Hình ảnh các hình không gian

Kvant 1970, số 12 tr. 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14 Thẻ 0MDK

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5-6-mini). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

Phương pháp phép chiếu song song

Đáng tiếc là không tồn tại «chiếc bút chì không gian» mà đầu bút có thể để lại dấu vết trong không gian. Với chiếc bút chì như vậy, có thể «vẽ» một hình lập phương thật bằng cách tô theo các cạnh của nó. Còn hình ảnh phẳng không thể là bản sao chính xác của một hình không gian. Nảy sinh vấn đề: phải dựng hình ảnh theo những quy tắc nào để nó giống với bản gốc, nghĩa là khi quan sát hình ảnh, ta có ấn tượng thị giác gần với ấn tượng có được khi quan sát bản gốc? Thông thường, người ta sử dụng các phương pháp phép chiếu cho mục đích này. Đơn giản nhất trong số đó là phương pháp phép chiếu xuyên tâm và phương pháp phép chiếu song song.

Hình 1.

Phương pháp phép chiếu xuyên tâm được thể hiện rõ qua hình 1. Lấy một điểm cố định $S$ (tâm phép chiếu) và một mặt phẳng cố định л (mặt phẳng chiếu), không đi qua $S$ . Qua một điểm bất kỳ $A'$ trong không gian kẻ đường thẳng $SA'$ (đường chiếu). Giao điểm $A$ của đường thẳng này với mặt phẳng л được gọi là hình chiếu của điểm $A'$ . Hình 1 cho thấy hình chiếu của hai điểm: $A'$ và $B'$ .

Các điểm của bản gốc nằm trên cùng một đường chiếu có cùng một hình ảnh.

Phương pháp phép chiếu xuyên tâm cho những hình ảnh trực quan nhất, vì cách dựng được mô tả tái hiện quá trình nhìn: các tia xuất phát từ điểm của bản gốc ( $A', B', \dots$ ) hoặc từ hình chiếu của chúng ( $A, B, \dots$ ) trùng nhau. Do đó, đối với mắt, không có sự khác biệt giữa việc quan sát bản gốc hay hình chiếu của nó lên mặt phẳng л. (Đúng ra, ở đây chúng ta đã đơn giản hóa phần nào: bản gốc được quan sát bằng hai mắt.)

Các họa sĩ chủ yếu sử dụng phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

Phương pháp phép chiếu song song chỉ khác phương pháp phép chiếu xuyên tâm ở chỗ các đường chiếu không đi qua một điểm cố định mà song song với một hướng cố định (hình 2). Hình ảnh trong phép chiếu song song giống với một vật được quan sát từ xa: khi khoảng cách không giới hạn

MI, có thể bắt đầu với một tam giác bất kỳ $ABC$ và khẳng định rằng nó đồng dạng với hình ảnh của tam giác đã cho $A'B'C'$ .

Chứng minh. Cho hai tam giác: tam giác gốc $A'B'C'$ và tam giác mẫu $ABC$ . Dựng trên cạnh $A'B'$ tam giác $A'B'C_1$ (hình 4), đồng dạng với tam giác $ABC$ và nằm trong một mặt phẳng $π$ khác với mặt phẳng của tam giác $A'B'C'$ . Tiếp theo, lấy $C'C_1$ làm phương chiếu. Khi đó hình chiếu của tam giác $A'B'C'$ lên mặt phẳng $π$ là tam giác $A'B'C_1$ , đồng dạng với tam giác $ABC$ .

Định lý 2. Nếu cho hình ảnh của tam giác $A'B'C'$ , thì đồng thời xác định duy nhất hình ảnh của mỗi điểm nằm trong mặt phẳng của tam giác này.

Chứng minh. Gọi $A'B'C'$ là hình gốc (hình 5, a), còn $ABC$ là hình ảnh (hình 5, b). Lấy một điểm $D'$ tùy ý trong mặt phẳng của tam giác $A'B'C'$ và nối nó với một đỉnh bất kỳ của tam giác, chẳng hạn với $A'$ . Gọi $E'$ là giao điểm của đường thẳng $A'D'$ với cạnh đối diện $B'C'$ (không quan trọng $E'$ nằm bên trong đoạn $B'C'$ hay trên phần kéo dài của nó). Có thể tìm được ảnh của điểm $E'$ : nó phải chia đoạn $BC$ theo cùng tỉ số mà $E'$ chia đoạn $B'C'$ , tức là

