Kvant 1971, số 12 · Trang

Khoa học phổ biến vật lý và toán học
lượng tử
12
tạp chí
Học viện
Khoa học Liên Xô
Và
Học viện sư phạm
Khoa học Liên Xô

Trong phòng:

Sự chuyển động của sao chổi và việc phát hiện ra hạt nhân nguyên tử 1 Ya. A. Smorodinsky
Johannes Kepler 8 A. Einistein
Một lần nữa về dịch máy 11 V. V. Raskin
Mô hình phân tử 18 A. I. Kitaygorodsky

vòng tròn toán học
Bài toán về các số trong bảng 24 M. L. Gerver

Phòng thí nghiệm “Quenta”
Vòng xoáy 28 R. Gỗ

Vấn đề “Quenta”
Bài toán 31
Lời giải bài toán
M74—M76, f83—f88 33 A. L. Toom,
A. G. Kushirenko,
N. B. Vasiliev,
Tôi. Sh. SLOBODECHY,
L. G. Aslamaov

Xưởng của người nộp đơn
Bài toán trong bài kiểm tra miệng môn vật lý 39 M. M. Kozlov,
I. G. Kochnev
tại Học viện Chính trị Leningrad
Phương pháp diện tích 41 I. D. Novikov
Ghi chú cờ vua và toán học 47 E. Ya. Gik
Review thư độc giả 51 V. N. Berezin,
M. L. Smolyansky

Thông tin
Tối ưu hóa toán học tại MESI 52 I. G. Venetsky,
Yu. I. Sorkin
Toán quốc tế XIII
Tối ưu hóa học sinh 53 I. S. Petrkov,
V. A. Skovortsov
Ấn tượng của một người tham gia optimida 54 M. A. Tsfasman
V thể chất quốc tế
Tối ưu hóa cho học sinh 56 M. D. Karasev
G. S. Tarasyuk
Hội thảo khoa học thành phố V
học sinh Kyiv 58 A. I. Shapiro

Góc sưu tầm
Tem dành riêng cho Johannes Kepler
và Tycho Brahe 59 A. V. Altykis
Huy hiệu dành riêng cho quốc tế
tối ưu hóa toán học 60 M. L. Smolyansky

Đáp số, gợi ý, lời giải 62
Mục lục các bài viết 1971 62

2

Tuy nhiên, tuyên bố cuối cùng cần được xây dựng chính xác hơn. Cần nói thêm rằng công thức tính thế năng được viết sao cho thế năng có xu hướng bằng 0 khi khoảng cách $r$ giữa hành tinh và Mặt trời tiến tới vô cùng:

$$U(r) = -\gamma \frac{Mm}{r}$$

(γ là hằng số hấp dẫn, $M$ và $m$ là khối lượng của Mặt trời và hành tinh).

Vì vậy, một hành tinh không thể di chuyển ra khỏi Mặt trời và quay theo hình elip nếu tổng năng lượng của nó âm.

Và sao chổi sẽ chuyển động như thế nào trong trường Mặt trời (hoặc tàu vũ trụ trong trường Trái đất) nếu tổng năng lượng của nó là dương, tức là

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{Mm}{r} > 0$$

Phương trình năng lượng (2) trong trường hợp này trùng khớp về mặt công thức với phương trình năng lượng của chuyển động elip của hành tinh, chỉ khác dấu $E$. Công thức mô men động lượng vẫn giữ nguyên:

$$L = mv\rho$$

(ρ là tham số tác động, xem bên dưới). Do đó, tại $E > 0$, chúng ta sẽ thu được các công thức tương tự mà chúng ta thu được khi xem xét quỹ đạo hình elip của các hành tinh ($E < 0$), chỉ ở một số nơi sẽ có dấu “trừ” cùng với dấu “phẳng”. Quỹ đạo chuyển động trong trường hợp này sẽ là một hyperbol.

Một hyperbol được định nghĩa là quỹ tích của các điểm, hiệu khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước—tiêu điểm—là không đổi. Chúng ta hãy nhớ rằng hình elip được định nghĩa theo cách tương tự, chỉ cùng với “sự khác biệt” thì từ “tổng” mới được xây dựng.

Hình 2 cho thấy cách xây dựng cả hai loại đường cong trên một lưới gồm hai nhóm đường tròn đồng tâm có tâm ở $F_1$ và $F_2$. Hãy tự mình tìm hiểu tại sao các hình elip và hyperbol đi qua giao điểm của các đường tròn.

Định lý chính

Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra xem nếu $E > 0$ thì sao chổi hoặc tàu vũ trụ thực sự di chuyển dọc theo hyperbol. Vì mục đích của chúng ta, vì chúng ta sẽ nói về hạt nhân nguyên tử và các thí nghiệm của Rutherfort, nên sẽ thuận tiện hơn khi nói không phải về sao chổi mà là về một hạt mang tải chuyển động trong trường của một điện tích đứng yên nặng.

Điều này có thể thực hiện được vì định luật về sự phụ thuộc của lực tương tác vào khoảng cách là như nhau trong cả hai trường hợp.

Để phần nặng tích điện dương và nằm ở tiêu điểm $F_1$ (Hình 2). Nếu phần đèn bay mang điện tích âm (điện tích của nó là $z_1e$), thì nó sẽ bay theo quỹ đạo được chỉ ra ở phần trên của hình bằng dấu “—” (chúng tôi chưa chứng minh được rằng đây là một hyperbol!). Phần tích điện âm sẽ bay theo cùng một quỹ đạo nếu phần đứng yên mang điện tích âm và nằm ở tiêu điểm $F_2$. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phương trình cơ học - tổng năng lượng và động lượng là như nhau trong cả hai trường hợp. Nếu phần bay mang điện dương thì nó sẽ chuyển động theo quỹ đạo được đánh dấu bằng dấu “+”.

Hơn nữa chúng ta sẽ lập luận theo cách tương tự,

Cơm. 2.

như đã được thực hiện trong bài “Chuyển động của các hành tinh”.

Hãy xem xét hai bài toán cùng một lúc. Một bên có điện tích dương +$z_1e$ nằm ở $F_1$, mặt kia có điện tích âm - $z_2e$ nằm ở $F_2$. Giả sử trong cả hai trường hợp, năng lượng và xung lượng góc của một hạt bay dọc theo cùng một quỹ đạo “—” là như nhau. Hãy tạo biểu thức cho năng lượng *):

$$E = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{z_1z_2e^2}{r_1}$$

(3)

*) Chúng ta đừng quên rằng dấu của thế năng là âm trong trường hợp này và dương trong trường hợp khác.

(đối với hạt dương ở tiêu điểm $F_1$),

$$E = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{z_1z_2e^2}{r_2}$$

(4)

(đối với hạt âm ở tiêu điểm $F_2$).

Từ đây chúng ta hãy tìm động năng và cả hai biểu thức dưới dạng biến:

$$\frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(E + \frac{z_1z_2e^2}{r_1}\right) \left(E - \frac{z_1z_2e^2}{r_2}\right)$$

(5)

Hãy để chúng tôi giới thiệu xung lượng góc (giống nhau trong cả hai trường hợp)

$$L = mv_1p_1 = mv_2p_2.$$

(6)

4

$p_1$ và $p_2$ là độ dài của các đường vuông góc hạ xuống các tiếp tuyến của quỹ đạo. Chúng ta hãy biến đổi công thức (5) thành dạng

$$\frac{L^4}{4m^2p_1^2p_2^2} - E^2 =$$

$$= \frac{z_1z_2e^2}{r_1r_2} \left[ E(r_2 - r_1) - z_1z_2e^2 \right]$$

(7)

Để đẳng thức này đúng với mọi $r_1$ và $r_2$, phải có

$$r_2 - r_1 = \frac{z_1z_2e^2}{E} = 2a,$$

(8)

$$p_1p_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

(9)

Đẳng thức thứ nhất, theo định nghĩa, là một phương trình hyperbol. Có thể, bằng cách sử dụng tính chất quang học của hyperbol (xem bên dưới), để chứng minh định lý rằng tích độ dài của hai đường vuông góc rơi trên cùng một tiếp tuyến tính từ tiêu điểm của hyperbol không phụ thuộc vào điểm mà tại đó đường tiếp tuyến với hyperbol được vẽ*. Từ định lý này, đẳng thức thứ hai cũng xác định tính cường điệu.

Phương trình cường điệu và các tính chất của nó

Trong Hình 3, hai hyperbol được vẽ. Có hai trong số chúng, không phải bốn, vì hai đường cong màu đỏ là hai nhánh của cùng một hyperbol. Các đường cong màu xanh là hai nhánh của một cường điệu khác. Hyperbol màu xanh là liên hợp của hyperbol màu đỏ.

Phương trình của hyperbol được viết bên cạnh chúng. Nếu chúng ta nhớ lại phương trình của hình elip (ví dụ, hãy xem bài viết “Ellipse” của I. N. Bronstein trong «Kvant» Số 9, 1970)

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

thì chúng ta sẽ thấy rằng phương trình hyperbol thu được từ phương trình elip nếu chúng ta đổi dấu của $y b^2$, tức là

*) Ví dụ, bằng chứng của định lý này có sẵn trong cuốn sách “Hình học cơ bản” của J. Adamr.

Cơm. 3.

cách tạo trục bán phụ mini $((ib)^2 = -b)^2$. Do đó, $a$ trong hyperbol được gọi giống như trong hình elip, bán trục chính hoặc bán trục thực và $b$ được gọi là bán trục nhỏ.

Để so sánh, Hình 4 cho thấy hai hình elip liên hợp và phương trình của chúng. Ví dụ, một hình elip là một quỹ tích các điểm, tổng các khoảng cách từ đó

6

tìm góc mà hạt α sẽ lệch khi bay gần một điện tích dương chính xác.
Bằng cách đo góc lệch trong thử nghiệm, có thể tìm ra điện tích tán xạ bị ngắt khỏi điện tích chính xác bao nhiêu. Trong thực tế, tình hình có phần phức tạp hơn.

Tất nhiên, trong thực tế, không thể xác định được quỹ đạo của một hạt riêng lẻ, nhưng người ta có thể nghiên cứu sự tán xạ của một chùm hạt.

Chúng ta hãy xem xét một chùm hạt trong đó 1 hạt mỗi giây đi qua mỗi $1 \, cm^2$ tiết diện của nó. Khi một chùm tia như vậy chiếu vào một hạt nhân, các hạt truyền ở những khoảng cách khác nhau so với hạt nhân sẽ bị lệch ở những góc khác nhau. Từ Hình 6, rõ ràng số lượng hạt bay qua lõi (nằm ở trung tâm) ở các khoảng cách trong khoảng giữa $\rho$ và $\rho + \Delta \rho$ là $2\pi \Delta \rho$. Nếu một hạt có thông số va chạm $\rho$ thì nó sẽ tán xạ một góc $\theta$, xác định theo công thức

$$\text{ctg} \frac{0}{2} = \rho \cdot \frac{mv_0^2}{z_1 z_2 e^2}.$$

$\theta$ là góc giữa các đường tiệm cận của hyperbol.

Công thức này có nguồn gốc như thế này.

Vì $\theta$ là tổng sự thay đổi của góc trong quá trình tán xạ (góc giữa vận tốc trước khi tán xạ và sau khi tán xạ), nên nó liên quan đến góc $\alpha$, được hình thành bởi các tiệm cận với trục $x$ (Hình 7):

$$\theta = \pi - 2\alpha.$$

Sau đó, sử dụng công thức (8) và (9), chúng tôi tìm thấy

$$\text{ctg} \frac{\theta}{2} = \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{b}{a} = \frac{L}{a \sqrt{2mE}}.$$

(Vì tiệm cận là tiếp tuyến của hyperbol xa hơn vô hạn, nên $\rho$ đơn giản bằng $p_1$ (hoặc $p_2$) từ công thức (9) cho xa hơn vô hạn và luôn luôn là $p_1 p_2 = \rho^2$.).

Nếu tốc độ của một hạt ở vô cực là $v_0$, thì $L = mv_0 \rho$, và

$$E = \frac{mv_0^2}{2}.$$

Sau đó

$$\text{ctg} \frac{\theta}{2} = \frac{mv_0 \rho}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{2E}{z_1 z_2 e^2} = \rho \frac{mv_0^2}{z_1 z_2 e^2}.$$

Các hạt có $\rho$ nằm trong khoảng bóng mờ sẽ phân tán theo một phạm vi góc nhất định từ $\theta$ đến $\theta + \Delta \theta$. Giá trị $\Delta \theta$ không khó tính *). Hãy viết công thức tính cạnh “ngoài” của chiếc nhẫn:

$$\text{ctg} \frac{\theta + \Delta \theta}{2} = (\rho + \Delta \rho) \cdot \frac{mv_0^2}{z_1 z_2 e^2}.$$

*) Những người biết cách phân biệt gần như có thể nói rằng tiếp theo chúng ta sẽ chỉ tính đạo hàm $d\rho/d\theta$.

A. Einstein

Ngày 27 tháng 12 đánh dấu kỷ niệm 400 năm ngày sinh của Johannes Kepler (1571-1630). Tên tuổi của Kepler đã gắn liền với lịch sử vật lý và thiên văn học. Trước hết, nó kết nối với vương miện của các định luật nổi tiếng đã hình thành nên nền tảng của cơ học thiên thể.

Dựa trên những quan sát của nhà thiên văn học nổi tiếng Tycho Brahe, Kepler đã có thể tìm ra mô hình chung về chuyển động của hành tinh.

Trước Copernicus, khoa học bị thống trị bởi hệ địa tâm của thế giới, theo đó các hành tinh và Mặt trời quay quanh Trái đất. Vào nửa đầu thế kỷ 17, nhà khoa học vĩ đại người Ba Lan Nicolaus Copernicus đã đề xuất một hệ địa tâm của thế giới, theo đó Mặt trời là trung tâm của Vũ trụ và các hành tinh chuyển động xung quanh nó theo một vòng tròn.

Ngay từ đầu, Kepler đã coi hệ thống cấu trúc thế giới địa tâm là đúng. Ông chắc chắn rằng Mặt trời là nguyên nhân dẫn đến sự chuyển động của các hành tinh. Ông là người đầu tiên xem xét xa hơn (như chúng ta đang nói bây giờ) không chỉ có thể mà còn cần thiết. Nhưng các vòng tròn đồng tâm của quỹ đạo hành tinh không phù hợp với các quan sát. Kepler đề xuất rằng quỹ đạo của các hành tinh có hình bầu dục, và sau đó đi đến kết luận về quỹ đạo hình elip.

Các định luật đặt nền móng cho cơ học thiên thể là công trình quan trọng nhất của Kepler, nhưng không phải là công trình duy nhất. Các tác phẩm của ông về sự sơ chế tia sáng được biết đến rộng rãi. Nghiên cứu của Kepler về sự chuẩn bị trước đã dẫn đến việc phát hiện ra hiện tượng phản xạ toàn phần. Kepler đã mô tả quá trình tạo ra hình ảnh trên võng mạc, nghiên cứu sự phản chiếu từ gương, bản chất của ánh sáng và màu sắc, đồng thời giải thích hoạt động của kính thiên văn.

Trong nghiên cứu của mình, Kepler bắt đầu từ niềm tin rằng các quy luật tự nhiên phải đơn giản và đẹp đẽ. Nhiệm vụ tìm ra những định luật này đã đặt ra trước mắt ông trong suốt cuộc đời. Bất chấp nhu cầu thường xuyên, không có sự giúp đỡ nào, đấu tranh tôn giáo, những bất hạnh trong gia đình, anh ấy vẫn cố gắng hoàn thành được bài toán này. Anh ấy có thể nói: “Điều mà tôi đã cống hiến nhiều nhất và tốt nhất trong cuộc đời mình giờ đã được tìm thấy”.

Dưới đây chúng tôi đặt bài viết của A. Einstein về Kepler, lấy từ “Tuyển tập các tác phẩm khoa học” của Einstein,

11

Một lần nữa về dịch máy

Chúng tôi đã viết về những khó khăn phát sinh trong quá trình dịch máy *). Nhờ những nỗ lực khôn ngoan của họ, nhìn chung, cỗ máy đã được dạy để đối phó với hầu hết những vấn đề đó.

Tuy nhiên, còn có mục tiêu “đặt” thành phố vào những khó khăn đáng kể hơn mà chúng tôi đã thảo luận trong bài viết này. Và tất cả chúng đều được kết nối với từ bí ẩn “ngữ nghĩa”.

