Kvant 1971, số 10 · Trang

Khoa học phổ biến vật lý và toán học
lượng tử
10
1971
tạp chí
Học viện
Khoa học Liên Xô
Và
Học viện sư phạm
Khoa học Liên Xô

Trong phòng:

Ngôn ngữ con người và ngôn ngữ máy 1
Thăm dò địa âm các mỏ khoáng sản dưới nước 6
Khuếch tán trong kim loại 10
Về một tính chất của hệ số sinh học 16
Cơ học sói quay 21
Tàu giữa các vì sao trên tài nguyên trọng lực 26
Phòng thí nghiệm «Kvant»
Ảo ảnh nhân tạo 29
Vấn đề «Kvant»
Bài toán 33
Lời giải bài toán M64—M69; F75—F78 35
Xưởng của người nộp đơn
Hệ phương trình đại số 45
Chú giải cờ vua và toán học 49
Đánh giá, thư mục
Tuyển tập những lỗi của tác giả 53
Không phải sách giáo khoa hay bài toán 54
Thông tin
Ngôn ngữ và toán gặp nhau tại Olympic 56
Thế vận hội được tổ chức bằng ô tô 58
Đáp số, gợi ý, lời giải 62
Góc sưu tầm
Những con tem thể hiện lò phản ứng hạt nhân 63
«Kvant» cho học sinh nhỏ Trang bìa thứ 3
P. S. Guter
O. G. Bespalov, A. I. Nastyukha
B. Kuliti
A.I. Shirtsov
S. A. Krivoshilkov
I. A. Vorobiev
P. Gỗ
N. B. Vasiliev, I. Sh. Slobodetsky
M. I. Shabunin
E. Vâng. đam mê
A. F. Khrustalev
S. V. Atsechelov, V. A. Baryshchev
V. V. Raskin
Yu. I. Sorkin, N. V. Shkundina
A. V. Altykis
A. P. Savin

R. S. Guter

Nhiều độc giả «Kvant» dường như có một số ý tưởng về những gì máy tính điện có thể làm. Thậm chí còn thú vị hơn khi được làm quen với cách họ làm điều đó.

Lưu ý rằng để thực hiện các bài toán khác nhau, hoàn toàn không cần phải có các máy khác nhau: máy tính điện là phổ biến, nghĩa là đối với bài toán mới, cần không phải là một máy mới mà là một chương trình mới cho nó. Các chương trình, phương pháp soạn và ghi chúng sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Bất kỳ máy tính điện nào cũng bao gồm

1. thiết bị đầu vào và đầu ra;
2. thiết bị lưu trữ (gọi tắt là bộ nhớ);
3. thiết bị số học (hoặc đơn giản là số học);
4. thiết bị điều khiển (điều khiển).

Đầu vào và đầu ra nhằm mục đích “giao tiếp” giữa con người và máy móc. Chúng cho phép bạn “nói” cho máy biết dữ liệu nguồn và phương pháp xử lý dữ liệu đó (tức là chương trình) và “tìm hiểu” từ máy các kết quả thu được. Bộ nhớ của máy lưu trữ tất cả thông tin cần thiết: dữ liệu ban đầu, kết quả trung gian và cuối cùng, và tất nhiên là cả chương trình.

Số học được sử dụng để thực hiện các phép tính trên các số có trong bộ nhớ (về cơ bản đây là các phép tính số học tổng quát, giải thích thuật ngữ này). Cuối cùng, bộ điều khiển tự quản lý quy trình lời giải bài toán: nó gọi lại thông tin về thao tác tiếp theo từ bộ nhớ và giải mã nó, gửi các số cần thiết từ bộ nhớ đến số học và gửi kết quả trở lại bộ nhớ.

Bạn có thể lấy ý tưởng về kết nối giữa các thiết bị được liệt kê từ Hình 1, mô tả cái gọi là sơ đồ khối của máy tính.

Bộ nhớ của máy bao gồm một số lượng lớn (ký hiệu là N) ô giống hệt nhau, được đánh số trên một hàng từ 0 đến N - 1. Số ô được gọi là địa chỉ của nó. Mỗi ô chứa một số cụ thể

2

các bit nhị phân, nghĩa là nó có thể chứa một tập hợp các số 0 và một, được gọi là từ máy.

Thiết bị số học của máy móc có thể thực hiện một tập hợp các phần tử hoạt động nhất định. Thuật toán lời giải bất kỳ bài toán nào cũng phải được viết dưới dạng một chuỗi các thành phần hoạt động như vậy, được gọi là chương trình. Chương trình bao gồm các lệnh riêng biệt, mỗi lệnh chứa thông tin về một thao tác cơ bản.

Lệnh (được biểu diễn dưới dạng từ máy) được chia thành hai phần: hoạt động và địa chỉ. Phần vận hành của lệnh chứa thông tin về bản chất của thao tác đang được thực hiện (cộng, nhân, v.v.): các thao tác cơ bản của máy được đánh số lại và số thao tác được yêu cầu được ghi bằng các bit của ô nhớ máy được phân bổ cho phần vận hành. Số này được gọi là mã hoạt động (chúng ta sẽ nói đơn giản là mã).

Phần địa chỉ của lệnh chứa địa chỉ của các ô có nội dung liên quan đến thao tác. Số lượng địa chỉ trong một lệnh có thể khác nhau đối với các máy khác nhau. Chúng tôi sẽ giới hạn việc xem xét các máy ba địa chỉ, trong phần địa chỉ có địa chỉ của ba ô nhớ được chỉ định: địa chỉ thứ nhất, thứ hai và thứ ba của lệnh. Đối với một phép toán số học (ví dụ: phép cộng), số ô chứa số gốc (phần cộng) được ghi bằng địa chỉ thứ nhất và thứ hai. Địa chỉ thứ ba cho biết số ô nơi kết quả (nghĩa là số tiền) sẽ được ghi. Đối với các phần tử hoạt động khác, địa chỉ được sử dụng có thể khác nhau (một phần, một, hai hoặc thậm chí cả ba địa chỉ có thể không cần thiết đối với bất kỳ lệnh nào, khi đó các ô địa chỉ tương ứng sẽ chỉ được điền bằng số 0).

Ví dụ: giả sử một lệnh hệ thống (một tập hợp các thành phần hoạt động) của máy chứa $64=2^6$ các hoạt động cơ bản.

hoạt động mới. Khi đó sáu chữ số kép là đủ để đánh số chúng, nghĩa là mã hoạt động có thể được ghi vào bộ nhớ máy dưới dạng số kép có sáu chữ số. Thông thường sẽ thuận tiện hơn cho người lập trình khi chia số này thành hai “bộ ba”, mỗi bộ sau đó được viết bằng một chữ số trong hệ bát phân $(2^3=8)$, do đó thu được số bát phân có hai chữ số. Ví dụ: nếu $N=4096=2^{12}$, thì trong hệ thống “nhị phân-bát phân” như vậy, để viết bất kỳ địa chỉ nào, bạn sẽ không cần mười hai hàng mà chỉ cần một số bốn hàng, dễ viết và đọc hơn.

Ví dụ: nếu mã 01 có nghĩa là cộng và 04 có nghĩa là chia thì từ máy

01 1254 3172 6314

nghĩa là lệnh: cộng các số ghi trong ô có địa chỉ 1254 và 3172 và ghi tổng vào ô có địa chỉ 6314. Tương tự, từ

04 4365 2710 5024

nó được hướng dẫn chia số ở ô 4365 cho số ở ô 2710 và đặt phần đó vào ô 5024.

Địa chỉ của ô mà thiết bị điều khiển phải trích xuất lệnh tiếp theo để thực thi được ghi lại trong một bộ đếm lệnh đặc biệt là một phần của thiết bị điều khiển. Nếu một địa chỉ I nhất định được ghi trong bộ đếm, thì họ nói rằng “điều khiển nằm ở ô I”. Khi một lệnh tương ứng với một phép tính số học được thực thi, một lệnh sẽ tự động được thêm vào nội dung của bộ đếm chương trình, do đó điều khiển đó được chuyển đến ô có địa chỉ tiếp theo. Vì vậy, nếu chúng ta muốn máy thực hiện bất kỳ chuỗi phép tính số học nào thì cần phải đặt lệnh tương ứng vào các ô nhớ liên tiếp.

Ví dụ, hãy viết một chương trình tính giá trị

$$y = \frac{a+bx}{ax+b}.$$

4

các số từ các ô $a$ và $R_1$ và viết tổng vào ô $R_1$), tất nhiên, không nên hiểu là “bằng” $a=0$. Nhân tiện, thường thay vì dấu =, họ viết những câu như →; nhưng chúng tôi sẽ sử dụng các mũi tên cho các mục đích khác.

Như đã đề cập, việc thực hiện một lệnh số học sẽ tự động chuyển điều khiển sang ô tiếp theo, thêm một lệnh vào bộ đếm chương trình. Nhưng rất thường không thể sắp xếp tất cả các lệnh cần thiết “trong một cột”. Do đó, đối với lời giải của điều khiển bình phương $ax^2+bx+c=0$, tùy thuộc vào dấu của phân biệt $D=b^2-4ac$, cần phải tính căn thực hoặc căn tối thiểu, việc này được thực hiện, như đã biết, theo nhiều cách khác nhau.

Để thay đổi thứ tự thực hiện lệnh, trong số các thành phần hoạt động của máy, các lệnh điều khiển đặc biệt được cung cấp (chính xác hơn là truyền điều khiển), không thực hiện các thao tác trên nội dung của ô nhớ mà thay đổi nội dung của bộ đếm chương trình.

Lệnh đơn giản nhất thuộc loại này là lệnh truyền điều khiển vô điều kiện, lệnh này luôn chuyển điều khiển đến ô nhớ được chỉ định trong đó. Khi nó được thực thi, nội dung của bộ đếm chương trình sẽ bị xóa và địa chỉ được chỉ định trong lệnh được ghi vào nó, do đó lệnh tiếp theo sẽ được gọi bởi thiết bị điều khiển từ ô đã chỉ định.

Vì đối với điều này, chỉ cần dấu phẩy một địa chỉ trong lệnh là đủ và hai địa chỉ còn lại sẽ vẫn trống, chúng có thể được sử dụng bằng cách buộc máy thực hiện một số hành động khác khi thực hiện cùng một lệnh. Thông thường, việc chuyển điều khiển được thực hiện bằng cách chuyển nội dung của ô nhớ này sang ô nhớ khác. Ví dụ, giả sử rằng địa chỉ thứ ba của lệnh truyền điều khiển được tính trong bộ đếm chương trình, bạn có thể viết nó vào ô ký hiệu có ý nghĩa như sau:

$$a \rightarrow b, c$$

(“gửi nội dung của ô $a$ đến ô $b$ và chuyển điều khiển sang ô $c$”).

Các lệnh điều kiện chuyển giao điều khiển phức tạp hơn; chúng chỉ chuyển giao quyền điều khiển khi đáp ứng được các điều kiện tăng tốc nhất định. Đây cũng là những gì lệnh yêu cầu khi lập trình các tiến trình phân nhánh. Hãy xem xét một trong những lệnh sau:

$$a < b, c.$$

Khi nó được thực thi, các số được ghi trong các ô nhớ $a$ và $b$ sẽ được so sánh. Nếu bất đẳng thức ghi trong lệnh là đúng thì điều khiển sẽ được chuyển đến ô $c$, nghĩa là, thay vì nội dung của bộ đếm chương trình, địa chỉ thứ ba của lệnh sẽ được ghi vào ô đó (như với việc chuyển điều khiển vô điều kiện). Nếu $a \geq b$, thì một giá trị sẽ được thêm vào nội dung của bộ đếm, như trong các phép tính số học.

Bằng cách sử dụng các lệnh được mô tả, bạn có thể truy vấn lời giải và một số tác vụ không tính toán. Ví dụ: giả sử các ô $x_1$ và $x_2$ chứa các số không phải toric, từ đó bạn cần chọn số lớn hơn và viết nó vào ô $x$. Điều này có thể được thực hiện bằng chương trình sau:

1. $x_1 < x_2$, 3,
2. $x_1 \rightarrow x$, 4,
3. $0 + x_2 = x,$
4. $cmon$

Lệnh đầu tiên của nó là chuyển quyền điều khiển có điều kiện: nếu $x_2$ lớn hơn $x_1$ thì quyền điều khiển sẽ được chuyển sang lệnh 3). Đây là lệnh số học sẽ dẫn đến số $x_2$ được ghi vào ô $x$. (Thường gặp số 0; hóa ra việc “gán” cho ô được đánh số 0 rất thuận tiện, việc này được thực hiện ở hầu hết các máy.) Sau đó, điều khiển được chuyển sang ô 4 tiếp theo), chứa lệnh $cmon$.

Nếu $x_1 \geq x_2$ thì lệnh 1) chuyển điều khiển sang ô 2 tiếp theo), nơi đặt lệnh chuyển điều khiển vô điều kiện, gửi nhiều hơn số $x_1$ đến ô $x$ và chuyển ngay điều khiển đến $cmon$.

Thay vì gợi ý số lượng hoặc điều kiện của lệnh đang chuyển quyền điều khiển, nó thường chỉ là một mũi tên đến lệnh mong muốn. Ví dụ: đây là một chương trình tương tự trông như thế nào, từ đó

6

Để tìm kiếm những nguồn nguyên liệu thô mới, con người ngày càng hướng tới vô số loại khoáng sản quý được ẩn giấu dưới lòng nước của biển và đại dương. Theo các nhà khoa học, trữ lượng dầu mỏ, quặng kim loại và các khoáng sản khác nằm ở đáy và dưới các vùng nước lớn gấp mấy lần trữ lượng các khoáng sản này trên đất liền.

Nhưng làm thế nào bạn có thể tìm ra nơi ẩn giấu những kho báu này dưới nước? Để làm được điều này, bạn cần biết cấu trúc địa chất của lớp vỏ trái đất được bao phủ bởi các vùng nước. Sử dụng bản đồ cấu trúc địa chất, các chuyên gia có thể đánh giá địa điểm và loại khoáng sản cần tìm.

