Giải thưởng Lênin năm 1970

Kvant 1970, số 8 tr. 58-64 Thẻ 6T0H

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

Năm 1970 là năm của Đại lễ kỷ niệm 100 năm ngày sinh V. I. Lenin, người mà tên được đặt cho các giải thưởng về những công trình nghiên cứu và thành tựu xuất sắc nhất trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Đáng mừng là số lượng giải thưởng nhiều nhất trong năm kỷ niệm đã thuộc về các nghiên cứu vật lý và toán học. Điều đó là bằng chứng thuyết phục cho sự phát triển thành công của vật lý và toán học hiện đại, những ngành chiếm các vị trí tiên phong của khoa học thế giới. Phần trình bày ngắn sau đây về các công trình được trao Giải thưởng Lenin sẽ, do cần thiết, chiếm vài trang trong tạp chí của chúng ta.

Tập thể cán bộ của bốn viện khoa học hàng đầu — Viện Vật lý thực nghiệm và lý thuyết, Viện Kỹ thuật vô tuyến, Viện Vật lý năng lượng cao và Viện Nghiên cứu thiết bị điện vật lý — gồm viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô V. V. Vladimirskii, D. G. Koshkarev, A. A. Kuzmin, viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. A. Logunov, R. M. Sulyaev, I. F. Malyshev đã được trao Giải thưởng Lenin vì việc phát triển và đưa vào hoạt động máy gia tốc synchrotron proton của Viện Vật lý năng lượng cao với năng lượng 70 GeV.

Phương tiện thực nghiệm chủ yếu để nghiên cứu thế giới kỳ diệu của các hạt cơ bản là máy gia tốc hạt mang điện. Gia tốc các hạt tới những năng lượng khổng lồ, nó cho phép nghiên cứu sự tương tác của các hạt được gia tốc với vật chất; từ những đặc điểm khác nhau của chúng có thể phán đoán về bản chất của các lực tác dụng giữa các hạt. Trong những tương tác như vậy, các hạt cơ bản mới được sinh ra, những hạt không tồn tại trong điều kiện thông thường.

Máy gia tốc lớn nhất thế giới là synchrotron proton của Liên Xô, được xây dựng gần đây tại thành phố khoa học trẻ Protvino gần Serpukhov. Nó gia tốc các hạt nhân nguyên tử hydro — proton — tới năng lượng 70 tỷ electron-volt (70 GeV; 1 electron-volt bằng năng lượng

mà electron thu được khi đi qua hiệu điện thế một volt). Các kỷ lục gia gần đây — máy gia tốc proton của Trung tâm nguyên tử châu Âu tại Genève với 28 GeV và máy gia tốc tương tự của Mỹ tại Phòng thí nghiệm quốc gia Brookhaven với 33 GeV — đã bị bỏ lại phía sau. Cần lưu ý rằng trong một loạt thí nghiệm đã tiến hành, năng lượng proton đạt được tại Protvino cao hơn mức thiết kế và đạt 76 GeV.

Bộ phận chính của máy gia tốc là buồng chân không — một vòng ngầm khổng lồ dài 1480 m. Buồng nằm trong từ trường được tạo ra nhờ 120 đoạn nam châm, mỗi đoạn nặng 200 tấn, giữa chúng bố trí 54 thiết bị gia tốc (cộng hưởng tử). Những người chế tạo máy gia tốc đã phải vượt qua những khó khăn to lớn liên quan đến các yêu cầu nghiêm ngặt khác thường đối với đặc tính của từ trường và vị trí các khối. Chỉ cần nói rằng, sự lệch của bất kỳ khối nào khỏi vị trí quy định quá 0,1 mm sẽ làm rối loạn hoạt động của máy gia tốc!

Các hạt được gia tốc thực hiện khoảng 400 000 vòng trong 2,6 giây và đạt vận tốc rất gần với vận tốc ánh sáng trong chân không. Đập vào các bia, chúng sinh ra các chùm hạt thứ cấp (meson, phản proton, neutrino v.v.), được các bộ phân tách đặc biệt phân loại theo những kênh khác nhau để nghiên cứu tiếp.

