в итоге остался белым, поменял цвет четное число раз, а ноль, в итоге ставший черным, – нечетное число раз. Исходно было 32 белых нуля, а в конце один из них должен стать черным, т.е. число перемен цвета среди нулей было нечетным – противоречие. 7. Рассмотрим две точки A, B этого множества на наибольшем расстоянии друг от друга. Тогда для любой точки C в треугольнике ABC сторона AB является наибольшей, значит, ACB t 60 q. Следовательно, D t 60 q. Теперь рассмотрим точки A, B этого множества на наименьшем расстоянии. Рассуждая аналогично, получим, что D d 60 q. Значение D 60 q действительно возможно: возьмем множество из трех точек, являющихся вершинами правильного треугольника. 8. Будем называть клетку в-клеткой, если она расположена в вертикально расположенной полоске, и г-клеткой, если она расположена в горизонтально расположенной полоске. Предположим, что есть путь от верхней стороны прямоугольника до нижней по г-клеткам и что есть путь от левой стороны до правой по в-клеткам. Но они должны пересечься – получаем противоречие. Поэтому одного из таких путей нет. Не умаляя общности, будем считать, что нет пути от верхней стороны до нижней по г-клеткам. Докажем, что есть путь по красным клеткам между двумя верхними углами.

Будем называть сторону клетки отмеченной перегородкой, если она является короткой стороной одной из полосок. Покажем, что есть путь между двумя верхними углами по отмеченным перегородкам (переходим по узлам – каждый шаг совершается из вершины клетки в соседнюю вершину). Заметим, что если в-клетка и г-клетка являются соседями по стороне, то их общая сторона является отмеченной перегородкой. Будем называть множество клеток связным, если есть путь между любыми двумя клетками этого множества (переходим из клетки в соседнюю по стороне) по другим клеткам этого множества. Рассмотрим связное множество г-клеток, примыкающее к верхней стороне и максимальное по включению, т.е. в которое нельзя добавить никакую другую г-клетку с сохранением условия. Пример – на рисунке 1. Рассмотренное множество клеток выделено желтым цветом. Отмечен-

Рис. 1

ные перегородки выделены жирными линиями. Пусть самая левая из вершин клеток этого множества, лежащая на верхней стороне, это точка A; и аналогично, самая правая – точка B. Тогда граница этого множества состоит из отмеченных перегородок, а также перегородок, лежащих на верхней стороне прямоугольника. Нет пути между верхней и нижней стороной по г-клеткам, поэтому это множество клеток не может примыкать к нижней стороне. Значит, от A до B можно пройти по границе этого множества клеток, проходя по отмеченным перегородкам. Теперь покажем, как пройти из левого верхнего угла в правый верхний по отмеченным перегородкам. Идем слева направо по верхней стороне, пока на ней есть отмеченные перегородки. Когда они кончились, значит, мы подошли к левой