Đối với các nghiên cứu địa chất đáy biển, cũng như trên đất liền, các phương pháp thăm dò địa vật lý được sử dụng - thăm dò địa chấn và khoan giếng. Nhưng để có được thông tin chi tiết về địa chất của khu vực, bạn cần phải khoan ngẫu nhiên rất nhiều giếng, mỗi giếng đều khó khoan ngay cả trên đất liền. Và việc khoan xuống đáy biển thậm chí còn là một công việc phức tạp và cực kỳ tốn kém hơn.

Thăm dò địa chấn khám phá cấu trúc địa chất của vỏ trái đất bằng các vụ nổ. Một lỗ nhỏ được khoan trên mặt đất và một điện tích sẽ phát nổ trong đó. Các khí giãn nở hình thành trong vụ nổ gây biến dạng đất, loại bỏ lớp hạt bao quanh khu vực vụ nổ vô thời hạn. Lực đàn hồi phát sinh trong lớp dốc truyền áp suất sang các lớp lân cận và từ điểm nổ, sóng xung kích đàn hồi truyền qua đá theo mọi hướng (Hình 1).

Giả sử rằng dưới vết nứt đầu tiên của đá I ở độ sâu S là lớp II, bao gồm đá có mật độ khác nhau. Độ sâu của lớp II không khó xác định (xem Hình 1):

$$S = \sqrt{S_1^2 - \frac{(S_2)^2}{2}},$$

trong đó $S_1 = \frac{1}{2} ABC$ là đường truyền của sóng trực tiếp đến lớp II (cùng một đường truyền sóng phản xạ), $S_2$ là khoảng cách dọc theo bề mặt giữa điểm nổ và máy thu gieo hạt, ghi lại công suất đến của sóng phản xạ.

Năng lượng của sóng đàn hồi khi truyền qua đá của trái đất bị hấp thụ một phần. Phần năng lượng được hấp thụ phụ thuộc vào tần số dao động của sóng. Một vụ nổ tạo ra sóng có tần số hạ âm (dưới 16 hertz) và âm thanh (từ 16 hertz đến 20.000 hertz). Sóng có tần số này tương đối ít bị đá trên mặt đất hấp thụ và điều này quyết định việc sử dụng chúng trong máy thu gieo hạt.

Thăm dò địa chấn đã được sử dụng thành công để nghiên cứu cấu trúc của biển

Ở đuôi tàu, một sợi cáp đi xuống nước, ở đầu cáp có các điện cực được cố định cách mặt nước khoảng một mét. Cứ sau 10 giây, một xung điện áp cao được gửi đến các điện cực từ dàn tụ điện cao thế lắp trên tàu và một tia sét nhỏ lóe lên giữa các điện cực. Một cú va chạm nhạy cảm được cảm nhận trên thân tàu và sóng âm chạm vào đáy qua cột nước.

Sóng phản xạ trên mặt biển được thu lại bởi một thiết bị thu được kéo phía sau tàu mà các nhà địa vật lý gọi là “lưỡi hái”. Lưỡi hái là một ống nhựa dẻo chứa đầy dầu, bên trong có các bộ phận chuyển đổi âm thanh.

Cơm. 3.

năng lượng của sóng phản xạ trong xung điện (phần tử áp điện).

Thông qua cáp nối lưỡi hái với quân đoàn, các xung điện sẽ đi đến bộ khuếch đại và sau bộ khuếch đại, các bản ghi sẽ được ghi lại. Máy ghi âm chứa một dải rộng giấy nhạy điện. Có một chiếc “lông vũ” ở mép trên của băng.
Khi sóng âm do phóng điện bắt đầu chạy xuống đáy, cây bút bắt đầu di chuyển qua băng giấy đến mép dưới, như thể lặp lại chuyển động của sóng ở quy mô nhỏ hơn. Và khi sóng phản xạ đến điểm thu và từ nó qua bộ khuếch đại đến bút, bút sẽ để lại các điểm trên tờ giấy nhạy cảm tương ứng với các lớp đá mà sóng âm gặp phải trên đường đi của nó.

Trước lần phóng điện tiếp theo, bút quay trở lại đỉnh và giấy chutchuta được rút ra và máy ghi lại sẵn sàng ghi lại sóng phản xạ.

Một vài phút sau khi bắt đầu công việc, các đường chấm trên giấy tạo thành một bản vẽ trực quan và dễ đọc về cấu trúc của khu vực địa chất đang nghiên cứu (Hình 3).

Phương pháp định vị địa âm có thể được sử dụng không chỉ để tìm kiếm khoáng sản. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể giải quyết bài toán địa chất công trình - chọn địa điểm xây dựng đập thủy điện, làm nền móng cho các công trình cảng, cầu cảng, đường hầm, đường ống và thậm chí tìm kiếm các thành phố cổ ngập trong nước. Chi phí thăm dò bằng phương pháp này rẻ hơn 5-10 lần so với thăm dò địa chấn và thăm dò bằng giếng khoan.

10

Khuếch tán là một hiện tượng rất phổ biến trong tự nhiên và có tầm quan trọng thực tiễn rất lớn. Chúng tôi đăng ở đây một bài báo của B. Culliti, do nhà xuất bản Nauka chuẩn bị cho số tiếp theo của tuyển tập “Các nhà vật lý đang nghĩ về điều gì”. Bài báo được đăng trên tạp chí Scientific American. Bản dịch của V. K. Fedyanin.

Các nhà khoa học Liên Xô đã có những đóng góp đáng kể cho việc nghiên cứu hiện tượng khuếch tán. Những ai mong muốn làm quen hơn với hiện tượng này có thể tìm thấy rất nhiều thông tin thú vị trong cuốn sách khoa học nổi tiếng của Ya. E. Geguzin “Các tiểu luận về sự khuếch tán trong tinh thể,” do nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1970.

Mùi nước hoa được biết là tồn tại ở một khoảng cách khá xa. Điều này được giải thích là do hơi nước hoa khuếch tán rất dễ dàng trong không khí. Những giọt thuốc nhuộm lỏng trong nước dễ dàng khuếch tán khắp bình. Sự khuếch tán trong chất rắn khó quan sát hơn nhiều. Vì lý do này, nghiên cứu sự khuếch tán trong chất rắn đã trở thành một trong những nghiên cứu thú vị nhất trong vật lý ngày nay.

Giống như nhiều lĩnh vực khác của con người, nó làm giảm hiệu quả; trong trường hợp này, nó làm giảm mức độ ưu tiên của kiến ​​thức. Trong nhiều thế kỷ, các công nhân đã hàn kim loại và sản xuất thép bằng cách nung sắt rắn trong môi trường carbon mà không hề biết gì về quá trình khuếch tán đang diễn ra. Chỉ đến năm 1896, nghiên cứu khoa học về vấn đề này mới bắt đầu.

Nhà luyện kim người Anh William Roberts-Austin đã đo sự khuếch tán của vàng trong chì bằng một thí nghiệm đơn giản. Ông đặt một chiếc đĩa vàng mỏng vào đầu một ống trụ bằng chì nguyên chất dài một inch, đặt ống trụ này vào lò nung nơi nhiệt độ được duy trì ở khoảng 200°C và giữ nó trong lò trong 10 ngày. Sau đó, ông cắt hình trụ thành những chiếc đĩa mỏng và đo lượng vàng khuếch tán vào từng môi trường chì. Hóa ra là ở đầu “sạch” một lượng vàng hoàn toàn có thể đo lường được đã đi qua toàn bộ hình trụ; Chì khuếch tán theo hướng ngược lại vào sâu trong đĩa vàng (Hình 1). Roberts-Austin phát hiện ra rằng kim loại nóng sẽ khuếch tán sang kim loại khác khi chúng được ép chặt vào nhau.

Từ quan điểm cấu trúc nguyên tử của vật chất, tính thấm của chất rắn không phải là một quốc gia. Ngày nay chúng ta có một ý tưởng hay rằng ngay cả vật rắn đặc nhất cũng chỉ khá yếu

*) Inch≈2,5 cm.

11

tập hợp các nguyên tử được kết nối. Trong các tinh thể tạo thành kim loại, các nguyên tử được sắp xếp thành một mạng cố định ở những vị trí nhất định mà chúng rất khó bị bật ra.
Tuy nhiên, mạng tinh thể lý tưởng và được xây dựng đầy đủ không tồn tại. Chúng luôn chứa một số lượng chỗ trống hoặc “lỗ trống” nhất định, trong đó các nguyên tử khuếch tán có thể “nhảy”. Khi nó nhảy vào một chỗ trống nào đó, nguyên tử sẽ để lại một chỗ trống mới.
Một nguyên tử lân cận có thể di chuyển vào chỗ trống này; nguyên vẹn, nhờ chuyển động liên tục của các nguyên tử trong mạng, một nguyên tử có thể đi qua tinh thể (Hình 2).

Điều gì làm cho một nguyên tử rời khỏi vị trí của nó trong mạng và “quét” vào một chỗ trống? Thực tế là trên thực tế các nguyên tử trong mạng không ở vị trí cố định trong một mảng. Là kết quả của chuyển động nhiệt, các nguyên tử liên tục dao động tương ứng với một mức trung bình nhất định hay chính xác hơn là tăng vị trí bảo vệ trên các vị trí có thể có khác nhau của vị trí của chúng. Biên độ của những dao động này có thể thay đổi từ nguyên tử này sang nguyên tử khác và theo thời gian. Đôi khi, một nguyên tử ở xa vị trí cân bằng đến mức nó có thể nhảy sang một chỗ trống liền kề. Tất nhiên, xu hướng này tăng mạnh nếu chúng ta làm nóng cơ thể, từ đó làm cho các nguyên tử dao động mạnh hơn. Như vậy tốc độ khuếch tán tăng rất nhanh khi nhiệt độ tăng. Ví dụ, kẽm khuếch tán thành đồng ở nhiệt độ 300°C nhanh hơn gần 100 triệu lần so với nhiệt độ phòng.

Trong thí nghiệm Roberts-Austin, các nguyên tử vàng ở 200°C bị tách năng lượng ra khỏi xúc xích để bắt đầu nhảy vào các chỗ trống trong mạng (trường hợp tương tự xảy ra với các nguyên tử chì). Suy cho cùng, nếu thí nghiệm được tiến hành trong thời gian dài thì các nguyên tử vàng sẽ được phân bố đều khắp trụ chì. Một phân tích đơn giản có thể được thực hiện. Nếu bạn đặt nhiều quả bóng đen vào một hộp bóng trắng và lắc hộp lâu, thì các quả bóng đen sẽ được phân bổ đều cho các quả bóng trắng.

Cơm. 1. Con số lấn chiếm các thí nghiệm khuếch tán đầu tiên của Roberts-Austin. Vàng được đặt trên chì nguyên chất (hình trụ màu xám ở bên trái) và mẫu được nung nóng. Bên phải là hình trụ tương tự sau khi xảy ra hiện tượng khuếch tán vàng thành chì và chì thành vàng. Hình trụ này được cắt thành các đĩa mỏng để đo lượng vàng tạo thành sản phẩm mà chúng chứa. Đường cong thể hiện trong biểu đồ bên phải cho thấy sự thay đổi nồng độ vàng tùy thuộc vào khoảng cách từ mép trên của hình trụ bên phải.

12

Cơm. 2. Có thể có những chỗ trống trong các bình diện nguyên tử của tinh thể. Hình vẽ này cho thấy vàng (vòng tròn màu vàng) có thể khuếch tán như thế nào trong tinh thể chì. Sự chuyển đổi của nguyên tử vàng sang vị trí thể hiện ở hình dưới bên phải là có thể nếu chỉ có một chỗ trống trong mạng chì.

Sự khuếch tán của các nguyên tử trong kim loại nguyên chất (gọi là “sự tự khuếch tán”) có thể được thay đổi bằng cách sử dụng một phần nhỏ số nguyên tử phóng xạ của nguyên tố đó. Giả sử, để thay đổi tốc độ tự khuếch tán của đồng, cần phải đặt một lượng nhỏ đồng vị phóng xạ của đồng vào đầu ống trụ bằng đồng thông thường và nung ống trụ này đến một nhiệt độ nhất định. Sau khi đủ thời gian để quá trình khuếch tán xảy ra, mẫu được cắt thành những lát mỏng và máy đếm Geiger được sử dụng để thay đổi độ phóng xạ của từng môi trường kế tiếp. Những dữ liệu này cho phép tính toán tốc độ khuếch tán.

Một kim loại chỉ có thể khuếch tán sang một kim loại khác nếu có một chỗ trống trong mạng tinh thể, vì các nguyên tử của thậm chí hai kim loại khác nhau có kích thước xấp xỉ nhau.

Tuy nhiên, các nguyên tử của một nguyên tố phi kim, có kích thước nhỏ hơn nhiều so với nguyên tử kim loại, có thể lơ lửng giữa các nguyên tử trong tinh thể phi kim. Trong trường hợp này, sự khuếch tán không phụ thuộc vào chỗ trống nên nó diễn ra nhanh hơn nhiều. Tuy nhiên, ví dụ quan trọng nhất của trường hợp này là sự khuếch tán cacbon vào sắt.

Ở dạng định hướng, thép là hợp kim của cacbon và sắt. Các tính chất của thép thay đổi tùy thuộc vào hàm lượng carbon của hợp kim. Thép có hàm lượng carbon nhỏ (giả sử ở mức 1/4 phần trăm) không bền lắm và không rèn tốt. Tăng hàm lượng carbon làm cho nó mạnh hơn nhưng giòn hơn. Bộ phận máy như cơ cấu truyền động phải có bề mặt cứng để chống mài mòn và có đủ độ đàn hồi ở các bộ phận bên trong,

13

Để không bị gãy do tác động từ bên ngoài. Những đặc tính này có được thông qua một quá trình gọi là làm cứng bề mặt. Một mảnh kim loại được nung nóng và giữ trong khí giàu carbon, chẳng hạn như metan. Các nguyên tử carbon từ khí khuếch tán từ từ vào thép (Hình 3). Sau vài giờ chúng sẽ thâm nhập vào độ sâu khoảng 1/12 inch. Bề mặt, hay “lớp vỏ” của miếng thép này sau quá trình xử lý này chứa khoảng 1,2% cacbon, trong khi bên trong chỉ chứa 1/4% (Hình 4).

