Kvant 1973, số 2 · Trang

Kvasht
2
1973
khoa học đại chúng
thuộc vật chất
toán học
tạp chí

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogoroz

Tuyển tập biên soạn:
L.A.Artsimovich,
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
I. N. Bronstein,
N. B. Vasiliev,
I. F. Ginzburg,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,
A. I. Klimanov (nghệ sĩ ưu tú),
S. M. Kozel,
V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập),
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
M. D. Millionshchikov,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,
M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập),
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
T. M. Makarova (biên tập nghệ thuật),
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
L. V. Chernova (trưởng tòa soạn).

Người hiệu đính T. A. Pankova
117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, «Kvant», tel. 234-08-11, 234-07-93

Gửi để in ngày 16 tháng 12 năm 1972. Ký xuất bản ngày 26 tháng 12 năm 1972. Giấy 70×100/16 Vật lý. lò nướng l. 5 điều kiện lò nướng l. 6.5 Biên tập học thuật. tôi. 7,66 Số phát hành 379.580 bản.
T-20448
Giá 30 kopecks. Đặt hàng 2102

Nhà máy in Chekhov “Soizpolgraphproma” trực thuộc Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách.
Chekhov, khu vực Moscow Tranh Russo không được trả lại

Thành lập năm 1970 1973

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nhà xuất bản “Khoa học”
Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

TRONG PHÒNG:

2 Vâng. A. Smorodinsky. Nicolaus Copernicus
9 Nicolaus Copernicus, một bài bình luận nhỏ về những giả thuyết ông đưa ra về chuyển động của các thiên thể
11 N. B. Demidovich. Tính toán, lỗi, kiểm soát
17 D. Borodin. Khối lượng hấp dẫn
22 M.G.Krein, A.A.Nudelman. Một số bài toán đẳng giác không gian
27 V. N. Vaudten. Số $C_n^k$, đa thức, dãy
35 A. V. Byalko. Hệ số hiệu suất tên lửa

vòng tròn toán học
39 M. L. Gerver. Về con cáo và con chó

Vấn đề «Kvant»
45 Bài toán M186—M190 và F198—F202
47 Lời giải bài toán M146—M150 và F164—F169

Xưởng của người nộp đơn
58 M. I. Shabunin, S. V. Cheremnykh. Phương trình tam giác
64 Viện Kinh tế Quốc dân Mátxcơva mang tên G. V. Plekhanov
67 I. A. Dykovov, A. G. Mordkovich, I. I. Nasluzov. Các khóa học vật lý và toán học truyền hình dành cho ứng viên đại học

«Kvant» cho học sinh nhỏ
68 Bài toán
69 A. N. Vilenkin. Thợ lặn Cartesan

Thông tin
70 V. V. Ivanov, A. G. Fonomov. Trường Kinh tế và Toán học thuộc Khoa Kinh tế của Đại học quốc gia Moscow

Đánh giá, thư mục
72 P. A. Serpov. Quảng cáo thất vọng
74 M. L. Smolyansky. Sách mới
75 Đáp số, gợi ý, lời giải

Góc sưu tầm (trang bìa thứ 3)
A. V. Altykis. Con tem liên kết Copernicus
Trộn (trang 21, 38, 44, 66, 73)

Bức chân dung của Nicolaus Copernicus mà chúng tôi trình bày ở trang đầu tiên của trang bìa, được vẽ bởi một họa sĩ vô danh vào năm 1575.

Trên trang thứ hai của trang bìa là phòng hình học của Đại học Krakow, nơi Copernicus đã phục vụ từ năm 1491. Vì không có đủ sách giáo khoa nên các định lý chính đều được vẽ trên tường.

Ở trang bốn bạn thấy một bức chân dung khác của Copernicus. Người ta tin rằng đây là bức chân dung tự họa của một nhà khoa học.

4

điều gì đó đúng, vì cô ấy không thể cho bất cứ thứ gì như thế; nếu anh ta kết hợp đúng những gì được phát minh ra cho mục đích sử dụng khác, thì sau khoa học như vậy, anh ta trở nên sâu sắc hơn so với khi anh ta có mặt…”

Ý tưởng của tác giả lời nói đầu là lý thuyết Copernicus thuận tiện cho việc tính toán nhưng không liên quan gì đến thế giới thực. Tuy nhiên, vào năm 1616, vào thời Galileo và Kepler, theo sắc lệnh của Tòa án dị giáo, cuốn sách của Copernicus đã bị đưa vào danh sách những cuốn sách bị nhà thờ cấm.

Nhưng tất cả những biện pháp này hóa ra đều vô ích. Khoa học mới được công nhận, khoa học cổ xưa lụi tàn trong lịch sử.

Ý tưởng cổ xưa

Ở độ sâu không xác định của nhiều thế kỷ, thời gian trôi qua khi con người lần đầu tiên nhìn thấy các thiên thể thứ bảy trong số các ngôi sao cố định, vị trí của chúng đã thay đổi trước mắt anh ta. Mặt trời, Mặt trăng, Sao Thủy, Sao Kim, Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ đã gây ngạc nhiên và ngạc nhiên cho bầu trời được quan sát cổ xưa. Trước sự chuyển động của họ là sự lo lắng và vui mừng. Mặt trời mang theo các mùa, mặt trăng luân phiên ngày đêm, sao Hỏa đỏ thẫm là điềm báo của chiến tranh.

Người Ai Cập cũng biết rằng chuyển động của Mặt trời và Mặt trăng có thể dự đoán được. Những người biết cách làm điều này chiếm một vị trí đặc biệt - họ là những linh mục biết bí mật của các vị thần. Các linh mục thông báo ngày đầu năm, ngày nghỉ lễ và thời gian làm việc ngoài đồng. Kể từ đó, trong hàng trăm năm, các thiên thể được quan sát đều gắn liền với lịch. Bản thân Copernicus đã đào sâu vào thiên văn học khi Leo X ngã xuống vào năm 1514 để sửa lịch. (Cuộc cải cách này - sự chuyển đổi sang phong cách mới - được thực hiện sau đó, vào năm 1574.)