Trong thời gian ngắn máy gia tốc ở Protvino hoạt động, trên đó đã thực hiện một loạt thí nghiệm độc đáo. Một thí nghiệm nhằm tìm kiếm cái gọi là “quark” (các hạt cơ bản giả thuyết có điện tích bằng những phần lẻ của điện tích electron), thí nghiệm khác kết thúc bằng việc tạo ra các hạt nhân nguyên tử của phản vật chất — phản heli có khối lượng 3. Chúng gồm hai phản proton và một phản neutron. Không nghi ngờ gì rằng máy gia tốc kỷ lục mới của Liên Xô sẽ còn giúp các nhà khoa học giành được từ tự nhiên không chỉ một bí mật nữa của thế giới vi mô.

Tập thể cán bộ của Viện Vật lý Yerevan, Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm Khoa học CHXHCN Gruzia và Viện Kỹ thuật Vật lý Moskva — viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. I. Alikhanian, T. L. Asatiani, G. E. Chikovani, V. N. Roinishvili, B. A. Dolgoshein, B. I. Luchkov — đã nhận giải thưởng vì việc tạo ra phương tiện mới để quan sát các hạt cơ bản — các buồng tia lửa vết.

Việc nghiên cứu các hạt cơ bản không chỉ đòi hỏi những máy gia tốc có khả năng tạo ra các hạt như vậy, mà còn đòi hỏi những phương pháp đặc biệt để ghi nhận vết của các hạt này. Những phương pháp như thế không nhiều, và mỗi phương pháp đã đem lại cho khoa học những phát hiện cơ bản. Buồng tia lửa vết là một trong những phương pháp hiện đại tốt nhất để ghi nhận các hạt cơ bản. Nó gồm một số điện cực (các bản hoặc các dây), được nối với nguồn điện áp cao và đặt trong một bình chứa khí trung hòa. Khi đi qua các khoảng khí giữa các điện cực, hạt mang điện chuyển động nhanh ion hóa các nguyên tử khí. Một vết xuất hiện — dấu vết nhìn thấy được của hạt, tạo thành bởi một chuỗi tia lửa sáng. Cấu tạo của các buồng như vậy cho phép chúng ghi nhận hạt trong những khoảng thời gian rất nhỏ, bằng phần triệu giây. Điều này cho phép các nhà thực nghiệm hướng buồng vào việc ghi nhận những loại hạt cơ bản riêng biệt và các tương tác đặc trưng của chúng. Các buồng tia lửa vết đã giúp thực hiện những phát hiện quan trọng, chẳng hạn phát hiện sự tồn tại của hai loại hạt cơ bản đặc biệt — neutrino, một loại gắn với sự sinh ra electron,

⟦trang 60⟧

còn loại kia — với sự sinh ra meson.

Giáo sư khoa Vật lý Trường đại học Moskva A. A. Vlasov được trao Giải thưởng Lenin vì loạt công trình về lý thuyết plasma, chứa đựng một phương pháp cơ bản để nghiên cứu các tính chất của nó.

Plasma là khí ion hóa, gồm một số lượng rất lớn các hạt mang điện. Ta gặp nó trong các dụng cụ điện tử khác nhau. Nó tạo thành các tầng trên của khí quyển Trái Đất và lấp đầy không gian vũ trụ. Hành vi của plasma khác hẳn hành vi của khí thông thường, gồm các hạt trung hòa. Trong khí thông thường, vai trò chủ yếu thuộc về những va chạm trực tiếp giữa các hạt của nó. Hành vi của khí như vậy được mô tả bằng phương trình Boltzmann. A. A. Vlasov là người đầu tiên chỉ ra rằng trong plasma, những va chạm như vậy thực tế không đóng vai trò nào, vì lực đẩy tĩnh điện không cho các hạt đến gần nhau sát sao. Vì vậy, trong phương trình của mình cho plasma, Vlasov đã loại bỏ số hạng cổ điển xét đến các va chạm trực tiếp của các hạt, và đưa vào số hạng xét đến ảnh hưởng tập thể của các hạt mang điện lân cận đối với hành vi của từng hạt riêng lẻ. Nhờ đó đã thu được “phương trình Vlasov” nổi tiếng, nằm ở cơ sở của lý thuyết plasma.