Ngữ nghĩa - khoa học về ý nghĩa của từ

Khó khăn về ngữ nghĩa đầu tiên là cùng một từ có thể mang nhiều nghĩa khác nhau và trong các ngôn ngữ khác nhau theo những cách khác nhau: các nghĩa khác nhau được gán cho các từ không trùng nhau. Từ “bàn” trong tiếng Nga thường cần được dịch sang “bàn” tiếng Anh, nhưng đôi khi nó có nghĩa là “thức ăn” (“thức ăn”), và đến lượt “bàn” tiếng Anh đôi khi phải được dịch sang từ “bàn” tiếng Nga.
Ngoài ra, trong tất cả các ngôn ngữ đều có cái gọi là từ đồng âm - những từ được đánh vần giống nhau nhưng có nghĩa khác nhau:
“Đưa cây cung cho tôi!” - và để làm gì - để bắn hay để nấu súp?
Hơn nữa, trong các ngôn ngữ khác nhau, các từ có tải cảm xúc khác nhau và có khả năng sử dụng khác nhau theo nghĩa liệt kê. Trong tiếng Nga và nhiều ngôn ngữ châu Âu khác, từ “trái tim” có nghĩa là orran, mà ý thức phổ biến coi là điều chính và mang lại khả năng cảm nhận và trải nghiệm.
Nhưng trong ngôn ngữ Kabalaka (Tây Phi) chức năng này được thực hiện bằng từ “gan”; trong ngôn ngữ Jejonob (một loại ngôn ngữ Maya ở Guatemala), từ chỉ khoang bụng được dùng theo nghĩa này. Hãy tưởng tượng rằng

*) Xem «Kvant» Số 9, 1971

12

máy dịch từ ngôn ngữ Kabbalah sang tiếng Nga và đưa ra cho bạn cụm từ sau: “Cô ấy có một lá gan tốt”.
Rắc rối tiếp theo. Trong các ngôn ngữ khác nhau, “lượng ý nghĩa” được gán cho một từ nhất định là không giống nhau. Ví dụ: lấy khái niệm “anh” và “chị” rồi so sánh với khái niệm “anh, em”, ta được bảng sau:

| Ý tưởng | tiếng Hungary | tiếng Nga | Mã Lai |
| :— | :— | :— | :— |
| anh trai | batya | cây chổi | sudara |
| em trai | occs | | |
| chị gái | néne | sesstra | |
| em gái | húg | | |

Tiếng Hungary thể hiện từng khái niệm trong số bốn khái niệm bằng một từ riêng biệt, tiếng Nga “làm sạch” hai khái niệm đó cùng một lúc và tiếng Mã Lai bao gồm tất cả các khái niệm bằng một từ. Có thể dễ dàng dịch những từ này từ tiếng Hungary sang tiếng Mã Lai và nói chung là dịch theo hướng từ bên phải theo bảng. Ngược lại, điều gì sẽ xảy ra nếu bạn cần dịch từ “sudara” từ tiếng Mã Lai sang tiếng Hungary? Người dịch sẽ xem xét ngữ cảnh ở đây và cố gắng tìm ra giới tính và độ tuổi của người được chỉ định bởi từ này, sau đó chọn từ tương đương trong tiếng Hungary mong muốn. Nhưng làm thế nào để dạy thao tác khó khăn này cho máy?

Những từ dường như “giống nhau” trong tất cả các ngôn ngữ, chẳng hạn như đại từ nhân xưng, có thể có những ý nghĩa “bất thường” khiến việc dịch thuật trở nên khó khăn. Bạn sẽ thấy điều này ngay bây giờ.

Nhiệm vụ 1. Trong ngôn ngữ Hanuno (một trong những ngôn ngữ của Philippines) có các đại từ sau (và chỉ chúng):

dah - họ tah - tôi và chúng tôi
kuh - tôi tam - chúng tôi (trong đó có tôi)
mih - chúng tôi (không có tôi) yah - anh ấy, cô ấy
muh - chúng tôi yuh - bạn

Những đại từ này nên được phân loại theo ý nghĩa của chúng theo tiêu chí nào? Đại từ tiếng Nga được phân loại theo các tiêu chí sau: số lượng (đặc điểm này có hai nghĩa: số ít và số nhiều), giới tính (ba nghĩa: nam tính, nữ tính và trung tính), pitso (ba nghĩa).

Hệ thống các đặc điểm này không phù hợp để phân loại các đại từ của ngôn ngữ Hanuno, vì các đại từ đã cho không khác nhau (tiếng Nga “anh ấy” và “cô ấy” tương ứng với cùng một đại từ “yah”); Đối với người và số, trong ngôn ngữ Hanuno có nhiều sự khác biệt tinh tế hơn so với tiếng Nga (ví dụ: cùng với một đại từ tiếng Nga, ngôi thứ nhất số nhiều có ba).

Trong trường hợp này, có thể tìm thấy những đặc điểm phân loại phù hợp hơn để thỏa mãn tất cả những khác biệt về ngữ nghĩa của các đại từ đã cho.

Cho và e. Chọn các đặc điểm ngữ nghĩa như vậy (và phải có số lượng tối thiểu trong số chúng và mỗi đặc điểm có chính xác hai nghĩa) sao cho các đại từ đã cho thể hiện tất cả các tổ hợp nghĩa có thể có và sao cho không có hai tổ hợp nào được lặp lại.

13

Nhưng đó không phải là tất cả. Mọi ngôn ngữ đều có những cụm từ ổn định không có nghĩa chính xác là gì, hoặc thậm chí không hề có nghĩa gì, những từ tạo nên chúng có nghĩa riêng biệt. Đây được gọi là các đơn vị cụm từ: “đánh bại baklish”, “đừng suy nghĩ kỹ”, “chơi ngu”, v.v.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã dạy chiếc máy vượt qua tất cả những khó khăn được mô tả ở trên. Hãy lấy một cụm từ tiếng Anh:

«The President said that the article was red herring».
Hạnh phúc, chúng tôi đang chờ đợi bản dịch. Và chúng tôi nhận được:

“Tổng thống nói rằng Stamya là cá trích đỏ.”
Ừm… Hiểu chưa? Không tốt. Nhưng hãy hỏi bất kỳ dịch giả nào và họ sẽ ngay lập tức xua tan sự nhầm lẫn của bạn, bởi vì cụm từ thực sự dịch như thế này:
“Tổng thống nói rằng câu chuyện này là một con vịt (nói dối, vớ vẩn).”
Ngay lập tức mọi thứ rơi vào vị trí. Vì vậy, chúng tôi thêm một quy tắc nữa vào máy (có bao nhiêu quy tắc đã được viết ở đó?!): thay cụm từ “cá trích đỏ” bằng từ “vịt” (hoặc thậm chí tốt hơn, vì vịt không chỉ là báo mà còn chiên - “nói dối” hoặc “vô nghĩa”). Nhưng có rất nhiều lối diễn đạt, có thực sự có thể viết từng chữ không?
Nhưng một người biết ngoại ngữ lại dịch dễ dàng và đơn giản đến thế!

Để khắc phục những khó khăn này và các khó khăn khác về ngữ nghĩa (và không chỉ ngữ nghĩa), để chọn chính xác từ tương đương trong ngôn ngữ đích, tức là để thực hiện bản dịch, máy phải nhớ nghĩa của từ. Một trong những chuyên gia nổi bật nhất về dịch máy, nhà ngôn ngữ học người Mỹ V. Yngve viết:

“Công việc dịch máy đã gặp phải rào cản ngữ nghĩa. Chúng tôi phải nhận ra rằng chúng tôi sẽ chỉ nhận được bản dịch tự động có mục tiêu khi máy có thể “hiểu” những gì nó đang dịch và điều này thực sự khó khăn bài toán.”
Và để máy hiểu được nó đang dịch gì, nhà ngôn ngữ học phải cung cấp cho nó thông tin về nghĩa của từ, đưa ra một bản ghi ngữ nghĩa chính xác, được định dạng và rõ ràng mà máy có thể xử lý giống như với từ điển và các quy tắc xử lý. Bản dịch máy của hiện tại đòi hỏi ngôn ngữ học để ghi lại điều này. Nhưng…các nhà ngôn ngữ học vẫn chưa thể khóc về điểm này.

Một trong những nỗ lực thú vị để nghiên cứu chính thức số nhiều ngữ nghĩa. Trong trường hợp này, cách tiếp cận là làm nổi bật cái gọi là số nhiều ngữ nghĩa, nghĩa của mỗi từ là sự kết hợp của chúng (tương tự như cách một số tự nhiên được phân tách thành các thừa số đơn giản hoặc một vectơ được chỉ định bởi tọa độ của nó). Ý tưởng này được minh họa bằng bài toán sau.

Bài toán 2. Cho 4 tập hợp từ, mỗi tập hợp từ được chia thành hai tập hợp con a và b:
1a) Thú, sâu, trùng, cỏ, tư thế;
b) cái bàn, mặt đất, cuốn sách, mặt phẳng, áo khoác.
2a) Cá voi, én, cá rô, hổ, kiến;
b) Vợ, người mới vào nghề, thợ làm tóc, chồng, nhân viên thu ngân.
3a) Chim sẻ, máy bay, Baba Yaga, bột mì, tên lửa;
b) cuốn sách, đường hầm, đã, à, điện thoại.
4a) Chó, ngựa, bồ câu, lừa, la;
b) gấu, chuột túi, rắn, hổ, cá rô.

15

dịch giả hoặc biên tập viên." Định nghĩa này được đưa ra trong cuốn sách nhằm cho thấy rằng dịch máy theo nghĩa này hoàn toàn không tồn tại. Văn bản mà máy tạo ra rất bất tiện và khó hiểu đến mức nó phải được “biên tập sau”, tức là phải được một người chỉnh sửa sau đó. 11% thời gian trong quá trình dịch máy được dành cho việc nhập tài liệu vào máy, 40% để soạn lại các cụm từ đầu ra, 31% cho việc chỉnh sửa sau và chỉ còn lại 18% thời gian cho bản dịch. Bản thân việc đánh giá chất lượng bản dịch (khảo sát bởi chuyên gia) theo các thông số sau: độ chính xác của bản dịch, tốc độ đọc, mức độ dễ hiểu, đưa ra các đánh giá tóm tắt sau (các chỉ số cho bản dịch do một người thực hiện bằng 0; câu hỏi về tất cả những “chỉ số” này dựa trên điều gì và may mắn thay, các chuyên gia đã chọn chúng như thế nào không liên quan gì đến vấn đề này):

| | Dịch máy | Dịch máy | Bản dịch của con người |
| :— | :— | :— | :— |
| “thô” | “đã được chỉnh sửa sau” | | |
| Sự chính xác | —16% | —5% | 0 |
| Tốc độ | —21% | —11% | 0 |
| Hiểu biết | —25% | —23% | 0 |

Khó khăn chính làm giảm cả ba tham số là cấu trúc cú pháp và trật tự từ không tự nhiên trong bản dịch máy “thô”, cũng như nhiều tùy chọn dịch cho một từ. Bây giờ tính toán một chút. Hãy ký hiệu bằng

$$\mathcal{U}_\text{ч} = \mathcal{U}_\text{м} - N \cdot P \left( B_\text{м} - B_\text{ч} \right).$$

Bản dịch hoàn thiện dành cho những chuyên gia dành thời gian đọc nó và thời gian là tiền bạc (tiền lương!), vì vậy công thức bao gồm giá trị $P$. Hãy tính các giá trị của $\mathcal{E}$ và $N$ với dữ liệu thống kê trung bình.

Do bản dịch “thô” mất nhiều thời gian hơn để đọc nên chúng tôi có được một mẫu tuyệt vời:

| $N$ | 1 | 10 | 15 | 17 | 18 | 20 | 80 | 175 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\mathcal{E}$ | 13,17 | 5,97 | 1,97 | 0,37 | —0,43 | —2,03 | —40,13 | —127,03 |

Càng nhiều người đọc văn bản do máy dịch và chỉnh sửa thì càng lãng phí và tiết kiệm càng thấp! Khoản tiết kiệm sẽ biến mất khi số lượng độc giả này vượt quá 17. Nhưng sẽ rất hợp lý khi dịch chính xác những gì được các chuyên gia sử dụng rộng rãi!

Một bảng nữa (cuối cùng). Hãy để chúng tôi giải thích cột cuối cùng: theo thống kê, chính xác 11 triệu từ tiếng Nga tạo nên nhu cầu dịch từ tiếng Nga hàng năm của Hoa Kỳ.

| Kiểu chuyển | Chất lượng | Chi phí (tính bằng đô la) để dịch 11 triệu từ tiếng Nga |
| :— | :— | :— |
| Nhân viên dịch văn bản | Tốt | 440 000 |
| Bản dịch không chuẩn | Tử tế | 350 000 |
| Phiên dịch thông thường bằng (máy ghi âm) | Tốt | 440 000 |
| Công ty dịch thuật thương mại | Trung bình | 240 000 |
| Dịch máy thô | Xấu | 80 000 |
| Bản dịch máy được chỉnh sửa sau | Trung bình | 400 000 |
| Dịch: “với sự trợ giúp của máy móc” | Xuất sắc | 310 000 |
| Chuyên gia biết tiếng | — | 0 |

Dịch đường tốt, dịch máy “thô” rẻ tiền nhưng “tức giận”. Chúng ta cần tìm kiếm một sự thỏa hiệp. Ánh mắt của chúng tôi rơi vào dòng cuối cùng. “Dịch máy” là gì và nó khác với dịch máy như thế nào? Đây là sự phân bổ trách nhiệm thông minh giữa con người và máy móc. Cỗ máy được giao phó làm những gì nó có thể làm tốt và nhanh chóng. Người đàn ông làm phần còn lại. Trong thực tế việc này được thực hiện như sau. Người dịch đọc đoạn văn mình phải dịch và đánh dấu những từ mình không hiểu. Chúng được đưa vào máy. Cô ấy đưa ra bản dịch của họ. Tất cả điều này là đơn giản đối với cô ấy. Các thao tác còn lại, như chúng ta đã thấy, không dễ dạy cho máy móc, lại được thực hiện bởi con người. Chất lượng dịch thuật là tuyệt vời. Chi phí thấp hơn không chỉ những bản dịch “tốt” mà còn “khá”.

Ở nhiều quốc gia, nhiều tiền hơn được chi cho nghiên cứu về dịch máy, tuy nhiên chúng ta có thể nói như một món quà lưu niệm rằng phần lớn số tiền đó đã không bị lãng phí. Thứ nhất, nhờ những nghiên cứu này, chúng tôi biết nhiều hơn về ngôn ngữ. Thứ hai, và đây cũng là điều quan trọng nhất, dịch máy đã “khai sinh” ra văn học ứng dụng hiện đại.

Dịch máy và tài liệu ứng dụng

Văn học ứng dụng, đúng như tên gọi của nó, là việc ứng dụng kiến ​​thức văn học vào thực tiễn. Tuy nhiên, một trong số đó là hình thức tìm kiếm ion.

Người ta ước tính rằng lượng thông tin in được tích lũy trên toàn thế giới tăng gấp đôi mỗi năm. Năm 1961 có ít đầu vào hơn bây giờ; vào năm 1981 sẽ có nhiều đầu vào hơn lượng được tích lũy từ khi bắt đầu tích lũy đến thời điểm hiện tại. Nói cách khác, trong thời kỳ

18

Mô hình phân tử

A. I. KITAIGORODSKY

Sẽ rất hữu ích khi nhớ rằng lời nói được tạo ra bởi con người.
Những từ ngữ dùng trong cuộc sống thường có tính chất mờ nhạt. Không phải tất cả các khái niệm đều giống nhau - các từ lông mao và vẻ đẹp, năng lượng và sự căng thẳng. Và thời tiết “tốt” đối với mỗi người là khác nhau.
Trong khoa học, tình trạng này không tồn tại, hoặc ít nhất nó không nên tồn tại. Đặc biệt không khoan dung là việc sử dụng từ ngữ không chính xác trong vật lý.
Các khái niệm vật lý đơn giản nhất của tự nhiên được sử dụng để mô tả các đặc tính và hành vi của các vật thể và cơ thể mà cuộc sống của chúng ta diễn ra trong đó, nói tóm lại, đối với các cơ thể “lớn” hoặc, như chúng ta cũng nói, đối với các cơ thể có dinh dưỡng vĩ mô.
Những khái niệm nào từ thế giới vĩ mô có thể được áp dụng cho các phân tử? Tất cả hay một số? Sự thật nằm ở giữa.
Còn các khái niệm hình học và cơ học thì sao?
Có thể nói về hình dạng của phân tử, độ đàn hồi của nó, mô hình uốn cong và xoắn, và cuối cùng là độ phân lớp của phân tử? Liệu khái niệm nội phân tử và khái niệm cơ học có ý nghĩa hay không là điều không những có thể thực hiện được mà còn được khuyến khích.