Kiến thức về các quá trình xảy ra trong quá trình khuếch tán nguyên tử vào kim loại có thể giúp chúng ta nghiên cứu cấu trúc bên trong của kim loại. Nói chung, một miếng kim loại được tạo thành từ những tinh thể nhỏ, hay còn gọi là “hạt”. Cấu trúc bên trong của một hạt riêng lẻ rất đều đặn - đó là một mạng gần như lý tưởng với một số lượng chỗ trống nhất định hoặc những sai lệch nhỏ khác so với lý tưởng. Nhưng gộp lại với nhau, các hạt không tạo thành một cấu trúc có trật tự. Vị trí tương đối của họ hoàn toàn là ngẫu nhiên. Rất hiếm khi, một hạt được điều chỉnh bằng cạnh của nó với hạt khác sao cho sự sắp xếp đều đặn

các nguyên tử trong đó dường như là sự tiếp nối sự sắp xếp các nguyên tử của một loại hạt khác. Rõ ràng, những hạt này tạo thành một góc nghiêng nhất định, được gọi là “góc phân kỳ”. Các nguyên tử nằm trong khu vực chương trình giữa các hạt sẽ nằm giữa các tinh thể và cuối cùng nằm bên trong một trong số chúng. Kết quả là, sự phá hủy các nguyên tử được tạo ra ở khu vực này lớn hơn so với các hạt. Các nguyên tử khuếch tán đi qua các chương trình vùng như vậy nhanh hơn nhiều so với đi qua mạng tinh thể thông thường của hạt. Người ta biết rõ rằng các nguyên tử kim loại khuếch tán nhanh hơn nhiều trong kim loại hạt mịn, nghĩa đen là có ranh giới hạt, so với kim loại được chế tạo từ các tinh thể lớn.

M. Akhter và R. Smoluchowski đã tiến hành một thí nghiệm để xác định ảnh hưởng của góc phân kỳ giữa các hạt đến tốc độ khuếch tán. Họ chuẩn bị một hình trụ bằng đồng, bao gồm các tinh thể dạng sợi lớn được sắp xếp sao cho các mặt phẳng của mạng tạo thành các góc dây tóc với nhau. Một hợp kim của đồng và bạc được hàn vào đầu mẫu đồng và toàn bộ vật được nung nóng đến nhiệt độ 675 ° C. Sau 10 ngày, họ đã chuẩn bị

Cơm. 3. Sự khuếch tán cacbon trong sắt không phụ thuộc vào sự có mặt của lỗ trống. Các nguyên tử carbon (vòng tròn màu đen) đủ nhỏ để lọt vào giữa các nguyên tử sắt (vòng tròn màu xanh).

14

Cơm. 4. Sự cứng lại bề mặt của thép xảy ra do sự khuếch tán cụ thể của các nguyên tử carbon vào nó. Phần giữa của hình vẽ là một bức ảnh vi mô hoặc cấu trúc về sự phân bố cacbon trong một miếng thép có bề mặt tiếp xúc với hydrocarbon. Đường cong trên cùng biểu thị phần trăm cacbon theo khoảng cách đến bề mặt của miếng thép. Đường cong phía dưới đặc trưng cho cường độ của thép ở các phần khác nhau của chi tiết.

Cơm. 4. Sự cứng lại bề mặt của thép xảy ra do sự khuếch tán cụ thể của các nguyên tử carbon vào nó. Phần giữa của hình vẽ là một bức ảnh vi mô hoặc cấu trúc về sự phân bố cacbon trong một miếng thép có bề mặt tiếp xúc với hydrocarbon. Đường cong trên cùng biểu thị phần trăm cacbon theo khoảng cách đến bề mặt của miếng thép. Đường cong phía dưới đặc trưng cho cường độ của thép ở các phần khác nhau của chi tiết.

15

như một lỗi thử nghiệm. Để thuyết phục những người nghi ngờ, Kirkendile, cộng tác với A. Smigelax, đã tiến hành một loạt thí nghiệm mới. Họ chỉ phủ một lớp đồng lên các mặt đối diện của gốc đồng thau, và giữa đồng và đồng thau ở cả hai mặt của gốc đồng thau, họ đặt dây molypden để cố định ranh giới giữa đồng và đồng thau. Sau đó, mẫu được đun nóng đến nhiệt độ cao. Nếu các nguyên tử đồng đi vào thanh đồng nhanh như khi các nguyên tử kẽm thoát ra khỏi nó thì kích thước ban đầu của thanh đồng sẽ không thay đổi. Điều này sẽ được biểu thị bằng vị trí đứng yên của dây molypden. Nhưng trên thực tế, sợi dây molypden đã dịch chuyển, và sự lệch vị trí của nó cho thấy thanh đồng đã co lại; nghĩa là các nguyên tử kẽm thoát ra khỏi gốc cây nhanh hơn các nguyên tử đồng đi vào. Dưới kính hiển vi, có thể làm phẳng các lỗ chân lông khá lớn hình thành trên bề mặt do xuất hiện một số lượng lớn các chỗ trống phát sinh nơi các nguyên tử kẽm nhanh chóng thoát ra khỏi lỗ chân lông.

Những kết quả này được công bố vào năm 1947, và cái mà ngày nay được gọi là “hiệu ứng Kirkendyle” đã tạo ra một chấn động thực sự đối với các nhà luyện kim và tất cả các nhà nghiên cứu nghiên cứu tính chất của chất rắn.

Các thí nghiệm cũ đã được thử nghiệm và những thí nghiệm mới được thực hiện.

Vì hiệu ứng Kirkendile được phát hiện ngay lập tức trong nhiều hợp kim nên không còn nghi ngờ gì nữa là nó thực sự tồn tại.

Không còn nghi ngờ gì nữa, việc nghiên cứu hiện tượng khuếch tán sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về các tính chất của chất rắn và tất cả các quá trình kỹ thuật trong đó khuếch tán đóng vai trò chính.

VẼ ASCHER

Nếu một mặt phẳng được bao phủ bởi một đa giác sao cho hai đa giác có một cạnh chung, một đỉnh chung hoặc không có điểm chung nào cả, thì lớp phủ đó được gọi là sàn gỗ.

Trong tạp chí của chúng tôi (xem «Kvant» số 3, 1970, trang 21), chúng tôi đã trích dẫn một số bài toán liên quan đến sàn gỗ.

Đối với một số sàn gỗ, có thể chỉ định các phép biến đổi mặt phẳng biến đổi các hình tạo nên sàn gỗ thành nhau để bản thân sàn gỗ không thay đổi.

Đối với sàn gỗ được hiển thị trong hình này, các phép biến đổi của nó cũng không thay đổi: quay quanh một điểm một góc 60° và đối xứng với đường thẳng l. Bạn có thể chỉ ra những biến đổi nào khác không làm thay đổi sàn gỗ này?

Bạn thấy sàn gỗ thuộc một loại hoàn toàn khác trong bức vẽ của họa sĩ người Hà Lan Escher (xem trang bìa). Sàn gỗ này được thay thế bằng thực tế là một trong những phép biến đổi không làm thay đổi nó là nhân đôi tất cả các khoảng cách so với tâm (biến đổi tương tự). Vì vậy, nói đúng ra, bức tranh cho thấy vô số con thằn lằn đang thu nhỏ lại. Cố gắng tìm ra các loại sàn gỗ khác không thay đổi độ giống nhau của chúng trong quá trình biến đổi.

L. Limanov

16

A. I. Shirshov

Trong «Kvant» Số 6 năm 1970, một bài báo của D. B. Fuks và M. B. Fuks “Số học của các hệ số sinh học” đã được xuất bản. Trong bài báo này, các tác giả đã đề xuất bài toán như sau: Đặt $p$ là số nguyên tố; tìm ra lũy thừa nào $p$ số $C_{p^{n+1}}^{p^n} - C_{p^n}^{p^{n-1}}$ chia hết

bài toán này đã thu hút sự chú ý của nhiều độc giả. Các biên tập viên đã nhận được thư từ V. G. Gaidalovich (Tashkent), S. P. Krutik (stanitsa Staro-Sherbinskaya, Lãnh thổ Krasnodar), học sinh lớp 9 A. Merkuverev (Leningrad), V. V. Prlensky (Moscow) và các mặt hàng khác sẽ cung cấp các mức độ khác nhau của lời giải trong số này bài toán.

Chúng tôi đã hỏi nhà đại số nổi tiếng của Liên Xô, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A.I. Shirshov làm sáng tỏ chi tiết về lời giải đặt bài toán.

Học sinh đã quen thuộc với nhiều cuốn sách và bài báo khoa học phổ thông về toán học. Chúng được viết đơn giản nhất có thể, chi tiết và dễ tiếp cận, bằng ngôn ngữ tươi sáng và sống động, với các ví dụ hấp dẫn và hình ảnh đầy màu sắc - để gây hứng thú cho người đọc và giúp họ có cơ hội dễ dàng hiểu tài liệu.

Các bài báo toán học phía máy chủ được viết trên các tạp chí khoa học uy tín như thế nào? Bài báo của A. I. Shirshov, thu hút sự chú ý của độc giả, đưa ra ý tưởng về phong cách trình bày toán học khoa học. Về nội dung, học sinh trung học có thể truy cập được, nhưng nó được viết cụ thể giống như cách viết các ghi chú, chẳng hạn như trên tạp chí “Báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô”.

Phong cách khoa học và toán học được đặc trưng bởi độ dốc và ngắn gọn. Theo quy định, phần trình bày được chia thành các bước riêng biệt - bổ đề, leo dần để chúng ta đạt được kết quả cuối cùng - định lý. Bài viết đầu tiên luôn chứa tuyên bố bài toán, giải thích về các khái niệm được giới thiệu và các ký hiệu được sử dụng cũng như tài liệu tham khảo về tài liệu. Các bằng chứng không được sao chép chi tiết - chỉ có ý tưởng của họ và quá trình lập luận chung được phác thảo. Do đó, bạn chỉ có thể đọc một bài báo như vậy bằng bút chì và giấy trên tay, khôi phục các phép tính trung gian; để hiểu được nội dung của nó đòi hỏi một lượng nỗ lực nhất định và sự suy ngẫm độc lập.

Người yêu toán chắc chắn sẽ thích thú tìm hiểu về phong cách trình bày toán học khoa học.

Trong bài viết [1], người ta đề xuất rằng các số có dạng $C_{p^{k+1}}^{p^k} - C_{p^{k-1}}^{p^{k-2}}$, trong đó $p$ là số nguyên tố, chia hết cho một số đủ cao $p$. Tuy nhiên, nhận định này chỉ được chứng minh trong trường hợp $p=2$ (Định lý 5 trong [1]).

Ghi chú này được dành cho việc chứng minh một định lý tổng quát hơn.

Tất cả các số $m, k, t, s$, v.v., được xem xét dưới đây đều là số tự nhiên và $p$ là số nguyên tố. Ký hiệu $(m, n)$, như thường lệ, có nghĩa là ước số phổ biến nhất của các số $m$ và $n$. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu $[k, s]_n$ để biểu thị tích của tất cả các số tự nhiên $t$ sao cho $k \leq t \leq s$ và $(t, n)=1$; TRÊN-

Bằng chứng. Đối với $n=1$ đẳng thức là không đáng kể. Hãy sử dụng phương pháp quy nạp:

$$(\alpha + x_1) \dots (\alpha + x_{n-1}) (\alpha + x_n) - x_1 \dots x_{n-1} x_n = \left\{ x_1 \dots x_{n-1} + \alpha x_1 \dots x_{n-1} \left( \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} \right) + \alpha^2 N_1 \right\} \times (\alpha + x_n) - x_1 \dots x_n = \alpha x_1 \dots x_{n-1} + \alpha x_1 \dots x_n \left( \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} \right) + \alpha^2 N_1 + \alpha^2 N_1 x_n = \alpha x_1 \dots x_{n-1} x_n \left( \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}} + \frac{1}{x_n} \right) + \alpha^2 N,$$

Q.E.D.

Bổ đề 11.

$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p - [1, p^{k-1}]_p = \frac{1}{2} p^{2k-1} (p-1) [1, p^{k-1}]_p \times \left\{ \frac{1}{1 \cdot (p^{k-1})} + \dots + \frac{1}{(p-1) (p^{k-1} - p+1)} + \frac{1}{(p+1) (p^{k-1} - p-1)} + \dots + \frac{1}{(p^{k-1} - 1) \cdot 1} \right\} + p^{4k-2} Q,$$

$p > 2$;

$$[2^k - 2^{k-1}, 2^k]_2 - [1, 2^{k-1}]_2 = 2^{2k-2} [1, 2^{k-1}]_2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot (2^{k-1} - 1)} + \frac{1}{3 (2^{k-1} - 3)} + \dots + \frac{1}{(2^{k-1} - 1) \cdot 1} \right\} + 2^{4k-2} Q$$

(trong các biểu thức trong ngoặc nhọn, tất cả các số nguyên tố cùng nhau với $p$ và $2$, tương ứng, đều được viết ra).