Phương pháp nghiên cứu plasma do A. A. Vlasov phát triển được sử dụng trong các công trình về việc tạo ra các phản ứng nhiệt hạch có điều khiển, trong nghiên cứu sự lan truyền của sóng vô tuyến trong khí quyển và không gian vũ trụ, cũng như trong một lĩnh vực vật lý rộng lớn mới, gọi là thủy động lực học từ, liên quan, đặc biệt, với các phương pháp biến đổi trực tiếp năng lượng nhiệt thành năng lượng điện.

Viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô R. V. Khokhlov và giáo sư S. A. Akhmanov, làm việc tại khoa vật lý Trường đại học Moskva, được trao giải thưởng vì nghiên cứu các tương tác phi tuyến kết hợp trong quang học.

Quang học thông thường nghiên cứu những quá trình mà trong đó cường độ ánh sáng không đủ để làm thay đổi các tính chất vật lý của môi trường mà ánh sáng đi qua. Sự xuất hiện của các nguồn tia sáng mạnh — laser — cho phép tạo ra một quang học mới, gọi là quang học phi tuyến. Nó nghiên cứu những thay đổi đa dạng của các đặc trưng vật lý của môi trường dưới ảnh hưởng của ánh sáng truyền qua. Cơ sở của lĩnh vực vật lý này được đặt nền móng bởi R. V. Khokhlov và S. A. Akhmanov. Nhưng một trong những thành tựu quan trọng nhất của các nhà khoa học này là việc chế tạo các laser có bước sóng bức xạ thay đổi được. Thông thường mỗi laser có một bước sóng bức xạ phát ra được xác định строго, một màu riêng. Nó được quyết định bởi bản chất của chất phát xạ. Tập hợp các bước sóng có thể có của các laser khác nhau khá nghèo nàn; trong đó thiếu nhiều bức xạ cần thiết cho các nhà vật lý, hóa học và sinh học. R. V. Khokhlov và S. A. Akhmanov đã xây dựng những nguyên lý mới, cho phép thay đổi màu bức xạ của laser trong một khoảng bước sóng rất rộng. Chẳng hạn, bằng các phương pháp của họ, có thể buộc một laser hoạt động trên các sóng hồng ngoại không nhìn thấy được phát ra các tia tử ngoại. Những laser như vậy có rất nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng. Chúng mở rộng vô cùng các khả năng nghiên cứu bản chất của vật chất.

Giải thưởng Lênin thứ năm về vật lý được trao cho nhân viên của Viện Quang học Nhà nước Yu. N. Denisyuk vì loạt công trình “Ảnh toàn ký với sự ghi trong môi trường ba chiều”.

Ảnh chụp thông thường cho chúng ta hình ảnh phẳng của các vật thể được ghi lại trên đó. Còn trong gương, chúng ta thấy hình ảnh có thể tích — các vật dường như nằm ở chiều sâu của gương. Dĩ nhiên, cái mà chúng ta thấy phía sau gương thực tế không có ở đó. Hình ảnh được tạo nên bởi các sóng ánh sáng chiếu tới gương và phản xạ từ nó. Nhưng liệu có thể

làm sao để bức tranh có thể tích mà chúng ta thấy trong gương không biến mất cả sau khi bỏ gương đi?
Nói cách khác, liệu có thể cố định hình ảnh có thể tích của các vật không trong suốt giống như phim ảnh thông thường cố định hình ảnh phẳng? Chính Yu. N. Denisyuk đã giải quyết bài toán này (trước ông, bài toán tương tự về việc thu được hình ảnh có thể tích của các vật trong suốt đã được nhà vật lý Anh Gabor giải quyết). Hóa ra, để làm điều đó cần cố định trong một nhũ tương hạt mịn trong suốt đặc biệt sự phân bố của các sóng ánh sáng gần vật đang xét (như người ta nói, thu được ảnh toàn ký của vật). Nếu tráng “bức ảnh” thu được, nó sẽ hoàn toàn không giống vật được biểu diễn. Tuy nhiên, nếu chiếu sáng bản đã tráng bằng ánh sáng trắng, chúng ta sẽ thấy gần nó một hình ảnh có thể tích tuyệt đẹp của vật được chụp theo cách ấy.