Cụm từ này có nghĩa như sau.
Trong một số trường hợp, phân tử ULE có thể được coi là một khối lớn.
Một vật thể có thể so sánh được với một phân tử nhất định được gọi là mô hình cơ học của phân tử đó.
bài toán của chúng tôi là cho biết mô hình này được xây dựng như thế nào và cách sử dụng nó cho lời giải các vấn đề vật lý khác nhau.
Mô hình cơ học của phân tử gần đây đã trở nên phổ biến do sự quan tâm đến các phân tử khổng lồ (so với nguyên tử) mà từ đó các polyme tổng hợp được tạo ra - nylon, nylon, polystylene (những tên này hiện được gọi là nhà), cũng như các chất quan trọng nhất đối với sự sống của động vật và thực vật - protein, axit nucleic, v.v.
Bất kỳ “hình ảnh” nào của một phân tử phải bao gồm sự mô tả vị trí tương đối của hạt nhân nguyên tử và đặc điểm của các electron chuyển động xung quanh hạt nhân này.
Kinh nghiệm hóa học cho phép bạn thiết lập cấu trúc nguyên tử của một phân tử (xây dựng mô hình nguyên tử của nó), nghĩa là chỉ ra phân tử đó được tạo thành từ những nguyên tử nào và chúng được kết nối với nhau như thế nào. Một số electron bắt buộc phải liên kết với một số nguyên tử nhất định, trong khi những electron khác thì “tổng quát hóa”. Các nhà hóa học nói về những electron này rằng “chúng thực hiện liên kết hóa học”.

18

20

với một nguyên tử cacbon. (Nhóm nguyên tử này được gọi là metyl.) Bây giờ, hãy nối một nguyên tử cacbon của nhóm này bằng đường hóa trị với nguyên tử cacbon thứ hai. Ngoài ra, nguyên tử thứ hai này phải được nối với một cặp nguyên tử hydro và vẽ đường thứ tư (có bốn đường từ một nguyên tử, nghĩa là nó có hóa trị bốn) với nguyên tử oxy. Nguyên tử hydro còn lại phải được gắn vào một nguyên tử oxy.

Nhà vật lý sẽ ngay lập tức đặt một câu hỏi. Và các nguyên tử ở khoảng cách bao nhiêu, các đường hóa trị đi với nhau ở những góc nào? Những câu hỏi như thế này đáp số có thể thu được bằng nghiên cứu vật lý. Bây giờ chúng ta hãy tạm gác lại câu hỏi làm thế nào hình học của một phân tử được thiết lập về mặt vật lý bằng các thí nghiệm. Dữ liệu mở rộng chỉ được thu thập trong sách tham khảo. Trong đó, bạn có thể tìm thấy thông tin về khoảng cách mà các nguyên tử liên kết hóa học được đặt và những góc nào (chúng được gọi là góc liên kết) tạo thành các “thanh” giữa nhau, tượng trưng cho lực hóa trị hóa học. Nếu bạn không quá chú ý đến những khác biệt tinh tế, thì hóa ra khoảng cách giữa các nguyên tử một phần tám là khá phổ biến, mặc dù góc liên kết có thể thay đổi nhiều hơn. Vì vậy, việc dự đoán cấu trúc của một phân tử không phải lúc nào cũng dễ dàng. Nhưng chúng ta sẽ nói về điều này sau.

Cơm. 2.

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang vấn đề về lực cơ học.

Lực tác động giữa các phân tử được thể hiện rõ ràng từ những thông điệp cơ bản nhất. Hơi của bất kỳ chất nào trong điều kiện thích hợp sẽ chuyển thành giọt. Nếu vậy thì chắc chắn các phân tử sẽ được chấp nhận. Các chất chống lại sự tràn lan. Điều này có nghĩa là ở khoảng cách ngắn, các phân tử đẩy nhau. Nếu có lực hút ở khoảng cách lớn và lực đẩy ở khoảng cách nhỏ thì sẽ có khoảng cách cân bằng khi các lực này cân bằng.

Thay vì nói về lực tương tác, sẽ thuận tiện hơn nhiều khi nói về năng lượng tương tác ). Năng lượng tương tác dễ đo lường hơn và khái niệm này đơn giản và rõ ràng hơn lực*). Năng lượng tương tác giữa các phân tử (hoặc nguyên tử, hoặc bất kỳ hạt hoặc vật thể nào khác) được gọi là công phải được thực hiện để di chuyển các hạt ra xa nhau - sao cho tương tác dừng lại. Nhà toán học sẽ nói - hãy đưa nó đến một khoảng cách vô cùng lớn. Các hạt càng gần nhau thì càng cần nhiều công để kéo chúng ra xa nhau. Công này đạt giá trị cực đại khi các hạt ở khoảng cách cân bằng với nhau. Công việc này được gọi là năng lượng liên kết. Nếu các hạt va chạm và đẩy nhau, nghĩa là nếu chúng ở một khoảng cách nhỏ hơn khoảng cách cân bằng, thì công của sự gián đoạn tất nhiên sẽ nhỏ hơn.

Một đường cong năng lượng tương tác điển hình được thể hiện trên Hình 2. Tất cả các đường cong đều có đặc điểm này. Nhưng với những mục đích cụ thể, bạn cần biết các thông số của đường cong. Trước hết nó quan trọng

*) Xem bài viết của G. Ya. Myakishev “Tương tác giữa nguyên tử và phân tử”, «Kvant» Số 11, 1971.

**) Từ đường cong năng lượng tương tác, bạn cũng có thể tìm thấy lực: giấc ngủ có giá trị bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của tiếp tuyến với đường cong năng lượng tương tác.

22

hydro - hydro và carbon - hydro.

Tôi có thể lấy thông tin về những đường cong này ở đâu? Thật không may, không có cách lý thuyết nào để rút ra chúng. Đường cong năng lượng phải được xác định từ kinh nghiệm. Vì việc lựa chọn các đường cong cần thiết là một phép toán trọng lượng điển hình cho nhiều lĩnh vực vật lý nên chúng ta sẽ mô tả công việc thú vị này một cách chi tiết hơn.

Khi nghiên cứu, bắt đầu từ đầu, trước hết người ta phải ước tính, ít nhất là đại khái, các thông số của đường cong. Từ kinh nghiệm, chúng ta biết khoảng cách gần mà tại đó các nguyên tử của các phân tử lân cận tiếp cận nhau. Xem xét kỹ những dữ liệu này, chúng tôi phát hiện ra rằng hai nguyên tử hydro không ở gần nhau hơn khoảng cách 2-3 angstrom, hai nguyên tử carbon của các phân tử khác nhau không ở gần nhau hơn 3-4 angstrom, v.v. Những dữ liệu này được lấy từ các nghiên cứu về chất rắn. các phân tử trong chất rắn có nhiều độ dốc tương tác nhớt. Do đó, chúng tôi nghĩ rằng khoảng cách cân bằng trên các đường cong tương tác nguyên tử-nguyên tử tương ứng sẽ lớn hơn một chút so với các số liệu trên. Dựa trên một số báo cáo gián tiếp, rõ ràng mức vượt quá này phải là 10%. Do đó, để bắt đầu, bạn có thể chọn trục hoành của cực tiểu trên các đường cong mà chúng ta đang thảo luận làm ví dụ tại các điểm 2,6 và 3,8 angstrom.

Thông tin về năng lượng liên kết, tức là về độ sâu của đường cong năng lượng, phải được “trích xuất” từ dữ liệu về nhiệt bay hơi. Ví dụ, ở áp suất thấp một chất rắn sẽ bay hơi. Nhiệt của sự biến đổi pha này có thể được đo khá chính xác. Nhiệt lượng tỏa ra khi tinh thể bay hơi được sử dụng để phân tán các phân tử của nó trên một khoảng cách xa. Với một số hiệu chỉnh mà chúng ta sẽ không đề cập đến, phép đo nhiệt bay hơi sẽ đưa chúng ta đến giá trị năng lượng tương tác của tất cả các phân tử.

Tất nhiên, tình hình không đơn giản lắm - tổng giá trị thay đổi, nhưng cần phải đánh giá những cái yếu hơn. Các chất hydrocarbon gồm các phân tử chứa 10-20 nguyên tử, có nhiệt bay hơi 10-20 kcal/mol. Nếu chúng ta giả sử rằng sự tương tác giữa các phân tử kết nối đóng vai trò chính, thì con số này cộng lại sẽ lên tới hàng nghìn tương tác nguyên tử-nguyên tử. Điều này có nghĩa là độ sâu của giếng đường cong phải ở mức 0,01 kcal/mol.

Do đó, người ta đạt được ước tính gần đúng về các tham số của đường cong năng lượng của tương tác nguyên tử-nguyên tử và với sự trợ giúp của chúng, xây dựng các đường cong gần đúng đầu tiên; Sau đó, họ tính toán (đây là lúc cần đến máy tính) tính chất của một số lượng lớn các chất và so sánh kết quả tính toán với kinh nghiệm. Nó trở nên rất cần thiết để thực hiện một số sửa đổi nhất định. Các hành động diễn ra tuần tự, thử và sai (các nhà vật lý nói như vậy - làm việc bằng thử và sai), cuối cùng chúng ta đi đến đường cong tương tác nguyên tử-nguyên tử tối ưu cho nhiều cặp nguyên tử.

Nhìn chung, việc tính toán rất phức tạp và giả thuyết aditivity chỉ mới được nghiên cứu gần đây. Kết quả hóa ra là tích cực. Hóa ra giả định được thực hiện với độ chính xác tốt.

Trước đó không rõ lắm rằng công việc sẽ thành công. Nếu giả thuyết này không công bằng, nếu tính thuận nghịch không hoạt động, nếu các nguyên tử cùng loại hóa học chứa trong các phân tử khác nhau không hành xử giống nhau, thì máy tính sẽ cho chúng ta biết rằng nó không thể chọn các đường cong để chúng đưa ra các con số, ít nhất là theo những cách trùng khớp với kinh nghiệm. Ví dụ, công việc thành công trong việc điều chỉnh các đường cong cho thấy các giả thuyết làm cơ sở cho phép tính là hợp lệ.

Sau khi chứng minh được tính đúng đắn của cách biểu diễn cộng năng lượng tương tác của các phân tử, chúng tôi cung cấp cơ sở cho khái niệm về dạng phân tử.

Sau khi xây dựng được “bộ xương” của một phân tử dựa trên dữ liệu thực nghiệm, chúng ta có thể “mặc” nó

Cơm. 4.

Thịt" sử dụng cái gọi là bán kính cơ học. Nếu trên đường cong tương tác nguyên tử-nguyên tử của hydro có giá trị nhỏ nhất là 2,6 angstrom thì bán kính cơ học của hydro phải lấy bằng 1,3 angstrom.

Sau khi tìm ra các giá trị của bán kính, chúng ta có thể tiến hành viền phân tử như trong Hình 4. Bán kính cơ học của các phân tử có thể được tính bằng cách làm theo các bước tương tự như được mô tả trong phần trước. Ví dụ, bán kính của các phân tử trong phân tử nước xấp xỉ 1,3 cm.

Cơm. 5.

Đáp số về trò chơi ô chữ đăng ở số 11 (1971)

Chiều ngang: 4. Vật chất. 7. Sự tự tin. 10. Hiện tượng. 11. Hồi quy. 12. Erbium, 13. Copal. 16. Điện thoại, 17. Fedorov, 18. Nhà vật lý. 19. Hóa học, 21. Lebedev.

Theo chiều dọc: 1. Lượng calo. 2. Trung tâm. 3. Máy quay. 5. Truyền hình. 6. Âm thanh nổi. 8. Bộ tứ. 9. Phần còn lại. 14. Polyme. 15. Desibel. 20. Đá.

24

Thắc mắc về số trong bảng

M. L. Gerver

Trong «Kvant» số 7 năm 1971 ở trang 21, bài toán sau đây đã được hình thành.

Trong bảng vuông $6 \times 6$ các số 1, 2, 3, …, 36 được xét tùy ý. Chứng minh rằng có hai số trung bình a và b đứng trong các ô liền kề và a—b $\geq 5$.

Vài năm trước, một bài toán tương tự đã được đề xuất tại Olympic Toán học Moscow: để chứng minh rằng trong bảng $9 \times 9$ chứa đầy các số cực, có hai số liền kề có hiệu lớn hơn hoặc bằng 6.

Dưới đây chúng ta sẽ giải tổng quát bài toán cho bảng $n \times n$ và thu được ước tính chính xác (không thể cải thiện) về chênh lệch tối đa giữa các số lân cận.

Công thức bài toán

Trong bảng $n \times n$ các số 1, 2, …, $n^2$ được xét tùy ý. Chứng minh rằng có hai số liền kề có hiệu không nhỏ hơn n.

Giải thích. Chúng ta hãy làm rõ thuật ngữ “các số lân cận”. Chúng ta gọi hai số là liền kề nếu các ô trong bảng chứa chúng có cạnh chung.

Nhận xét sơ bộ

Dễ dàng xét các số 1, …, $n^2$ trong bảng $n \times n$ sao cho hiệu của hai số liền kề bất kỳ không vượt quá 了她. Ví dụ về sự sắp xếp như vậy tại $n=5$ được đưa ra trong Bảng 1 và 2.

Từ Bảng 1, có thể (bằng cách sắp xếp lại các cột) thu được 119 = 5!—1 bảng khác trong đó không có sự khác biệt giữa các số liền kề

Bảng 1.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Bảng 2.

1 3 6 10 15

2 5 9 14 19

4 8 13 18 22

7 12 17 21 24

11 16 20 23 25

tăng dần 5. Trong bảng 2, không tăng chênh lệch tối đa giữa các số liền kề, bạn có thể sắp xếp lại các số nằm xa đường chéo đi từ góc dưới bên trái lên góc trên bên phải của bảng; ví dụ: bạn có thể hoán đổi 1 và 2 hoặc 23 và 24, v.v. Các ví dụ hoàn toàn tương tự có thể được xây dựng cho bất kỳ n nào.

Có nhiều cách xét các số 1,…, $n^2$ trong bảng $n \times n$ sao cho chênh lệch lớn nhất giữa các số liền kề là n. Anh ta hỏi, có thể xét các số sao cho chênh lệch lớn nhất nhỏ hơn n không?

Hóa ra điều này không thể thực hiện được - đây chính xác là điều chúng ta sắp chứng minh.

25

Lời giải bài toán cho $n=4$

Ý tưởng làm cơ sở cho lời giải đặc biệt dễ diễn đạt bằng $n$ nhỏ. Hãy lấy bảng $4 \times 4$, chọn 4 ô trong đó chứa các số 1, 2, 3 và 4. Hãy đặt dấu hoa thị vào các ô còn lại của bảng liền kề với các ô đã chọn (Bảng 3). Lưu ý rằng ngay cả khi các ô được chọn nằm ở cạnh hoặc góc của bảng, sẽ không có ít hơn bốn ngôi sao (bạn hãy tự kiểm tra điều này). Bây giờ, cho dù chúng ta sắp xếp các số 5, 6, …, 16 trong bảng như thế nào thì một trong các ô có dấu hoa thị sẽ chứa số $a$, lớn hơn hoặc bằng 8 (vì có ít nhất 4 dấu hoa thị và chỉ còn lại ba số nhỏ hơn 8: 5, 6 và 7). Ô này liền kề với ít nhất một trong các ô chứa các số 1, 2, 3 và 4. Vì vậy, số $a \geq 8$ liền kề với một số $b \leq 4$ nào đó. Vì vậy $a-b \geq 4$.

Chúng tôi đã chứng minh rằng với mọi cách sắp xếp các số 1, 2, 3, 4, …, 16 trong bảng, $4 \times 4$ sẽ tìm thấy hai số lân cận $a$ và $b$ sao cho $a-b \geq 4$.

Tiếp theo là gì?

Những điều trên có thể dẫn đến kết luận cuối cùng sau đây.

Chúng ta hãy chọn các ô trong bảng $n \times n$ chứa các số 1, 2, …, $n$. Hãy đặt các ngôi sao vào các ô còn lại liền kề với các ô đã chọn. Hãy cho họ $n$ một số ngôi sao. Vì vậy, dù bạn xếp các số $n+1$, …, $n^2$ vào bảng như thế nào thì cũng sẽ có một số $a \geq 2n$ rơi vào ô có dấu hoa thị và hóa ra là liền kề với một số $b \leq n$ nào đó. Hiệu của các số $a-b$ rõ ràng là lớn hơn hoặc bằng $n$.

Trong cách lập luận trên có một lỗi: câu in nghiêng là sai. Đối với $n=5$ đã sai rồi: nếu chúng ta sắp xếp các số 1, …, $n^2$. Sau đó, có một số $m$ ($1 < m < n^2$), có tính chất sau: nếu chúng ta đánh dấu các ô chuột mà chuột ở cạnh hoặc góc bàn thì sẽ có không dưới bốn sao (bạn tự kiểm tra cái này). Bây giờ, cho dù chúng ta sắp xếp các số 5, 6, …, 16 trong bảng như thế nào thì một trong các ô có dấu hoa thị sẽ chứa số $a$, lớn hơn hoặc bằng 8 (vì có ít nhất 4 dấu hoa thị và chỉ còn lại ba số nhỏ hơn 8: 5, 6 và 7). Ô này liền kề với ít nhất một trong các ô chứa các số 1, 2, 3 và 4. Vì vậy, số $a \geq 8$ liền kề với một số $b \leq 4$ nào đó. Vì vậy $a-b \geq 4$.