Bằng chứng. Rõ ràng là

$$(p^k - p^{k-1} + s) (p^k - s) = p^{2k-1} (p-1) + s (p^{k-1} - s).$$

Bây giờ chúng ta hãy viết tích $[p^k - p^{k-1}, p^k]_p$ và sử dụng đẳng thức này, các biến là các thành phần theo cặp, cách đều hai đầu:

$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p = (p^k - p^{k-1} + 1) (p^k - p^{k-1} + 2) \dots$$

$$\dots (p^k - p^{k-1} + p-1) (p^k - p^{k-1} + p+1) \dots (p^k - 2)(p^k - 1) = \left\{ p^{2k-1} (p-1) + 1 (p^{k-1} - 1) \right\} \left\{ p^{2k-1} (p-1) + 2 (p^{k-1} - 2) \right\} \dots$$

$$\dots \left\{ p^{2k-1} (p-1) + (p-1) (p^{k-1} - p+1) \right\} \left\{ p^{2k-1} (p-1) + (p+1) (p^{k-1} - p-1) \right\} \dots \left\{ p^{2k-1} (p-1) + \frac{1}{2} (p^{k-1} - 1) \frac{1}{2} (p^{k-1} + 1) \right\}.$$

Chúng ta biến đổi biểu thức thu được theo Bổ đề 10, lấy $\alpha = p^{2k-1} (p-1)$ và chọn các số là $x_i$

$$1 \cdot (p^{k-1} - 1), 2 (p^{k-1} - 2), \dots, \frac{1}{2} (p^{k-1} - 1) \frac{1}{2} (p^{k-1} + 1).$$

20

Nhận thấy rằng
$$1(p^{k-1}-1) \cdot 2(p^{k-1}-2) \dots \frac{1}{2}(p^{k-1}-1) \frac{1}{2}(p^{k-1}+1) = [1, p^{k-1}]_p,$$

chúng ta có thể viết:
$$[p^k - p^{k-1}, p^k]_p = [1, p^{k-1}]_p + p^{2k-1}(p-1)[1, p^{k-1}]_p \cdot \frac{1}{2} \left\{ \frac{2}{1(p^{k-1}-1)} + \dots \right\} + p^{4k-2}Q =$$
$$= [1, p^{k-1}]_p + \frac{1}{2} p^{2k-1}(p-1)[1, p^{k-1}]_p \times$$
$$\times \left\{ \frac{1}{1(p^{k-1}-1)} + \dots + \frac{1}{(p^{k-1}-1)1} \right\} + p^{4k-2}Q,$$

đó là điều lemmy chứng minh ở $p > 2$.
Trường hợp $p = 2$ được xét theo sơ đồ tương tự.
Bổ đề 12.

$$1^2 + 2^2 + \dots + (p-1)^2 + (p+1)^2 + \dots + (p^{k-1}-1)^2 =$$
$$= \frac{1}{6} p^{k-1}(p^{k-1}+1)(2p^{k-1}+1) - p^k L, \quad p > 2$$
(tất cả các số nguyên tố cùng nhau đến $p$ được viết ở phía bên trái).
Bằng chứng. Chỉ cần biểu diễn vế trái dưới dạng là đủ
$$\sum_{i=1}^{p^{k-1}} i^2 - p^2 \sum_{i=1}^{p^{k-2}} i^2$$

và tính cả hai tổng theo Bổ đề 1.
Định lý. Sự bình đẳng sau đây là công bằng:
$$C_{p^k}^{p^{k-1}} - C_{p^{k-1}}^{p^{k-2}} = p^{3k-1} R, \quad p > 3;$$
$$C_{3k}^{3k-1} - C_{3k-1}^{3k-2} = 3^{3k-2} S;$$
$$C_{2k}^{2k-1} - C_{2k-1}^{2k-2} = 2^{3k-3} T,$$

trong đó $k \geqslant 3$ và $R, S, T$ là số nguyên.
Việc chứng minh định lý được thực hiện bằng cách sử dụng tuần tự bổ đề 9, 11, 6, 12, 2.

Bình luận. Từ chứng minh định lý, người ta cũng thấy rằng các số $S$ và $T$ chỉ ra trong định lý lần lượt không chia hết cho 3 và 2. Tác giả không biết mọi việc diễn ra như thế nào trong trường hợp tổng quát - số $R$ chia hết hay không chia hết cho $p$.

Văn học được trích dẫn

1. Fuchs D. B., Fuchs M. B., Tính toán các hệ số biomp. «Kvant» Số 6, 1970, trang 17-25.
2. Sominsky I. S., Phương pháp quy nạp toán học. M., Fizmatgiz, 1961.
3. Egorov A. A., So sánh theo mô đun và số học của phần dư. «Kvant» Số 5, 1970, trang 27-33.

Ghi chú của biên tập viên. Là độc giả Yu. Trakhtman (Dnepropetrovsk) nói với chúng tôi rằng ông đã thu được một số số nhất định mà các số $R, S, T$ xuất hiện trong định lý lần lượt không chia hết cho $p, 3, 2$. Tuy nhiên, kết quả này được xây dựng dưới dạng thuật ngữ xa lạ với học sinh và được chứng minh bằng những phương pháp không tầm thường.

24

Leno đến trục; do đó, do ma sát, trục của sói có xu hướng chuyển sang vị trí thẳng đứng. Điều này rất dễ xác minh nếu bạn chạy xiên các sợi. Sau một thời gian, trục của nó trở nên thẳng đứng. Momen của lực ma sát hướng theo phương thẳng đứng (quy luật gimlet), do đó sự thay đổi xung lượng góc của con sói cũng hướng theo phương thẳng đứng và trục của con sói có xu hướng vuông góc với mặt phẳng quay.

Vì vậy, có hai mômen lực tác dụng lên sợi nghiêng: mômen của một cặp lực - phản lực của lực hỗ trợ và trọng lực, và mômen ma sát. Chuyển động của một con sói sẽ luôn xảy ra khi có mặt hai thời điểm này.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại với con sói của Thomson và cố gắng giải thích hành vi của nó. Vì sợi Thomson bao gồm một hình cầu có đỉnh ở giữa nên trọng tâm của nó nằm bên dưới tâm hình học của quả bóng mà từ đó nó được tạo ra. Khi quay con sói, chúng ta sẽ vô tình làm lệch trục của nó khỏi vị trí thẳng đứng. Nhưng vì lực cản có dạng hình cầu nên điểm hỗ trợ của nó thay đổi do độ lệch đó. Trục quay của con sói vẫn giữ nguyên - thẳng đứng và không trùng với trục hình học của nó. Và vì trọng tâm của con sói nằm bên dưới tâm hình học của quả bóng nên kết quả là

xích vĩ thì trọng tâm của nó sẽ không còn nằm trên trục quay (Hình 7). Anh ta sẽ vào vị trí $O'$ và sẽ quay quanh trục thẳng đứng cùng với con sói. Khi quay với tốc độ góc cao, trọng tâm của con sói sẽ dâng lên giống như quả bóng trên một sợi dây bay lên, nếu sợi dây không bị xoắn như hình 8.

Sợi không giữ nó ở vị trí nằm ngang mà theo quán tính nhảy qua nó, chạm vào mặt phẳng phía dưới của nó, trên đó nó quay (Hình 2). Ngay sau khi điều này xảy ra, điểm hỗ trợ của sói di chuyển từ điểm $A$ đến điểm $B$ (Hình 9), và con sói, quay quanh trục của nó, bắt đầu giả định gần trục $BB'$. Nói cách khác, dây Thomson sẽ hoạt động giống như một dây “thông thường”. Dưới tác dụng của mô men ma sát, nó sẽ thẳng hàng với trục thẳng đứng $BB'$ và sẽ tiếp tục quay lên trên cùng với quả bóng.

Từ lập luận trên, rõ ràng là chúng ta có hành vi theo cột của con sói Thomson là do lực ma sát. Thật vậy, nếu không có lực ma sát thì lực cản sau khi chạm vào mặt phẳng sẽ trở về vị trí ngang và quay miễn là nó có vận tốc góc đủ cao. Và sau đó, dưới tác dụng của mômen trọng trường, nó sẽ trở về vị trí ban đầu (Hình 2).

25

Cơm. 10.

Bạn có thể tiến hành một thử nghiệm thú vị với đầu của Thomson. Nếu bạn chạy phần trên trên bề mặt được phủ một lớp bột mỏng, lớp bột sẽ để lại dấu vết trên bề mặt phần trên - quỹ đạo của điểm tiếp xúc của phần trên với mặt phẳng. Dấu vết này được thể hiện trong Hình 10. Đường trên cùng xoắn lại thành hình xoắn ốc, nhưng tại đường xích đạo của quả bóng trên cùng, nó bắt đầu quay theo hướng ngược lại. Tại sao điều này lại xảy ra? Định luật bảo toàn xung lượng góc yêu cầu mặt trên quay cùng chiều, cả ở vị trí ban đầu và vị trí ngược chiều của nó. Chúng ta hãy khởi động phần trên theo chiều kim đồng hồ (nếu bạn nhìn từ trên xuống). Nếu mặt trên quay không ngừng quanh trục của nó thì ở trạng thái đảo ngược, nó sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, để thỏa mãn định luật bảo toàn mômen động lượng, đỉnh tại một thời điểm nào đó phải ngừng quay quanh trục của nó, đi qua chân của nó rồi bắt đầu quay theo hướng ngược lại. Đánh giá theo Hình 10, đây là điều xảy ra tại thời điểm đỉnh nằm nghiêng.

Đối với việc tính toán kích thước của đỉnh, nó có thể là bất cứ thứ gì, nhưng sao cho khối tâm của nó không trùng với tâm hình học của hình cầu mà nó được tạo ra.

NHIỆM VỤ
GIỚI THIỆU VỀ CỜ VƯƠNG
GIẢI ĐẤU

1. 8 kỳ thủ tham gia giải đấu*). Tất cả họ đều ghi được số điểm khác nhau và người đoạt giải nhì cũng ghi được số điểm bằng với tất cả các kỳ thủ xếp từ thứ 5 đến thứ 8. Các kỳ thủ xếp thứ 3 và thứ 5 đã thi đấu với nhau như thế nào?

2. Hai học sinh lớp 7 và một số học sinh lớp 8 đã tham gia giải đấu. Các học sinh lớp bảy cùng nhau ghi được 8 điểm, và tất cả các học sinh lớp tám đều ghi được bằng nhau. Có bao nhiêu học sinh lớp tám có thể tham gia giải đấu?

3. n kỳ thủ cờ vua—các kiện tướng và kiện tướng—đã tham gia giải đấu. Sau khi giải đấu kết thúc, hóa ra mỗi học sinh đã giành được một nửa số điểm của mình trong trận đấu với các cao thủ. Chứng minh rằng $\sqrt{n}$ là số nguyên.

4. Một người chơi cờ vua chơi ít nhất một ván mỗi ngày để rèn luyện và để không làm việc quá sức, không quá 12 ván một tuần. Chứng minh rằng có thể tìm được vài ngày liên tục anh ta chơi đúng 20 ván.

5. Mỗi kỳ thủ trong giải đấu đều ghi được một nửa số điểm của mình trong các trận đấu với các kỳ thủ đứng ở ba vị trí cuối cùng. Có bao nhiêu người tham gia giải đấu?

6. Chứng minh rằng vào cuối giải đấu, những người tham gia của nó có thể được xác định lại theo cách sao cho không một người tham gia nào thua người tiếp theo vô thời hạn sau anh ta.

*) Giả sử các kỳ thủ chơi cờ lần lượt với nhau, nghĩa là giải đấu được tổ chức theo một hiệp.

26

Ngay cả những ngôi sao gần nhất cũng ở rất xa. Vẫn còn một chặng đường dài để đi đến các thiên hà khác. Từ thiên hà Andromeda, ánh sáng phải mất khoảng một triệu năm mới đến được chúng ta.

Có thể đạt được điều đó trong vòng một tuần không? Theo giờ Trái đất, nó không cộng với Andromeda sớm như vậy. Ánh sáng vẫn tiếp tục trong nhiều năm. Nhưng con tàu không thể di chuyển nhanh hơn ánh sáng. Một điều nữa là thời gian của chính người du hành giữa các vì sao nếu con tàu của anh ta bay với tốc độ đủ cao. Khi di chuyển ở tốc độ cao, tất cả các quá trình đều được thay thế với số lần như nhau. Tốc độ càng cao thì sự thay thế càng lớn.

Chúng ta nên bay như thế nào nếu muốn du hành tới Tinh vân Tiên Nữ trong một tuần? Khoảng cách 10⁶ năm ánh sáng phải được bao phủ trong $\frac{1}{52}$ năm. Tính toán theo công thức của kết quả lý thuyết tương đối: cần bay với gia tốc không đổi $a=700\text{ g}$! (g là gia tốc rơi tự do).

Nhưng còn tình trạng quá tải thì sao? Với gia tốc 700 g, trọng lượng của chúng ta sẽ tăng lên 700 lần! Nó giống như lái xe qua một ngôi sao nhỏ bằng một chiếc xe lăn nhựa đường. Máu của chúng ta cũng trở nên đặc hơn 700 lần. Và nó phải lưu thông khắp cơ thể. Trái tim không thể đối phó với một tải trọng đáng kể như vậy. Phi công đôi khi bị mù khi rẽ gấp - máu không dâng lên não, mặc dù ở đây gia tốc $a$ không vượt quá $5\div 10\text{ g}$. Bạn có thể nằm xuống để giảm tải cho tim - sau đó bạn cần nâng máu lên độ cao thấp hơn. Nhưng ngay cả tình trạng quá tải gấp mười lần ở vị trí này cũng chỉ có thể chịu được trong ba đến năm phút.

Có thể nghĩ ra một cách tốt hơn cho phép bạn di chuyển với bất kỳ gia tốc nào mà không bị quá tải không?

Có thể đề xuất một thiết kế cho một con tàu mô tả một phi hành gia dưới bất kỳ hình thức quá tải nào không?

Trước khi lao vào kẻ thù, việc nghiên cứu nó sẽ rất hữu ích.

Trọng lượng đến từ đâu?