$\frac{BE}{EC} = \frac{B'E'}{E'C'}$

Từ hai định lý đã được chứng minh suy ra quy tắc thực hành để dựng hình ảnh của các hình phẳng: cần chọn trong thành phần của hình $F'$ bất kỳ ba điểm nào không nằm trên một đường thẳng, và biểu diễn chúng bằng ba điểm tùy ý ở vị trí tổng quát. Sự tùy ý kết thúc ở đó: hình ảnh của tất cả các điểm còn lại phải được dựng. Nói cách khác, tam giác đã cho có thể được biểu diễn tùy ý, còn tứ giác đã cho thì không thể.

Ví dụ 1. Hình ảnh của lục giác đều.

Gọi lục giác đều đã cho (bản gốc) là $A'B'C'D'E'F'$ , còn tâm của nó là $O'$ (để tiện, bản gốc được cho trên hình 6, a). Bây giờ dựng ảnh của lục giác này. Vẽ tam giác $A'B'C'$ tùy ý (hình 6, b). Điểm $G'$ là trung điểm của đoạn $A'C'$ . Do đó, điểm $G$ cũng phải là trung điểm của đoạn $AC$ . Bây giờ có thể kẻ đường thẳng $BG$ . Trên đó có thể dựng các điểm $O$ và $E$ , sử dụng các tương ứng $BO=2BG$ , $BE=4BG$ . Tiếp theo, $CD||BG$ và $AF||BG$ . Có thể tìm điểm $D$ bằng nhiều cách: 1) lấy $CD=BO$ , 2) kẻ

Định lý Pôlke — Schwarz và phép biểu diễn các hình không gian

Chúng ta biết rằng khi biểu diễn các hình phẳng, tam giác đóng một vai trò đặc biệt. Tình hình tương tự xuất hiện khi biểu diễn các hình không gian, chỉ có điều thay cho tam giác là tứ diện được sử dụng. Trước khi phát biểu định lý tương ứng, chúng ta đưa ra định nghĩa sau.

Tứ giác đầy đủ là một hình phẳng gồm bốn điểm ở vị trí tổng quát (tức là không có ba điểm nào trong số đó nằm trên cùng một đường thẳng) và sáu đoạn thẳng nối từng cặp điểm với nhau.

Định lý 3 (định lý Pôlke — Schwarz)* Bất kỳ tetraэдр đã cho nào cũng có thể được biểu diễn, sai khác không kể phép đồng dạng, bằng một tứ giác đầy đủ bất kỳ (trên hình 7, a

*) Pôlke đã chứng minh định lý này năm 1853 cho tứ diện vuông cân (có các cạnh bên bằng nhau và các góc phẳng tại đỉnh là góc vuông). Schwarz năm 1864 đã chứng minh nó cho một tứ diện bất kỳ.

Hình 7, a. Hình 7, b.

ED||AB, 3) kẻ đường thẳng AO. Điểm F được dựng tương tự.

Làm một ví dụ khác, hãy tự chứng minh rằng hình vuông có thể được biểu diễn bằng một hình bình hành bất kỳ.

Cuối cùng, lưu ý rằng hình biểu diễn của đường tròn là một elip.

Hình 8, a. Hình 8, b,

tứ giác ABCD lồi, còn trên hình 7, b — không lồi).

Chúng ta chấp nhận định lý này mà không chứng minh.

Đường nét đứt được sử dụng trong biểu diễn các hình không gian để chỉ các đường không nhìn thấy (giả sử các mặt của tứ diện không trong suốt).

Định lý 4. Nếu đã cho hình biểu diễn của tứ diện A’B’C’D’, thì đồng thời hình biểu diễn của mọi điểm trong không gian cũng được xác định.

Chứng minh. Giả sử A’B’C’D’ — vật gốc (hình 8, a), ABCD — hình biểu diễn của nó trên mặt phẳng (hình 8, b). Ngoài ra, trong không gian cho một điểm tùy ý M’. Ta chỉ ra cách dựng hình biểu diễn của nó. Nối M’ với một đỉnh nào đó của tứ diện, chẳng hạn A’, và đánh dấu giao điểm E’ của đường thẳng A’M’ với mặt đối diện B’C’D’ (điểm E’ hoàn toàn không nhất thiết phải nằm bên trong tứ diện B’C’D’).

