Khí lý tưởng

22

CÔNG TRÌNH BỊ TỪ CHỐI

Năm 1845, một công trình của Waterston được trình lên Viện Hàn lâm Khoa học Anh (gọi là Hội Hoàng gia). Trong đó đã chỉ ra rằng áp suất của chất khí lên thành bình có thể được giải thích bằng các va chạm của nguyên tử.

Mặc dù bản thân ý tưởng rằng chất khí gồm các nguyên tử không phải là mới, nhưng ít người nghiêm túc chấp nhận khẳng định rằng các nguyên tử có thể tự do bay từ thành này sang thành kia của bình, và vì vậy các tính chất đàn hồi của chất khí có thể quy về đơn giản là cơ học của các nguyên tử. Vì thế công trình của Waterston không được các thành viên của hội khoa học hiểu rõ và đã bị bác bỏ. Chỉ nhiều năm sau Rayleigh mới tìm thấy nó trong kho lưu trữ và công bố vào năm 1892 trong tạp chí có tên «Các thông báo triết học của Hội Hoàng gia», tạp chí này vẫn được xuất bản cho đến ngày nay.

Nhân tiện, Rayleigh nhận xét rằng Waterston đã hành động một cách thiếu thận trọng, không kể về những người đi trước mình ở phần đầu bài báo. Trong khi đó, ngay từ năm 1727 Daniel Bernoulli đã nghi ngờ về mối liên hệ giữa áp suất của chất khí và bình phương tốc độ chuyển động của các phần tử của nó. Nếu Waterston nhắc đến người tiền bối vĩ đại của mình, Rayleigh viết, thì các thành viên của Hội Hoàng gia đã không đủ can đảm để tuyên bố công trình là «vô nghĩa, thậm chí không thích hợp để đọc trước hội».

Sự kiện đáng buồn này đã phải trả giá đắt cho vật lý học. Điều được một người làm ra và bị bỏ qua chỉ được phát hiện sau đó nhờ công trình của nhiều người, còn công thức cuối cùng chỉ được Maxwell viết ra vào năm 1859.

Lịch sử này đáng chú ý, và thật thú vị khi theo dõi lý thuyết dần dần được cải thiện như thế nào, cũng như thấy được bao nhiêu công sức đã bỏ ra để thu được một công thức rất đơn giản, theo quan điểm của chúng ta, liên hệ áp suất của chất khí với trung bình cộng của bình phương vận tốc các phân tử:

$$P = \frac{1}{3} nm < v^2 > cp.$$

Ở đây $P$ — áp suất của chất khí, $n$ — số lượng phân tử trong $1\text{ cm}^3$, $m$ — khối lượng của phân tử, $<v^2>cp$ — trung bình cộng của bình phương vận tốc các phân tử.

KHÍ LÝ TƯỞNG

Trước khi nói về cách suy ra công thức này, hãy xem nó có ý nghĩa gì. Công thức cho thấy rằng áp suất của chất khí tỉ lệ thuận với số phân tử trong một đơn vị thể tích, và do đó tỉ lệ nghịch với thể tích của chất khí $P \sim \frac{1}{V}$ (ký hiệu ~ có nghĩa là «tỉ lệ»). Đây là định luật Boyle-Mariotte. Nhưng định luật Boyle-Mariotte mô tả sự thay đổi của khí lý tưởng. Như vậy, cả công thức mà chúng ta đã viết cũng giảng-

24

SỰ VA CHẠM CỦA CÁC PHÂN TỬ VỚI THÀNH BÌNH

Khi phân tử va chạm với thành bình và bật ra khỏi đó, thành bình nhận được một xung lượng nào đó. Trước hết, hãy giả sử rằng phân tử phản xạ khỏi thành bình một cách đàn hồi. Hình 1 biểu diễn sơ đồ của một va chạm như vậy. Trục $Oz$ hướng vuông góc với thành bình, các trục $Ox$ và $Oy$ nằm tùy ý trong mặt phẳng. Ta phân tích vận tốc của phân tử thành các thành phần theo các trục đó. Trong va chạm đàn hồi, góc tới $\alpha$ bằng góc phản xạ $\beta$, vì vậy các thành phần vận tốc $v_x$ và $v_y$ không thay đổi. Còn thành phần $v_z$ trong va chạm đàn hồi đổi dấu. Như vậy, dễ dàng tính được rằng phân tử sẽ thay đổi xung lượng (lượng chuyển động) của mình một lượng
$$mv_z - mv'_z = mv_z - (-mv_z) = 2mv_z = 2mv \cos \alpha,$$
trong đó $v$ — độ lớn vận tốc của phân tử.

Bài toán, như ta thấy, không phức tạp, và Waterston đã giải đúng nó. Người tiếp theo nghiên cứu bài toán này (và công bố công trình của mình vào năm 1856) là Krönig. Ông đã tính sai khi cho rằng phân tử trong va chạm truyền cho thành bình toàn bộ xung lượng của mình $mv_z$, và nhận được kết quả nhỏ hơn hai lần.