Nếu bạn dựng cân ngoài lên, kim sẽ lệch khỏi vị trí số 0. Trái đất hút cơ thể, và vì chúng ta đứng yên so với cân nên lực này phải được cân bằng bởi lực đàn hồi của cánh tay. Mũi tên sẽ cho chúng ta thấy trọng lượng $P=mg(m-\text{ масса})$. Chúng ta hãy thay đổi trọng lượng (số chỉ của cân bên ngoài) trong một thang máy đang tăng tốc. Mũi tên sẽ hiển thị $m(a+g)$, một

27

tải trọng: lực đàn hồi không chỉ cân bằng trọng lực của Trái đất mà còn tạo ra gia tốc $a$ cho vật. Nếu thang máy rơi tự do thì trọng lượng sẽ bằng 0 - mọi vật rơi với cùng một gia tốc, chuyển động của chúng ta sẽ giống hệt chuyển động của lò xo và lò xo sẽ ​​không nhận biết được điều đó. Lấy một quả táo, chúng ta sẽ không cảm thấy trọng lượng của nó; nó không ấn vào tay chúng ta mà rơi tự do theo tay chúng ta.

Vì vậy, trọng lượng $P=m(a+g)$, nếu $a$ hướng cùng hướng với gia tốc rơi tự do $g$ và $|a|=|g|$ (rơi tự do) thì sẽ xảy ra trạng thái không trọng lượng. Tình trạng này mà các phi hành gia gặp phải khi bay với động cơ đã tắt hoặc khi họ đang di chuyển với gia tốc trọng lực.

Điều quan trọng là trọng lượng là do cả gia tốc và lực hấp dẫn. Có thể bù đắp thứ này bằng thứ khác. Có thể tạo ra tình trạng không trọng lượng vì gia tốc trọng trường không phụ thuộc vào khối lượng hoặc chất của vật rơi. Tính chất này được phát hiện bởi Galileo. Nhưng ngay cả bây giờ, các nhà nghiên cứu đôi khi không thể cưỡng lại sự cám dỗ muốn kiểm tra đặc tính này. Năm 1964, Roll, Krotkov và Dicke đã thiết lập đẳng thức gia tốc cho vàng và nhôm với độ chính xác 0,00000000001!

Chúng ta sẽ gặp tình trạng không trọng lượng trong cabin của thang máy rơi tự do. Không có tình trạng quá tải. Chúng ta hãy lấy một vật thể khổng lồ được tạo ra bởi gia tốc trọng trường $a$, có độ lớn bằng gia tốc chuyển động mong muốn. Hãy cài đặt một động cơ trên đó có thể cung cấp khả năng tăng tốc này. Lữ khách được cung cấp mọi tiện nghi trong một cabin riêng biệt, tự do rơi vào cơ thể này. Cabin rơi với gia tốc $a$, nhưng động cơ đang chạy và thân xe rời đi với cùng gia tốc.

Ở tốc độ ban đầu bằng 0, khoảng cách giữa cabin và vật thể to lớn sẽ không thay đổi. Trong một cabin rơi tự do có hiện tượng không trọng lượng nhưng đồng thời nó lao tới với gia tốc cần thiết.

Nhưng trước khi đi được nửa chặng đường, bạn cần bắt đầu giảm tốc độ. Sự phối hợp giữa gia tốc của cơ thể và gia tốc rơi tự do của cabin sẽ bị gián đoạn, cabin sẽ đâm vào một vật thể khổng lồ. Ngoài ra, còn có nguy cơ đứng lên hoặc ngã đè lên người khi có bất kỳ sự thay đổi nào về gia tốc của tàu (thân tàu có khối lượng lớn). Điều này có nghĩa là chúng ta cần suy nghĩ kỹ hơn về thiết kế của con tàu.

Chúng ta hãy khoan một trục theo hướng có gia tốc xuyên qua tâm của một vật thể khổng lồ được tạo hình thành một quả bóng. Gia tốc trọng trường sẽ thay đổi tùy thuộc vào khoảng cách đến tâm quả bóng. Chúng ta hãy biểu thị gia tốc trên bề mặt quả bóng là $a_0$ và bán kính của quả bóng là $r_0$. Hãy vẽ gia tốc $a$ ở khoảng cách $r$ tính từ tâm quả bóng (xem hình *).

Ở khoảng cách từ $-r_0$ đến $r_0$ (tức là bên trong quả bóng), gia tốc trọng trường thay đổi theo định luật $a=a_0 \frac{r}{r_0}$, và ở $r<-r_0$ và $r>r_0$

*) Điều bài toán này được Ya thảo luận chi tiết trong bài viết. A. Smorodinsky “Những chuyển động tương tự”. Sự phụ thuộc của lực hấp dẫn của một vật vào khoảng cách đến tâm quả bóng được tìm thấy ở lời giải bài toán F43 («Kvant» Số 5, 1971).

28

(bên ngoài quả bóng) gia tốc $a = -a_0 \left( \frac{r}{r_0} \right)^2$.

Dấu âm của gia tốc có nghĩa là nó luôn hướng về tâm quả bóng.

Khi quả bóng chuyển động không gia tốc thì tâm của nó là điểm cân bằng. Đối với những sai lệch nhỏ sẽ xuất hiện lực phục hồi. Khi tăng tốc tàu $w$, ta thay đổi $a_0$, luôn có một vị trí cabin mà tại đó gia tốc rơi tự do bằng $w$. Để tìm vị trí này trên biểu đồ, hãy vẽ một đường thẳng bên dưới trục $r$ cách một khoảng $w$. Hai điểm giao nhau sẽ xuất hiện, tọa độ của chúng cho khoảng cách cần thiết. Điểm bên trong quả bóng tương ứng với điểm cân bằng nguồn. Với một sự thay đổi nhỏ về gia tốc của tàu, cabin sẽ dao động xung quanh điểm cân bằng, tự nó giám sát tính nhất quán của các gia tốc và trong suốt thời gian này cabin sẽ vẫn ở trạng thái trơ.

Khi phanh với cùng gia tốc, điểm cân bằng sẽ ở phía bên kia tâm quả bóng.

Chúng tôi đã đề xuất một cách triệt để để chống lại tình trạng quá tải. Những “nếu” nào đang cản trở việc hiện thực hóa dự án tuyệt vời này?

Nó không mâu thuẫn với quy luật tự nhiên. Khó khăn chính nằm ở nguồn điện: đây là khó khăn chung của bất kỳ dự án tàu liên tỉnh nào. Nhưng cơ thể to lớn đến từ đâu? Bạn có thể lấy một khối lượng rất lớn hoặc sử dụng một chất có mật độ rất cao. Để dễ hình dung hơn về điều này, hãy hiểu các bài tập dưới đây.

Bài tập

1. Nếu một chiếc máy bay phản lực lao xuống với gia tốc 1,5 g thì trọng lượng của phi công là bao nhiêu và lực của trọng lượng hướng về đâu?
2. Tìm bán kính và khối lượng tương đối của một quả bóng có cùng khối lượng riêng với Trái đất với bán kính và khối lượng của Trái đất nếu gia tốc trên bề mặt quả bóng là 1000 g.
3. Điều gì sẽ xảy ra nếu mật độ của quả bóng lớn hơn mật độ của trái đất 10^6 lần? (Ví dụ, trong một số điều kiện vật lý, trên các ngôi sao được gọi là sao lùn trắng, mật độ vật chất vượt quá đáng kể giá trị của chúng ta.)

29

Giáo sư Everett, khi thảo luận về hiện tượng ảo ảnh (Thiên nhiên, ngày 19 tháng 11 năm 1874), đã chỉ ra rằng để hình thành các ảo ảnh liên tiếp nhau rõ nét thì cần có sự hiện diện của một mặt phẳng nằm ngang có chiết suất tối đa. Khi bạn di chuyển lên xuống từ mặt phẳng này, mật độ quang giảm tỷ lệ với khoảng cách từ nó.

Một chùm tia nằm ngang hoặc gần như nằm ngang bị lệch về phía mặt phẳng có mật độ tối đa và cắt nó *). Sau đó, nó thay đổi độ cong và lại lệch về phía mặt phẳng, mặt phẳng này cắt đi cắt lại nhiều lần, đi dọc theo một quỹ đạo gần với một hình sin.

Quan sát quỹ đạo của chùm sáng trong bình chứa đầy dung dịch muối (mật độ quang của dung dịch tăng theo độ sâu), tôi nghĩ:

*) Bản chất của ảo ảnh được mô tả trong bài viết của G. Ya. Myakishev “Nguyên lý Fermat và các định luật quang học hình học” («Kvant» Số 11, 1970).

rằng bằng cách thay đổi chiết suất của chất lỏng, có thể làm cho chùm tia chuyển động dọc theo một hình sin.

Kết quả là những thí nghiệm khá đẹp mắt có thể được trình chiếu cho khán giả. Rõ ràng là đáng để xuất bản chúng, mặc dù sau này tôi mới biết rằng những thí nghiệm tương tự đã được Wiener mô tả.

Tôi làm một chiếc bình từ tấm kính dày dài khoảng 50 cm, cao 10 cm và rộng 2 cm. Tôi đổ đầy 3 cm dung dịch phèn đậm đặc, và bên trên tôi đặt một lớp dung dịch cồn dày 3 cm (~10%) (Việc thêm rượu vào sẽ làm tăng chỉ số khúc xạ của nước.) Bạn cần cẩn thận thêm nước vào bình bằng pipet, hình dạng của nó như trong Hình 1.

Là chất lỏng có chiết suất cao, khối lượng bị loại bỏ lớn hơn trọng lượng của nước nhưng nhỏ hơn trọng lượng của dung dịch phèn chua, tôi sử dụng hỗn hợp

31

Cơm. 5.

nhịp đập từ sưởi ấm. Tôi đã thành công rực rỡ khi sử dụng các tấm thạch cao đúc từ thạch cao (thạch cao nung) trên tấm kính dày, mặc dù những tấm này rất dễ vỡ và có tuổi thọ ngắn. Có lẽ những thanh đá phiến (đá phiến lợp) sẽ rất tốt vì chúng có thể chịu được khá nhiều nhiệt và có thể làm phẳng, nhẵn.

Các tấm chỉ cần được rắc một lớp cát để tạo ra sự phản chiếu từ bề mặt. Bề mặt của cát sẽ trông hoàn toàn chắc chắn. Để thực hiện thành công thí nghiệm, bạn cần một sa mạc hoàn toàn bằng phẳng; vì vậy đừng cảm thấy như bạn đã chú ý quá nhiều đến việc điều chỉnh hồ sơ. Ở một đầu sa mạc, chúng ta cần tạo ra một bầu trời nhân tạo. Tốt nhất nên sử dụng một chiếc gương lớn gắn trên cửa sổ và phản chiếu bầu trời.

Giữa bầu trời và sa mạc, bạn cần lắp đặt một dãy núi nhỏ được cắt bằng bìa cứng. Các đỉnh riêng lẻ phải có chiều cao từ 1 đến 2 cm và các thung lũng giữa chúng chỉ cao hơn một chút so với mực nước sa mạc. Sự sắp xếp chung được thể hiện trong Hình 5.

Sau đó, các tấm được làm nóng bằng cách sử dụng đầu đốt gas, đôi khi cần phải di chuyển để đảm bảo sưởi ấm đều.

Nếu bây giờ chúng ta nhìn dọc theo sa mạc cao hơn mặt cát một chút, chúng ta sẽ thấy rõ những ngọn núi nổi bật trên nền trời: khi nhiệt độ tăng lên, axero bắt đầu hình thành phía trước dãy núi và

Cơm. 6.

Cơm. 7.

Nếu bạn đặt một quả bóng đá cẩm thạch nhỏ ở phía xa của sa mạc, khi xác định được vị trí của mắt, đường viền dốc sẽ biến thành hình elip, và nếu bạn hạ mắt xuống, hình ảnh sẽ trở thành một đoạn và cuối cùng biến mất. Sự gia tăng kích thước trong trường hợp này là do hình ảnh trực tiếp và hình ảnh phản chiếu được quan sát đồng thời và bị dịch chuyển tương đối với nhau. Tôi đã quan sát thấy một tình huống tương tự trên một hồ nước: khi nước ấm và không khí lạnh, những mảng tuyết ở bờ đối diện (quá nhỏ để mắt có thể phân biệt được từ độ cao vài mét so với mực nước hồ) trở nên rõ ràng nếu bạn đi xuống mép nước.

Các điều kiện khí quyển cần thiết để ảo ảnh xảy ra cũng có thể gây ra các cánh bụi thường thấy ở sa mạc và gây ra cái chết trên quy mô lớn. Những cái chết này, giống như ảo ảnh, có thể được tái tạo ở quy mô nhỏ.

Tôi rắc cát thạch anh lên một trong những tấm kim loại và đun nóng nó bằng đầu đốt nhỏ. Sau vài phút, những cái chết bé nhỏ vô cùng xinh đẹp bắt đầu di chuyển trên mặt nước, biến lớp cát mỏng thành những cánh nước; đôi khi nó kéo dài 10-15 giây.

Tuy nhiên, những cơn lốc được tạo ra theo cách này không thể lấp đầy được một lượng lớn khán giả. Vì vậy, tôi đã tìm cách tạo ra chúng trên quy mô lớn hơn. Để làm điều này, sau khi loại bỏ cát, anh ta làm nóng đĩa thật kỹ và rắc chất kết dính lên nó: một đám hơi trắng dày đặc ngay lập tức bốc lên từ bề mặt nóng và ngay sau đó, một cái chết thực sự cao khoảng 2 cm xuất hiện ở trung tâm. Bằng cách đặt chiếc đĩa dưới tia đèn pin trong phòng tối, bạn có thể chứng minh đôi cánh trước lượng khán giả lớn hơn. Tôi thấy tốt nhất là trước tiên hãy rắc amoniac lên đĩa rồi đun nóng: sau đó cánh xuất hiện gần như liên tục và thường tồn tại khá lâu.

Hình 7 cho thấy ảnh chụp nhanh của một trong những cái chết này, được chụp dưới ánh sáng mặt trời.

Phương pháp tạo cánh khí quyển này được ưa chuộng hơn so với phương pháp tạo chúng cũ bằng cách sử dụng trống nhả nhanh có vách ngăn ngang *), vì ở đây các cánh phát sinh vì những lý do tương tự và trong cùng điều kiện như trong tự nhiên.