Định lý được chuyển sang hình biểu diễn. Có thể dựng hình biểu diễn của điểm E’: điểm này nằm trong mặt phẳng của tam giác B’C’D’, mà hình biểu diễn của nó đã được cho. Tiếp theo, kẻ đường thẳng AE và trên đó dựng điểm M thỏa mãn điều kiện

$\frac{AM}{ME} = \frac{A'M'}{M'E'}$

Ví dụ 2. Hình biểu diễn của hình lập phương. Các cạnh của hình lập phương xuất phát từ

Hình 9.

một điểm xác định một tứ diện. Theo định lý Pôlke—Schwarz, nó có thể được biểu diễn bằng một tứ giác bất kỳ. Do đó, khi biểu diễn hình lập phương (hình 9), ta có thể đánh dấu các điểm $A_1, B_1, D_1$ và $A_2$ tùy ý. Phần còn lại của hình biểu diễn được dựng dựa trên điều rằng các cạnh song song của hình lập phương trên bản vẽ cũng phải song song.

Phần lớn mọi người cho rằng hình 9 không phải lúc nào cũng có thể dùng làm hình biểu diễn của hình lập phương và rằng phải chọn đặc biệt các góc của những hình bình hành cấu thành nó và các tỉ số của các đoạn thẳng. Điều này được giải thích bởi vì đối với chúng ta, quen thuộc nhất là các phép chiếu trực giao, thu được trong trường hợp các đường chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu. Ở đây nói đến các phép chiếu song song tùy ý («xiên»). Ở đây nói đến các phép chiếu song song tùy ý («xiên»).

Ví dụ 3. Hình biểu diễn hình bình hành bốn cạnh đều. Đáy (hình vuông) có thể biểu diễn bằng một hình bình hành tùy ý. Ngoài ra, theo định lý Pôlke—Schwarz có thể biểu diễn tùy ý một cạnh bên, tức là đánh dấu một hình bình hành tùy ý. Nếu cần kiểm tra chiều cao, phải nối đỉnh với giao điểm các đường chéo của đáy.

Hình 10, $a$ . Hình 10, $b$ .

Trong các sách giáo khoa, người ta phổ biến biểu diễn mặt phẳng (nói chính xác hơn, «một mảnh mặt phẳng») dưới dạng hình bình hành, ngầm giả định rằng hình gốc là một mảnh mặt phẳng hình chữ nhật. Trong trường hợp này, một phần tùy ý có trong tay chúng ta bị sử dụng. Nếu quên điều đó và về sau sử dụng định lý Pôlke—Schwarz, thì sẽ dẫn đến một loạt sai lầm. Đây là một ví dụ. Trên hình 10, $a$ biểu diễn một hình bình hành bốn cạnh đều. Đứng trên mặt phẳng. Hình biểu diễn riêng SABCD được dựng đúng, nhưng toàn bộ hình 10, $a$ sai một cách nghiêm trọng. Khi biểu diễn một mảnh mặt phẳng hình chữ nhật bằng hình bình hành KLMN, chúng ta đã sử dụng một phần tính tùy ý được định lý Pôlke—Schwarz cho phép, và không có quyền biểu diễn hình vuông $A'B'C'D'$ bằng một hình bình hành tùy ý. Trên hình 10, $a$ $\rightarrow$ LKN và $\rightarrow$ DAB biểu diễn các góc vuông. $AB \parallel KL$ , do đó phải có $AD \parallel KN$ . Vì điều này không đúng, hình 10, $a$ là sai.

Vì tính chữ nhật của mảnh mặt phẳng không có ý nghĩa gì khi nghiên cứu các tính chất của hình bình hành nằm trên nó, nên không có lý do gì để tự ràng buộc mình bằng điều kiện rằng $\rightarrow$ LKN — hình biểu-

Thiết diện của các đa diện

Bây giờ chúng ta sẽ xét các hình biểu diễn gặp khi nghiên cứu hình học không gian.

Ví dụ 4. Trên hình 11, a biểu diễn thiết diện phẳng của một lăng trụ tam giác.

Nó được «dựng» rất đơn giản: trên các cạnh của lăng trụ lấy các điểm tùy ý $A_3$ , $B_3$ , $C_3$ và nối chúng bằng các đoạn thẳng của lăng trụ. Trong hình 11, $\delta$ cùng «phương pháp» đó được áp dụng để dựng thiết diện của một lăng trụ tứ giác.