Tuy nhiên, có thể nghĩ rằng trong kết luận của chúng ta đã có một sự đơn giản hóa rất quan trọng: ta đã giả sử rằng va chạm là đàn hồi. Trên thực tế, giả thiết này, dù đáng ngạc nhiên, lại không quan trọng. Phân tử có thể phản xạ theo cách hoàn toàn không đàn hồi, nhưng kết quả vì thế không thay đổi. Giả thiết về tính đàn hồi của va chạm không làm thay đổi kết quả, điều này khiến cho kết luận trở nên rất đơn giản.

Tính chất đáng chú ý như vậy — sự không phụ thuộc của kết quả vào quy luật phản xạ — là hệ quả của sự cân bằng nhiệt giữa chất khí và các thành bình chứa (được duy trì ở nhiệt độ không đổi). Một lần nữa (cũng như khi xét sự va chạm giữa các phân tử), cách chính xác mà các phân tử phản xạ khỏi thành bình không làm thay đổi kết quả cuối cùng — trạng thái cân bằng nhiệt.

25

VẬN TỐC CỦA PHÂN TỬ LÀ BAO NHIÊU?

Vì lực tác dụng lên thành bình bằng xung lượng truyền cho nó chia cho thời gian va chạm, nên thực tế chúng ta đã thu được công thức cho biết lực mà thành bình chịu do va chạm của phân tử. Nhưng để tính lực này, cần biết vận tốc của các phân tử. Dĩ nhiên, các phân tử khác nhau có vận tốc khác nhau. Để có dữ liệu và tính áp suất của chất khí, cần đưa ra một số giả thiết về vận tốc của các phân tử. Krönig đã được nhắc đến ở trên cho rằng sẽ không phải là sai lầm lớn nếu coi rằng tất cả các phân tử chuyển động với cùng độ lớn vận tốc và mỗi phân tử chuyển động theo một trong ba hướng có thể, song song với các trục tọa độ. Trước Krönig (nhưng sau Waterston), Joule đã nghiên cứu bài toán này (vào năm 1851). Ông hiểu đúng mối liên hệ giữa sự va chạm của các phân tử với thành bình và áp suất của chất khí, nhưng cũng không thể thu được công thức đúng. Cuối cùng, vào năm 1857, Clausius, dù vẫn chưa từ bỏ giả thiết về các vận tốc bằng nhau, đã đưa ra công thức mới, giả sử rằng các phân tử chuyển động theo mọi hướng. Chỉ hai năm sau nữa, Maxwell *) mới đi đến kết luận đúng. Maxwell đã làm được nhiều hơn đáng kể. Ông đã hiểu được cách các phân tử phân bố theo vận tốc, nghĩa là phần nào của các phân tử có một vận tốc cho trước. Nhưng ở đây chúng ta sẽ không kể về điều đó nữa, dành câu hỏi khó hơn này cho một bài viết khác.

ÁP SUẤT CỦA CHẤT KHÍ

Bây giờ hãy đưa ra hai giả thiết cho phép nhận được công thức tính áp suất gần như theo cách mà Waterston đã làm cách đây 125 năm **).

*) Maxwell phải là ngày 21 tháng 9 năm 1859. Bản dịch tiếng Nga của nó được viết trong tuyển tập «Những người đặt nền móng cho thuyết động học chất khí», xuất bản năm 1937.

**) Trước Waterston, một số hướng của bậc vận tốc.

4 Квант № 10

Cũng như Waterston, ta sẽ coi rằng khi chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt thì: 1) các phân tử khí chỉ va chạm với thành bình và không va chạm với nhau, 2) các phân tử va chạm đàn hồi với thành bình.

Hãy lấy một khối lập phương chứa đầy khí, có cạnh bằng 1 m. Sau tất cả những điều đã nói, dễ tin rằng kết quả không phụ thuộc vào hình dạng của bình mà ta chọn, nhưng việc suy ra công thức sẽ dễ hơn nếu bình có dạng hình lập phương.

Ta vẽ hệ tọa độ như trong hình 2. Hãy tính lượng chuyển động mà thành màu đỏ nhận được trong 1 giây. Theo định luật II Newton, nó bằng lực tác dụng lên thành bình từ phía các phân tử và, vì diện tích thành bình bằng 1 m², nên đó cũng chính là độ lớn áp suất của chất khí lên thành bình.

Mỗi khi một phân tử va chạm với thành bình, nó truyền cho thành bình lượng chuyển động 2mv_z. Bật lại từ thành bình, phân tử sẽ chuyển động về phía thành đối diện và sau thời gian 2/v_z lại va vào thành màu đỏ. Điều này có nghĩa là trong 1 giây, cùng một phân tử của khí lý tưởng sẽ va vào thành bình v_z/2 lần.

Như vậy, trong thời gian 2/v_z phân tử truyền cho thành bình lượng chuyển động 2mv_z, còn trong một giây

2mv_z·v_z/2 = mv_z².z, còn trong một giây

2mv_z·v_z/2 = mv_z².