Người Hy Lạp đã đi xa hơn nhiều so với Ai Cập. Họ nghĩ về cách toàn bộ hệ thống hành tinh hoạt động, cách các hành tinh chuyển động. Trở lại thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, Aristarchus xứ Samos

Cơm. 1.
Skyy bày tỏ ý tưởng về hệ thống lấy helium làm trung tâm - hệ thống gồm các hành tinh có Mặt trời ở trung tâm. Vào thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên, trên đảo Rhodes và Alexandria, Hipparchus đã quan sát các ngôi sao và là người đầu tiên học cách dự đoán vị trí của Mặt trời và Mặt trăng, tạo ra lý thuyết về chuyển động của chúng. Các nhà thiên văn học thấy rằng mỗi hành tinh chuyển động theo những quy luật đặc biệt của riêng nó; do đó họ nói về lý thuyết về Sao Hỏa, lý thuyết về Mặt Trăng, v.v. Chỉ Kepler mới có thể hợp nhất những lý thuyết khác nhau này thành một sơ đồ duy nhất.

Sơ đồ nhất quán đầu tiên của hệ hành tinh được đưa ra bởi Claudius Potolemaus, người làm việc ở Alexandria vào giữa thế kỷ thứ 2 sau Công nguyên. Ông chủ yếu dựa vào các tác phẩm của Hipparchus, những tác phẩm vẫn chưa tồn tại cho đến ngày nay. Hệ thống Potolemaic kéo dài 15 thế kỷ và tồn tại hầu như không thay đổi cho đến thời Copernicus. Cho đến thế kỷ 16 vẫn chưa có nghi ngờ gì về sự thật của nó *).

Potolemy tin rằng Trái đất nằm ở trung tâm của Vũ trụ và có bảy quả cầu xung quanh nó, trong đó có bảy hành tinh phía sau chúng (Hình 1)

*) Tác phẩm của Potolean có tên là “Chuyên luận toán học trong sách XIII”. Trong bản dịch tiếng Ả Rập mà các học giả thời Trung cổ đã làm quen với nó, nó được gọi là “Almagest” (từ tiếng Hy Lạp “μεγίζτη” - vĩ đại nhất). Nó vẫn được trích dẫn dưới tên này.

5

theo thứ tự sau: Mặt Trăng, Sao Thủy, Sao Kim, Mặt Trời, Sao Hỏa, Sao Mộc, Sao Thổ. Hình 1 không thực sự mô tả hệ thống Ptolemaic - nó phức tạp hơn nhiều. Trước khi nói về nó, gần như trước hết, người Hy Lạp (và cả Copernicus) đã quen thuộc với việc xây dựng lý thuyết về chuyển động của hành tinh.

Kinematika không có loa

Điểm mù trong hệ thống kiến ​​thức của các nhà tự nhiên học cổ đại là họ không hề có một chút hiểu biết nào về diamnik. Lý do cho sự chuyển động của các cơ thể là không thể tiếp cận được với họ. Khi hòn đá được đẩy ra, mọi thứ đều rõ ràng - mặc dù trong bài toán này, họ không thể đạt được bất kỳ mối quan hệ định lượng nào (và họ thậm chí còn không nghĩ về điều đó). Khi nói đến các hành tinh, không thể bàn cãi về bất kỳ lý do nào dẫn đến sự chuyển động - các hành tinh tự chuyển động, đơn giản vì bản chất của chúng là chuyển động. Gần như toàn bộ khoa học về chuyển động đều được Copernicus mô tả. Vì vậy: “Aristotle nói rằng một vật đơn giản cũng có chuyển động đơn giản; Trong các chuyển động đơn giản, một chuyển động thẳng, một chuyển động tròn; Trong các chuyển động thẳng, một chuyển động lên, một chuyển động đi xuống. Vì vậy, mọi chuyển động đơn giản hoặc hướng về giữa đi xuống, hoặc từ giữa trở lên, hoặc vòng quanh giữa, và chuyển động này là chuyển động tròn. Chỉ có đất và nước, được coi là nặng, nên chuyển động xuống dưới, tức là cố gắng hướng vào giữa; không khí và lửa vốn nhẹ phải chuyển động lên trên và chuyển động ra xa. ở giữa. Và có vẻ khá hợp lý khi quy chuyển động thẳng cho bốn phần tử này, và tưởng tượng các thiên thể quay quanh phần giữa. Aristotle đã nói như vậy.”
Đó là tất cả cơ chế của động cơ. Vì vậy, các hành tinh phải chuyển động theo vòng tròn và có lẽ ở một tốc độ không đổi, vì (lại theo Copernicus): “Chuyển động tròn luôn xảy ra đều, hoặc nó có nguyên nhân không giảm…” Do đó

Sách hướng dẫn cuốn sách “De Revolutionibus orbium coelestium” (“Về sự quay của các thiên cầu”), mở đầu trên các trang của tôi, nơi Copernicus vẽ hệ mặt trời bằng một la bàn, được lưu giữ ở Krakow và dùng ngón tay chạm vào tờ giấy, người ta vẫn có thể đánh giá cao những “rãnh” do la bàn của nhà thiên văn học vĩ đại để lại. Trong lời nói đầu cho tác phẩm của mình, Copernicus thừa nhận rằng chỉ có sự thuyết phục và trách móc của bạn bè mới thuyết phục được ông đồng ý xuất bản tác phẩm của mình.

“Hall of Justice” tại Lâu đài Heilsberg. Ở đây Copernicus đã chúc ông chú của mình là giám mục sau khi ông trở về từ Imali, cho đến khi tôi qua đời ở Chechestia vào năm 1512.

6

Sơ đồ hệ địa tâm. Nhưng hệ thống được mô tả trong Hình 1, mặc dù rất hiệu quả nhưng lại mâu thuẫn với các quan sát; với sự trợ giúp của nó, không thể hiểu được chuyển động thực sự của các hành tinh.

bài toán này đứng trước Plolem. Làm thế nào để kết hợp nguyên lý quán tính của Aristotle với thế giới thực? Làm thế nào để mô tả thế giới thực chỉ dựa trên động học?

Quả cầu chuyển động

Các nhà quan sát cổ đại thấy rằng chuyển động của các hành tinh rất phức tạp. Họ chia chuyển động phức tạp này thành nhiều chuyển động đơn giản hơn. Chuyển động chính đầu tiên là chuyển động hàng ngày của bầu trời, chuyển động thứ hai là chuyển động hàng năm của nó. Tất cả bảy quả cầu kéo các hành tinh theo cùng đều tham gia vào hai chuyển động này. Quả cầu thứ tám, nơi gắn các ngôi sao, bất động. Hipparchus cũng cải tiến hệ thống này. Để tính đến chuyển động của điểm cân bằng mùa xuân (điểm giao nhau của mặt phẳng xích đạo với quỹ đạo Trái đất), ông cho rằng quả cầu thứ tám chuyển động chậm một độ trong 100 năm (36 inch mỗi năm) *).