Bổ đề. Hãy sắp xếp các số 1, …, $n^2$ trong bảng $n \times n$. Sau đó, có một số $m$ ($1 < m < n^2$), có tính chất sau: nếu chúng ta đánh dấu các ô chuột mà chuột ở cạnh hoặc góc bàn thì sẽ có không dưới bốn sao (bạn tự kiểm tra cái này). Bây giờ, cho dù chúng ta sắp xếp các số 5, 6, …, 16 trong bảng như thế nào thì một trong các ô có dấu hoa thị sẽ chứa số $a$, lớn hơn hoặc bằng 8 (vì có ít nhất 4 dấu hoa thị và chỉ còn lại ba số nhỏ hơn 8: 5, 6 và 7). Ô này là 相邻 trong bảng số 1, …, $n^2$, có số $a \geq 2n$ rơi vào ô có dấu hoa thị và hóa ra lại liền kề với số $b \leq n$ nào đó. Sự khác biệt của các số $a-b$ rõ ràng là lớn hơn hoặc bằng $n$.

1 trường hợp. Mỗi cột chứa một số không vượt quá $k-1$, nhưng có một hàng không chứa bất kỳ số nào trong số 1, …, $k-1$.

26

Bảng 5.

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 81 | 19 | 20 |

Bảng 6.

| 1 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 3 | * | * | * | * |
| 5 | * | | | |
| 7 | * | | | |

Trong trường hợp này, chúng tôi đặt $m=k-1$ (ví dụ: $m=20$ trong Bảng 1 và $m=8$ trong Bảng 4).

Hãy chứng minh rằng $m$ thỏa mãn yêu cầu của bổ đề.

Hãy đánh dấu các ô chứa các số 1, …, $m=k-1$ và đặt dấu hoa thị vào các ô còn lại liền kề với các ô đã đánh dấu (Bảng 5, 6).

Mỗi cột chứa các hộp kiểm. Ngoài ra, mỗi cột có ít nhất một ô không được đánh dấu (vì toàn bộ hàng không chứa các ô được đánh dấu). Vì vậy, có ít nhất một dấu hoa thị trong mỗi cột. Tất cả các cột $n$; điều này có nghĩa là dấu hoa thị ít nhất là $n$.

Psluay. Mỗi dòng chứa một số không vượt quá $k-1$, nhưng có một dòng không chứa bất kỳ số nào trong số 1, …, $k-1$.

Trường hợp này sẽ trùng với trường hợp đã được thảo luận: chỉ cần phản chiếu bảng so với đường chéo chính là đủ (thao tác này được gọi là vẽ).

tại $l \neq i$ trong hàng chính xác $l$, ô $a_{lj}$ không bị xóa.

Vì vậy, mỗi dòng chứa cả ô bị xóa và ô không bị dịch chuyển, có nghĩa là nó chứa ít nhất một dấu hoa thị. Do đó, trong trường hợp này có tối thiểu $n$ sao.

Vì các trường hợp I, II và III đều có hết mọi khả năng nên bổ đề được chứng minh.

Lời giải bài toán tùy ý $n$

Hãy sắp xếp các số 1, …, $n^2$ trong bảng $n \times n$. Hãy chọn số $m$ theo bổ đề. Hãy đánh dấu các ô chứa 1, …, $m$ và đặt dấu hoa thị vào các ô còn lại liền kề với các ô đã loại bỏ. Theo bổ đề, các dấu hoa thị hóa ra không nhỏ hơn $n$. Tất cả các số trong các ô có dấu hoa thị đều lớn hơn $m$. Điều này có nghĩa là hầu hết chúng đều là $a \geq m + n$. Một ô chứa số $a$ nằm cạnh một ô bù trừ nào đó chứa số $b \leq m$. Vì $a \geq m + n$, $b \leq m$, nên $a - b \geq n$. Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra hai số liền kề $a$ và $b$, hiệu giữa chúng lớn hơn hoặc bằng $n$. Như vậy bài toán của chúng ta đã được giải quyết hoàn toàn.

Bài tập

1. Trong một bảng hình chữ nhật $m \times n$ $mn$ được sắp xếp ngẫu nhiên thành các cặp số nguyên phân biệt. Ước tính chính xác sự khác biệt tối đa giữa các số liền kề.

2. Ở trên, chúng ta gọi hai ô của bảng là liền kề nếu chúng có một cạnh chung. Chúng ta hãy đưa ra một định nghĩa mới về “lân cận”: bây giờ chúng ta sẽ gọi hai ô là lân cận nếu chúng có một cạnh chung hoặc một đỉnh chung (trước đây, một ô không nằm ở cạnh bàn có bốn ô lân cận, bây giờ nó có tám ô). Ước tính chênh lệch tối đa giữa các số lân cận sẽ thay đổi như thế nào với cách hiểu mới về thuật ngữ “láng giềng”?

3. Câu hỏi cuối cùng không áp dụng cho tất cả bài toán trong một bảng mà chỉ áp dụng cho bổ đề.

Trong bảng, $n \times n$ được bù bởi $\frac{n(n - 1)}{2}$ ô. Những ô còn lại có các cạnh chung với các ô bị loại bỏ sẽ được đánh dấu hoa thị. Có đúng là có ít nhất $n$ sao không?

(Kết thúc. Xem trang 8 để bắt đầu.)

Nhưng nó vẫn là một công trình khổng lồ, đặc biệt nếu xét đến tình hình toán học lúc bấy giờ. Cần phải giải phần thứ hai bài toán: các quỹ đạo đã được biết từ quan sát, bây giờ chúng ta cần tìm định luật của chúng dựa trên kết quả thí nghiệm. Nghĩa là, đưa ra định nghĩa về một giả định về dạng đường cong quỹ đạo, sau đó kiểm tra nó trên một lượng lớn tài liệu thực nghiệm! Nếu kết quả không trùng nhau thì hãy đưa ra giả thuyết mới và kiểm tra lại! Sau vô số nỗ lực, Kepler đã đi đến kết luận sau: quỹ đạo là một hình elip, tại một trong những tiêu điểm mà Mặt trời tọa lạc. Ông cũng tìm ra một định luật theo đó tốc độ thay đổi trong suốt một năm: đoạn Mặt Trời - hành tinh mô tả những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Cuối cùng, ông phát hiện ra rằng bình phương thời gian quay có liên hệ với lập phương của các trục hình elip. Toàn bộ cuộc đời của Kepler đã dành cho lời giải những bài toán này.

Sự ngưỡng mộ đối với người đàn ông tuyệt vời này càng làm tăng thêm cảm giác ngưỡng mộ và kính sợ, nhưng điều này không liên quan đến con người mà liên quan đến sự hòa hợp bí ẩn của thiên nhiên đã sinh ra chúng ta. Ngay cả thời cổ đại, con người đã nghĩ ra những đường cong tương ứng với những định luật đơn giản nhất. Cùng với đường thẳng và đường tròn, chúng bao gồm hình elip và hyperbol. Chúng ta thấy cái sau được thực hiện trong quỹ đạo của các thiên thể, ít nhất là với một giá trị gần đúng.

Có vẻ như tâm trí con người phải tự do hình thành các giả thuyết trước khi sự tồn tại thực sự của chúng được xác nhận. Công trình đáng chú ý trong cuộc đời của Kepler đặc biệt cho thấy rõ ràng rằng kiến ​​thức không thể phát triển từ tư duy thực hành. Việc tính toán như vậy chỉ có thể thực hiện được bằng cách so sánh những gì được phát minh với những gì được quan sát.

28

Vòng xoáy

Các câu hỏi chuẩn bị cho bài giảng về vòng xoáy có những thay đổi thú vị.

Một hộp điển hình để chứng minh các xoáy tốt đã được biết đến rộng rãi và không cần mô tả chi tiết*). Thiết bị của chúng tôi lớn hơn đáng kể so với những thiết bị thường được sử dụng. Đây là một chiếc hộp gỗ hình khối có cạnh dài khoảng một mét; một bức tường được làm bằng vải dầu mỏng, treo lơ lửng, có hai ống cao su chéo, được gắn chắc chắn ở các góc. Cần có ống cao su để đảm bảo vải dầu trở về vị trí ban đầu.

Một chiếc hộp như vậy phóng ra những luồng không khí có lực rất lớn, và tác động của chiếc nhẫn lên tường giảng đường rất lớn và giống như âm thanh của một cú thổi nhẹ bằng một chiếc khăn. Khán giả có thể biết được “độ cứng” của cơn lốc không khí đang quay bằng cách thả liên tiếp những chiếc chốt vô hình vào hội trường. Cú đánh của một cái chốt vào mặt một người bị nhầm lẫn giống như một cú đẩy nhẹ từ chiếc gối xuống.

Để có thể nhìn thấy các giếng, bạn cần điền vào ô

*) Xem bài viết “Cơ sở cơ bản của lý thuyết xoáy” của N. E. Zhukovsky trong “Kvanit” số 4, 1971.

Tôi trộn các mảnh amoniac và hydro bằng ống cao su nối với hai bình trong đó NH₄OH và HCl đang sôi. Phương pháp này cho kết quả tốt. Hình 1 được thực hiện với các bức ảnh chụp các vòng lớn thu được theo cách này. Nhìn từ bên cạnh rất thú vị: nó cho thấy cái đuôi (tương tự đuôi sao chổi), được hình thành do ma sát của các phần bên ngoài của vòng với bầu khí quyển khi nó di chuyển về phía trước.

Sức mạnh của các vòng khí có thể được thể hiện theo cách này. Ví dụ, đặt chúng trên một hộp các tông phẳng, đứng cách xa nơi lắp đặt một khoảng. Trong trường hợp này, chiếc hộp ngay lập tức bị lật hoặc thậm chí rơi xuống sàn. Bằng cách chạm vào vòng xoáy, bạn có thể dập tắt ngọn lửa của bếp gas. Sau một số khóa huấn luyện, bạn có thể học cách thả nhanh hai chiếc nhẫn theo từng đợt và sao cho chiếc thứ hai bay với một vài chiếc.

29

nhanh hơn lần đầu. Sau đó, vòng thứ hai đuổi kịp vòng thứ nhất, di chuyển ra xa nó và bật ra; cả hai vòng vẫn còn nguyên và biến thành các hình elip dao động. Điều này cho thấy cửa thoát khí có tính đàn hồi. Tất cả những thử nghiệm tôi thực hiện với hai chiếc hộp đều cho kết quả không như ý.

Mặc dù các vòng lớn được tạo ra theo cách sắp xếp được mô tả là phù hợp nhất cho việc trình diễn bài giảng, nhưng tôi thấy rằng có thể thu được các vòng đối xứng và đẹp hơn nhiều bằng cách thổi khói từ giấy hoặc ống thủy tinh có đường kính 2,5 cm*). Nếu bạn nhìn từ bên cạnh các vòng thổi trong không khí tĩnh lặng gần đèn hoặc dưới ánh sáng mặt trời, bạn có thể thấy những đường xoắn ốc rất đẹp. Tôi đã cố gắng tạo thành một trong những chiếc nhẫn này như sau. Một màn trập tạm thời được gắn trên cửa của một căn phòng tối và một ngọn đèn hồ quang được tập trung vào khe của nó bằng một chiếc gương lõm lớn. Tấm nhựa chụp ảnh được lắp đặt trong phòng tối để nó được chiếu sáng bởi chùm tia phân kỳ phát ra từ sự phản chiếu của vòng cung trong gương (khi màn trập mở). Một chiếc đèn đỏ được đặt trước chiếc đĩa, sau đó những chiếc vòng được thổi ra khỏi ống. Ngay khi chiếc nhẫn có hình dạng đối xứng và không di chuyển quá nhanh, xuất hiện trước mặt tấm, chúng tôi giữ sợi dây dẫn đến màn trập và tấm được chiếu sáng bằng đèn flash chói mắt. Một bóng tối rõ ràng rơi xuống từ chiếc nhẫn do kích thước nhỏ và sự tách biệt của nguồn sáng. Hình 2 được tạo từ bức ảnh thu được. Có thể thấy rằng chiếc nhẫn bao gồm một lớp khói và một lớp không khí, tạo thành một vòng xoắn ốc gồm nhiều vòng cuối.

Rõ ràng, tốc độ góc quay tăng khi

*) Khói có thể được tạo ra, ví dụ, bằng cách đặt giấy cháy âm ỉ vào hộp kín.

30

giá có đường chấm. Thí nghiệm này không hiệu quả trên quy mô lớn, mặc dù tôi đã đạt được một số thành công khi phun amoniac vào mép trên của lỗ bằng một sợi dây sắt hình yggago được làm nóng bằng dòng điện.

Bằng cách thực hiện một số biện pháp phòng ngừa, có thể thu được nửa vòng khói như trong Hình 4. Đây là một minh họa tuyệt vời về thực tế là sự hình thành nửa vòng khói không phụ thuộc vào sự hiện diện của khói. Cách tốt nhất để có được nửa vòng là thổi khói thật nhẹ vào ống giấy, để khói chảy xuống đáy ống cho đến khi hết. Sau đó, khối u được đẩy ra ngoài bằng một hơi thở ra nhẹ nhàng. Có thể tốt hơn nếu tiến hành thí nghiệm trong một ống ăn mòn lớn có lỗ ở đáy, vì

Cơm. 4.

trong trường hợp này, người ta có thể quan sát các hiện tượng xảy ra bên trong. Khá dễ dàng để có được một koltsezu, trong đó phần khói tập trung ở nửa dưới; nhưng để có được một chiếc nhẫn, một nửa trong số đó hoàn toàn vô hình và sao cho mép khói được đánh giá rõ ràng (như trong Hình 4), đòi hỏi phải thực hành nhiều. Tôi đã thử nhiều kế hoạch khác nhau để sản xuất những nửa chiếc nhẫn này trên quy mô lớn, nhưng không có kế hoạch nào mang lại kết quả đáng nói. Có vẻ như việc sử dụng dây nóng với amoniac là phương pháp hứa hẹn nhất, nhưng tôi không nhận được giới hạn khói được đánh giá rõ ràng và đây là điểm khác biệt của các vòng nhỏ thu được khi sử dụng đường ống.

Giải thích sự hình thành các vòng đầu ra, chuyển động quay thường

Cơm. 5.

do ma sát giữa dòng không khí chảy và mép lỗ. Tuy nhiên, phần lớn sự hình thành các cửa thoát khí là do sự tương tác với không khí trong khí quyển. Để minh họa điểm này, tôi đã nghĩ ra một hộp thoát trong đó không có rãnh với mép lỗ hoặc chính xác hơn là được bù bằng cách cân bằng nó trên toàn bộ mặt cắt ngang của tia thoát ra.

Khoảng 200 lỗ có đường kính 1,7 mm được khoan vào đáy hộp thiếc hình trụ (Hình 5). Nếu hộp chứa đầy khói và có luồng không khí mạnh thoát ra, vòng thoát màu đỏ sẽ tách ra khỏi bề mặt và cháy trên sàng. Bạn có thể chỉ cần che đầu ống giấy bằng một mảnh vải lanh căng thật chặt và thổi một vòng khói qua đó.

Khi làm thí nghiệm với một chiếc hộp có hai lỗ tròn, tôi quan sát thấy sự hợp nhất của hai vòng chuyển động cạnh nhau thành một vòng lớn. Nếu các vòng xoay với tốc độ cao, chúng sẽ nảy ra khỏi nhau, nhưng nếu các vòng quay chậm, chúng sẽ kết nối với nhau. Tại thời điểm kết nối, hình thức mới nổi không ổn định. Các vòng được kết nối đột ngột thay đổi vị trí nằm ngang sang vị trí thẳng đứng nhanh đến mức khó nhận thấy, sau đó từ từ mất đi hình dạng của vòng. Điều tương tự có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hai ống giấy, giữ chúng ở các góc khác nhau của miệng và gần như song song với nhau. Trong mọi trường hợp, không khí trong phòng gần như bất động.

Stramy được xuất bản trên tạp chí “Nature” vào năm 1901. Ấn phẩm này được biên soạn bởi L. A. Savina

31

NHIỆM VỤ

M116. Chứng minh rằng nếu bạn nối trung điểm của các cạnh liên tiếp của một lồi $n$-gon $M$ (Hình 1), thì đa giác thu được
a) chu vi không nhỏ hơn một nửa chu vi $M$ ($n \geqslant 3$);
6) diện tích ít nhất bằng một nửa diện tích $M$ ($n \geqslant 4$).
G. A. Galperin

Cơm. 1.

M117. Một số người quan sát con ốc trong $t$ phút. Mỗi con được quan sát trong khoảng 1 phút và sau đó, trong phút này, con ốc sên bò được khoảng 1 mét. Không có lúc nào con ốc không được quan sát. Cô ấy có thể bò theo con đường nào trong $t$ phút này?

Trước tiên hãy thử giải bài toán này với các giá trị nhỏ của $t$, chẳng hạn như $t=2,5$.