Hình 11, a là đúng, còn trong hình 11, $\delta$ có một sai lầm (rất thường gặp!). Thật vậy, một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm. Vì vậy, khi biểu diễn thiết diện phẳng của một lăng trụ tam giác, ta có thể lấy các điểm trên các cạnh của nó tùy ý. Với lăng trụ tứ giác thì không thể làm như vậy. Sau khi đánh dấu tùy ý các điểm $A_3$ , $B_3$ , $C_3$ , ta đã xác định mặt phẳng cắt, và điểm giao của nó với cạnh thứ tư của lăng trụ không thể được lấy tùy ý.

Ta sẽ chỉ ra cách tìm đúng điểm giao của mặt phẳng cắt với cạnh thứ tư.

Mặt phẳng đi qua các cạnh $^*$ ) $A'_1A'_2$ và $C'_1C'_2$ cắt thiết diện phẳng $A'_3B'_3C'_3D'_3$ theo đường chéo $A'_3C'_3$ , còn mặt phẳng đi qua các cạnh $B'_1B'_2$ và $D'_1D'_2$ — theo đường chéo $B'_3D'_3$ . Đường giao của hai mặt phẳng này song song với các cạnh bên của lăng trụ. Do đó, trong mọi thiết diện phẳng của lăng trụ, các giao điểm của các đường chéo nằm trên một đường thẳng song song với các cạnh bên của lăng trụ. Trên hình 11, $\delta$ đánh dấu các điểm $P_1$ và $P_2$ là giao điểm của các đường chéo của các đáy; đường thẳng $P_1P_2$ song song với các cạnh bên của lăng trụ. Điểm $P_3$ không nằm trên đường thẳng này —

*) Đừng quên rằng các phần tử của hình gốc được ký hiệu bằng các chữ cái có dấu phẩy.

Hình 13.

do đó, hình vẽ không đúng. Điều này có nghĩa là tứ giác $A_3'B_3'C_3'D_3'$ được vẽ trên đó không phẳng. Người có con mắt được rèn luyện, chẳng hạn như họa sĩ, sẽ nhận ra điều này ngay lập tức, không cần bất kỳ phép dựng nào.

Tính chất này không chỉ cho phép kiểm tra tính đúng đắn của hình vẽ mà còn cho phép dựng thiết diện phẳng của lăng trụ tứ giác. Chọn tùy ý các điểm $A_3$ , $B_3$ , $C_3$ (hình 12). Dựng các điểm $P_1$ và $P_2$ rồi kẻ đường thẳng $P_1P_2$ (hóa ra nó song song với đường thẳng $A_1A_2$ ). Kẻ đường thẳng $A_3C_3$ . Tìm giao điểm $P_3$ của $A_3C_3$ và $P_1P_2$ . Kẻ $B_3P_3$ . Giao điểm của $B_3P_3$ với $D_1D_2$ chính là điểm cần tìm.

Việc biểu diễn các thiết diện phẳng của đa diện chỉ đòi hỏi sử dụng hai quy tắc:

Nếu các mặt phẳng $\beta'$ và $\gamma'$ cắt nhau theo đường thẳng $l'$ , còn mặt phẳng $\alpha'$ lần lượt cắt chúng theo các đường thẳng $b'$ và $c'$ , thì $b'$ và $c'$ hoặc cắt nhau tại một điểm nằm trên $l'$ , hoặc song song với $l'$ .
Nếu các mặt phẳng $\beta'$ và $\gamma'$ song song, còn mặt phẳng $\alpha'$ cắt chúng theo các đường thẳng tương ứng $b'$ và $c'$ , thì $b'$ và $c'$ song song.

Ví dụ 5. Biểu diễn thiết diện phẳng của hình hộp.

Ta dựng các hình biểu diễn của các đoạn thẳng thiết diện $RQ$ và $QP$ . Điểm giao nhau của chúng phải nằm trên đường thẳng $A_2B_2$ , còn trong các mặt khác các đường thẳng $PQ$ và $QR$ là tùy ý. Tiếp theo ta dựng $RS \parallel QP$ và $PS \parallel QR$ .