Nếu chụp một gương lõm theo cách thông thường, sẽ thu được một vòng tròn có các vệt lóe sáng. Nhưng nếu thu được ảnh toàn ký của một gương như vậy, thì hình ảnh được tạo ra bằng nó sẽ thực đến mức có thể hội tụ ánh sáng chiếu vào nó như một gương lõm thật.

Phương pháp mới để thu nhận hình ảnh ba chiều, do Yu. N. Denisov tạo ra, mở ra khả năng chế tạo điện ảnh và truyền hình màu lập thể, hoàn thiện rađa và định vị thủy âm.

Trong lĩnh vực toán học, Giải thưởng Lenin được trao cho tập thể các nhà khoa học Leningrad — viện sĩ Yu. V. Linnik, viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Yu. V. Prokhorov, các giáo sư I. A. Ibragimov và Yu. A. Rozanov vì loạt công trình về các phương pháp giới hạn của lý thuyết xác suất. Trong các công trình này đã tìm ra những quy luật quan trọng nhất của một loạt quá trình ngẫu nhiên phức tạp, có vai trò lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Những quy luật tìm được làm dễ dàng một cách đặc biệt việc nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên, rất phổ biến trong tự nhiên và xã hội.

Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Liên Xô và Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô cũng quyết định trao Giải thưởng Lenin năm 1970 trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật cho một nhóm đông các nhà khoa học, nhà thiết kế và công nhân công nghiệp vì những công trình sau:

— tổ hợp công trình khoa học-kỹ thuật được tiến hành nhằm chế tạo trạm quỹ đạo thực nghiệm và thực hiện trong các vụ phóng hệ thống tên lửa-vũ trụ «Soyuz»;

— chế tạo các trạm cơ học tự động «Venus-4», «Venus-5», «Venus-6» và tổ hợp nghiên cứu khoa học nhằm xác định các thông số vật lý và thành phần hóa học của khí quyển hành tinh Venus;

— chế tạo hệ thống khí tượng, bảo đảm bằng các vệ tinh nhân tạo của Trái Đất «Meteor» việc thu nhận và xử lý оператив thông tin khí tượng toàn cầu cho nhu cầu của nền kinh tế quốc dân. Các nhà toán học và vật lý Liên Xô đã đóng góp lớn vào việc giải quyết những vấn đề khoa học-kỹ thuật hết sức phức tạp này.

Cho bài «Các đa diện không nội tiếp được»