Tuy nhiên, những chuyển động đơn giản này không thỏa mãn nguyên lý quán tính của Aristotle. Tốc độ của họ không nhất quán. Vì vậy, họ nói về sự tồn tại của hai bất đẳng thức. Đầu tiên là sự chuyển động không đều của các hành tinh trên quỹ đạo của chúng; thứ hai là chuyển động “ngược dòng” được quan sát thấy của các hành tinh - sự thay đổi hướng chuyển động của chúng trên bầu trời sang hướng ngược lại. Chỉ có Mặt trời và Mặt trăng là không có bất đẳng thức thứ hai. Vì vậy, lý thuyết của Hipparchus đã cho phép vị trí của họ có sai số thay đổi trong một phút. Sự bất bình đẳng này cần phải được giải quyết, và Plolemey đã giải quyết nó một cách xuất sắc.

*) Trên thực tế, sự thay đổi điểm cân bằng lò xo sẽ ​​diễn ra nhanh hơn một chút - khoảng 50 inch mỗi năm.

Cơm. 2.

Lập dị và bình đẳng

Mùa xuân đã có cách thoát khỏi tình thế tưởng chừng như vô vọng một cách dí dỏm. Phải giả định rằng không phải bản thân hành tinh này chuyển động theo một vòng tròn quanh tâm Vũ trụ (Trái đất trong hệ thống Plolemian), mà chỉ có tâm của một vòng tròn khác, gọi là ngoại luân, di chuyển dọc theo quỹ đạo chính, được gọi là đường vòng *). Kết quả của việc xây dựng như vậy, hóa ra (một bài tập hay cho người đọc!) là các hành tinh vẫn chuyển động theo một vòng tròn (được gọi là tâm lệch tâm), nhưng tâm của nó bị dịch chuyển so với Trái đất.

Do đó, sự tương đương động học quan trọng của mô hình chuyển động của chu trình dọc theo đường đẳng hướng và đường đẳng lượng đã được thiết lập. Nhưng sơ đồ cột chỉ mô tả đường đi của Mặt trời, luôn di chuyển trên bầu trời theo một hướng mà không quay lại. Vận tốc góc chuyển động của Mặt trời dọc theo tâm lệch tâm (so với tâm của nó) được coi là không đổi. Sau đó, rất indo,

*) Chuyển động như vậy trong cơ học gọi là cặp chuyển động quay.

7

tốc độ góc của chuyển động quan sát được từ Trái đất hóa ra có thể thay đổi. Vì vậy, tôi chỉ đơn giản cam kết với bất đẳng thức đầu tiên.

Đối với các hành tinh, lý thuyết cần có điều kiện. Đặc biệt khó giải thích chuyển động của Sao Thủy, mà như chúng ta biết ngày nay, có độ lệch tâm lớn nhất: nó lớn hơn Trái đất 0,2 và 10 lần.

Vào hai vòng tròn, một phần ba đã được thêm vào - đẳng thức. Tâm của xích đạo có đặc điểm là người quan sát ở đó sẽ nhìn thấy chuyển động đều của hành tinh. Nói cách khác, mặc dù góc $\phi$ (Hình 3) thay đổi không đều theo thời gian, nhưng góc $\phi$ lại tăng tỷ lệ thuận với thời gian. Vì vậy, nó giống như thể một hành tinh hư cấu được nhìn thấy đang chuyển động đều dọc theo đường đẳng lượng. Giả thuyết đẳng thức (với điều kiện bổ sung là tâm của xích đạo bị chia đôi) đã cải thiện lý thuyết, nhưng hóa ra nó cũng chưa đủ. Hai lần giả định bổ sung đã phải được đưa ra, chẳng hạn như tâm của xích đạo tự nó di chuyển dọc theo một vòng tròn hoặc mỗi ngoại luân lăn dọc theo một ngoại luân. Trong trường hợp cuối cùng, để mô tả chuyển động của hành tinh, cần phải nhân đôi gần 40 chuyển động tròn khác nhau. Và chính giả thuyết tương đương

nó thực sự xa lạ với động học. Do đó, kế hoạch này rất phức tạp và không đạt yêu cầu xét từ quan điểm cơ bản. Tuy nhiên, nó cho phép người ta tính toán chính xác vị trí của Mặt trời và các hành tinh và do đó làm hài lòng tất cả mọi người. Các bảng thiên văn được tính toán dựa trên cơ sở của nó (còn gọi là bảng Alfonsinian) đã được sử dụng rộng rãi từ thế kỷ 13 *). Đúng vậy, cần phải nhớ rằng chỉ vào cuối thế kỷ 15, việc giảng dạy đặc trưng của Ptolemy mới bắt đầu lan rộng trong các trường đại học Châu Âu - trước đó họ đã nghiên cứu từ các bản dịch tiếng Latinh nặng nề của các chuyên luận tiếng Ả Rập.

Khi đó việc quan trọng nhất là tính toán chuyển động của Mặt trời, Mặt trăng; đối với điều này, lý thuyết của Ptolemy là đủ. Lý do cho tình huống này, như chúng ta biết bây giờ, nằm ở độ lệch tâm nhỏ (quỹ đạo nhỏ) của quỹ đạo hành tinh, cho phép cách tiếp cận này được mô tả bằng hệ thống Ptolemaic.

Mặt trời là trung tâm của vũ trụ

Vì vậy, không có chủ nghĩa xenlulo thực tế nào trước Copernicus khi ông bắt đầu suy ngẫm về hệ thống các hành tinh. Câu hỏi về cải cách calediary chỉ là một cái cớ. Copernicus không thể chấp nhận hệ thống quả cầu lăn phức tạp của Ptolemy. Anh ta không để lại bất kỳ cuốn nhật ký hay ghi chú nào mà từ đó có thể tái hiện lại dòng suy nghĩ của anh ta. Không ai biết ông đã nghĩ gì trong gần 40 năm khi tạo ra hệ thống của mình.