*) Xem bài viết của N. E. Zhukovsky “Cơ sở cơ bản của lý thuyết winga” («Kvant» Số 4, 1971).

33

NHIỆM VỤ

Trong số này, “Bài toán Kvant bao gồm bài toán, được đưa ra trong các kỳ thi cuối kỳ của Olympic Toán và Vật lý toàn Liên minh say rượu.

M106. Chứng minh rằng nếu các số $p_1, p_2, q_1, q_2$ thỏa mãn bất đẳng thức
$(q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1) < 0,$
thì tam thức vuông
$x^2 + p_1x + q_1$ và $x^2 + p_2x + q_2$
có rễ thực sự và giữa hai rễ của mỗi cái là gốc của cái kia.

I. F. Sharyn

M107. a) Cho một đa giác lồi $A_1A_2 \dots A_n$. (Hình 1). Ở bên $A_1A_2$ lấy điểm $B_1$ và $D_2$, ở bên $A_2A_3$ - lấy điểm $B_2$ và $D_3$, …, ở bên $A_nA_1$ điểm $B_n$ và $D_1$ sao cho nếu dựng hình bình hành $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \dots, A_nB_nC_nD_n,$ thì thẳng $A_1C_1, A_2C_2, \dots, A_nC_n$ sẽ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng
$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot \dots \cdot A_nB_n = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot \dots \cdot A_nD_n$.

6. Chứng minh rằng mệnh đề ngược lại cũng đúng với một tam giác: chọn các điểm $B_1$ và $D_2$ ở cạnh $A_1A_2$, chọn các điểm $B_2$ và $D_3$ ở cạnh $A_2A_3$, các điểm $B_3$ và $D_1$ ở cạnh $A_3A_1$ sao cho nếu dựng hình bình hành $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \dots, A_nB_nC_nD_n,$ thì các đường $A_1C_1, A_2C_2, \dots, A_nC_n$ sẽ giao nhau tại một điểm.

V. L. Gutemacher

M108. a) Chứng minh rằng đường thẳng chia tam giác đã cho thành hai đa giác có diện tích và chu vi bằng nhau đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

6. Chứng minh khẳng định tương tự cho một đa giác tùy ý có thể nội tiếp một đường tròn.

Yu. I. Ionin

M109. a) Tại đỉnh $A_1$ của 12 giác đều $A_1A_2A_3 \dots A_{12}$ có ​​dấu trừ, còn lại có đồ thị. Cho phép đồng thời đổi dấu sang dấu ngược lại tại sáu đỉnh liên tiếp bất kỳ của đa giác. Chứng minh rằng trong một số phép toán như vậy không thể đạt được điều đó tại đỉnh

không phải $A_2$ hóa ra là dấu trừ và ở các đỉnh còn lại có các ô.

6. Chứng minh khẳng định tương tự nếu cho phép đổi dấu đồng thời không phải tại sáu mà tại bốn đỉnh liên tiếp của đa giác.

c) Chứng minh kết luận tương tự nếu cho phép đổi dấu đồng thời tại ba đỉnh liên tiếp của một đa giác.

M110. Trên một tờ giấy dán vô tận, các lưới $N$ được sơn màu đen. Chứng minh rằng có thể cắt ra một số hữu hạn các ô vuông từ một lá sao cho thỏa mãn hai điều kiện:

1. tất cả các ô vuông màu đen sẽ nằm trong các ô vuông đã cắt ra;
2. trong bất kỳ hình vuông cắt nào $K$ diện tích ô đen ít nhất là $\frac{1}{5}$ và không quá $\frac{4}{5}$ của diện tích $K$.

G. A. Rosenblom

F118. Một khối lượng $m$ hydro và lượng oxy cần thiết để đốt cháy hoàn toàn đi vào buồng đốt của động cơ phản lực trong mỗi giây. Đầu ra vòi phun $S$. Áp suất ở phần này là $P$, nhiệt độ tuyệt đối là $T$. Xác định lực kéo của động cơ. (lớp 9-10)

G. L. Komkin

Cơm. 2. Hình 3.

F119. Một hộp diêm $AB$ với một quả bóng có khối lượng $M$ được treo vào hộp diêm $BC$ với một quả bóng có khối lượng $m$ (Hình 2). Điểm $A$ dao động theo phương nằm ngang với chu kỳ $T$. Tìm độ dài của sợi chỉ $BC$ nếu biết rằng sợi chỉ $AB$ luôn thẳng đứng. (10 lớp)

G. L. Komkin

F120. Một vận động viên trượt băng tốc độ trên đường băng cố gắng rẽ càng gần mép trong càng tốt. Người đi xe đạp trên đường dành cho xe đạp rẽ càng xa mép trong càng tốt. Làm thế nào để thực thi sự khác biệt này trong chuyển động của một vận động viên trượt băng và một vận động viên đua xe đạp khi rẽ? Cấu hình đường đi được hiển thị trong Hình 3. (8 ô)

M. M. Balatsov

F121. Trong một bình kín, một khối băng có khối lượng $M$ nổi trong nước, trong đó một viên chì có khối lượng $m$ bị đóng băng. Cần bao nhiêu nhiệt lượng để viên bi chìm xuống? Mật độ của chì là $11,3 \text{ e/cm}^3$, mật độ của băng là $0,9 \text{ e/cm}^3$, nhiệt nóng chảy của băng là $80 \text{ кал/е}$. Nhiệt độ của nước trong bình là $0^\circ \text{C}$. (8 lớp)

F122. Ba vật có khối lượng $m_1$, $m_2$ và $m_3$ có thể trượt dọc theo mặt phẳng ngang mà không ma sát (Hình 4), và $m_1 \gg m_2$ và $m_2 \ll m_3$. Xác định vận tốc cực đại mà hai vật cực đại có thể đạt được nếu tại thời điểm ban đầu

Cơm. 4.

cả hai đều không tích lũy được, nhưng cơ thể trung bình có tốc độ $v$. Các tác động được coi là hoàn toàn đàn hồi. (9 lớp)

** Đ. Kuznetsov**

36

Còn lại phải giải bài toán sau bài toán: tìm điểm M trên đường thẳng l sao cho góc PMQ là nhỏ nhất: một đường tròn đi qua các điểm P, Q và M tiếp xúc với đường thẳng l. Để dựng điểm M, bạn cần (nếu đoạn PQ không song song với đường thẳng l) từ điểm C của giao điểm của PQ và l trên đường thẳng l, vẽ các đoạn CM₁ = CM₂ = √(CP·CQ), sau đó từ các điểm thu được M₁ và M₂ chọn điểm mà góc MᵢCP là nhọn (hoặc thẳng). Bằng chứng cho thấy góc PMQ là lớn nhất ở điểm này gần như hiển nhiên và được để lại cho người đọc *) (Hình 2).

Thật kỳ lạ, nhiều độc giả gửi thư cho chúng tôi đã nghĩ về một trong các khả năng 1) và 2). lời giải cao nhất được gửi bởi O. Kim, G. Levin, A. Pukhalsky, V. Luzzin, Yu. Obolonkov, A. Kostyurin.

M65

a) Gọi E, F, G là các điểm trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC sao cho $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$, trong đó 0 < k < 1.

Tìm tỉ số diện tích của tam giác KLM tạo bởi các đường thẳng AF, BG và CE so với diện tích của tam giác ABC (Hình 3a).

6. Cắt hình tam giác có đường thẳng thứ sáu thành các mảnh sao cho có thể gấp được bảy hình tam giác bằng nhau.

a) Gọi diện tích tam giác có các đỉnh X, Y, Z là s(XYZ). Vận dụng tính chất tỉ số các tam giác có cùng chiều cao (hoặc cùng đáy) bằng tỉ số hai đáy (tương ứng với tỉ số chiều cao), không khó để chứng minh rằng

$$s(ACK) = \frac{1}{k} s(ABK) = \frac{k+1}{k^2} s(AEK) = \frac{k+1}{k^2+k+1} s(AEC) = \frac{k}{k^2+k+1} s(ABC).$$

Bằng cách tương tự có thể chứng minh rằng

$$s(BLA) = s(CMB) = \frac{k}{k^2+k+1} s(ABC).$$

Pozny

$$\frac{s(KLM)}{s(ABC)} = 1 - \frac{3k}{k^2+k+1} = \frac{(1-k)^2}{k^2+k+1} = \frac{(1-k)^3}{1-k^3}.$$

6. Lưu ý rằng với k = $\frac{1}{2}$ thì tỷ lệ này bằng $\frac{1}{7}$ và mỗi đoạn trong ba đoạn AF, BG, CE được chia cho hai đoạn còn lại theo tỷ lệ 3:3:1, do đó nếu vẽ các điểm M, K, L thì có thêm ba đường thẳng tương ứng song song với các đoạn này thì mỗi cạnh của tam giác ABC sẽ được chia theo tỷ lệ 2:1:1:2.

*). Để biết thêm thông tin về điều này, hãy xem cuốn sách “Đường thẳng và đường cong” của N. B. Vasiliev và V. L. Gutenmacher, bộ “Thư viện của Trường Vật lý và Toán học”. “Khoa học”, 1969, trang 76-78.

Bây giờ không khó để ghép 7 hình tam giác bằng nhau từ 13 mảnh được cắt thành tam giác ABC (một trong số chúng bao gồm một mảnh KLM; Hình 36).

Tương tự lời giải bài toán được thêm bởi A. Alekseev từ Leningrad, A. Alyaev từ vùng Penza, E. Turkevich, A. Chernyak, Yu. Obolenkov.

M66

Dưới đây là một số ví dụ trong đó tổng bình phương $k$ của các số tự nhiên liên tiếp bằng tổng bình phương $(k-1)$ của các số tự nhiên sau:
$$3^2+4^2=5^2, 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,$$
$$55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2.$$
Tìm công thức tổng quát cho tất cả các trường hợp như vậy.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $k$ luôn tồn tại duy nhất một số tự nhiên $n$ sao cho
$$(n-k+1)^2+(n-k+2)^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=(n+1)^2+$$
$$+(n+2)^2+\ldots+(n+k-1)^2.$$

(Lưu ý rằng ở vế phải của đẳng thức $(k-1)$ là mệnh lệnh và ở vế trái là $k$). Đẳng thức (1) tương đương với đẳng thức sau:
$$n^2=[(n+1)^2-(n-k+1)^2]+[(n+2)^2-(n-k+2)^2]+\ldots$$
$$\ldots+[(n+k-1)^2-(n-1)^2]$$
$$n^2=k(2n-k+2)+k(2n-k+4)+\ldots+k(2n+k-2),$$
$$n^2=2k(k-1)n.$$

Do đó, mệnh đề đã nêu đã được chứng minh: đẳng thức (1) đối với $k$ tự nhiên và $n$ được thỏa mãn khi và chỉ khi $n=2k^2-2k$. (Khi chuyển từ (3) sang (4), chúng ta đã lợi dụng thực tế là tổng các số hạng $(k-1)$ của cấp số cộng $(2n-k+2)+(2n-k+4)+\ldots+(2n+k-2)$ bằng $(k-1)\frac{(2n-k+2)(2n+k-2)}{2}=2(k-1)n$. Do đó, chúng ta thu được một công thức loại trừ. Ví dụ, nó có thể được viết như thế này:
$$(2k^2-3k+1)^2+(2k^2-3k+2)^2+\ldots+(2k^2-2k)^2$$
$$=(2k^2-2k+1)^2+(2k^2-2k+2)^2+\ldots+(2k^2-k-1)^2,$$
trong đó $k$ là số tự nhiên tùy ý. Các ví dụ được đưa ra trong các điều kiện được lấy từ nó với $k$ bằng 2, 4 và 5.

Công thức này (hoặc những công thức khác tương đương với nó) đã được nhiều người tìm ra - hầu hết họ đều đưa ra cách chứng minh gần giống với công thức của chúng ta hoặc sử dụng công thức tính tổng bình phương của các số tự nhiên trong phép tính của họ (xem Bổ đề 1, trang 17).

M67

Người thợ kim hoàn được đặt mua một chiếc nhẫn vàng có chiều rộng $h$, có hình khối, bề mặt giới hạn của một quả bóng có tâm $O$ và bề mặt của một hình trụ có bán kính $r$, trục của nó đi qua điểm $O$ (Hình 4). Thầy làm một chiếc nhẫn như vậy nhưng lại chọn $r$ quá nhỏ. Cần thêm bao nhiêu vàng vào nếu $r$ cần tăng $k$ lần, nhưng chiều rộng $h$ vẫn giữ nguyên?

Không khó để chứng minh rằng thể tích của một vòng hình cầu - vật thể thu được bằng cách biểu thị đoạn $AB$ xung quanh đường kính $MN$, không cắt đoạn này - bằng $$\frac{\pi}{6} AB^2 \cdot A_1B_1,$$ trong đó $A_1B_1$ là hình chiếu của dây cung $AB$ lên đường kính $MN$. Ví dụ, công thức này được đưa ra trong cuốn sách “Hình học cơ bản” của J. Adam, phần II, chương. IV, 500.

Cơm. 4.

38

Thể tích của chiếc nhẫn bằng $\frac{\pi}{6} h^3$, tức là không phụ thuộc vào bán kính $r$ nên vàng được thêm vào chủ.

M68

Lưới các đường thẳng ở Hình 5 (xem thêm bìa “Kvat” số 2, 1971) gồm các đường tròn đồng tâm có bán kính 1, 2, 3, 4, … có tâm tại điểm $O$, đường thẳng $l$ đi qua điểm $O$ và tất cả các tiếp tuyến có thể có của đường tròn song song với đường thẳng $l$. Toàn bộ mặt phẳng được chia bởi các đường này thành các ô, được tô màu theo kiểu bàn cờ. Trong chuỗi các chấm màu hồng như trên hình, cứ hai chấm liền kề là các đỉnh đối diện của một ô tối. Chứng minh rằng tất cả các điểm của chuỗi vô hạn như vậy đều nằm trên cùng một parabol (hình dường như được dệt từ các parabol màu vàng và tối).