Ta sẽ chỉ ra rằng từ mỗi mặt của một đa diện lồi tùy ý có thể đi đến bất kỳ mặt nào khác, chuyển từ mặt kề này sang mặt kề khác. Để làm điều đó, lấy hai mặt tùy ý và chọn trên mỗi mặt một điểm không nằm trên biên. Nối các điểm đã chọn bằng một đoạn thẳng. Đoạn thẳng này không cắt các mặt phẳng của các mặt của đa diện, vì đa diện lồi. Dựng qua đoạn thẳng này một mặt phẳng không chứa các đỉnh của đa diện: điều đó có thể, vì đa diện chỉ có hữu hạn đỉnh. Mặt phẳng đã dựng cắt trên bề mặt đa diện hai đường gấp khúc. Chúng không đi qua các đỉnh của đa diện, tức là, khi đi theo chúng, ta sẽ chuyển từ một mặt kề sang mặt khác và đi từ mặt thứ nhất đến mặt thứ hai. Xét một mặt nào đó của đa diện, chẳng hạn $\Gamma_1$ , và hai điểm $O_1$ và $O_2$ , cách đều tất cả các đỉnh của nó một khoảng $r_h$ . Để đơn giản, giả sử rằng tại mọi đỉnh của đa diện có đúng ba mặt gặp nhau; trong trường hợp tổng quát, bản chất sự việc không thay đổi. Các đỉnh của mọi mặt kề với $\Gamma_1$ cách $O_1$ hoặc $O_2$ một khoảng $r_h$ , nhưng không thể cách cả hai điểm cùng lúc, vì mọi điểm cách đều $O_1$ và $O_2$ đều nằm trong mặt phẳng của mặt $\Gamma_1$ . Giả sử rằng còn có các mặt $\Gamma_2$ và $\Gamma_3$ sao cho các đỉnh của mặt thứ nhất cách $O_1$ một khoảng $r_h$ , còn các đỉnh của mặt thứ hai cách $O_2$ một khoảng $r_h$ . Rõ ràng khi đó sẽ có hai mặt như vậy gặp nhau tại một đỉnh, và do giả thiết bổ sung, chúng kề nhau. Khi đó đầu kia của cạnh chung của chúng cách đều $O_2$ và $O_1$ , điều này mâu thuẫn với tính lồi của đa diện.

Vậy, các đỉnh của mọi mặt kề với $\Gamma_1$ đều cách đều một điểm, chẳng hạn $O_1$ . Điều này cũng đúng với các đỉnh của những mặt kề với $\Gamma_2$ hoặc $\Gamma_3$ , v.v., tức là với mọi đỉnh của đa diện. Mệnh đề đảo là hiển nhiên.

Chứng minh rằng nếu mọi góc nhị diện ở biên của đa diện đã dựng nhỏ hơn л, thì nó lồi. Lấy mặt phẳng của một mặt của đa diện. Mọi mặt kề với nó đều nằm về một phía của mặt phẳng này, do đó về cùng phía ấy cũng nằm tứ diện chứa mặt đã chọn, và ba tứ diện khác có chung với tứ diện thứ nhất mỗi tứ diện một cạnh. Suy ra về cùng phía ấy nằm hai mặt của bát diện chứa một trong các cạnh tại đỉnh, và vì thế cả bát diện lẫn các tứ diện còn lại. Để hoàn tất chứng minh, chỉ cần tính góc nhị diện của bát diện.
Làm như trong chứng minh định lý Steinitz, dễ thấy rằng tổng ở phần thứ nhất lớn hơn nghiêm ngặt 0 (chứ không phải lớn hơn hoặc bằng 0).
Trong ví dụ được dựng cho định lý Steinitz, chỉ cần ghép thêm một phần các chóp.
Chứng minh hoàn toàn trùng với chứng minh rằng nếu tại mỗi đỉnh của đa diện gặp nhau $k$ mặt, thì nó hiển nhiên không thỏa mãn định lý Steinitz.
Chứng minh rằng mọi đường gấp khúc kín, gồm các cạnh của đa diện, đều có số đoạn chẵn. Rõ ràng, chỉ cần chứng minh điều này cho các đường gấp khúc không tự cắt.

Xét một đường gấp khúc không có tự giao và cắt đa diện theo đường gấp khúc này. Giả sử một phần có $K$ mặt, phần kia có $L$ mặt và $L \leq K$ . Số nguyên $L$ được gọi là chu vi của đường gấp khúc. Nếu chu vi bằng 1 thì mệnh đề cần chứng minh suy ra từ điều kiện bài toán. Áp dụng quy nạp, giả sử bài toán đã được giải đối với các đường gấp khúc có chu vi nhỏ hơn $L$ . Chọn một mặt $\Gamma$ , một cạnh của mặt này thuộc đường gấp khúc và mặt này nằm trong phần của đa diện có ít mặt hơn. Gọi $P_1, P_2, \dots, P_k$ là các cạnh của đường gấp khúc đồng thời là các cạnh của mặt $\Gamma$ , còn $P_{k+1}, \dots, P_s$ là các cạnh còn lại của mặt $\Gamma$ . Chuyển sang đường gấp khúc mới, nhận được từ đường ban đầu bằng cách thay các cạnh $P_1, \dots, P_k$ bởi $P_{k+1}, \dots, P_s$ . Có thể đường gấp khúc mới có tự giao và thậm chí gồm nhiều mảnh rời nhau, nhưng chu vi của mỗi phần không tự giao của nó chắc chắn nhỏ hơn $L$ , do đó đường gấp khúc mới có số đoạn chẵn. Giả sử nó có $2N$ đoạn. Mặt được chọn ở đầu chứng minh có $2Q = s$ cạnh, khi đó số đoạn của đường gấp khúc ban đầu bằng $2N+2Q-2K$ — một số chẵn (hình 1).