Bây giờ khi nhìn vào hệ thống Ptolemaic, chúng ta thấy nhiều

*) Các bảng được tính toán với độ chính xác cao theo hệ thống Copernicus được Erasmus Reinhold xuất bản năm 1551. Vào đêm ngày 17 tháng 8 năm 1563, Tycho Brahe nhìn thấy Sao Mộc và Sao Thổ gần như trùng khớp trên bầu trời. Nhìn vào các bảng, anh phát hiện ra rằng các bảng của Alfonsinian đã dự đoán sai thời điểm xảy ra sự kiện này khi trả thù, và các bảng của Copernicus - trong 7 ngày. Sự việc này đã thúc đẩy công việc của Tycho Brahe, và sau đó là Kepler.

8

những mô hình khó có thể coi là ngẫu nhiên và Copernicus không thể không chú ý đến. Tại sao tâm của các ngoại đạo của Sao Thủy, Sao Kim và Mặt Trời luôn nằm trên cùng một đường thẳng? Tại sao chu kỳ quỹ đạo của Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ trong các tiểu hành tinh của chúng lại bằng một năm trên Trái đất?

Có rất nhiều vấn đề liên quan đến việc kết nối với hệ thống Ptolemaic.

Giả thuyết của Copernicus rất đơn giản. Cần phải đặt Trái Đất và Mặt Trời vào những vị trí trong hệ Ptolemaic cũ, chỉ để Mặt Trăng quay quanh Trái Đất (Hình 4). Nhưng giả thuyết đơn giản này không thể tiếp cận được với sự hiểu biết của hầu hết những người cùng thời với Copernicus. Lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, vật được quan sát chỉ ở vị trí đặc quyền của nó, và câu hỏi về bức tranh thế giới theo quan điểm của một hệ tọa độ khác (chuyển động so với vật được quan sát) đã được thảo luận. Một bước đi như vậy mang tính cách mạng không chỉ từ quan điểm của nhà thờ - Trái đất và con người không còn là những vật thể chính trong Vũ trụ - mà còn từ quan điểm của cơ học - chưa có gì liên quan đến chuyển động được sử dụng cho lời giải cụ thể bài toán. Sau khi đặt tâm của hệ hành tinh lên Mặt trời, Copernicus ngay lập tức đơn giản hóa sơ đồ của nó.

Sau những gì đã nói, người đọc sẽ hiểu trong Tiểu bình luận, trong đó Copernicus trình bày ngắn gọn ý tưởng của mình (xem trang 9).

Theo sơ đồ của Copernicus, chuyển động hàng ngày của bầu trời được tuyên bố là chuyển động quay của Trái đất quanh trục của nó và chuyển động hàng năm là chuyển động quay của nó quanh Mặt trời. Sự bất bình đẳng thứ hai đã biến mất - chuyển động nghịch hành của các hành tinh là hệ quả của tốc độ góc khác nhau của Trái đất và các hành tinh khác trong quỹ đạo của chúng. Một cách đáng chú ý, sự cần thiết của giả thuyết về chuyển động quay của thiên cầu cũng biến mất: để tuyên bố chuyển động của các ngôi sao, chỉ cần giả định rằng mặt phẳng quỹ đạo của Trái đất quay chậm theo hướng ngược lại với chuyển động của chính Trái đất trong quỹ đạo của nó là đủ.

Nhưng người ta không nên nghĩ rằng sơ đồ đơn giản của Copernicus đã giải quyết được hoàn toàn bài toán. Chúng ta hãy nhớ rằng chuyển động tự nhiên của các hành tinh phải đạt được mọi thứ mà người xưa đã cố gắng đạt được cho mỗi hành tinh với sự trợ giúp của các ngoại luân. Tuy nhiên, quan điểm của Apollonius và người xưa là chuyển động của các hành tinh hóa ra không đồng đều, ngay cả sau khi cho rằng sự không đồng đều này là do chuyển động quay của Trái đất. Do đó, các hành tinh không chuyển động theo những vòng tròn đồng tâm mà theo một cách khác mà chúng tôi sẽ trình bày sau…”

Bây giờ chúng ta biết rằng sự thay đổi tốc độ chuyển động của các hành tinh trong quỹ đạo của chúng tuân theo định luật Coperre và về mặt lý thuyết không cần phải tránh. Nhưng Copernicus vẫn tuân theo các định luật động học của mình và cố gắng đạt được sự đồng đều của chuyển động bằng cách đưa vào cùng các ngoại kinh và điểm lệch tâm (nhưng không có đẳng thức). Kết quả là sơ đồ hệ hành tinh của ông trở nên khá phức tạp.

9

mới và hoàn toàn không giống với mô hình lấy helium làm trung tâm đơn giản mà ông đã bắt đầu. Phần cuối của “Bình luận nhỏ” trông như thế này: “Như vậy, sao Thủy di chuyển chỉ với sự trợ giúp của bảy vòng tròn, sao Kim di chuyển với sự trợ giúp của gót chân, Trái đất với ba vòng tròn và Mặt trăng quay quanh chúng với bốn vòng tròn; cuối cùng, Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ - mỗi vòng đều có sự trợ giúp của một vòng tròn. Như vậy, đối với Vũ trụ sẽ có 34 vòng tròn, với sự trợ giúp của chúng, toàn bộ cơ chế của thế giới có thể được giải thích…”

Lý thuyết Copernicus, giống như nhiều lý thuyết khác (hiện đại hơn), tỏ ra rất hiệu quả trong phép tính gần đúng đầu tiên của nó. Khi cố gắng cải thiện sự đồng tình của mình bằng kinh nghiệm, cô ấy bắt đầu phức tạp hóa và mất đi sức thuyết phục. Tình huống này cho thấy rõ ràng tổ chức của những sai sót trong lý thuyết. Biểu đồ đơn giản này đã được Kepler nhìn ra, ông đã phát hiện ra khuyết điểm chính trong lý thuyết của Copernicus: các hành tinh thực sự chuyển động theo hình elip chứ không phải theo đường tròn, và việc mô tả chuyển động của chúng bằng nhiều đường tròn về nguyên tắc không thể đơn giản. Tuy nhiên, lý luận của Copernicus chứa đựng một khám phá quan trọng. Giả sử rằng tâm của vật lệch tâm đang chuyển động theo hình tròn, ông nhận thấy một điều mà người xưa không để ý: các hành tinh bắt đầu chuyển động không phải theo hình tròn mà theo hình bầu dục. Kepler viết: “Ptolemy có thể phản đối chính đáng việc Copernicus chống lại sự lệch đường đi của các hành tinh so với đường tròn, nhưng tôi không phản đối”.