Lấy đường thẳng $l$ làm trục $Ox$ và điểm $O$ làm gốc tọa độ của hệ trực tràng, như trong Hình 5. Đơn vị tỷ lệ đã được chỉ định trong các điều kiện. Lưới các đường được thảo luận trong các điều kiện bao gồm các đường tròn có bán kính $n$ có tâm $O$ (phương trình của đường tròn như vậy $x^2 + y^2 = n^2$) và các đường thẳng $y = m$, trong đó $m$ và $n$ đều là các số nguyên có thể có; $n > 0$. Do đó, mỗi điểm giao nhau (hoặc tiếp tuyến) của các đường này—mỗi “nút” $(x, y)$ của lưới của chúng ta—tương ứng với một cặp giá trị nhất định $n = \sqrt{x^2 + y^2}$ và $m = y$. Lưu ý rằng khi chúng ta di chuyển từ một trong các chấm màu hồng sang chấm màu hồng liền kề, cả $m$ và $n$ đều thay đổi một, do đó hiệu $n - m = \sqrt{x^2 + y^2} - y$ của chúng không đổi; sự khác biệt này cho tất cả các chấm màu hồng là 6.

Phương trình $\sqrt{x^2 + y^2} - y = 6$ tương đương với phương trình sau: $x^2 + y^2 = (y + 6)^2$; $y = \frac{x^2}{12} - 3$. Như vậy, tất cả các điểm màu hồng đều nằm trên parabol $y = \frac{x^2}{12} - 3$.

Trong một chuỗi điểm tương tự khác mà chúng tôi đã vẽ bằng màu đầu, khi di chuyển từ một điểm sang điểm lân cận, $\sqrt{x^2 + y^2}$ và $y$ thay đổi một đơn vị sao cho tổng của chúng không đổi: $\sqrt{x^2 + y^2} + y = 4$. Phương trình này sau khi biến đổi các điểm sẽ trở thành phương trình của parabol $y = -\frac{x^2}{6} + \frac{3}{2}$.

Theo cách tương tự, có thể chỉ ra rằng bất kỳ chuỗi điểm vô hạn nào trong đó các điểm lân cận là các đỉnh đối diện của cùng một ô (hoặc một đoạn) đều nằm trên parabola $y = -\frac{x^2}{2p} + \frac{p}{2}$, trong đó $p$ là một số nguyên khác 0. Ngược lại, bất kỳ parabol nào trong số này đều chứa một chuỗi điểm vô hạn như vậy (đây là những điểm giao nhau của parabol với tất cả các đường thẳng có thể có $y = m$).

39

Lưu ý rằng nếu $p < 0$, tức là nếu các nhánh của parabolaOLS hướng lên trên thì nếu $p$ chẵn thì parabol đi dọc theo các ô tối, còn nếu $p$ lẻ thì đi dọc theo các ô màu vàng; nếu $p > 0$ thì ngược lại. Hơn nữa, qua mỗi giao điểm của đường thẳng và đường tròn trong lưới của chúng ta (không bao gồm các điểm tiếp tuyến nằm trên đường $x = 0$), hai parabol đi qua; một cái đi dọc theo ô màu vàng, cái kia đi dọc theo ô tối; một cái hướng lên trên, cái kia hướng xuống.

Lời giải điều này bài toán với việc bổ sung nhiều danh hiệu. Một số người sử dụng định nghĩa hình học sau đây của parabol trong lời giải của họ: parabol là một tập hợp các điểm có khoảng cách bằng nhau từ một điểm cho trước và một đường thẳng cho trước. Về cơ bản lời giải bài toán M68 rất gần với việc chứng minh sự tương đương giữa định nghĩa parabol này và định nghĩa đã biết từ khóa học ở trường (parabola là đồ thị của một tam giác vuông). Nếu chúng ta chọn hệ tọa độ sao cho một điểm cho trước là tọa độ nacal và một đường thẳng cho trước là phương trình $y = c$, thì điều kiện là điểm $(x, y)$ cách đều một điểm đã cho và một đường thẳng đã cho được viết bằng phương trình $\sqrt{x^2 + y^2} = |y - c|$, tương đương với phương trình $y = -\frac{x^2}{2c} + \frac{c}{2}$.

M69

Số 76 có đặc tính kỳ lạ này: hai chữ số cuối của số $76^2 = 5776$ lại là số 76.

a) Có số nào có hai chữ số giống như vậy không?

b) Tìm tất cả các số có ba chữ số $A$ sao cho ba chữ số cuối của $A^2$ tạo thành số $A$.

b) Có dãy vô hạn các chữ số $a_1, a_2, a_3, \dots$ sao cho với bất kỳ $n$ nào thì bình phương của số “$a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1$” là “…$a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1$” không? (Dấu ngoặc kép ở đây biểu thị ký hiệu thập phân của số. Chúng tôi loại trừ đáp số $a_i = O$ cho tất cả $i > 1$.)

Đáp số trong bài toán này như sau: với bất kỳ $n > 1$ nào, có chính xác hai số có $n$ chữ số $n > 1$, bình phương của nó là $A$ (không tính những số rất dài: 0 … 0000 và 0 … 0001), - đối với $n = 2$ đây là 76 và 25, đối với $n = 3$ - 376 và 625, với $n = 4$ - 9376 và 0625, với $n = 5$ - 09376 và 90625, v.v., sao cho có hai dãy số vô hạn được thảo luận ở điểm c): một dãy bắt đầu bằng các số 6, 7, 3, 9, 0, 1, …, chuỗi kia - từ các số 5, 2, 6, 0, 9, 8, …*).

Hãy bắt đầu với bài toán a). Cách dễ nhất để tìm các số có hai chữ số mà chúng ta cần, biểu thị số nhiều, như sau. Nếu $A^2$ có hai chữ số giống $A$ thì $A^2 - A = A$ (A - 1) chia hết cho 100 = 25 4, và vì các số $A$ và $(A - 1)$ là hai số nguyên tố cùng nhau (không có thừa số chung lớn hơn 1) nên một trong số chúng phải chia hết cho 25 và số còn lại cho 4. Hãy thử để xem mỗi số có phù hợp 25, 50 và 75 cho vai trò $A$ hoặc cho vai trò $A - 1$ (cả hai số này đều có hai chữ số). Để làm điều này, bạn chỉ cần kiểm tra xem số nào bên cạnh chia hết cho 4. Số này sẽ chỉ là 76 và 24 nên $A$ chỉ có thể bằng 25 và 76.

Tương tự, chúng ta có thể giải bài toán 6), nhưng chúng ta phải hiểu ngay: nếu bình phương của số $B = \langle a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle$ hóa ra là các chữ số “… $a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1$”, thì có thể, theo một cách duy nhất, chọn chữ số $a_n$ sao cho bình phương của số $A = \langle a_n a_{n-1} \dots a_1 \rangle$ hóa ra là “… $a_n a_{n-1} \dots a_1$”.

Hãy để $B^2 = \langle ... b_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle$. Sau đó $(n \geqslant 2 = > 2n > n + 1)$

$$A^2 = (10^n a_n + B)^2 = 10^{2n} a_n + 2 \cdot 10^n a_n B + B^2 = \langle ... c_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_1 \rangle,$$

trong đó $c_n$ là chữ số cuối cùng của số $2a_n a_1 + b_n$. Chúng ta phải chọn $a_n$ sao cho $c_n$ bằng $a_n$, tức là sao cho $2a_n a_1 + b_n = a_n = (2a_1 - 1)a_n + b_n$ chia hết cho 10. Rõ ràng, điều này có thể được thực hiện theo một cách duy nhất. Trong các hàm $a_1 = 5$ và $a_1 = 6$ mà chúng ta quan tâm, các hàm $b_n \rightarrow a_n$ mà chúng ta phải chỉ ra đặc biệt đơn giản: nếu $a_1 = 5$ thì $a_n = b_n$ và nếu $n = 6$ thì $a_n = 10 - b_n$ với $b_n > 0$ và $a_n = 0$ với $b_n = 0$.

Cách tiếp cận lời giải bài toán M68 này được Ya thảo luận chi tiết hơn trong cuốn sách. I. Perel - về “Đại số giải trí”, trang 81-85.

*) Chúng tôi không loại trừ khỏi việc xem xét các số “$a_n a_{n-1} \dots a_1$”, trong đó chữ số đầu tiên $a_n$ (hoặc một số chữ số đầu tiên) bằng 0. Bạn đọc nào chưa xem xét các số như vậy thì đương nhiên chỉ tìm đến số có 4 chữ số 9376 và số có 3 chữ số là 625.

41

Một chiếc vòng nặng với những chiếc kim đan nhẹ được đặt trong mặt phẳng thẳng đứng và có thể quay quanh một trục ngang đi qua tâm. Một quả bóng nhỏ được cố định bằng độ dày của vành của nó, có khối lượng bằng chính cái vòng. Chu kì của vòng bánh xe quanh trục sẽ là bao nhiêu? Nó sẽ thay đổi như thế nào nếu: a) cái vòng này được chuyển lên Mặt trăng? b) đặt nó vào một chất lỏng mà anh ta sẽ ngạc nhiên mà không cần run?

Sẽ tham gia vào sự tương tự. Độc giả có thể làm quen với anh qua bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Những chuyển động tương tự” trên tạp chí năm nay. Hãy sử dụng phép tương tự với ma trận toán học có độ dài $R$.

Nếu góc lệch tối đa của ma trận và quả bóng gắn vào vòng bằng $\alpha_0$ (Hình 7), thì chúng ở độ cao $h=R(1-\cos \alpha_0)$ tính từ vị trí cân bằng. Ở góc lệch $\alpha$, động năng của ma trận (và vòng với quả bóng) bằng hiệu giữa các thế năng ở góc $\alpha_0$ và góc $\alpha$. Đối với ma trận toán học, chúng tôi nhận được

$$\frac{mv^2}{2} = mgR(\cos \alpha - \cos \alpha_0).$$

Do đó ma trận tốc độ

$$v = \sqrt{2gR(\cos \alpha - \cos \alpha_0)}.$$

Cũng giống như ma trận, thế năng của vòng với quả bóng thay đổi. Bản thân thế năng của vòng không thay đổi, nhưng động năng trong trường hợp này bằng tổng động năng của quả bóng $E_{\text{ш}} = \frac{mv^2}{2}$ và vòng $E_0 = \frac{mv^2}{2}$ (để biết động năng của vòng, xem bài viết của A.K. Kikon “Chuyển động quay của các vật”, «Kvant» Số 1, 1971). Do đó, trong trường hợp một cái vòng có một quả bóng, nó tuân theo định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mgR(\cos \alpha - \cos \alpha_0),$$

và tốc độ bóng

$$v = \sqrt{gR(\cos \alpha - \cos \alpha_0)}.$$

Ở một góc lệch bất kỳ so với vị trí cân bằng, tốc độ của quả bóng nhỏ hơn $\sqrt{2}$ lần so với tốc độ của ma trận toán học. Kể từ đây,

42

và chu kỳ dao động của vòng với một quả bóng lớn hơn $\sqrt{2}$ lần chu kỳ dao động của ma trận và bằng

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}.$$

Bạn có thể tiếp cận lời giải cái này bài toán, v.v. Nếu ma trận toán học lệch khỏi vị trí cân bằng một góc $\alpha$ thì nó được đưa về vị trí cân bằng bởi thành phần lực hấp dẫn tiếp tuyến với quỹ đạo của ma trận (Hình 8):

$$F = mg \sin \alpha.$$

Vì góc $\alpha$ nhỏ nên $\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x}{R}$, trong đó $x$ là độ dịch chuyển của ma trận khỏi vị trí cân bằng. Từ đây

$$F \approx mg \frac{x}{R}.$$

Do đó, đối với thành phần tiếp tuyến của ma trận gia tốc chúng ta có thể viết phương trình

$$mg \frac{x}{R} = ma$$ hoặc $a = \frac{g}{R} x = cx,$

trong đó $c = \frac{g}{R}$ là một hệ số không đổi nào đó của một ma trận nhất định. Chu kỳ dao động của ma trận bằng $2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$, tức là $2\pi/\sqrt{c}$.

Chúng ta sẽ thu được kết quả tương tự đối với một vật nặng gắn vào một đường tròn và dao động dọc theo mặt phẳng nằm ngang. Phương trình chuyển động của một vật nặng như vậy là $kx = ma$, và chu kì dao động là $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

Trong trường hợp của chúng ta, lực đưa quả bóng về vị trí cân bằng là bằng nhau, như trong trường hợp của ma trận toán học, $mg \frac{x}{R}$, và gia tốc $a$ được truyền cho cả quả bóng và vòng, tức là khối lượng $2m$. Vì vậy $mg \frac{x}{R} = 2ma$; điều này có nghĩa là $c = \frac{g}{2R}$ và chu kỳ dao động của hệ là $T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.

Nếu một vòng với một quả bóng được chuyển lên Mặt trăng hoặc đặt trong một bình chứa chất lỏng, thì chu kỳ dao động của nó sẽ thay đổi giống hệt như chu kỳ dao động của ma trận toán học: trong trường hợp đầu tiên, nó sẽ tăng $\sqrt{6}$ lần ($g_{\text{л}} = \frac{1}{6} g_3$) do thay đổi gia tốc rơi tự do, và trong trường hợp thứ hai, nó sẽ giảm $\sqrt{1 - \frac{\rho}{\rho_T}}$ lần ($\rho$ - mật độ của nước và $\rho_T$ - vật liệu bóng mật độ) do ảnh hưởng của lực nổi Archimedean.

lời giải chính xác được gửi bởi S. Ivanov (Moscow), G. Zaitsev (Gagra), A. Proskurykov (Moscow).

F77

Một khối hình chữ nhật có chiều cao vượt quá đáng kể chiều dài và chiều rộng của nó, đứng trên một bề mặt nằm ngang. Làm thế nào để xác định hệ số ma sát giữa khối và bề mặt khi chỉ có một dụng cụ đo - thước kẻ?