N. N. Konstantinov

M118. Với bốn cạnh của bàn cờ có kích thước $n \times n$, người ta dựng một đường viền rộng bằng hai ô.

Chứng minh rằng quân cờ có thể vượt qua ranh giới này bằng cách nâng mỗi ô một lần và chỉ một lần, khi và chỉ khi $n-1$ là bội số của 4.

Y. I. và Y. Y. Sorkinyi

M119. Chứng minh rằng nếu chọn một điểm trên mỗi mặt của đa giác lồi và từ điểm này vẽ một vectơ hướng vuông góc với mặt tương ứng ra phía ngoài và có chiều dài bằng diện tích của mặt này thì tổng các vectơ đó sẽ bằng 0.

N. B. Vasiliev

M120. Trong một số bộ, thao tác * được giới thiệu, thao tác này gán hai phần tử $a$ và $b$ của bộ này với một phần tử $a*b$ từ bộ này. Người ta biết rằng

1. cho ba phần tử bất kỳ $a$, $b$ và $c$
   $a*(b*c) = b*(c*a)$;
2. nếu $a*b = a*c$, thì $b=c$;
3. nếu $a*c = b*c$ thì $a=b$.
   Chứng minh rằng phép tính *
   a) giao hoán, nghĩa là với hai phần tử bất kỳ $a$ và $b$
   $a*b = b*a$;
4. kết hợp, nghĩa là đối với ba phần tử bất kỳ $a$, $b$ và $c$
   $(a*b)*c = a*(b*c)$.

S. A. Yanovskaya

32

Cơm. 2.

F128. Một thanh mỏng đồng nhất được phân loại sao cho nó nằm trên hai mặt phẳng nghiêng với đường chân trời một góc α và β; góc giữa các mặt phẳng là 90° (Hình 2). Điều gì sẽ xảy ra với cây đũa phép? Vị trí cuối cùng của nó sẽ là bao nhiêu nếu ma sát giữa thanh và các mặt phẳng là rất nhỏ?

B. B. Bukhovtsev

F129. Một vật đặt tại điểm A bên trong một quả cầu rỗng đứng yên. Trong trường hợp nào nó tới điểm dưới B của hình cầu nhanh hơn: nếu nó trượt dọc theo bề mặt hình cầu hoặc nếu nó trượt dọc theo đường thẳng AB? Ma sát trong cả hai trường hợp đều không đáng kể, vận tốc ban đầu của vật bằng 0 và khoảng cách AB nhỏ hơn nhiều so với bán kính của quả cầu.

G. L. Komkin

F130. Bên trong quả cầu nhẵn có quả cầu được tải trọng nhỏ nhất. Kích thước của ô nhiễm là gì?

đặt ở điểm dưới cùng của quả cầu để quả bóng được giữ ở điểm trên cùng của nó? Đường kính của quả cầu là d, điện tích của quả bóng là q và khối lượng của nó là m.

G. L. Komkin

F131. Một ống thủy tinh nhẹ có chiều dài l và mặt cắt ngang s, được lấp đầy hoàn toàn bằng nhựa rue và bịt kín một đầu, được đặt nằm ngang trong một bể có rue gần bề mặt của rue. Công tối thiểu phải được thực hiện để di chuyển ống đến vị trí thẳng đứng mà đầu hở của nó sẽ chạm vào bề mặt của rãnh?

F132. Một hình trụ có khối lượng m được thả lỏng và đặt giữa hai mặt phẳng kín đặt hợp với nhau một góc 2α (Hình 3). Biết rằng hệ số ma sát giữa hình trụ và các mặt phẳng bằng k, hãy xác định các lực mà hình trụ tác dụng lên tường.

Cơm. 3.

34

Lưu ý rằng trong sách giáo khoa đại số hiện đại hơn, đẳng thức của đa thức thường được hiểu là đẳng thức của các hệ số tương ứng (sau khi rút gọn về dạng chuẩn $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$). Nếu tất cả các đẳng thức trong bài toán của chúng ta được hiểu theo cách này, thì khi chuyển từ (3) sang (4), từ “rõ ràng” phải được thay thế bằng từ “theo định nghĩa”. Chúng tôi sẽ dành các ghi chú riêng trong «Kvant» vào năm tới để thảo luận chi tiết về đa thức là gì và cách xác định chính xác các phép toán khác nhau trên đa thức.

A. L. Toom

M75

a) Chứng minh rằng trong mọi khối đa diện lồi tổng chiều dài tất cả các cạnh đều lớn hơn ba lần đường kính. (Đường kính của khối đa diện được gọi là đoạn nhỏ nhất có thể có các đầu tại các đỉnh của khối đa diện).

b) Chứng minh rằng với hai đỉnh $A$ và $B$ bất kỳ của một khối đa diện lồi đều có ba đoạn thẳng gãy, mỗi đoạn thẳng đi dọc theo các cạnh của khối đa diện từ $A$ và $B$ và không có hai đoạn thẳng nào đi dọc theo cùng một cạnh.

b) Chứng minh rằng nếu hai cạnh được cắt trong một khối đa diện lồi thì với hai đỉnh bất kỳ $A$ của nó trong $B$ đều có một đường đứt nét và một đường thẳng từ $A$ đến $B$ dọc theo các cạnh còn lại.

d) Chứng minh rằng trong bài toán 6) có thể chọn ba đoạn thẳng không có đỉnh chung theo cặp, ngoại trừ hai đầu $A$ và $B$.

Rõ ràng, từ bài toán d) theo sau bài toán 6), từ 6) theo sau c) và a)*. Ta sẽ phác thảo chứng minh ngắn gọn của a) và b) và giải d).

a) Gọi $AB$ là đường kính của $M$. Hãy chiếu tất cả các cạnh $M$ lên $AB$. Hãy xem có bao nhiêu điểm được chiếu vào một điểm $C$ nào đó nằm bên trong $AB$. Nếu thông qua $C$ chúng ta vẽ mặt phẳng $P$ vuông góc với $AB$ thì $P$ sẽ cắt $AB$ dọc theo đa giác lồi. Các đỉnh của đa giác này (và có ít nhất ba trong số chúng!) là các điểm giao nhau $P$ với các cạnh $M$ và do đó, ít nhất ba cạnh $M$ được chiếu vào mỗi điểm bên trong của đoạn $AB$. Từ đây dễ dàng suy ra mệnh đề bài toán a).

Cho lời giải bài toán b) và d) chúng ta sẽ sử dụng mệnh đề rõ ràng bằng trực giác sau đây: đối với hai đỉnh bất kỳ $A$ và $B$ của khối đa diện lồi $M$ đều có một đường đi từ $A$ đến $B$ dọc theo các cạnh $M$. Chúng tôi để lại bằng chứng cho người đọc.

*) Chúng ta cũng lưu ý rằng sử dụng định lý Ford-aFalerson về luồng cực đại và đường cắt cực tiểu (xem «Kvant» Số 4, 1970, trang 24, bài toán 4) dễ dàng suy ra 6); chỉ cần áp dụng định lý này cho mạng được hình thành bởi các cạnh của một khối đa diện (cạnh nào được tính hai lần—“ở đó” và “sau”).

b) Cắt các cạnh $r_1$ và $r_2$. Hiển nhiên có đường đi $L_1$ nối hai đầu của $r_1$ và không đi qua $r_2$. Thật vậy, có hai mặt được gắn vào cạnh $r_1$. Cạnh $r_2$ không nằm trên ít nhất một trong các mặt này, vì vậy $L_1$ có thể được coi là đường đi dọc theo ranh giới của nó. Tương tự, đối với cạnh $r_2$ có đường dẫn $L_2$. Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai đỉnh tùy ý $A$ và $B$. Như đã đề cập ở trên, có một đường dẫn $L$ và một đường dẫn từ $A$ đến $B$ dọc theo các cạnh $M$. Bằng cách thay thế cạnh $r_1$ trong đường dẫn $L$ bằng đường dẫn $L_1$ và cạnh $r_2$ bằng đường dẫn $L_2$ (tất nhiên nếu các cạnh này gặp nhau trong $L$), chúng ta có được đường dẫn mong muốn dọc theo các cạnh còn lại. Lưu ý rằng đường dẫn này có thể tự tính toán, tuy nhiên, việc thiết lập này không khó.

d) Như đã nói ở trên, đối với hai đỉnh $A$, $B$ bất kỳ của một khối đa diện lồi đều có một đường đi từ $A$ đến $B$ và một đường đi dọc theo các cạnh. Hãy gọi độ dài của một đường đi như vậy là số cạnh mà nó bao gồm và gọi nó là khoảng cách giữa $A$ và $B$ - hãy biểu thị nó bằng $d(A,B)$ - độ dài của đường đi ngắn nhất (theo số cạnh). Để chứng minh khẳng định bài toán, ta ấn định điểm $A$ và dùng quy nạp về khoảng cách giữa các điểm $A$ và $B$. Nếu $d(A,B) = 1$ thì $A$ và $B$ nằm trên cùng một cạnh và mệnh đề là hiển nhiên vì người ta có thể đi từ $A$ đến $B$ dọc theo cạnh $AB$ và các mặt của hai mặt liền kề với $AB$. Giả sử rằng mệnh đề đã được chứng minh cho tất cả các đỉnh nằm từ $A$ ở khoảng cách $n-1$. Đặt $d(A,B) = n-1$ và $d(B',B) = 1$. Hãy xem xét tất cả các mặt chứa $B'$. Tập hợp tất cả các cạnh thuộc tất cả các cạnh như vậy bao gồm “radushkas” (các cạnh có điểm cuối $B'$) và một “vòng” (tạo thành các cạnh còn lại). Tuy nhiên, một trong các đỉnh của vòng là điểm $B$. Theo giả thuyết quy nạp, tồn tại một đường đi $l_1, l_2, l_3$ từ $A$ đến $B'$ không có điểm chung theo cặp ngoại trừ hai đầu. Rõ ràng, mỗi đường trong số ba đường đi này đều đi qua ít nhất một đỉnh của vòng. Các đỉnh như vậy của vòng được gọi là đỉnh $A_1$ và $A_2$ (một trong số chúng có thể là đỉnh $B$). Có hai trường hợp có thể xảy ra.

Trường hợp 1. Chiếm các đỉnh $A_1$ và $A_2$ thuộc các đường khác nhau, ví dụ $l_1$ và $l_2$. Sau đó, chúng ta xây dựng đường dẫn từ $A$ đến $B$ như sau. Đường đi đầu tiên: từ $A$ đến $A_1$ đến $l_1$, sau đó từ $A_1$ đến $B$ dọc theo vòng (lưu ý rằng bằng cách xây dựng điểm $A_1$ ở phần cuối, chúng ta không giao nhau với các đường dẫn $l_2$ và $l_3$. Đường đi thứ hai: từ $A$ đến $A_2$ đến $l_2$, sau đó từ $A_2$ đến $B$ dọc theo vòng tròn. Đường đi thứ ba: từ $A$ đến $B'$ đến $l_3$, sau đó dọc theo cạnh $B'B$. Rõ ràng, ba đường dẫn được xây dựng theo cặp không có điểm chung ngoại trừ. kết thúc.

Trường hợp 2. Chiếm các đỉnh $A_1$ và $A_2$ thuộc cùng một đường đi, ví dụ $l_1$.

35

Sau đó, chúng ta hãy xác định đỉnh nào trong số các đỉnh này sẽ bằng nhau khi di chuyển từ $A$ đến $B^1$ dọc theo $l_1$ và lấy đoạn $l'_1$ của đường đi $l_1$ từ $A$ đến đỉnh đầu tiên trong số các đỉnh này. Sau đó, khoảng cách là ba đường đi $l'_1, l_2, l_3$, khoảng cách của tập đỉnh của bóng đèn bị đường đi $l'_1, l_2, l_3$ chiếm giữ và chúng ta sẽ thực hiện lại các phép tính trước đó liên quan đến các đường tramut này. Nếu gặp trường hợp 1 thì chúng ta sẽ xây dựng các đường dẫn cần thiết theo cách được mô tả ở trên, nhưng nếu gặp lại trường hợp 2 thì chúng ta sẽ xây dựng khoảng cách của đường ba mới $l'_1, l_2, l_3$. Nếu trường hợp 2 phát sinh cho bộ ba này, thì chúng ta sẽ tạo khoảng cách cho một bộ ba mới, v.v. Vì chúng ta đang di chuyển xa hơn dọc theo cột và có các đỉnh trên cột thuộc về các đường dẫn $l_2$ và $l_3$, nên ở một bước nào đó, chúng ta sẽ gặp trường hợp 1 và các đường dẫn bắt buộc từ $A$ đến $B$ sẽ được xây dựng. Vấn đề d) lời giải. Một tuyên bố thậm chí còn mạnh mẽ hơn là đúng: với hai đỉnh bất kỳ $A$ và $B$, người ta có thể tìm thấy ba chuỗi mặt không có các mặt chung và trong mỗi chuỗi đó, mặt đầu tiên chứa đỉnh $A$, mặt cuối cùng chứa đỉnh $B$ và các mặt lân cận có một cạnh chung.

A. G. Kushiirenko

M76

Trong một công ty gồm $n$ người, cứ hai người xa lạ thì có hai người quen nhau, và cứ hai người quen thì không còn người quen nào nữa. Chứng minh rằng trong công ty này mỗi người biết cùng một số người và có cùng một lợi thế.

Với mỗi người, $X$ sẽ được ký hiệu là $m_X$ số người quen của mình.

Hãy làm quen với $A$ và $B$ (Hình 1). Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_A$ tập hợp những người quen $A, M_B$ - tập hợp.

Cơm. 1.

Sự tàn ác của người quen $B$. Hãy chứng minh điều đó

(1) $M_A$ và $M_B$ không có phần tử chung,
(2) mỗi người trong số $M_A$ có chính xác một người quen trong $M_B$ và
(3) mỗi $M_B$ có chính xác một người quen trong $M_A$.

Câu (1) ngay sau điều kiện: $A$ và $B$ không thể có những người quen chung. Hãy chứng minh (2); (3) chứng minh tương tự. Đặt $X \in M_A$ (ký hiệu này có nghĩa là “$X$ thuộc tập hợp $M_A$”). Hoặc $X$ là $B$, và sau đó, theo (1), bản thân anh ấy chỉ có một người quen duy nhất ở $M_B$ - $A$. Hoặc $X \neq B$, thì theo (1), $X$ không quen thuộc với $B$, và do đó, $X$ và $B$ phải có, ngoài $A$, chính xác một người quen chung, tức là $X$ có chính xác một người quen trong $M_B$, đó là điều cần phải có đã được chứng minh. Từ (2) và (3) suy ra rằng có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa các tập hợp $M_A$ và $M_B$, do đó $m_A = m_B$.

Vì vậy, nếu $A$ và $B$ quen thuộc thì $m_A = m_B$. Nếu $A$ và $B$ không quen thuộc thì họ có một người bạn chung $C$, và do đó, $m_A = m_B$.

Nan rõ ràng hơn lời giải loại này đã được gửi cho chúng tôi bởi $A$. Zinchenko từ Arkhangelsk, V. Lozinov và A. Slinkin từ Moscow, A. Karimov từ Ufa, K. Radyunov từ Irkutsk, V. Pronin từ Odessa, V. Faimelevy từ Armavir, S. Gritsoryan từ Baku.

Nhiều độc giả đã quyết định bài toán inchete. Với mỗi người $A$ gọi $M_A$ là tập hợp những người quen của anh ta và $N_A$ là tập hợp những người không quen biết với $A$. Khi đó, mỗi phần tử từ $N_A$ có thể được liên kết với một cặp phần tử từ $M_A$ (những phần tử mà anh ta quen thuộc) và không khó để chứng minh rằng sự tương ứng này giữa tập hợp $N_A$ và tập hợp tất cả các cặp phần tử có thể có $M_A$ sẽ là một đối một. Do đó, nếu $M_A$ chứa $m_A$ phần tử thì $N_A$ chứa $\frac{m_A(m_A-1)}{2}$ và tổng cộng có $n = 1 + m_A + \frac{m_A(m_A-1)}{2}$ người trong công ty. Sự bình đẳng này đúng với bất kỳ người nào $A$. Nhưng phương trình

$$n = 1 + x + \frac{x(x-1)}{2}$$

chỉ có (tại $n > 1$) một nghiệm dương, do đó $m_A$ giống nhau với mọi $A$. (Tương tự, lời giải được thảo luận trong cuốn sách của A. Lehman “Bộ sưu tập bài toán Tối ưu hóa toán học Moscow”, bài toán XXIII, 11, 10, 3).

Thật thú vị khi tìm hiểu xem $n$ những công ty như vậy thực sự tồn tại ở đâu. Chúng tôi không biết câu trả lời đầy đủ đáp số cho câu hỏi này. Chúng ta đã thấy rằng $n = \frac{m(m+1)}{2} + 1$, trong đó $m$ là số lượng người quen của một người, nhưng không cần thiết với bất kỳ công ty $n$ nào như vậy. Ví dụ, không khó để chứng minh

37

Cơm. 6.