Hệ thống Copernican không chính xác hơn nhiều so với hệ thống Ptolemaic. Hơn nữa, việc thay đổi hệ quy chiếu không thể thay đổi kết quả tính toán. Tuy nhiên, sự chuyển đổi sang hệ lấy helium làm trung tâm đã thay đổi mọi ý tưởng về cấu trúc của thế giới đến mức ngay sau đó là những khám phá của Galileo và Kepler, và sau đó là sự sáng tạo ra cơ học của Newton. Psestimus, cuốn sách của Copernicus hóa ra lại là nền tảng xây dựng toàn bộ khoa học hiện đại. Theo nghĩa này của từ này, nó được coi là một trong những cuốn sách vĩ đại nhất từng được viết bởi bàn tay con người.

Nicolaus Copernicus
một nhận xét nhỏ về việc cài đặt
họ giả thuyết về chuyển động của thiên thể

Tôi tin rằng tổ tiên của chúng ta đã tạo ra nhiều thiên cầu để duy trì nguyên tắc đồng nhất nhằm giải thích các chuyển động nhìn thấy được của các ngôi sao. Đối với họ, dường như không phải lúc nào họ cũng di chuyển đồng đều. Tuy nhiên, họ đã xem xét khả năng khi một số chuyển động của ngôi sao được thêm vào hoặc kết hợp, ngôi sao sẽ dường như chuyển động không đều so với bất kỳ nơi nào.

Điều này không thể đạt được bởi Calippus và Eudoxus, những người đã cố gắng đạt được lời giải thông qua các vòng tròn đồng tâm và cùng họ giải thích tất cả các đặc điểm chuyển động của các hành tinh, không chỉ áp dụng cho chuyển động quay có thể nhìn thấy của các ngôi sao, mà ngay cả những trường hợp khi, dường như đối với chúng ta, các hành tinh này bay lên phần trên của bầu trời, sau đó hạ xuống, điều này tất nhiên là độ đồng tâm không thể cho phép bằng bất kỳ cách nào. Do đó, điều được coi là tốt nhất là điều này có thể được tái tạo với sự trợ giúp của các vòng tròn lệch tâm và ngoại luân, mà cuối cùng, hầu hết các nhà khoa học đều đồng ý.

Tuy nhiên, mọi thứ mà Ptolemy và nhiều người khác đưa ra về điều này ở những chỗ khác nhau, mặc dù phù hợp với các tính toán bằng số, cũng sẽ gây ra những nghi ngờ đáng kể. Thật vậy, tất cả điều này hóa ra là đủ

10

nym chỉ với điều kiện là cần phải phát minh ra một số vòng tròn gọi là ekvaps. Nhưng sau đó hóa ra ngôi sao đang chuyển động với tốc độ không đổi, không dọc theo quỹ đạo mang nó và không quay quanh tâm của chính nó. Vì vậy, lý luận như vậy dường như chưa đủ hoàn hảo, chưa thỏa mãn tâm trí.

Vì vậy, khi chú ý đến điều này, tôi thường tự hỏi liệu có thể tìm ra một sự kết hợp hợp lý hơn nào đó của các vòng tròn có thể giải thích tất cả những điểm bất thường có thể nhìn thấy được và bản thân mỗi chuyển động sẽ đều đồng nhất, theo yêu cầu của nguyên lý chuyển động hoàn hảo. Tất nhiên, khi tôi bắt đầu giải bài toán khó và gần như không thể giải được bài toán này, tôi vẫn nảy ra ý tưởng làm thế nào có thể đạt được điều này với sự trợ giúp của số lượng quả cầu nhỏ hơn và sự kết hợp thuận tiện hơn so với những gì đã làm trước đây, giá như chúng tôi đồng ý với một số yêu cầu của mình, được gọi là tiên đề. Họ làm theo dưới đây theo thứ tự đó.

Yêu cầu đầu tiên. Không có một trung tâm duy nhất cho tất cả các quỹ đạo hoặc hình cầu thiên thể.

Yêu cầu thứ hai. Tâm Trái đất không phải là trung tâm của thế giới mà chỉ là trọng tâm và tâm quỹ đạo của Mặt trăng.

Yêu cầu thứ ba. Tất cả các quả cầu đều chuyển động xung quanh Mặt trời, có vẻ như nằm ở giữa mọi thứ, do đó trung tâm của thế giới nằm gần Mặt trời.

Yêu cầu thứ tư. Tỷ lệ giữa khoảng cách giữa Mặt trời và Trái đất với chiều cao của bầu trời nhỏ hơn tỷ lệ giữa bán kính Trái đất và khoảng cách của nó với Mặt trời, do đó, so với chiều cao của bầu trời, nó thậm chí sẽ không thể cảm nhận được.

Yêu cầu thứ năm. Tất cả các chuyển động được chú ý gần bầu trời đều thuộc về chính nó, nhưng thuộc về Trái đất. Đó là Trái đất với các yếu tố gần gũi nhất với nó, tất cả đều được chữa lành trong chuyển động hàng ngày xung quanh các sọc không đổi của nó, trong khi bầu trời và bầu trời cao nhất vẫn luôn bất động.

Yêu cầu thứ sáu. Tất cả các chuyển động mà chúng ta nhận thấy ở Mặt trời không phải là đặc thù của nó mà thuộc về Trái đất và quả cầu của chúng ta, cùng với đó chúng ta di chuyển quanh Mặt trời, giống như bất kỳ hành tinh nào khác; do đó Trái đất có một số chuyển động.

Yêu cầu thứ bảy. Mỗi chuyển động trực tiếp và cực của các hành tinh không thuộc về chúng mà thuộc về Trái đất. Vì vậy, chỉ riêng chuyển động này thôi cũng đủ để giải thích một số lượng lớn những điều bất thường có thể nhìn thấy trên bầu trời.