Chúng tôi sẽ trình bày lời giải bài toán 8, từ đó bài toán 7 dễ dàng suy ra. Xét một góc $k$ diện có đỉnh không nằm trên mặt cầu. Kẻ tia $l$ , hoàn toàn nằm trong (nhưng không nằm trên biên của) góc. Trước hết, giả sử đỉnh nằm ngoài khối cầu. Mỗi đường tròn chia mặt cầu thành hai «mũ cầu». Xét các đường tròn là giao của các mặt của góc với mặt cầu và với mỗi đường tròn chọn mũ không chứa các điểm $A$ và $B$ — các giao điểm của tia $l$ với mặt cầu. Xét phép chiếu lập thể lên mặt phẳng với tâm chiếu tại điểm $A$ . $k$ mũ đã chọn không có điểm chung, do đó khi chiếu sẽ có hình như ở hình 2.

Hình 2.
$B'$ là ảnh của điểm $B$ qua phép chiếu. Tổng các góc của đa giác $A_1, \dots, A_k$ lớn hơn nghiêm ngặt tổng các góc tương ứng. Chúng tôi không biết nó có lồi hay không, nhưng rõ ràng các đoạn thẳng nối điểm $B'$ với các điểm $A_i$ hoàn toàn thuộc về nó. Điều này suy ra từ định nghĩa của tia $l$ . Do đó $A_1 + \dots + A_k = \pi(k-2)$ và tổng các góc tương ứng nhỏ hơn $\pi(k-2)$ .

Nếu đỉnh nằm bên trong khối cầu, thì hoàn toàn tương tự ta chứng minh được rằng tổng các góc tương đối lớn hơn $\pi(k-2)$ .

Chuyển trực tiếp sang lời giải bài toán. Gọi $B_1$ là đỉnh có vị trí chưa được xác định. Ta chia các đỉnh, như đã mô tả trong bài tập 6, thành đen và trắng. Giả sử $B_1$ là trắng. Dễ thấy rằng nếu đỉnh của góc $k$ diện nằm trên mặt cầu và tất cả các cạnh của nó đều cắt mặt cầu, trừ một cạnh tiếp xúc với mặt cầu, thì tổng các góc tương đối bằng $\pi(k-2)$ .

Bây giờ chuyển sang các góc tương đối ngoài và tính tổng của chúng tại mỗi đỉnh. Tại mọi đỉnh, trừ $B_1$ , các tổng này hiển nhiên bằng 2π. Nếu $B_1$ không nằm trên mặt cầu, thì tổng tại nó không bằng 2π. Cộng các đẳng thức tại các đỉnh trắng, trừ khỏi chúng các đẳng thức tại các đỉnh đen, và cuối cùng ta được rằng $0 \neq 0$ . Vậy $B_1$ nằm trên mặt cầu.

Giả sử điều ngược lại. Nối điểm tiếp xúc của mỗi mặt với các đỉnh của mặt ấy bằng các đoạn thẳng và xét góc giữa hai đoạn thẳng tựa trên một cạnh nào đó của đa diện (hình 3). Độ lớn của góc này không phụ thuộc vào việc chọn một trong các mặt chứa cạnh đó. $\Delta O'B_1B_2 = \Delta O''B_1B_2$ (theo ba cạnh), do đó $<B_1O'B_2 = <B_1O''B_2$ .