Sau khi tạo một vòng từ sợi chỉ, chúng tôi đặt nó vào khối và kéo nó theo hướng ngang (Hình 9). Nếu sợi chỉ được treo trên một khối gần bề mặt

43

Nếu cần, khối sẽ trượt. Nếu chúng ta nhấc sợi chỉ dọc theo khối thì khi nó ở một độ cao nhất định $h_0$ so với bề mặt, khối sẽ không trượt nữa mà bắt đầu lật. Trong trường hợp này, lực $F$ mà chúng ta kéo khối bằng lực ma sát:

$$F = kmg,$$

và mô men của lực $F$ đối với trục đi qua điểm $A$ bằng mô men của lực hấp dẫn:

$$Fh_0 = mg \frac{a}{2},$$

trong đó $a$ là cạnh của hình vuông ở đáy khối.

Giải hai phương trình này với nhau, ta tìm được

$$k = \frac{a}{2h_0}.$$

Bằng cách đo $a$ và $h_0$ bằng thước, ta tìm được hệ số ma sát của khối trên bề mặt.

Sự bổ sung lời giải này I. Sidorov (Moscow), A. Petrov (Asbest của vùng Sverdlovsk), M. Rozov (Minsk), S. Yudin (Volgograd), D. Shapiro (Chelyabinsk), A. Alexandrov (Glazov Udm. Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị), G. Simonenko (Kaunas).

Thú vị lời giải được thêm bởi A. Kalika từ Baku và S. Sobolev từ Moscow. Đây rồi.

Sau khi nghiêng khối và giữ nó ở một góc nhất định so với phương thẳng đứng, chúng ta tác dụng một lực nhất định $F$ lên khối, hướng dọc theo khối (Hình 10). Trong trường hợp này, phản lực $N = mg + F \cos \alpha$ và lực ma sát $F_{trp}$ cũng sẽ tác dụng lên khối. Nếu lực ma sát không đạt giá trị cực đại bằng $kN = k (mg + F \cos \alpha)$ thì đầu khối sẽ không trượt. Trong trường hợp này, lực ma sát bằng $F \sin \alpha$. Như vậy đầu thanh không bị trượt khi

$$F \sin \alpha < kmg + kF \cos \alpha,$$

tức là khi

$$F < \frac{kmg}{\sin \alpha - k \cos \alpha}.$$

Dễ dàng nhận thấy rằng ở $k > tg \alpha$ khối không thể chuyển động được, cho dù lực $F$ có lớn đến đâu. Chúng ta hãy tìm góc $\alpha_0$ tại đó khối bắt đầu. Dùng thước đo chiều cao từ mặt phẳng ngang đến mép khối nghiêng và chiều rộng của khối rồi tính $tg \alpha_0$, ta tìm được hệ số ma sát $k$.

44

20 heli chứa trong xi lanh dưới pít-tông chuyển rất chậm từ trạng thái I ($P_1 = 4,1$ amm, $V_1 = 32$ l) sang trạng thái II ($P_2 = 15,5$ amm, $V_2 = 9$ l). Mỗi khí ở nhiệt độ cao nhất sẽ đơn giản hơn nếu đồ thị áp suất theo thể tích là một đường thẳng (Hình !i)?

Chúng ta hãy vẽ lưới đẳng nhiệt trên đồ thị—hyperbola $PV = \text{const} \frac{m}{\mu} RT$. Nhiệt độ khí càng cao thì đỉnh của hyperbol càng xa gốc tọa độ. Do đó, rõ ràng là trong quá trình I-II, khí đạt đến nhiệt độ cao đến mức tại đó hyperbol tương ứng không cắt đường I-II mà chỉ chạm vào nó.

Vì điểm có tọa độ $P$ và $V$ tương ứng với nhiệt độ cực đại, nằm trên cả đường hyperbol và đường thẳng nên tọa độ của nó phải thỏa mãn hai phương trình: phương trình của hyperbol

$$PV = \frac{m}{\mu} RT$$

và phương trình của đường thẳng

$$P = \alpha V + \beta$$

(α và β là các hằng số. Chúng ta sẽ định nghĩa chúng sau). Thay $P$ từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, chúng ta thu được phương trình bậc hai cho $V$:

$$\alpha V^2 + \beta V - \frac{m}{\mu} RT = 0.$$

Vì hyperbol và một đường thẳng chỉ có một điểm chung nên phương trình này chỉ có thể có một nghiệm, nghĩa là xác định của nó phải bằng 0:

$$\beta^2 + 4\alpha \frac{m}{\mu} RT = 0.$$

Giải phương trình cuối cùng cho $T$, ta tìm được

$$T = -\frac{\beta^2 \mu}{4\alpha m R}.$$

Trong biểu thức này, bạn cần thay thế các giá trị của các hệ số $\alpha$ và $\beta$. Vì điểm I và II thuộc cùng một đường thẳng $P = \alpha V + \beta$ nên $P_1 = \alpha V_1 + \beta$ và $P_2 = \alpha V_2 + \beta$. Giải hệ phương trình này, ta tìm được

$$\alpha = -\frac{P_2 - P_1}{V_1 - V_2}, \quad \beta = \frac{P_2 V_1 - P_1 V_2}{V_1 - V_2}.$$

Pozny

$$T = \frac{(P_2 V_1 - P_1 V_2)^2 \mu}{4 (P_2 - P_1) (V_1 - V_2) m R}.$$

Thay thế các giá trị bằng số của các đại lượng có trong biểu thức này, chúng ta thu được

$$T \approx 490^\circ \text{ K}.$$

Đúng lời giải được thêm bởi M. Preger (Tomsk), V. Rudko (Kyiv), N. Fedin (Omsk), G. Zaitsev (Gagra), L. Knizherman (Moscow), O. Maslyuk (Novomirgorod, vùng Kirovograd), V. Trunkov (Gomel), E. Rozov (Minsk), A. Petrov (Asbest of Sverdlovsk, vùng), L. Tsiferblam (Lvov), I. Vidorovich (Simferopol), V. Tyryshkin (Kuibyshev), V. Martivov (Ioshkar-Ola), V. Klimov (Solnechnogorsk, vùng Moscow), A. Tovbi (Odessa), G. Fast (Karaganda), M. Glikman (Chisinau), A. Zisman (Pskov), A. Esin (Liggul, vùng Tashkent), A. Tarnopolsky (Nikolaev), M. Sargsyan (làng Agaran, quận Meghri, Liên Xô Armenia).

Tôi. Sh. Tiếng Slovodechkiy

45

Hệ phương trình đại số

M. I. Shabunin

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, lần đầu tiên hệ phương trình đại số được đề xuất; đặc biệt, những hệ thống như vậy phát sinh trong các vấn đề về soạn phương trình. Kinh nghiệm thi cử cho thấy nhiều học sinh khi vào giải hệ phương trình không đạt yêu cầu.

Thực tế là học sinh thường hiểu câu hỏi tìm hệ lời giải đơn giản là việc thực hiện chính thức một loạt các phép biến đổi đại số “thông thường”. Cần lưu ý rằng một số ví dụ chuyển đổi có thể dẫn đến sự xuất hiện của lời giải không liên quan hoặc làm mất lời giải của hệ thống ban đầu.

Nếu không có sự biện minh thích hợp lời giải của hệ thống, các phương trình logic sẽ không hoàn chỉnh. Đặc biệt, chúng tôi có thể không thay thế tổn thất của một số lời giải. Thật không may, hệ thống lời giải có ​​cơ sở vững chắc, được trình bày tốt là cực kỳ hiếm trong công việc của người nộp đơn.

Trình bày chi tiết tất cả các vấn đề quan trọng liên quan đến hệ phương trình sẽ cần nhiều chỗ*). Vì vậy, chúng tôi sẽ giới hạn ở việc trình bày các nguyên tắc lý thuyết cơ bản liên quan đến lời giải ba phương trình đại số chưa biết, sau đó xem xét một vài ví dụ.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại một số định nghĩa.

Một hệ ba phương trình ẩn có thể được viết dưới dạng

$$\begin{cases} f_1(x, y, z) = 0, \\ f_2(x, y, z) = 0, \\ f_3(x, y, z) = 0 \end{cases}$$

hoặc, bỏ đi những phần chưa biết để cho ngắn gọn, ở dạng

$$\begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0. \end{cases}$$

Chúng ta sẽ chỉ xem xét các hệ thống đại số, nghĩa là, chẳng hạn

*) Người đọc có thể được khuyến khích nghiên cứu, chẳng hạn như cuốn sách của V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov và M. I. Shabunin “Các bài giảng và bài toán về toán tiểu học”, M., “Nauka”, 1971.

các hệ thống trong đó vế trái của mỗi phương trình của hệ thống là đa thức chưa biết.

Nghiệm của hệ (1) là bộ ba số $(x_0, y_0, z_0)$, khi thay số tương ứng vào $x, y, z$ thì mỗi phương trình của hệ (1) trở thành một đẳng thức số thực. Giải hệ thống giới thiệu tìm hết lời giải.

Hai hệ phương trình

$$\begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0. \end{cases}$$

Và

$$\begin{cases} g_1 = 0, \\ g_2 = 0, \\ g_3 = 0. \end{cases}$$

46

được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng có cùng lời giải, nghĩa là nếu lời giải của hệ (2) là lời giải của hệ (3) và ngược lại, nếu lời giải của hệ (3) là lời giải của hệ (2). Để biểu thị sự tương đương của hệ (2) và (3), ký hiệu “(2) ⟨=⟩ (3)” được sử dụng.

Lưu ý rằng nếu chúng tôi tìm thấy tất cả các hệ thống lời giải (3) tương đương với hệ thống (2), thì do đó chúng tôi đã tìm thấy tất cả các hệ thống lời giải (2). Trong trường hợp này không cần kiểm tra, tức là không cần thay các giá trị ẩn tìm được tại lời giải của hệ (3) vào hệ ban đầu (2).

phương trình
$$F(x, y, z) = 0$$
(4)
Chúng ta hãy gọi nó là hệ quả của hệ (1) nếu mỗi lời giải của hệ (1) thỏa mãn phương trình (4). Mục “(1) ⟨=⟩ (4)” sẽ có nghĩa là phương trình (4) là hệ quả của hệ (1).

Chúng ta sẽ nói rằng hệ thống (1) tương đương với tổng thể của hệ thống
$$\begin{cases} F_1 = 0, \\ F_2 = 0, \\ F_3 = 0 \end{cases}$$
Và
$$\begin{cases} G_1 = 0, \\ G_2 = 0, \\ G_3 = 0, \end{cases}$$
nếu các điều kiện sau được đáp ứng:
a) mọi lời giải của hệ (1) là lời giải của ít nhất một trong các hệ (5), (6);
b) mọi lời giải của hệ (5), (6) là một lời giải của hệ (1).

Ký hiệu “(1) ⟨=⟩ [(5) ∨ (6)]” sẽ có nghĩa là hệ thống (1) tương đương với bộ của hệ thống (5) và (6).

Nếu hệ (1) tương đương với tổng của hệ (5) và (6), thì có thể giải hệ (5), (6) và kết hợp các tập lời giải của các hệ này; đây là sự thống nhất và dact của tất cả các hệ thống lời giải (1) (hệ thống tổng thể xuất hiện khi xem xét các trường hợp khác nhau thuộc loại $x > 0$, $x < 0$, $x = 0$).

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một số tính chất thường được sử dụng nhất trong hệ phương trình lời giải. Chúng tôi sẽ không chứng minh những tính chất này; Sử dụng các định nghĩa đã cho, người đọc có thể dễ dàng tự mình xác minh sự biện minh cần thiết.

I. Giả sử một trong các phương trình của hệ (1), để xác định phương trình thứ nhất, “chia” thành hai phương trình, ví dụ biểu diễn dưới dạng
$$g_1(x, y, z) g_2(x, y, z) = 0,$$
trong đó $g_1$ và $g_2$ là đa thức trong $x, y, z$. Khi đó hệ (1) tương đương với tổ hợp của hai hệ sau:
$$\begin{cases} g_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} g_2 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0. \end{cases}$$

Tuyên bố này có thể dễ dàng được khái quát hóa cho trường hợp hai hoặc ba phương trình của hệ (1) “chia” thành nhiều phương trình.

II. Nếu phương trình (4) là hệ quả của hệ (1) thì khi nối phương trình (4) với hệ (1), ta thu được hệ {{1}, {4}} gồm bốn phương trình, tương đương với phương trình ban đầu.

III. Giả sử phương trình (4), hệ quả của hệ (1), “phân tích” thành hai phương trình:
$$F_1(x, y, z) \cdot F_2(x, y, z) = 0,$$
trong đó $F_1$, $F_2$ là các đa thức trong $x, y, z$. Khi đó hệ (1) tương đương với tổ hợp của hai hệ sau:
$$\begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0, \\ F_1 = 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} f_1 = 0, \\ f_2 = 0, \\ f_3 = 0, \\ F_2 = 0. \end{cases}$$

IV. Hệ phương trình (1) tương đương với mỗi hệ sau:
$$\begin{cases} f_1 - f_2 = 0, \\ f_2 - f_3 = 0, \\ f_3 - f_4 = 0; \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} f_1 - f_2 = 0, \\ f_2 - f_3 = 0, \\ f_3 - f_4 = 0; \end{cases}$$

$$\begin{cases} f_1 + f_2 = 0, \\ f_1 + f_3 = 0, \\ f_2 + f_3 = 0 \end{cases}$$

(khả năng cộng vào một phương trình của hệ một số khác nhân với tích).

V. Giả sử một trong các phương trình của hệ (1), chẳng hạn như phương trình đầu tiên $f_1(x, y, z) = 0$, tương đương với phương trình $x = \varphi(y, z)$ - một đa thức trong $y$ và $z$. Khi đó hệ (1) tương đương với hệ
$$\begin{cases} x = \varphi(y, z), \\ f_2[\varphi(y, z), y, z] = 0, \\ f_3[\varphi(y, z), y, z] = 0. \end{cases}$$