Sử dụng những tiền đề này, tôi sẽ cố gắng trình bày ngắn gọn cách có thể duy trì tính đồng nhất của chuyển động một cách hoàn toàn có trật tự. Tuy nhiên, ở đây, để ngắn gọn, tôi tin rằng cần phải bỏ qua các chứng minh toán học vì chúng nhằm mục đích thảo luận tổng quát hơn. Tuy nhiên, khi mô tả những vòng tròn này, chúng ta sẽ thu hẹp độ lớn của các quỹ đạo thu được, với sự trợ giúp của nó, bất kỳ ai giỏi toán học đều có thể dễ dàng thấy được bố cục các vòng tròn như vậy sẽ phù hợp như thế nào với các phép tính và quan sát số.

Không ai tin rằng chúng ta cùng với những người theo trường phái Pythagore khẳng định một cách nông cạn sự chuyển động của Trái đất; vì điều này anh ta sẽ tìm thấy bằng chứng xám xịt trong mô tả của tôi về các vòng tròn. Rốt cuộc, những lập luận đó, với sự trợ giúp của tự nhiên, chủ yếu cố gắng thiết lập sự bất động của nó, phần lớn dựa vào vẻ bề ngoài; tất cả họ sẽ bỏ cuộc ngay lập tức nếu chúng ta cũng buộc Trái đất phải lành lại trên cơ sở những hiện tượng nhìn thấy được.

11

Tính toán, lỗi, kiểm soát
N. B. Demidovich

Lỗi quan sát
Đếm chính xác không phải lúc nào cũng có nghĩa là đếm đúng. Khoảng cách ví dụ sau đây là bài toán.
Cạnh của mảnh đất hình vuông là 1,4 m. Nửa chu vi p và diện tích S của nó là bao nhiêu (Hình 1)?
Lời giải là tự định hướng: $p = 1,4 + 1,4 = 2,8$ ($m$), $S = 1,4 \times 1,4 = 1,96$ ($m^2$). Nhưng điều này chính xác đến mức nào đáp số? Hoàn toàn chính xác nếu độ dài cạnh của mặt cắt được xác định chính xác. Điều gì sẽ xảy ra nếu nó không được chỉ định, nhưng, ví dụ, được đo bằng thước dây decimet? Khi đó, điều tự nhiên là giả định rằng 1,4 m là độ chia của thước dây, gần với chiều dài thực của cạnh được đo của địa điểm. Từ đây chỉ rõ rằng chiều dài chính xác khác với 1,4 m không quá 0,05 m, nghĩa là giá trị tuyệt đối của sai số quan sát (nó được gọi là giá trị tuyệt đối)

Cơm. 1.

của giá trị đo x và được chỉ định $\Delta_x$) không vượt quá 0,05 m.

Một câu hỏi thực tế quan trọng được đặt ra: diện tích có thể được xác định với độ chính xác như thế nào ở các điều kiện tiên quyết đã chỉ định? Câu hỏi này và các câu hỏi tương tự được giải quyết bởi một nhánh toán học đặc biệt - lý thuyết tính toán gần đúng. Hãy để chúng tôi chứng minh các phương pháp của nó bằng cách sử dụng bài toán này.

Đặt chiều dài thực của cạnh (sau đây tất cả các chiều dài được đo bằng mét) bằng 1,4 + $\alpha$, trong đó $|\alpha| \leq 0,05$, tức là $0,5 \leq \alpha \leq 0,05$. Khi đó nửa chu vi của phần bằng $p = (1,4 + \alpha) + (1,4 + \alpha) = 2,8 + 2\alpha$.

Sai số tuyệt đối $\Delta_p$ của giá trị nửa chu vi là 2,8 không vượt quá $2 \times 0,05 = 0,1$, tức là $2,7 = 2,8 - 0,1 \leq p \leq 2,8 + 0,1 = 2,9$.

Công thức dễ dàng kiểm tra
$$\left|(x_{\text{прибл.}} \pm y_{\text{прибл.}})\right| \leq \Delta_x + \Delta_y$$

cho thấy rằng khi cộng và trừ các số, sai số tuyệt đối của chúng cộng lại.

Khi nhân các số, sẽ thuận tiện hơn khi xử lý lỗi tương đối. Sai số tương đối $\Delta_x$ của số x được gọi là tỉ số giữa sai số tuyệt đối $\Delta_x$ với giá trị tuyệt đối của số x: $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{точн}}}$. Bởi vì $x_{\text{точн}}$ chúng tôi

12

chúng tôi không biết, chúng tôi có thể thay thế $\varepsilon'_x$ bằng $\varepsilon_x$, trong đó $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{прибл}}}$. Trong ví dụ này $\varepsilon_x = \frac{0,05}{1,4} \approx 0,036 = 3,6\%$.

Tất nhiên, bằng cách thay thế các giá trị của $\varepsilon'_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{точн}}}$ bằng $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{прибл}}}$, chúng tôi cho phép xảy ra một số lỗi nhưng nó thường nhỏ đến mức luôn bị bỏ qua.

Khi nhân và chia các số, sai số tương đối của chúng sẽ được cộng thêm. Chúng tôi để lại bằng chứng của tuyên bố này cho người đọc; thì chúng ta chỉ cần ước tính số lượng

$$\varepsilon_{xy} = \left| \frac{(x + \alpha)(y + \beta) - xy}{xy} \right|$$

Và

$$\varepsilon_{\frac{x}{y}} = \left| \frac{\frac{x + \alpha}{y + \beta} - \frac{x}{y}}{\frac{x}{y}} \right|.$$

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán của chúng tôi. Diện tích của trang web được lấy bằng tích của chiều dài các cạnh, do đó sai số tương đối của nó là 7,2%. Các tính toán được chấp nhận cho

$$S = (1,4 + \alpha)^2 = 1,96 + 2,8\alpha + \alpha^2.$$

Ở đây 1,96 là đáp số ban đầu của chúng tôi và hai số hạng còn lại là độ lệch của nó so với đáp số chính xác. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của kết quả:

$$\Delta_S \leq |2,8\alpha + \alpha^2| \leq |2,8\alpha| + \alpha^2 \leq |2,8 \cdot 0,05| + |0,05|^2 = 0,1425 < 0,15.$$

Điều này có nghĩa là diện tích $S$ nằm trong

$$1,81 = 1,96 - 0,15 < S < 1,96 + 0,15 = 2,11.$$

Công thức cuối cùng cho thấy rõ ràng rằng trong công thức gốc đáp số 1.96, chứa hai dấu của công thức cuối cùng, có thể không có một chữ số đúng nào.