Gán cho mỗi cạnh độ lớn của góc tựa trên nó. Ký hiệu góc gán cho cạnh $P_k$ là $\beta_k$ . Tổng các góc gán cho các cạnh của mỗi mặt bằng 2π.

Chứng minh tiếp theo thu được từ

Hình 3.
chứng minh định lý Steinitz bằng cách thay từ đỉnh bằng các từ mặt.

$\frac{a}{b} = [1; 1, 2, 1, 2, \dots]$ .
$[1; 1, 1, \dots] = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ;
$a_{10} = R \frac{\sqrt{5}-1}{2}; \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ .
$[0; 1, 1, \dots] = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ;
$a_{10} = R \frac{\sqrt{5}-1}{2}; \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ .
Nếu $a_0 \neq 0$ , thì dịch toàn bộ «lược» sang phải một bước, và viết số không vào chỗ phần nguyên. Nếu $a_0 = 0$ , thì dịch toàn bộ lược sang phải một bước. Ví dụ:
$\alpha = [3; 1, 2, 5], \frac{1}{\alpha} = [0; 3, 1, 2, 5]$ ,
$\beta = [0; 2, 2, \dots], \frac{1}{\beta} = [2; 2, 2, \dots].$

Có, chỉ khác là dấu ≤ sẽ ở lệch sang phải một bước, tức là

$p_0 < p_1 \leq p_2 < p_3 < \dots$

Về bài «Alice ở Xứ sở trong gương»

4 фут.
2 фут; 6 inch.
60 фут; 3 inch; 3 inch; 4.
2,6 inch; 6 inch.
0,25; $1/4 = (1/2)^2$ .
Một hình chóp cụt có kích thước khoảng $1/2 \times 1/2 \times 1/4$ inch.
Rộng 3 inch; dày $3/8$ inch.
Nó sẽ quá mảnh.
a) bình thường; b) mặt đồng hồ hình bầu dục; khi quay, các kim dài ra và ngắn lại.
Giống như với đồng hồ trong bài tập 11, b.
Theo hướng $63^\circ 50'$ về phía đông bắc.
Không.

Về bài «Một phương pháp quy nạp chứng minh bất đẳng thức»

a) $f(x) = x^p$ ; để chứng minh bất đẳng thức khi $n - 2$ thuận tiện đặt $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ và $d = \frac{x_2 - x_1}{2}$ và nhận thấy rằng nếu $(x + d)^p = C_p^0 x^p + C_p^1 x^{p-1} d + C_p^2 x^{p-2} d^2 + C_p^3 x^{p-3} d^3 + \dots + C_p^p d^p$ , trong đó $C_p^0, C_p^1, C_p^2, \dots$ — các hệ số của đa thức $(x + d)^p$ , thì $(x - d)^p = C_p^0 x^p - C_p^1 x^{p-1} d + C_p^2 x^{p-2} d^2 - C_p^3 x^{p-3} d^3 + \dots + (-1)^p C_p^p$

c) $f(\alpha) = \lg \sin \alpha; \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ .

d) $f(x) = \lg (1 + 10^x), -\infty < x < \infty$ ; trong bất đẳng thức thu được đặt $x_h = \lg \frac{b_h}{a_h}$ ,

Về bài “Tích vô hạn”

Trước hết hãy kiểm tra rằng ta thu được một cấp số nhân:

$(1 + x + x^2 + \dots + x^9) \times (1 + x^{10} + x^{20} + \dots + x^{90}) \times (1 + x^{100} + x^{200} + \dots + x^{900}) \dots = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots$

Thật vậy, $x^{a_n a_{n-1} \dots a_0}$ (trong đó $a_n a_{n-1} \dots a_0 = a_0 + 10a_1 + \dots + 10^n a_n$ — cách viết thập phân của một số nguyên không âm bất kỳ) nhất thiết phải xuất hiện trong quá trình nhân các ngoặc, và hơn nữa