На рисунке 13 прямые $PQ$ и $QR$ проведены так, что точка $Q$ оказалась вне отрезка $A_2B_2$ . Отмечаем точки $T \equiv PQ \times A_2D_2$ и $U \equiv QR \times A_1A_2$ и соединяем $U$ и $T^*$ ). Проводим $RS \parallel QP$ и $PS \parallel QR$ . Ясно, что точка $S$ должна лежать на прямой $C_1D_1$ . Если эта точка попадала на продолжение отрезка $C_1D_1$ , то соединяем точки $V \equiv RS \times B_1C_1$ и $W \equiv PS \times C_1C_2$ . Разберите самостояльно случай, когда точка $Q$ лежит внутри отрезка $A_2B_2$ .

Ví dụ 6. Hình ảnh thiết diện phẳng của hình chóp tứ giác (hình 14).

Ta vẽ các đoạn $PQ$ và $QR$ đã được vẽ. Từ điểm $R$ cần kẻ đường thiết diện theo mặt sau. Các mặt phẳng của các mặt trước và sau cắt nhau theo đường thẳng $S'X'$ . Hình ảnh của đường thẳng này dễ dàng nhận được bằng cách dựng điểm $X \equiv AB \times CD$ . Các vết của mặt phẳng cắt $\alpha'$ trên các mặt trước và sau phải cắt nhau trên $S'X'$ . Tìm điểm $T \equiv PQ \times SX$ và vẽ $TR$ . Đánh dấu đoạn của đường thẳng này $RU$ , biểu diễn phần bên trong của tam giác $SCD$ . Còn $AB$ biểu diễn đường giao nhau của các mặt trước và dưới. Dựng điểm $Y \equiv AB \times PQ$ và tìm điểm $V \equiv AD \times UY$ .

*) Ký hiệu $M \equiv AB \times CD$ có nghĩa: «M là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$ », còn $m \equiv A \times B$ — «m là đường thẳng được xác định bởi các điểm $A$ và $B$ ».

Hình 17.
Trong mỗi elip có biểu diễn hai đường kính: trong hình gốc chúng là các đường kính liên hợp, còn trong hình biểu diễn — là các đường kính liên hợp (xem bài của I. N. Bronstein «Elip», Kvant số 9).

Đáy của hình nón cũng được biểu diễn bằng elip. Trong thực hành ở trường học thường gặp sai lầm sau: dùng các đường sinh ngoài cùng để biểu diễn thiết diện trục, đồng thời giả định rằng chúng tiếp xúc với elip tại các đầu của trục lớn (hình 18, a). Điều này không đúng. Nếu từ điểm S kẻ các tiếp tuyến đến elip và nối các điểm tiếp xúc A và B, thì đường thẳng AB sẽ không đi qua tâm của elip. Tuy nhiên một số

Hình 19.
«Người vẽ» lại vẽ nó đi qua tâm một cách cưỡng bức. Hình 18, b — đúng. Một trong các điểm tiếp xúc, chẳng hạn A, được nối với tâm O, và trên elip đánh dấu điểm C đối diện đường kính với A. Tam giác SAC là hình biểu diễn của thiết diện trục.

Để biểu diễn thiết diện trục hoàn toàn không nhất thiết phải dùng

Hình 18, a.
Hình 18, b.
Hình 18, c.

Hình 23, a.

khi đó xích đạo sẽ được biểu diễn bằng một đoạn thẳng (hình 22).

Hình biểu diễn đúng của quả cầu được dựng như sau. Xích đạo và các kinh tuyến được biểu diễn bằng các elip, trong đó tất cả các kinh tuyến đều đi qua hai điểm N và S. Chỉ còn phải xác định mối liên hệ giữa hình biểu diễn của xích đạo và vị trí của các điểm N và S.

Hãy hình dung hình gốc. Ta vẽ thiết diện xích đạo (đường tròn A’B’C’D’) và đường kính N’S’ vuông góc với nó (trục Trái Đất). Tiếp theo, hãy tưởng tượng mặt phẳng β’, vuông góc với A’C’ và (để thuận tiện) đi ngoài quả cầu (hình 23, a). Chiếu vuông góc quả cầu cùng với thiết diện xích đạo và trục N’S’ lên mặt phẳng β’. Quả cầu được chiếu thành một đường tròn, còn hệ (A’B’C’D’, N’S’) — thành hai đường kính vuông góc của đường tròn này.

Nếu quay hình bên trái (hình 23, a) quanh A’C’, thì đường tròn trên mặt phẳng β’ sẽ đứng yên, còn dấu chữ thập tạo bởi hai đường kính vuông góc của nó sẽ quay quanh tâm.