Do đó, lý thuyết tính toán gần đúng giải phóng chúng ta khỏi ảo tưởng rằng số lượng lớn hơn các chữ số được tính toán chính xác luôn đảm bảo độ chính xác tương ứng của chính kết quả. Hơn nữa, nó mang lại đáp số, độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào độ chính xác của dữ liệu ban đầu, số lượng và loại hành động được thực hiện trên chúng.

Làm tròn số

Trong ví dụ ban đầu, chúng tôi đã quyết định rằng số 1,4 m có được bằng cách thay đổi nó bằng thước dây decimet và do đó sai số của thay đổi không vượt quá 7,2%. Các tính toán được chấp nhận cho

$$S = (1,4 + \alpha)^2 = 1,96 + 2,8\alpha + \alpha^2.$$

Ở đây 1,96 là đáp số ban đầu của chúng tôi và hai số hạng còn lại là độ lệch của nó so với đáp số chính xác. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của kết quả:

$$\Delta_S \leq |2,8\alpha + \alpha^2| \leq |2,8\alpha| + \alpha^2 \leq |2,8 \cdot 0,05| + |0,05|^2 = 0,1425 < 0,15.$$

Điều này có nghĩa là diện tích $S$ nằm trong

$$1,81 = 1,96 - 0,15 < S < 1,96 + 0,15 = 2,11.$$

Công thức cuối cùng cho thấy rõ ràng rằng trong công thức gốc đáp số 1.96, chứa hai dấu của công thức cuối cùng, có thể không có một chữ số đúng nào.

Do đó, lý thuyết tính toán gần đúng giải phóng chúng ta khỏi ảo tưởng rằng số lượng lớn hơn các chữ số được tính toán chính xác luôn đảm bảo độ chính xác tương ứng của chính kết quả. Hơn nữa, nó mang lại đáp số, độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào độ chính xác của dữ liệu ban đầu, số lượng và loại hành động được thực hiện trên chúng.

Một ví dụ

Đặc biệt, trong lý thuyết tính toán gần đúng, các ví dụ tính toán cũng được phát triển, đồng thời đảm bảo đạt được độ chính xác cần thiết của kết quả, giảm số lượng thao tác xuống mức tối thiểu.

Ví dụ: hãy xem xét phép nhân các phân số thập phân thích hợp dương $n$-bit, nghĩa là các số có dạng

$$A = 0, a_1 a_2 \dots a_n,$$

ở đâu $0 \leq a_i \leq 9$ ($i = 1, 2, \dots, n$). Được biết, phân số thập phân (1) là viết tắt của số

$$A = \frac{a_1}{10} + \dots + \frac{a_i}{10^i} + \dots + \frac{a_n}{10^n}.$$

13

Chúng ta sẽ coi phân số (1) là một số gần đúng, được làm tròn chính xác. Khi đó nó có sai số tuyệt đối không vượt quá $\frac{5}{10^{n+1}}$.

Cho phép

$$A = 0, a_1 a_2 \dots a_n,$$
$$B = 0, b_1 b_2 \dots b_n$$

là hai số gần đúng và $\alpha$ và $\beta$ là độ lệch tương ứng của chúng so với các số chính xác và giống nhau: $|\alpha| \leq 0,5 \cdot 10^{-n}, |\beta| \leq 0,5 \cdot 10^{-n}$. Hãy tính sai số tuyệt đối của tích:

$$\Delta_{AB} = (A + \alpha) \cdot (B + \beta) - AB = \alpha \cdot B + \beta \cdot A + \alpha \cdot \beta.$$

Ở đây $|\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta| \leq 0,5 \times 10^{-n} \cdot 0,5 \cdot 10^{-n} = 0,25 \cdot 10^{-2n}$, nghĩa là thuật ngữ này trong mô đun không vượt quá bốn chữ số cuối cùng có thể có của kết quả và do đó có thể không được tính đến. Chúng ta hãy ước tính tổng của hai số hạng ở giữa, có tính đến $A < 1$ và $B < 1$. Chúng tôi nhận được $|\alpha \cdot B + \beta \cdot A| < |0,5 \cdot 10^{-n} \cdot 1| + 0,5 \cdot 10^{-n} \cdot 1| = 10^{-n}$.

Điều này có nghĩa là trong số $2n$ chữ số của sản phẩm, chỉ có chữ số $n-1$ đầu tiên được đảm bảo là chính xác, chữ số thứ $n$, nhờ vào (2), hóa ra là thành phần (nó có thể khác với chữ số đúng $\pm 1$). Công thức (2) không đảm bảo tính chính xác của các số $(n+1)$ trở lên. Vì vậy, những con số này không có gì để đưa vào đáp số cuối cùng.

Theo đó, khi nhân các số gần đúng theo cách học - “thang bên trái” - chúng ta thực hiện một nửa công việc một cách vô ích. Chúng tôi hỏi, liệu có thể không làm một nửa công việc này không? Hóa ra là có thể. Để làm điều này, bạn cần sử dụng phương pháp nhân rút gọn - “thang bên phải”. Hơn nữa, để trình bày rõ ràng, chúng tôi sẽ giới hạn ở ví dụ nhân các số gần đúng $0,587 \times 0,736$.

Như các bạn đã biết, nhân số thập phân cũng tương tự như nhân số nguyên. Dưới đây là ba cách để nhân

$$\times 0,587 \times 0,587 \times 0,587$$
$$\times 0,736 \times 0,736 \times 0,736$$
$$\times 4109 \times 4109 \times 4109$$
$$1761 + 1761 + 1761 + 1761$$
$$4109 \times 3522 \times 3522 \times 3522$$
$$0,4320 \times 0,4320 \times 0,4320$$

(a) - “thang bên trái” (trường học);

Với phương pháp (6), không giống như phương pháp (a), phép nhân bắt đầu bằng chữ số cao nhất của số bị nhân và số nhân; đơn vị truyền từ chữ số bên phải liền kề của số bị nhân (ít thường xuyên hơn từ hai số liền kề) được tính ngay lập tức. Sau một thời gian luyện tập, phương pháp này không còn khó khăn hơn phương pháp (a).

