Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Học viện Hàng không Mátxcơva (MAI) 1969

35

---

running_head:
folio:

Hầu hết các trường cao đẳng và đại học trong nước đều tổ chức hai kỳ thi tuyển sinh môn toán: một bài nói và một bài thi viết. MAI cũng tổ chức hai kỳ thi, nhưng cả hai đều là thi viết.

Bài viết đầu tiên bao gồm một câu hỏi lý thuyết về hình học hoặc lượng giác, hai bài toán về hình học và hai ví dụ, bao gồm một phương trình, về lượng giác.

Bài viết thứ hai có một câu hỏi lý thuyết và bốn ví dụ hoặc bài toán từ đại số.

Bây giờ chúng ta hãy trình bày các lựa chọn điển hình về hình học, lượng giác và đại số.

Tùy chọn 1

1. Chứng minh định lý về sự thay đổi góc có đỉnh nằm trong và ngoài đường tròn.

2. Chứng minh quan điểm

$$\left( \mathrm{tg} 2\alpha + \frac{1}{\cos 2\alpha} \right) (\cos \alpha - \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right).$$

3. Trong hình thang $ABCD$ tổng các góc ở đáy $AD$ là $90^\circ$. Các cơ sở dưới và trên lần lượt bằng 7 và 3. Xác định đoạn nối trung điểm của các đáy.

4. Hai đường sinh vuông góc với nhau của một hình nón tròn vuông chia chu vi đáy theo tỷ lệ 1:2. Tìm bề mặt bên của hình nón nếu chiều cao của nó là $h$.

5. Giải phương trình

$$4 \sin^2 x + \sec (3\pi + x) = 1.$$

Tùy chọn 2

1. Dẫn xuất công thức tính tổng $n$ số hạng của cấp số nhân.

2. Tìm số phức $z = x + iy$ nếu $|z + 3i|^2 - z = 3 + 2i$.

3. Giải phương trình

$$\log_3 (\log_2 x - 1)^2 = \sqrt{5} \log_5 4.$$

4. Cả hai được thêu đồng thời từ $M$ và $N$ vào nhau. Họ gặp nhau ở $50$ m từ $N$, và sau đó, khi đến $N$ và $M$, họ quay lại và gặp lại nhau ở $25$ m từ $M$. Tìm khoảng cách $MN$ nếu biết chúng chuyển động đều và liên tục.

5. Vì giá trị thực nào của tham số $m$ là nghiệm của phương trình

$$\sqrt{x^2 - x - 2m^2 + 2m + 2} = \frac{x + 1}{\sqrt{2}}$$

đang hoạt động và có những dấu hiệu khác nhau?

Lời giải

Tùy chọn 1

2. Hãy biến đổi vế trái như sau:

$$\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} (\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2\alpha \right)}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{\sqrt{2} \cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)} = \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right).$$

36

Hình 1.

3. Chúng ta hãy vẽ một hình thang có đoạn cần thiết $EF$ và kéo dài các cạnh của nó cho đến khi chúng cắt nhau tại điểm $M$ (hình 1). Phần tiếp theo của dòng $EF$ cũng sẽ đi qua điểm $M$, vì $MF$ sẽ là trung bình của kết quả $\angle AMD$. Theo điều kiện $\angle AMD = 180^\circ - \angle A - \angle D = 90^\circ$. Từ tính chất đường trung bình của tam giác vuông suy ra rằng
   $$MF = \frac{1}{2}AD \text{ и } ME = \frac{1}{2}BC.$$
   Nhiều người đã không sử dụng tính chất này của số trung vị và gặp khó khăn trong lời giải bài toán. Trong khi đó, không khó để nói rằng góc vuông nằm trên đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm của một đường tròn như vậy nằm ở giữa cạnh huyền, tức là ở đáy của đường trung tuyến. Do đó, $MF$ và $AF$ bằng bán kính. Điều này hàm ý tính chất trên. Sau đó, thật dễ dàng để tìm thấy phân khúc cần thiết:

$$EF = MF - ME = \frac{1}{2}(AD - BC) = \frac{1}{2}(7 - 3) = 2.$$

4. Trong ký hiệu hình 2 bề mặt bên của hình nón
   $$S_{бок} = \pi \cdot AO \cdot AS.$$
   Hãy biểu thị nó bằng $AS = BS = x$. Khi đó, vì $\angle ASB$ thẳng, nên $AB = x\sqrt{2}$ thẳng và $AC = \frac{x\sqrt{2}}{2}$ thẳng.
   Theo điều kiện $\angle AOB = 120^\circ$, do đó $\angle AOC = 60^\circ$ và
   $$AO = \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{x\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = x\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
   Chiều cao hình nón
   $$SO = \sqrt{AS^2 - AO^2} =$$

