Задачи М2838—М2841; Ф2845—Ф2848

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2838–М2841 предлагалась на XLVI Турнире городов. Задачи Ф2845–Ф2848 предлагались на заключительном этапе LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2838–М2841, Ф2845–Ф2848

M2838. По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нем стала равна 10%. Известно, что в начальный момент такое переливание удалось бы сделать из любого кувшина. Докажите, что можно сделать в каком-то порядке несколько таких переливаний (не более одного из каждого кувшина), так чтобы сладость смеси во всех непустых кувшинах стала равна 10%. А.Шаповалов

M2839. Дано натуральное число k. В стране, валюта которой – тугрики, ходят только купюры двух целочисленных достоинств. И покупатель, и продавец имеют достаточно много и тех, и других купюр, но при каждом платеже могут использовать вместе не более k купюр (включая сдачу). Известно, что так можно сделать платеж на любую целую сумму от 1 до n тугриков. Каково наибольшее возможное значение n? А.Шаповалов

M2840. Высоты $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H (рис. 1). Биссектрисы углов B и C

Рис. 1

треугольника BHC пересекают отрезки CH и BH в точках X и Y соответственно. Обозначим величину угла $XA_{1} Y$ через D. Аналогично определим E и J. Найдите значение суммы D E J. А.Доледенок

M2841*. Петя красит каждую клетку доски 2 m u 2 n в черный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек, а Вася – к тому, чтобы их получилось как можно меньше. Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася? А.Грибалко

23

ЗАДАЧНИК

Ф2845. Из пункта A, расположенного на одном берегу реки шириной l, переправляется на противоположный берег небольшая моторная лодка (рис. 2). Берега реки

Рис. 2

параллельны друг другу. Скорость течения реки везде одинакова и равна u. На противоположном берегу реки на одном перпендикуляре к берегам с пунктом A расположен пункт B. Скорость лодки относительно воды постоянна по величине и равна 2u, а ее вектор в течение всего времени переправы перпендикулярен прямой BC, где C — центр лодки. В некоторый момент времени $t_{1}$ скорость лодки относительно берега перпендикулярна линии берега. 1) В каком направлении лодка начала движение из пункта A: по течению или против течения? 2) Найдите угол ABC в момент времени $t_{1}$. 3) На каком расстоянии от пункта B будет находиться лодка, когда она достигнет противоположного берега реки? 4) На каком расстоянии от пункта B будет находиться лодка в момент времени $t_{1}$? 5) Найдите радиус кривизны траектории лодки в системе отсчета берега для двух случаев: а) в момент старта из пункта A; б) в момент времени $t_{1}$. А.Шишкина

Ф2846. На горизонтальной поверхности находятся два тела: длинная доска высотой h и однородный цилиндр радиусом R = 2h, которые касаются друг друга (рис. 3). Масса цилиндра равна M. Коэффициенты трения между цилиндром и поверхностью,

Рис. 3

«КВАНТА»

а также между самими телами одинаковы и равны P. Доска движется с постоянным горизонтальным ускорением a, направленным перпендикулярно линии контакта с цилиндром. Ускорение свободного падения равно g. При каких значениях ускорения a доски цилиндр не будет поворачиваться вокруг горизонтальной оси, если коэффициент трения P может принимать любые значения больше нуля? А.Ившин, Е.Васенин, А.Вергунов

Ф2847. В цилиндрическом сосуде, установленном вертикально в поле силы тяжести, под массивным горизонтальным поршнем массой m = 100 кг содержится одноатомный идеальный газ. Над поршнем – вакуум. Поршень находится в равновесии и может перемещаться вдоль стенок сосуда практически без трения. Поршень закрепляют в этом равновесном положении, после чего кладут на него гирю массой M. Затем поршень освобождают. При дальнейшем движении поршня с гирей его минимальное расстояние $h_{min}$ до дна сосуда в два раза меньше исходного расстояния $h_{0} = 1,0$ м. Определите: 1) массу гири M; 2) модуль максимального ускорения $a_{max}$ поршня с гирей в процессе движения; 3) модуль максимальной скорости $v_{max}$ поршня с гирей в процессе движения. Через длительное время поршень остановился. 4) Найдите расстояние h до дна сосуда, на котором будет находиться поршень в состоянии нового термодинамического равновесия. Теплоемкость сосуда и поршня пренебрежимо мала, теплоотдача в окружающую среду отсутствует. При движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Масса газа много меньше массы поршня. Ускорение свободного падения считайте равным g 10 м $с^{2}$. А.Аполонский

Ф2848. В бесконечной электрической цепи, фрагмент схемы которой представлен на рисунке 4, каждая треугольная ячейка содержит три источника с одинаковыми