Sự bổ sung như vậy đáp số của O. Zaumyslov (Zelenograd, vùng Moscow), A. Zeleny (Izmanl, vùng Odessa), V. Rozhkin (Perm), N. Fedin (Omsk), A. Demidov (Moscow), A. Zhukov (Kirovsk, quận Khariz, vùng Donetsk), V. Kovtun (Kyiv), A. Vorobyov (Torzhok, vùng Kalinin).

F85

Có thể kiểm tra một quá trình (chu trình) khép kín bằng khí lý tưởng sao cho điểm A và B (Hình 7) nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt?

Nhiệt độ $T_1$ và $T_2$, tương ứng với các đường đẳng nhiệt được vẽ trong hình và thể tích $V_1$ (hoặc $V_3$) được đưa ra. Nhiệt độ $T_1$ và $T_2$ xác định hai đường đẳng nhiệt:

$$pV = \frac{m}{\mu}RT_1 \quad \text{and} \quad pV = \frac{m}{\mu}RT_2$$

(m là khối lượng của khí, μ là khối lượng của một gam phân tử khí, R là hằng số khí). Vì thể tích $V_1$ đã cho nên chúng ta biết điểm C và E của chu trình: thể tích $V_1$ và $V_3$ ($V_3 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$), nhiệt độ $T_1$ và $T_2$, và áp suất $p_2 = \frac{m}{\mu}RT_1V_1$.

Tất cả các điểm khác trong chu kỳ có thể được xác định.

Cơm. 7.

Chỉ xem khi chúng tôi chỉ định một trong các điểm - B hoặc A.

Chúng tôi sẽ giả sử rằng chúng tôi có khối lượng nhất định $V_2$. Nó xác định điểm B ($P_B = P_2$, $V_B = V_2$, $T_B = T_1 \frac{V_2}{V_1}$) và điểm D ($V_D = V_2$, $T_D = T_2$, $p_D = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$). Điểm A nằm trên đường đẳng cự AD và trên đường đẳng áp AC. Do đó, $p_A = p_3 = \frac{m}{\mu} \frac{R T_2}{V_2}$, $V_A = V_1$ và $T_A = T_2$, $\frac{V_1}{V_2}$.

Nhiệt độ khí tại các điểm A và B là như nhau nếu $V_2$ được chọn sao cho

$$T_2 \frac{V_1}{V_2} = T_1 \frac{V_2}{V_1},$$

nghĩa là, nếu $V_2 = V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$. Nhiệt độ khí tại các điểm A và B của chu trình trong trường hợp này bằng $T = \frac{p_2V_2\mu}{mR} = \sqrt{T_1T_2}$ (vì $p_2V_2 = p_2V_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ và $p_2V_1 = \frac{m}{\mu} RT_1$).

Đúng lời giải được thêm bởi N. Fedin (Omsk).

F86

Trong thí nghiệm của Millikan, vị trí của giọt có khối lượng $10^{-5}$ e được xác định với độ chính xác 10 μm. Sự không chắc chắn trong việc xác định tốc độ của nó là gì?

Do nguyên lý bất định $\Delta p \Delta x \geq h$. Vì vậy $\Delta v \geq \frac{h}{m \Delta x}$. Nghĩa là, tốc độ rơi không thể thay đổi với độ chính xác lớn hơn $10^{-16}$ cm/giây.

Một sự bổ sung đáp số như vậy cho B. Glukhovsky (Sverdlovsk), B. Kovtun (Kyiv) và A. Zlomnik (Zhukovsky, vùng Moscow).

Tôi. Sh. SLOBODECHY

F87

Nguồn của sóng cầu chuyển động trên mặt nước với vận tốc u. Vẽ hình ảnh sóng trên mặt nước khi vận tốc sóng v lớn hơn và nhỏ hơn vận tốc nguồn.

Sóng phát sinh trên mặt nước bởi một nguồn đứng yên; trông giống như những vòng tròn đồng tâm (Hình 8, a). Nếu nguồn đang chuyển động thì các sóng mà nó tạo ra ở những thời điểm sau đó sẽ trộn lẫn theo hướng chuyển động của nguồn. Giả sử vận ​​tốc của nguồn nhỏ hơn vận tốc truyền sóng. Khi đó mặt sóng sẽ bao quanh nguồn và dạng sóng sẽ như trong Hình 8, b. Tuy nhiên, nếu tốc độ của nguồn lớn hơn tốc độ truyền sóng thì mặt sóng không thể

38

Cơm. 8.

có thể vượt qua nguồn và sóng sẽ truyền đi trong góc tạo bởi hai tia phát ra từ nguồn (Hình 8, c). Góc có thể dễ dàng tìm thấy từ hình. Trong thời gian nguồn truyền đi quãng đường AO, mặt trước của sóng phát ra tại điểm A truyền đi quãng đường AB và $\frac{AB}{AO} = \frac{v}{u}$. Đó là lý do tại sao

$$\sin \alpha = \frac{v}{u}.$$

lời giải chính xác được gửi bởi A. Zlomnik (Zhukovsky, vùng Moscow), V. Kovtun (Kyiv), N. Fedin (Omsk), A. Demidov (Moscow), A. Zeleny (Izmail, vùng Odessa), O. Zamyslova (Zelenograd, vùng Moscow), G. Zaitsev (Gagra), V. Belov (Vologda), N. Sidelev (Tsiropinsk, Vùng Kherson), O. Trunov (Jalal-Abad Kyrgyzstan, Liên Xô), G. Furman (Chernivtsi, SSR Ukraina), S. Araslanova (Nikhne-Ivkino, quận Kumensky, vùng Kirov).

L. G. Aslamaov

F88

Một con tàu chứa đầy cát chuyển động với gia tốc theo phương ngang, do đó bề mặt cát nghiêng về phía chân trời một góc nhất định. Phần trên của bình được đóng lại bằng nắp. Góc này sẽ thay đổi như thế nào nếu bình chứa đầy nước?

Hãy xem xét một phần tử chất lỏng có khối lượng Δm (Hình 9). Có hai lực tác dụng lên nó: trọng lực Δmg và lực N - hợp lực của các lực ép từ chất lỏng xung quanh. Dưới tác dụng của các lực này, phần tử chất lỏng chuyển động theo phương ngang với gia tốc a. Điều này có nghĩa là các hợp lực Δmg và N hướng theo phương ngang và bằng Δma. Để thực hiện được điều này, lực N phải tạo một góc α với phương thẳng đứng sao cho tanα = $\frac{a}{g}$.

Những cân nhắc này không phụ thuộc vào vị trí chính xác của phần tử chất lỏng được chọn. Hãy chọn

Cơm. 9.

nó trên bề mặt. Khi đó, rõ ràng là nó ở trạng thái cân bằng so với bình và nước chỉ nếu bề mặt chất lỏng vuông góc với lực N: nếu không thì thành phần lực N, song song với bề mặt chất lỏng, sẽ làm cho phần tử chất lỏng mà chúng ta đã xác định chuyển động dọc theo bề mặt. Vì vậy, bề mặt chất lỏng trong một bình chuyển động nghiêng so với đường chân trời một góc α = arctan $\frac{a}{g}$.

Bây giờ hãy để một phần tử chất lỏng có khối lượng Δm ở bên trong chất lỏng. Giả sử rằng chúng ta đặt một vật thể có cùng thể tích nhưng có mật độ nhỏ hơn mật độ của nước. Rõ ràng là trong trường hợp này cơ thể chúng ta sẽ trôi theo hướng của lực N. Theo đó, không giống như một con tàu đang đứng yên, các đường áp suất không đổi không nằm ngang mà tạo một góc α với đường chân trời. Rõ ràng, áp suất không đổi khi di chuyển mà chúng ta cần trong bình sẽ giống nhau. Do đó, rõ ràng góc nghiêng của giao diện chất lỏng sẽ bằng góc nghiêng của bề mặt bề mặt trước khi thêm nước vào bình: α = arctg $\frac{a}{g}$.

Điều này là tự nhiên. Người quan sát, người đang ở trên xe đẩy, sẽ nói rằng chất lỏng hành xử như thể chiếc bình sẽ kết thúc, và các lực và gia tốc trọng trường g’ trong hệ tọa độ của nó hướng một góc α so với phương thẳng đứng. Trong một bình đứng yên, mặt phân cách chất lỏng vuông góc với lực của chất lỏng, bất kể hình dạng của bình.

lời giải chính xác được gửi bởi A. Alexandrov (Glazov, UASSR), V. Belov (Vologda), Y. Intin (Rechnitsa, vùng Gomel, VSSR), V. Kovalev (Kommunarsk, vùng Voroshilgovgrad), A. Karimov (Ufa), S. Araslova (Nikhne-Ivkino, quận Kumensky, vùng Kirov), A. Demidov (Moscow), N. Fedin (Omsk), E. Dolev (Moscow), L. Bratsinsky (Frunze).

Tôi. Sh. Slobodetsky

39

Đề thi vấn đáp môn vật lý tại Học viện Bách khoa Leningrad

M. M. Kozlov, I. G. Kochnev

Bài thi vấn đáp vật lý bao gồm đáp số về lý thuyết và lời giải bài toán. Chúng tôi sẽ không đề cập đến đáp số đối với các câu hỏi lý thuyết. Đây là một chủ đề quan trọng và chắc chắn xứng đáng được xem xét đặc biệt.

Bài toán trong kỳ thi tuyển sinh thể hiện một mục tiêu cụ thể - để kiểm tra mức độ hiểu biết sâu sắc và chính thức của thí sinh về sự tồn tại của các hiện tượng vật lý. Một ví dụ đơn giản. Nếu một học sinh xây dựng các định luật Newton, nhưng không có khả năng sử dụng các định luật này cho lời giải bài toán, thì lý thuyết đáp số của anh ta, tất nhiên, sẽ cung cấp. Vì vậy, bài toán đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá kiến ​​thức.

Người nộp đơn phải có khả năng phân tích bài toán, chọn đường dẫn tối ưu lời giải, biện minh cho nó và thực hiện chính xác phần kỹ thuật bài toán.

Dưới đây là một số bài toán đã xuất hiện trong kỳ thi tuyển sinh LPI trong 3 năm qua. Tại lời giải bài toán cần đặc biệt chú ý đến một số câu hỏi “khó” và những lỗi điển hình của thí sinh.

Trong cơ học, ngoại trừ động học thuần túy bài toán, bài toán là môn khó nhất đối với người nộp đơn khi nghiên cứu công của các lực thay đổi, lực ma sát và tính lực hướng tâm. Nhiều người không có ý tưởng rõ ràng rằng lực hướng tâm là hợp lực (nghĩa là bằng nhau) của tất cả các lực tác dụng lên vật - bằng nhau

chuyển động đo được dọc theo một đường tròn, hay, trong trường hợp tổng quát của chuyển động thẳng, là hình chiếu của lực tạo thành lên bán kính cong. Những người coi lực hướng tâm là một lực có bản chất đặc biệt không thể giải được ngay cả bài bài toán đơn giản nhất cho chuyển động tịnh tiến, vì họ không thể sử dụng định luật II Newton cho lời giải.

Với lời giải bài toán về lý thuyết động học phân tử, đặc biệt là về các định luật chất khí, khó khăn nhất là do bài toán, đòi hỏi một số biến đổi của định luật khí thống nhất, và bài toán, trong đó cần phải chuyển từ đơn vị đo này sang đơn vị đo khác (ví dụ: từ mm rm. cm. sang amp).

Trong phần “Tĩnh điện”, số lỗi lớn nhất có liên quan đến việc không thể thực hiện các phép tính số. Không phải tất cả người nộp đơn đều có đủ kỹ năng trong việc áp dụng các khái niệm và công thức tĩnh điện cho lời giải bài toán vào chuyển động của các chất gây ô nhiễm riêng lẻ (ví dụ: electron) trong trường tĩnh điện. bài toán tỏ ra khá khó khăn đối với người nộp đơn, trong đó họ cần tìm một lực tĩnh điện bằng nhau và các lực khác.

Một vị trí quan trọng trong số các câu hỏi thi bài toán được chiếm bởi bài toán đối với dòng điện được tạo ra. Khó khăn nhất đối với người nộp đơn là bài toán, trong đó cần tính toán tiết diện của mạch có nguồn emf, chẳng hạn như sạc pin. Họ không phải lúc nào cũng làm điều đúng

40

tính toán cho một mạch trong đó năng lượng điện được chuyển đổi thành các loại năng lượng khác, đặc biệt là năng lượng cơ học.

Những khó khăn nảy sinh trong những bài toán như vậy có thể dễ dàng khắc phục dựa trên định luật bảo toàn và biến đổi năng lượng (xem bài toán 6).

Phân tích lời giải bài toán trong quang học cho thấy ứng dụng khó khăn nhất của công thức thấu kính là trong tính toán các hệ quang học không phải một mà là hai thấu kính. Trong bài toán như vậy, việc tuân thủ các quy tắc về dấu hiệu trong công thức thấu kính (bài toán 7) trở nên đặc biệt quan trọng.

Bây giờ chúng ta hãy trình bày một số bài toán từ các bài thi.

1. Một quả cầu nhỏ có khối lượng $m$, mang điện tích $q$, được treo trên một sợi dây có chiều dài $l$. Quả bóng chuyển động dọc theo một vòng tròn nằm trong mặt phẳng nằm ngang và một quả bóng thứ hai đứng yên mang điện tích tương tự được cố định ở tâm vòng tròn. Tìm vận tốc góc của quả bóng.

2. Áp suất không khí bên trong chai được đậy kín bằng nút ở nhiệt độ $7^\circ$ C bằng 1 am. Không khí trong chai phải được làm nóng đến nhiệt độ bao nhiêu để nút chai bay ra khỏi chai, nếu biết rằng để tháo nút chai ra khỏi chai lạnh ở $7^\circ$ C thì phải thực hiện công 1 J. Chiều dài của phích cắm là $l = 4$ amm, tiết diện của phích cắm là $s = 4$ amm².

3. Khi áp suất sản xuất tăng 0,5 mm thì mật độ khí thay đổi 0,5 kD/m³. Mật độ ban đầu của khí là bao nhiêu nếu áp suất ban đầu là 1 mm?

4. Một quả cầu kim loại có thể tích 1 cm³ có khối lượng 8 g và chứa 8,6 x 1022 hạt điện tự do. Phần nào của các phần điện này phải được loại bỏ khỏi hai quả bóng như vậy để lớp lực đẩy tĩnh điện bù hoàn toàn lực hấp dẫn giữa chúng ($\gamma = 6,67·10^{-11} \cdot \text{н} \cdot \text{m}^2/\text{к}^2$)?

5. Cuộn dây của động cơ điện có dòng điện được làm bằng dây có tổng điện trở $R = 0,2$ ohm. Khi bật với điện áp $U = 120$v, dòng điện $I = 30$a chạy qua cuộn dây của động cơ đang chạy. Tìm cơ năng, phát triển động cơ điện.

6. Sự thay đổi dòng điện trong bộ phản hồi dao động của sóng điện.

$I = 0,3 \sin 15,7 t$.

Tìm độ dài sóng điện do mạch phát ra.

7. Thiết bị tròn bao gồm hai thấu kính hai mặt lồi mỏng giống hệt nhau có tiêu cự 5 cm và nằm cách nhau 2,5 cm. Tìm khoảng cách giữa tiêu điểm của thị kính và thấu kính ở gần nó.

8. Tìm lực tác dụng tại điểm gắn khối di động lên trần nhà nếu một tải nặng 60 kg treo vào khối như trên hình được đỡ bởi trọng lượng của một người kéo sợi dây thẳng đứng xuống.

9. Phải thực hiện bao nhiêu công để đặt ba điện tích giống hệt nhau, nằm ở vô cùng trong khung nghỉ, có điện tích chính xác có độ lớn $q = 5 \cdot 10^{-8}$ k tại các đỉnh của một tam giác đều có cạnh 5 cm ($\varepsilon = 1$)?

10. Hiệu điện thế ở các cực của pin là 8,5 V, trong khi dòng điện 3 A chạy qua pin. Nếu bạn thay đổi chiều dòng điện ngược lại và cường độ dòng điện giảm đi 1 A thì giá trị tuyệt đối của hiệu điện thế sẽ tăng thêm 2,5 V. Tìm Ed. Với. và điện trở trong của pin.

11. Hai lò sưởi điện có nhãn 600 W, 220 W và 400 W, 220 W, được mắc nối tiếp và được nối vào mạng 220 W. Mỗi lò sưởi tiêu thụ bao nhiêu điện năng?

12. Ở khoảng cách 15 cm tính từ tâm quả bóng cây thông Noel màu bạc có một cây thông Noel dài 1 cm. Đường kính của quả bóng là 8 cm, cây nằm vuông góc với trục đối xứng của quả bóng đi qua giữa cây. Tìm ảnh của cái cây nằm cách tâm quả bóng bao nhiêu và xác định kích thước của ảnh.