$$\sqrt{x^2 - \frac{2}{3}x^2} = \frac{x}{\sqrt{3}} = h.$$
Từ đây chúng ta tìm thấy $x = h\sqrt{3}$ và $AO = h\sqrt{2}$.
Bề mặt bên của hình nón sẽ là
$$S_{бок} = \pi h\sqrt{2} \cdot h\sqrt{3} = \pi h^2\sqrt{6}.$$
5. Chúng ta có $4\sin^2 x - \frac{1}{\cos x} = 1$, trong đó $\cos x \neq 0$,
tức là $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Giảm về giá trị tổng quát, chúng ta nhận được
$$4\sin^2 x \cdot \cos x - 1 = \cos x,$$
$$4(1 - \cos^2 x) \cdot \cos x = 1 + \cos x$$
hoặc
$$(1 + \cos x)(4\cos^2 x - 4\cos x + 1) = 0$$
và sau đó chúng ta đánh đồng từng yếu tố bằng 0. Ở đây chúng ta không đặt thừa số chung $(1 + \cos x)$ ra khỏi ngoặc mà mở ngoặc ở biểu thức áp chót và chúng ta đi đến phương trình bậc ba
$$4\cos^3 x - 3\cos x + 1 = 0,$$
mà họ không giải quyết được.
Tuy nhiên, các phương trình bậc ba đơn giản, chẳng hạn như những phương trình có thể giải bằng phân tích nhân tử, có thể xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh và cần phải giải được chúng.
Trong trường hợp này, chúng ta biểu thị 1 là hiệu giữa số 4 và số 3 và trình bày phương trình dưới dạng
$$4\cos^3 x - 3\cos x + 4 - 3 = 0$$
Nhóm lại, hãy viết
$$4(\cos^3 x + 1) - 3(\cos x + 1) = 0,$$
và sau đó
$$(\cos x + 1)[4(\cos^2 x - \cos x + 1) - 3] = 0$$

37

---

running_head:
folio:

$(\cos x + 1)(4 \cos^2 x - 4 \cos x + 1) = 0$.

Chúng tôi nhận được kết quả giống như trong tùy chọn đầu tiên lời giải. Kế tiếp,

1. $\cos x + 1 = 0; \cos x = -1$ và $x_1 = \pi (2k + 1)$;
2. $(2 \cos x - 1)^2 = 0; \cos x = \frac{1}{2}$ và $x_2, 3 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Tùy chọn 2

2. Trong ví dụ này, khó khăn chính nằm ở việc viết mô hình số phức một cách chính xác. Ở đây số complexLEX là $z = x + iy$ và số complexLEX là $z + 3i = x + iy + 3i = x + (y + 3)i$. Mô đun của cái sau là $|z + 3i| = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$ và bình phương của nó là $|z + 3i|^2 = x^2 + (y + 3)^2$. Vì vậy chúng ta có $x^2 + (y + 3)^2 - x - iy = 3 + 2i$.

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và hệ số phần nhỏ nhất của chúng bằng nhau. Kể từ đây,

$$\begin{cases} x^2 + (y + 3)^2 - x = 3, \\ y = -2. \end{cases}$$

Giải hệ ta tìm được $x_1 = -1$ và $x_2 = 2$. Từ đây chúng ta nhận được hai số phứcLEX: $z_1 = -1 - 2i$ và $z_2 = 2 - 2i$.

3. Sử dụng phương pháp logarit cơ bản, chúng ta thu được

$$\log_3 (\log_2 x - 1)^2 = 2.$$

Sau đó, họ đã mắc rất nhiều sai lầm, đó là lấy logarit bậc, lấy số mũ của dấu ngoặc 2 ra khỏi dấu logarit và rút ngắn phương trình đi hai. Sự biến đổi như vậy trong trường hợp này dẫn đến mất nghiệm, vì biểu thức logarit trong ngoặc đơn có thể dương, trong khi ở phương trình ban đầu, nó có thể vừa dương vừa âm.

Đúng lời giải:

$(\log_2 x - 1)^2 = 9$ hoặc $|\log_2 x - 1| = 3$.

Do đó $\log_2 x - 1 = \pm 3$, dẫn đến hai giải pháp:

1. $\log_2 x = 4$ và $x_1 = 16$;
2. $\log_2 x = -2$ và $x_2 = \frac{1}{4}$.

Cả hai nghiệm đều dương và thỏa mãn ODZ của ẩn số $x > 0$.

4. Hãy biểu thị khoảng cách giữa $M$ Và $N$ bởi vì $x$. Sau đó đến lần đầu tiên từ $M$ trước cuộc gặp thứ hai đầu tiên sẽ diễn ra $(x - 50)$, và để nó từ lần gặp thứ hai đầu tiên bằng $50 + (x - 25) = x + 25$. Đường đi thứ hai từ $N$ trước cái đầu tiên cái thứ hai sẽ là $50$, và từ lần gặp thứ hai đầu tiên $(x - 50) + 25 = x - 25$. Vì chúng chuyển động đồng đều nên tỉ số đường đi của giây thứ nhất và thứ hai gặp nhau và từ giây thứ nhất đến giây thứ hai phải không âm. Từ đây ta có được phương trình

$$\frac{x - 50}{50} = \frac{x + 25}{x - 25}$$

hoặc $(x - 50)(x - 25) = 50(x + 25)$.

5. Trước hết, cần lưu ý rằng vế trái của phương trình đã cho, với tư cách là nghiệm đối số bậc chẵn, là không âm. Do đó, vế phải của nó cũng phải không âm, tức là $x + 1 \geq 0$; từ đây là ODZ của ẩn số: $x \geq -1$.

Bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình vô tỷ, chúng ta thu được trong vùng các giá trị chấp nhận được $x \geq -1$ một phương trình bằng nó

$$2(x^2 - x - 2m^2 + 2m + 2) = x^2 + 2x + 1$$

hoặc

$$x^2 - 4x - 4m^2 + 4m + 3 = 0,$$