Hình 23, b đưa ra chìa khóa để giải quyết vấn đề về mối liên hệ giữa hình biểu diễn của xích đạo với hình biểu diễn của các vĩ tuyến. Đường kính PQ xác định trục nhỏ của elip, còn đường vuông góc-

Hình 25.

đi qua các điểm $N$ và $S$ . Các đường song song được biểu diễn bằng những elip đồng dạng, tiếp xúc với đường bao của quả cầu.

Khi giải các bài toán hình học không gian, hình vẽ đóng vai trò phụ trợ, và không có ý nghĩa gì khi dành cho việc thực hiện nó nhiều công sức hơn là cho việc giải chính bài toán. Vì vậy chúng tôi khuyên bạn đọc chủ yếu nên vẽ bằng mắt. Tuy nhiên, chúng tôi đưa ra một số khuyến nghị chung, việc thực hiện chúng cho phép tránh sai sót.

Hình biểu diễn quả cầu phức tạp hơn so với hình đa diện, hình trụ và hình nón. Vì vậy, khi thực hiện các hình vẽ có xét đến quả cầu, nên bắt đầu từ quả cầu, rồi sau đó ghép các hình còn lại vào nó.

Nếu quả cầu nội tiếp trong hình trụ (hình 25), thì mặt bên của hình trụ tiếp xúc với quả cầu theo một đường tròn lớn, chẳng hạn theo xích đạo. Điểm $B$ — nằm trên xích đạo, $AB = BC$ , $AC = NS$ . Cả ba elip (thiết diện xích đạo và các đáy của hình trụ) đều giống nhau.

Nếu hình trụ nội tiếp trong quả cầu (hình 26), cần nhớ rằng các đáy của nó — là những đường tròn song song có cùng kích thước.

Nếu quả cầu nội tiếp trong lăng trụ (hình 27), thì đường tròn lớn hơn (ví dụ, x

Hình 28.

Để biểu diễn lăng trụ nội tiếp trong quả cầu (hình 28), trước hết phải nội tiếp đa giác vào một đường tròn song song nào đó. Phần còn lại đã rõ. Trước hết phải nội tiếp đa giác vào một đường tròn song song nào đó. Phần còn lại đã rõ.

Nếu một quả cầu được nội tiếp trong một hình chóp (hình 29), thì các điểm tiếp xúc của các mặt bên nằm ở những khoảng cách bằng nhau tính từ đỉnh hình chóp và do đó nằm trên cùng một đường tròn vĩ tuyến, mặt phẳng của nó vuông góc với $T'O'$ (О’ — tâm quả cầu, $T'$ — đỉnh hình chóp). Có thể vẽ theo trình tự sau: biểu diễn quả cầu, sau đó lấy

Hình 29.

một đường tròn vĩ tuyến nào đó và ngoại tiếp quanh nó một đa giác (ví dụ, $A_1B_1C_1D_1$ ). Sau đó, qua các kinh tuyến đi qua các điểm tiếp xúc $L, M, N, P$ , hãy vẽ các tiếp tuyến tại những điểm này (có thể vẽ bằng mắt). Chúng sẽ cắt nhau tại một điểm $T$ , điểm đó biểu diễn đỉnh của hình chóp. Giả sử mặt phẳng của đáy dưới song song với mặt phẳng $A_1'B_1'C_1'D_1'$ (nếu không thì bài toán trở thành bài toán về điều kiện, và trong bài này chúng ta sẽ không xét nó), khi đó chỉ còn dựng hình chóp, dựa vào các tỉ lệ

$\frac{TS}{TO_1} = \frac{TA}{TA_1} = \frac{TB}{TB_1} = \frac{TC}{TC_1} = \frac{TD}{TD_1}$

( $S'$ — cực Nam, $O'$ — tâm đường tròn vĩ tuyến nội tiếp trong $A_1'B_1'C_1'D_1'$ ).

Nếu một quả cầu ngoại tiếp một hình chóp (hình 30), thì đáy của hình chóp được nội tiếp trong một đường tròn vĩ tuyến nào đó, còn đỉnh — là một điểm bất kỳ trên mặt cầu.

Từ ban biên tập. Năm 1971, trong loạt «Các bài giảng phổ biến về toán học» sẽ xuất bản cuốn sách nhỏ của N. M. Beskin «Biểu diễn các hình không gian», trong đó những vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết hơn.