41

Nghệ thuật giải các bài toán hình học phần nào gợi nhớ đến trioki hoặc lozonist - đôi khi, ngay cả khi biết lời giải bài toán, thật khó hiểu làm sao người ta có thể nghĩ ra nó. Hầu hết mọi hình học có phần khó khăn bài toán đều yêu cầu một cách tiếp cận riêng. Nhưng tôi muốn có một phương pháp chung lời giải, phương pháp này cũng sẽ cho phép tôi “phiêu lưu” lời giải đến cùng mà không cần tính toán một cách rõ ràng.

Thật không may, không có phương pháp phổ quát như vậy. Nhưng có những kỹ thuật được áp dụng cho nhiều vấn đề. Chúng tôi sẽ xem xét một trong số họ.

Hãy bắt đầu với một bài toán rất đơn giản, chúng ta sẽ giải theo hai cách.

Cơm. 1. AC = 2, BC = 3, ⇒ ACD = ⇒ DCB = = 45°.

Bài toán 1. Tìm CD bicsectrix của tam giác vuông ACB có hai chân AC = = 2 và BC = 3 (Hình 1).

Lời giải I. Theo định lý Pythagore AB = √AC² + BC² = √13. Theo tính chất bicsectrix của góc của tam giác bên trong nó

$$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}.$$

Từ đẳng thức AD + DB = √13 ta thu được AD = \frac{2}{5} √13. Tiếp theo, dễ dàng tìm được cosin của góc A:

$$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{13}}.$$

Vẫn còn áp dụng định lý cosin để xác định cạnh CD của tam giác ACD:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos A = \frac{72}{25}, CD = \frac{6}{5} \sqrt{2}.$$

Lời giải II. Hãy tính diện tích tam giác ACB theo nhiều cách khác nhau. Một mặt, S△ACB = \frac{1}{2} AC \cdot BC = 3. Mặt khác,

$$S△ACB = S△ACD + S△DCB = \frac{1}{2} AC \cdot CD \sin 45^\circ + \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin 45^\circ = \frac{5 \sqrt{2}}{4} CD.$$

42

Đánh đồng phần của hai biểu thức đã cho cho $S_{\Delta ACB}$, chúng ta thu được $CD = \frac{6}{5}\sqrt{2}$.

lời giải thứ hai rõ ràng là ngắn hơn và đơn giản hơn. Hơn nữa, nó dễ dàng dẫn đến mục tiêu trong một tình huống tổng quát hơn. Để xác minh điều này, hãy tự mình tìm hiểu xem cả hai lời giải này thay đổi như thế nào nếu

Bài tập 2. Tìm phân giác $CD$ của $C$ của tam giác $ACB$ nếu $AC=b$, $BC=a$, $\Rightarrow ACB=\alpha$. (Nói: $CD = \frac{2ab}{a+b}\cos \frac{\alpha}{2}$)

Tuy nhiên, ưu điểm chính của lời giải thứ hai là tính “độc đáo” về mặt tư tưởng của nó. Trong lời giải đầu tiên, một “chuỗi” các phần tử tam giác nhất định được xây dựng: mỗi phần tử của chuỗi này được tính toán dựa trên dữ liệu bài toán và các phần tử khác đã được tìm thấy. Phần tử cuối cùng của chuỗi là số lượng mong muốn (trong trường hợp này là đường phân giác $CD$). Đồng thời, vẫn chưa rõ ngay phần tử nào sẽ cần thiết khi xác định giá trị mong muốn, tức là phần tử nào phải được tính toán trước.

Trong lời giải thứ hai đối với đại lượng cần tìm, chúng ta thu được phương trình bằng cách viết biểu thức tính diện tích tam giác theo các phần tử đã biết và mong muốn của tam giác. Ví dụ này - so sánh các biểu thức khác nhau về diện tích của một hình tam giác - hóa ra rất hiệu quả. Tại sao lại đặc biệt dành cho khu vực này? Thực tế là mặt phẳng của một tam giác được thể hiện khá đơn giản thông qua sự kết hợp khác nhau của các phần tử của tam giác này.

Trước khi đưa ra những ví dụ sau đây, chúng ta hãy nhớ lại những biểu thức quan trọng nhất trong số những biểu thức này. Đầu tiên, hãy thống nhất về ký hiệu. Trong tam giác $ABC$:

$a, b, c$ - các cạnh, góc đối diện $A, B$ và $C$ tương ứng;

$h_a, h_b, h_c$ — chiều cao, $m_a, m_b, m_c$ — đường trung tuyến, $l_a, l_b, l_c$ — đường phân giác tương ứng;

$r$ — bán kính của đường tròn nội tiếp;

$R$—bán kính của đường tròn ngoại tiếp;

$p$ - nửa chu vi;

$S$ là các tam giác phẳng $ABC$.

Cơm. 2. Về tâm của đường tròn nội tiếp.

Các công thức mà chúng tôi sẽ sử dụng được viết bằng ký hiệu này như sau:

$$S = \frac{ah_a}{2},$$

$$S = \frac{ab \sin C}{2},$$

$$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A},$$

$$S = \frac{abc}{4R},$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

$$S = pr.$$

Tất cả những mối quan hệ này đã được biết từ khóa học ở trường, vì vậy chúng tôi sẽ không chứng minh chúng một cách chi tiết mà sẽ chỉ giới hạn trong một vài nhận xét. Để suy ra công thức (3) và (4) từ (2), bạn có thể sử dụng định lý sin:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$$

Công thức (5) (công thức Heron) đôi khi thuận tiện hơn khi sử dụng ở dạng chuyển đổi:

$$S = \frac{1}{4} \times \sqrt{2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4}.$$

Công thức (6) có thể dễ dàng thu được từ đẳng thức rất giống (Hình 2):

$$S_{\Delta ABC} = S_{\Delta AOB} + S_{\Delta BOC} + S_{\Delta COA}.$$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét thêm một vài bài toán. Trong mỗi phương pháp đó, việc áp dụng phương pháp tính diện tích sẽ tạo ra một lời giải ngắn và được phát âm.

43

Bài 3. Trong tam giác đều cạnh a lấy một điểm M tùy ý. Tìm tổng khoảng cách từ điểm này đến các cạnh của tam giác.

Lời giải. Cần tìm tổng độ dài các đường vuông góc MP, MQ và MR (Hình 3) lần lượt hạ từ điểm M xuống các cạnh AB, BC và CA. Nếu chúng ta nối điểm M với các đỉnh của tam giác thì rõ ràng là $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta AMB} + S_{\Delta BMC} + S_{\Delta CMA}$. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều $S_{\Delta ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ và thay công thức đó (bằng công thức (1)).

$$S_{\Delta AMB} = \frac{1}{2} a \cdot MP,$$

$$S_{\Delta BMC} = \frac{1}{2} a \cdot MQ,$$

$$S_{\Delta CMA} = \frac{1}{2} a \cdot MR,$$

chúng tôi ngay lập tức nhận được đáp số:

$$MP + MQ + MR = \frac{a \sqrt{3}}{2}.$$

Bài 4. Đường thẳng AD chia tam giác ABC thành hai. Chứng minh rằng bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC nhỏ hơn tổng bán kính $r_1$ và $r_2$ của đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.

Lời giải. Gọi CD và CE là các tia đang xét trong điều kiện làm việc (Hình 5). Rõ ràng là $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ACD} + S_{\Delta DCB} = S_{\Delta ACE} + S_{\Delta ECB}$.

Chúng ta hãy sử dụng công thức (2), có tính đến $ACD = DCE = ECB = \frac{\alpha}{3}$:

$$\frac{AC \cdot DC \sin \frac{\alpha}{3}}{2} + \frac{DC \cdot BC \sin \frac{2\alpha}{3}}{2} = \frac{AC \cdot EC \sin \frac{2\alpha}{3}}{2} + \frac{EC \cdot BC \sin \frac{\alpha}{3}}{2}.$$

44

Cơm. 5.

Từ đây ta có ngay

$$\frac{DC}{EC} = \frac{AC \sin \frac{2\alpha}{3} + BC \sin \frac{\alpha}{3}}{AC \sin \frac{\alpha}{3} + BC \sin \frac{2\alpha}{3}}$$

$$= \frac{2 \cos \frac{\alpha}{3} + 3}{6 \cos \frac{\alpha}{3} + 1}$$

Đây là một ví dụ về bài toán khó hơn. Mặc dù trong đó bạn chỉ cần “giải tam giác”, tức là xác định các cạnh của nó bằng ba phần tử đã biết, nhưng không thể thu được lời giải theo cách thông thường - sử dụng các định lý về sin và cosin.

Bài 6. Gọi tên tam giác ABC nếu $h_a=6$, $r=2$, $R=5$.

Lời giải và e. Chúng ta hãy sử dụng các công thức (1), (4), (5) và (6) và viết hệ phương trình sau cho các cạnh chưa biết $a, b, c$

$$\begin{cases} S = 3a, \\ S = \frac{abc}{20}, \\ S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)} \times \sqrt{(a+c-b)(a+b-c)}, \\ S = a+b+c. \end{cases}$$

Đánh đồng các quy tắc của các phần của phương trình đầu tiên và cuối cùng, chúng ta thu được $b+c=2a$. Đánh đồng các quy tắc cho các phần của phương trình thứ nhất và thứ hai, chúng ta thu được $bc=60$. Cuối cùng, đánh đồng các quy tắc cho các phần của phương trình thứ nhất và thứ ba, chúng ta thu được (sau khi bình phương) rằng

$$144a^2 = (a+b+c)(b+c-a) \times (a+c-b) \times (a+b-c) = [(b+c)^2-a^2] \times [a^2-(b-c)^2] = [(b+c)^2-a^2] \times [a^2-(b+c)^2+4bc] = (4a^2-a^2) \times (a^2-4a^2+240) = 3a^2 (240-3a^2).$$

Do đó, để xác định $a$ ta thu được phương trình

$$144a^2 = 3a^2 (240-3a^2),$$

từ đâu $a=8$. Từ hệ phương trình $b+c=16$, $bc=60$ giờ đây dễ dàng tìm được hai cặp giá trị $b$ và $c$ (hai đáp số):

$$a = 8, b = 6, c = 10 или a = 8, b = 10, c = 6,$$

đó là các định nghĩa hình học của tam giác odin (đến mức chỉ định các cạnh $b$ và $c$).

Trong ví dụ này, đặc điểm chính của phương pháp diện tích đặc biệt rõ ràng - từ một bài toán hình học, nó “tạo ra” một đại số, giảm mọi thứ xuống lời giải của một số hệ phương trình.

Nhiệm vụ 7. (MSU, nhà vật lý, 1966) Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của một tam giác tạo thành một phép tính số học

45

Cơm. 6a.

đường cắt metische, tâm của đường tròn nội tiếp trong tam giác này và giao điểm của đường trung tuyến của nó nằm trên một đường thẳng song song với cạnh giữa của tam giác.

Lời giải. Giả sử các cạnh của tam giác ABC có dạng sao cho $a \leq b \leq c$. Sau đó theo điều kiện bài toán $a+c=2b$. Đặt $O$ là tâm của đường tròn nội tiếp và $M$ là điểm giao nhau của các đường trung tuyến $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ (Hình 6a).

Đầu tiên, chúng ta rút ra một tính chất hữu ích của điểm $M$ giao điểm của đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Trong hình 6b, tam giác ABC được chia bởi các đường trung tuyến thành 6 tam giác nhỏ hơn. Diện tích của mỗi hình bằng $\frac{1}{6}$ diện tích của toàn bộ tam giác $ABC$. Điều này rất dễ chứng minh: sử dụng

Cơm. 66.

công thức (1), viết đẳng thức
$$S_{\triangle BB_1C} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}, B_1M = \frac{1}{3} BB_1,$$
$$S_{\triangle MCB_1} = \frac{1}{3} S_{\triangle BB_1C} = \frac{1}{6} S_{\triangle ABC}.$$

Diện tích các hình tam giác còn lại có thể tìm tương tự.

Bây giờ chúng ta hãy tìm độ dài của đường vuông góc $MM'$ hạ từ điểm $M$ sang cạnh $AC$:
$$\frac{1}{3} S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} MM' \cdot AC =$$
$$= \frac{1}{2} MM' \cdot b, \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} rp =$$
$$= \frac{1}{3} r \left( \frac{a+b+c}{2} \right) = \frac{1}{3} r \left( \frac{2b+b}{2} \right) =$$
$$= \frac{1}{2} rb,$$

từ đâu $MM'=r$, tức là $MO \parallel AC$.

Phương pháp diện tích thường tỏ ra thuận tiện ở từng giai đoạn lời giải lập thể bài toán.

Bài tập 8. (MSU, cơ chế, 1969) Một hình chóp nội tiếp trong một quả cầu, các cạnh bên bằng c. Đế của nó là một mặt phẳng hình chữ nhật, các cạnh của nó được nối với nhau bằng các cung $\alpha$ và $\beta$ radian trong các phần của quả bóng bằng các mặt phẳng của các mặt bên. Xác định bán kính của hình cầu ngoại tiếp.

Lời giải (Hình 7). Vì góc nội tiếp thay đổi một nửa

46

không có vòng cung nào mà nó nằm trên đó,
Cái đó
$$\Rightarrow DQC = \frac{\alpha}{2}, \Rightarrow AQD = \frac{\beta}{2}.$$

Pozny $DC = 2c \sin \frac{\alpha}{4}$, $AD = 2c \sin \frac{\beta}{4}$.

Chúng ta hãy xem xét tiết diện của quả bóng theo mặt phẳng $AQC$. Vì tâm của quả bóng nằm trong mặt phẳng này (chứng minh đi!), nên bán kính của quả bóng bằng bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AQC$. Nhưng $AQ = QC = c$ và $AC = 2c \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\beta}{4}}$ (giống như đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$). Do đó, để xác định bán kính $R$, chỉ cần sử dụng các biểu thức tính diện tích tam giác $AQC$ bằng các công thức (4) và (5).

Kết quả của các phép biến đổi hiển nhiên, chúng ta thu được đáp số:

$$R = \frac{c}{\sqrt{2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\beta}{2} \right)}}.$$

Phương pháp diện tích cũng thuận tiện để sử dụng trong các bài toán cần tìm các loại ước lượng khác nhau cho các đại lượng hình học.

Bài toán 9. Tỷ lệ giữa bán kính của một hình tròn được mô tả trong một tam giác vuông với chiều cao giảm đi một đơn vị có thể thay đổi trong giới hạn nào?

Lời giải. Nếu $c$ là cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$ thì chúng ta có thể viết (xem công thức (1) và (6)):

$$\frac{ch_c}{2} = pr, \text{откуда} \frac{r}{h_c} = \frac{c}{2p}.$$

Vì vậy cần đánh giá mối quan hệ

$$\frac{c}{2p} = \frac{c}{a + b + c} = \frac{1}{\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + 1} = \frac{1}{\sin A + \sin B + 1}.$$

Vì $A + B = 90^\circ$ thì

$$\sin A + \sin B + 1 = \sin A + \cos A + 1 = \sqrt{2} \cos (45^\circ - A) + 1.$$

Góc nhọn $A$ của tam giác vuông có thể có giá trị bất kỳ trong khoảng từ 0 đến 90^\circ. Do đó, góc $45^\circ - A$ nhỏ hơn trong phạm vi từ $-45^\circ$ đến $+45^\circ$, có thể dễ dàng thu được từ các tính chất của cosin, trong khi $2 < \sqrt{2} \cos (45^\circ - A) + 1 \leqslant 1 + \sqrt{2}$.

Do đó, trong bất kỳ tam giác vuông nào, lời giải vô định của nhiều bài toán luôn đúng. Tất nhiên, nó không thay thế tất cả các phương pháp khác, nhưng nó là một cách tiếp cận không nên quên khi tiếp cận lời giải cái này hay cái kia bài toán.

Bài tập

1. Tìm trung tuyến $m_a$ của tam giác, giá trị cạnh của nó $a, b, c$.
2. Chứng minh rằng trong một tam giác tùy ý

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}.$$

3. (MSU, Khoa Kinh tế, 1969). Trong tam giác nhọn $ABC$ cho trước: $AB = c$ vẽ từ đỉnh $B$ đường trung tuyến $BD = m$. Góc $BDA$ nhọn và bằng $B$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
4. (MSU, Khoa Tâm lý học, 1969). Cho một tam giác vuông đều. Chứng minh rằng bán kính của đường tròn tiếp xúc với cạnh huyền và phần kéo dài của các cạnh huyền bằng tổng cạnh huyền và bán kính của đường tròn mô tả trong tam giác.
5. Biết rằng trong tam giác $ABC$:

$$S_{\triangle ABC} = 16, m_a = 6, m_b = 4.$$

Chứng minh rằng các đường trung tuyến $m_a$ và $m_b$ vuông góc với nhau.
6. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý nằm trong một tam giác đều các cạnh đến cạnh của tam giác này nằm giữa điểm nhỏ nhất và điểm thấp nhất.

7. Đáy $ABCD$ của đường thẳng $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (trong đó $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ là các cạnh bên) là hình thoi ở cạnh $a$ và một góc nhọn $φ$, đồng thời chiều cao của đường thẳng là $h$. Tìm khoảng cách từ đỉnh $B_1$ đến đường chéo $A_1D$ của mặt bên $ADD_1A_1$.

47

VUA TUYỆT VỜI

Trước đây, chúng ta đã xem xét rất nhiều loại bài toán toán học trên bàn cờ. Bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào những bài toán cũng có thể được xếp vào loại toán học nhưng nội dung cờ vua của chúng phong phú hơn trước. Nói cách khác, chúng ta sẽ quan tâm đến các yếu tố toán học không được biểu diễn trong trò chơi cờ vua.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại đặc điểm “trò chơi bàn cờ” gắn liền với khoảng cách. Các trường e1 và a5 trong Hình 1 có khoảng cách “chéo”. Vua có e1 có thể đến ô a5 sau 4 nước đi. Hóa ra đường chéo là đường ngắn nhất có thể; nó không thể được thay thế bởi bất kỳ chế độ mẫu hệ nào khác.

Bây giờ hãy xem xét hai trường nằm trên cùng một đường thẳng:

trường e1 và e8 theo chiều dọc e. Di chuyển theo nó, vua e1 có thể đến ô e8 sau 7 nước đi. Rõ ràng là quá trình trưởng thành của nhà vua có thể đã khác. Có chính xác 393 (!) cách để đến ô e8 trong 7 nước đi giống nhau. Vua có thể di chuyển đến ô e8 với các ma trận ngoằn ngoèo kỳ quái nhất, miễn là chúng nằm trong khuôn khổ của hình tiếp theo trong Hình 1 và miễn là vua di chuyển từ cấp này sang cấp khác trong mỗi nước đi. Để chứng minh

Cơm. 1.

bạn có thể đếm số đường mẫu chứa 0, 2, 4 hoặc 6 bước di chuyển theo đường chéo. Sử dụng một số thông tin từ tổ hợp (xem “Quant” số 1, 1971), dễ dàng tìm được:

$$1 + A_7^2 + C_7^2 \cdot C_5^2 + C_7^3 \cdot C_4^3 = 393.$$

Vì vậy, chuyển động của quân vua theo đường thẳng, nếu cần thiết, có thể được thay thế bằng chuyển động theo đường đứt quãng. Đây là một minh họa thực tế về sự cân nhắc quan trọng này.

Trong Hình 2, quân tốt a7 không có khả năng tự vệ và cơ hội duy nhất của Đen là đáp lại K:a7 không thể tránh khỏi bằng Krs7 bằng một trận hòa, vì vua trắng sẽ không thể thoát khỏi cảnh giam cầm. Con đường dẫn đến quân tốt của vua trắng sẽ mất 5 nước đi. Tuy nhiên, chỉ có một ma trận chiến thắng duy nhất: 1. Npf7-e6! Npb2—c3 2. Kreb—d5!!, và không-

48

Cơm. 2. I. Maizelis, 1921. Trắng xuất phát và thắng.

khả năng xảy ra 2… Kd4 là tai hại cho Đen. (Không hoạt động, ví dụ: 1. Kb Krs3 2. Kd6 Kd4 3. Ks6 Krs5! 4. Kpb7 Kd6 5. Kd: a7 Ks7).

Tất nhiên, trong thực tế còn có những trường hợp tế nhị hơn.

Các nhà toán học từ lâu đã thất vọng trong việc tạo ra cấu trúc lý thuyết toán học của trò chơi cờ vua và chỉ giới hạn bản thân ở những câu hỏi cụ thể. Tuy nhiên, việc nghiên cứu nhiều thế cờ hoàn toàn mang tính chất toán học. Hãy đưa ra một vài ví dụ, tất cả đều liên quan đến lý thuyết về kết thúc cầm đồ.

Ở thế cờ trong Hình 3, vua trắng không tham gia ván cờ.

Cơm. 3.

lại, và tất cả phụ thuộc vào việc vua đen có đuổi kịp con tốt h3 hay không. Những người chơi cờ thiếu kinh nghiệm thường lý luận như thế này: Tốt đi đây, vua ở kia, tốt ở đây, vua ở kia… tức là cái gọi là “trên ngón tay”. Đồng thời, họ thường bối rối (đặc biệt khi vẫn còn một số con tốt trên bàn cờ) và tính toán sai. Hóa ra là rất dễ dàng đánh giá kết quả của trò chơi bằng cách sử dụng “quy tắc bình phương”: chỉ cần tìm hiểu xem quân vua, trong quá trình di chuyển của mình, có thể vào “ô” của quân tốt hay không là đủ, trong trường hợp này được hiển thị trong Hình 3: c3-c8-h8-h3. Hơn

Cơm. 4.

Sẽ dễ dàng hơn khi chỉ vẽ một đường thẳng - đường chéo của hình vuông (h3-c8). Từ đó, ở vị trí trong Hình 3, Đen hòa ở nước đi của mình (đi vào ô vuông) và thua ở nước đi của đối thủ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét vị trí trong Hình 4. Đen ngay lập tức thua ở nước đi của mình, vì vua trắng di chuyển đến b6 và ăn tốt a6. Như vậy, Trắng cần chuyển lượt đi cho đối thủ. Làm thế nào để làm điều này? Sau 1. Kd5 Ks8 không có gì mang lại 2. Kd6 (2… Kd8 3. c7 + Ks8 4. Ks6 bế tắc!), và 2. Ks5 Ks7 dẫn về vị trí ban đầu. Đạt được nhịp độ bằng cách sử dụng cái gọi là “phương pháp tam giác”. Trong trường hợp này, tam giác này (c4-d4-d5) được hiển thị trong cùng Hình 4.

Sau 1. Krs5—d5 Krs7—c8 2. Kd5—d4 Ks8—b8 3. Kd4—c4! Kb8-c8 4. Kc4-d5 Trắng đạt được mục tiêu của mình, vì vào ngày 4… Kc8-d8 5. Kd5-d6 hiện thắng và vào ngày 4… Kc8-c7-5. Kd5-c5.

Bây giờ chúng ta chuyển sang vị trí trong Hình 5a. Mặc dù Trắng có thêm hai quân tốt ở đây nhưng việc giành chiến thắng là vô cùng khó khăn. Để phân tích các vị trí có cấu trúc chốt bị chặn, nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng: “Khoảng cách tới hạn Bianchetti”, “Hệ tọa độ Ebers” và các phương pháp khác. Lý thuyết chung về các kết thúc tốt bị chặn được gọi là lý thuyết về các trường tương ứng. Việc nghiên cứu từng vị trí cụ thể có thể được coi là một lời giải toán học tinh tế bài toán, nhưng một lý thuyết toán học tổng quát vẫn chưa được tạo ra. Tất nhiên, chúng tôi không thể ở lại

49

cập nhật trong ghi chú của chúng tôi về tất cả các chi tiết về lý thuyết của các trường tương ứng*), chúng tôi sẽ giới hạn chỉ nghiên cứu vị trí của Hình 5a, thay thế các kết quả phân tích trong Hình 56.

Trắng có ý định chiếu qua ô d6 hoặc qua f4, vua đen phải có thời gian để ngăn chặn cả hai kế hoạch này. Như vậy, nếu vua trắng đến c5 thì quân đen phải gặp nó ở ô e7 (với quân hậu ở d7, quân đen không có thời gian để bảo vệ quân tốt g4: Kpc5-d4-e3-f4). Nói cách khác, trường c5 tương ứng với trường e7. Nếu vua trắng ở f4 thì quân đen phải đúng giờ ở h5, tức là ô f4 tương ứng với ô h5.

Ô d4 rất quan trọng đối với Trắng. Dễ dàng nhận thấy trong trường hợp này nhà vua

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này, chẳng hạn như trong cuốn sách “Kết thúc cờ vua”, tập. 1, do Yu biên tập. Averbakh, M., 1956.

phải đứng trên f7 để phản hồi Kpd4-c5 bằng Kpf7-e7 và để có đáp số Kpf7-g6 đến Kpd4-e3. Từ ô c4 Trắng có thể chơi Kpc5 hoặc Kpd4. Vua đen trong trường hợp này phải nằm ở f8, từ đó có thể có cả Kpe7 (với Kpc4-c5) và Kpf7 (với Kpc4-d4). Từ ô d3 các bước di chuyển có thể là Kpc4, Kpd4, Kpe3. Do đó, trường d3 tương ứng với trường g7. Từ ô vuông c3 các bước di chuyển có thể là Kpd4, Kpc4, Kpd3. Trong trường hợp này, hình vuông duy nhất mà vua đen có thể đến f7, f8, g7 là hình vuông g8.

Bằng cách duyệt tuần tự tất cả các ô quan trọng nhất mà vua trắng tùy ý sử dụng và các trường tương ứng chuyển động của quân đen, chúng ta thu được Hình 56. Các trường tương ứng ở đây được chỉ định bằng cùng một số. Lưu ý rằng sự tương ứng được tìm thấy không phải là duy nhất, như có thể thấy trong hình. Ví dụ: ô b4 và d4 của vua trắng tương ứng với ô vuông f7 của quân đen.

Bây giờ lời giải gần như được tìm thấy tự động. Trong trường hợp này, bạn chỉ nên tuân theo một quy tắc duy nhất: đặt vua trắng trên ô tương ứng với vị trí hiện tại của vua đen hoặc trên ô tương ứng mà vua đen không thể đến được bằng một nước đi. Vì trường b1 tương ứng với trường g7 nên trường b2—h7 và trường a2—h8, nên chỉ 1. Kpa1—a2!! được giải quyết. Hậu quả Kpb1? Kpg7! hoặc 1. Kpb2? Kph7! người da đen ngẫu nhiên sẽ được thêm vào rút thăm.

Vì diễn biến tiếp theo của trò chơi rất đơn giản nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày tùy chọn chính (nếu Đen chơi khác, thì vì bạn có thể dễ dàng thiết lập cho mình, anh ta thậm chí còn thua nhanh hơn):

1. Kpa1—a2!! Kph8—h7
2. Kpa2—b2! Kph7—g7
3. Kpb2—b3! Kpg7—g8
4. Kpb3—c3! Kpg8—f8
5. Kpc3—c4! Kpf8—f7
6. Kpc4—d4! Ở hướng ngược lại, như trong Hình 5a, vua trắng đã “lên đường” và quân đen không có khả năng tự vệ.

Rõ ràng, bằng cách sử dụng Hình 56, có thể dễ dàng ước tính vị trí cho các vị trí ban đầu khác của quân hậu, nhưng chỉ dành cho cấu hình bếp này.

51

Năm 1971, bưu điện đã chuyển giao «Kvant» gấp đôi số chữ cái so với cái trước. Tổng số của họ ở những nơi riêng lẻ lên tới 350 và không giảm xuống dưới 250 chữ cái mỗi tháng. Tất nhiên, con số này không quá nhiều nhưng chúng tôi hy vọng số lượng chữ cái sẽ tăng lên.

Như người ta mong đợi, tác giả của số lượng chữ cái áp đảo là học sinh, tích cực xen kẽ toán học và vật lý hoặc cả hai ngành khoa học. Không chỉ những tác phẩm kinh điển cũ mà cả học sinh lớp 7, 8 cũng ré lên. Học sinh tiểu học trả lời bài tập «Kvant» cho học sinh nhỏ. Thậm chí còn có một bức thư của người mắc nợ, do cha anh ta viết dưới sự đọc chính tả của ông ta (Seryozha Abamov từ Kuibyshev).

Hoạt động của độc giả được thể hiện đặc biệt hùng hồn qua sự quan tâm đặc biệt của họ đối với các nhiệm vụ được đặt ra trong tạp chí với tiêu đề “Vấn đề «Kvant».” Nếu trong hiện tượng này, số lượng thư của người đọc có giải pháp bài toán từ phần này là, thì ở febrero, con số này đã là 40%, và vào ngày 50 tháng 3, vào ngày 60 tháng 4, và trong những tháng tiếp theo, số lượng của chúng đạt tới 65% tổng số tất cả các chữ cái. Chúng ta hãy thêm vào những gì đã nói rằng hầu hết các chữ cái không chỉ chứa một lời giải mà là một số bài toán, mức độ khó của chúng vượt quá mức trung bình đáng kể. Vì vậy, nhiều học sinh sử dụng trang này đã xác định được chúng lời giải, cũng như diễn đạt chúng một cách rõ ràng và nguyên bản. Và những độc giả này vẫn tiếp tục tham gia vào công việc của chuyên mục này của tạp chí ngay cả khi đã tốt nghiệp trung học.

Những học sinh gửi lời giải bài toán sẽ được đưa vào “Sổ bài tập” và học cách làm việc trong lĩnh vực khoa học ở cấp độ hiện có dành cho các em.

Tại hội nghị độc giả, một số độc giả bày tỏ quan điểm mong muốn giảm bớt phần nào mức độ khoa học của các bài báo và bài toán đăng trên Zadchnik.

Tuy nhiên, phần lớn học sinh có tư duy khoa học phản đối mạnh mẽ việc giảm mức độ khó của các tài liệu được đặt trong «Kvant». Ví dụ, đây là những gì N. Mozharovsky từ Kiev đã viết cho chúng tôi về điều này: “Cá nhân tôi thực sự thích tạp chí. Theo ý kiến ​​của tôi, đây là tạp chí duy nhất ở nước ta xuất bản các bài báo ở mức độ khá khoa học, dành cho những ai đã chọn vật lý và toán học làm chuyên ngành tương lai của mình… Tôi chắc chắn rằng chỉ những học sinh gần như không bao giờ mở sách giáo khoa và sách về vật lý và toán học mới có thể đăng ký những bài báo quá nặng bài toán. Thật vậy, trong các bài báo về vật lý, thật không may, ít nhất một số loại bài viết về vật lý hiếm khi được tìm thấy.” công thức. Chúng ta có thể trở nên nổi tiếng hơn ở đâu? Tôi muốn nói rằng cá nhân tôi biết 20-30 sinh viên khác chia sẻ điều này với tôi 等内容…

Và đây là ý kiến ​​của L. Suvorova đến từ thành phố Aleksaandrovsk, đại diện độc giả khác «Kvant» - giáo viên: “Tôi đã làm giáo viên vật lý được năm thứ 5. Tôi dạy các lớp vật lý tự chọn ở trường. Năm nay tôi đang làm việc với các học sinh lớp 10. Chúng tôi thường xuyên theo dõi tất cả các số «Kvant». Chính tính chất khoa học của tạp chí đã thu hút chúng tôi.” A. Kolpkov, một giáo viên vật lý từ Kursk, đã sáng tạo với nó: “Với sự quan tâm và sử dụng cao độ, tôi sử dụng tài liệu từ tạp chí của bạn cho các hoạt động ngoại khóa và chuẩn bị cho những học sinh khó tối ưu hóa nhất. Tạp chí của bạn viết rất nhiều về các giáo viên và học sinh của trường chúng tôi. Học sinh chia sẻ những gì họ đọc trong «Kvant». Đây là những gì E. Zavyavkin từ thành phố Kirovo-Chepetsk đã viết, chẳng hạn như: “…Tạp chí của bạn hay, không, như một giáo viên xuất sắc và chủ đất. Anh ấy quan tâm đến tôi về nhiều mặt và giúp tôi tìm ra mọi thứ. Có lẽ tôi không bày tỏ lòng biết ơn của mình với bạn một cách văn chương lắm, nhưng đó không phải là điều chính yếu… Khi tôi đưa nó cho bọn trẻ đọc, năm nay chúng và các giáo viên đã sao chép rất nhiều. Có lẽ, nhu cầu về «Kvant» sẽ tăng lên hàng năm.”

Tuy nhiên, ngoài những bức thư này, chúng tôi còn nhận được những bức thư trong đó độc giả, không phải không có lý do, mong muốn có được sự hiểu biết chưa đầy đủ và độ khó của từng bài viết về vật lý.

“Tên tôi là Turbina Galina, tôi học lớp 9 trường trung học cơ sở 22 ở Voronezh. Tôi được điểm 5 môn toán và vật lý vào lớp 8. Nhưng đọc tạp chí của bạn, tôi không hiểu nhiều lắm. Thậm chí, chính xác hơn là trong mỗi bài viết, ý nghĩa vật lý của các công thức đều không rõ ràng. Ví dụ, trong số 9 năm 1971, trong bài “Hội thoại về nguyên lý bất định” của Azbel, cũng không rõ ông ấy sẽ làm như thế nào. đọc “Thuyết tương đối của Einstein được nghiên cứu ở bậc đại học. Thật khó để tin rằng tất cả mọi người, hoặc ít nhất một nửa số độc giả-sinh viên trong tổng số 200 nghìn người (số phát hành 266.135) đều hiểu được bản chất của công thức đã nêu.”