Phương pháp (c) là một sửa đổi rút gọn của phương pháp (6), trong đó tích từng phần không được tính đến cuối mà được làm tròn ngay lập tức. Vị trí làm tròn cung cấp thêm một chữ số trong đáp số cuối cùng, cần thiết để làm tròn chính xác chữ số cuối cùng, thành phần,.

Được rồi, đáp số cuối cùng được tìm thấy bằng tất cả các phương pháp tính toán đó sẽ là 0,432. Để có được nó bằng phương pháp (c), công sức và thời gian chỉ bằng một nửa so với sử dụng phương pháp (a) và (6). Cách tiếp cận này được đặc biệt khuyến khích bởi nhà toán học, kỹ sư và thợ đóng tàu xuất sắc của Liên Xô, Viện sĩ A. N. Krylov, người có cuốn sách *) mà chúng tôi giới thiệu cho độc giả.

Xấp xỉ liên tiếp và kiểm soát tính toán

Tính gần đúng của dữ liệu nguồn (lỗi quan sát và thay đổi) không phải là nguyên nhân duy nhất gây ra lỗi trong kết quả. Một nguồn sai số khác trong kết quả là bản chất gần đúng của chính quá trình tính toán. Nguyên nhân của hiện tượng này là

*) A. N. Krylov, Bài giảng về tính toán gần đúng, M., FM, 1954.

14

cho biết nhu cầu cơ bản để kiểm tra phép tính chính xác (ví dụ: $\sqrt{2}$, sin $20^\circ$) hoặc sự bất tiện khi sử dụng công thức chính xác của kết quả (ví dụ: phân số đơn giản chính xác $1/7$, theo quy tắc, được thay thế bằng phân số thập phân gần đúng 0,143). Việc phát triển các phương pháp tính toán với mức độ chính xác định trước là một lĩnh vực ứng dụng quan trọng của phép tính toán học cổ điển. Người đọc sẽ biết được các phương pháp này bằng cách xem trang cuối cùng của bảng Bradis. Có các công thức - cái gọi là chuỗi vô hạn - theo đó các giá trị của sin, tiếp tuyến, logarit và các hàm dạng bảng khác được tính toán. Phân tích các công thức này cho thấy kỹ thuật phương pháp chính - thay thế phép tính hàm ban đầu bằng phép tính đa thức, nghĩa là một hàm khác, đơn giản hơn, các giá trị của nó, với một mức độ chính xác nhất định, bằng với các giá trị của hàm ban đầu.

Một cách khác để kiểm tra phép tính với mức độ chính xác nhất định là phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Hãy chứng minh điều đó bằng cách tính căn bậc hai của số $A$.

Khi xấp xỉ bằng 0 $\sqrt{A}$, chúng ta lấy một số dương tùy ý $x_0$.

Chúng ta hãy xem xét một đoạn trên trục số (Hình 2) được giới hạn bởi các điểm $x_0$ và $\frac{A}{x_0}$. Hãy xây dựng phép tính gần đúng thứ hai $x_1$ làm trung bình số học của $x_0$ và $\frac{A}{x_0}$:

$$x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{A}{x_0} \right) :$$

Theo tính chất của trung bình số học, chúng ta có $x_0 \leqslant x_1 \leqslant \frac{A}{x_0}$ và theo tính chất đại lượng nghịch đảo $\frac{A}{x_0} \geqslant \frac{A}{x_1} \geqslant x_0$. Nói cách khác, đoạn

$$\left| \frac{A - x^2}{A + x^2} \right| < 1.$$

Các đoạn này co lại thành một điểm duy nhất $x$, thuộc về tất cả các đoạn. Để tính $x$, chúng ta thay nó vào công thức (3): $x = \frac{1}{2} \cdot \left( x + \frac{A}{x} \right), x = \frac{A}{x}, x = \sqrt{A}$.

Điểm $x = \sqrt{A}$ thuộc tất cả các đoạn thẳng nên $x_n$ hướng về $x = \sqrt{A}$, tức là phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải được

15

được đặt thành bài toán. Cần lưu ý rằng phép tính sẽ dừng sau khi $x_{n+1}$ trở thành bằng $x_n$ với số chữ số thập phân nhất định.

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp có một ưu điểm lớn: sai số ngẫu nhiên trong các tác động trung gian sẽ không ảnh hưởng đến độ lớn của kết quả mà chỉ làm tăng thời gian để thu được kết quả đó.

Nhìn chung, khi thực hiện tính toán cần hết sức chú ý đến việc điều khiển. Tất nhiên, quá trình tính toán có thể được lặp lại một lần nữa, nhưng điều này sẽ tăng gấp đôi tổng thời gian chạy. Trong những trường hợp đặc biệt quan trọng, cần phải thực hiện bước này, nhưng cũng có thể áp dụng các phương pháp kiểm soát khác, có tính đến các chi tiết cụ thể của một phép tính cụ thể. Ví dụ: nếu sin $x$ và cos $x$ được tính từ một đối số $x$, thì việc tính $\sin^2 x + \cos^2 x$ và so sánh với sự thống nhất là điều đương nhiên.

Một ví dụ khác

Đặc biệt quan tâm là một kỹ thuật cho phép bạn kiểm soát từng giai đoạn tính toán. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó bằng ví dụ lời giải về hệ phương trình đại số tuyến tính.

Cho hệ hai phương trình có hai ẩn số:

$$\begin{align*} 5x + 2y &= 19, \\ 3x + 7y &= 23. \end{align*}$$

Hãy viết ra các hệ số và số hạng tự do của nó dưới dạng bảng:

$$\begin{align*} \frac{5}{3} &\frac{2}{7} \frac{19}{23} \\ \end{align*}$$

Hãy hoàn thành bảng này bằng cách kiểm soát tổng các phần tử của hàng tương ứng. Ta được bảng tính:

$$\begin{align*} \frac{5}{3} &\frac{2}{7} \frac{19}{23} \frac{26}{33} \\ \end{align*}$$

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ coi bảng (5) là hình ảnh của hai hệ thống có các hệ số giống nhau và các số hạng tự do khác nhau: hệ thống (4) và hệ thống

$$\begin{align*} \frac{5\tilde{x} + 2\tilde{y}}{3\tilde{x} + 7\tilde{y}} &= 26 \\ \frac{1}{3} \left| \frac{0,4}{7} \right| \frac{3,8}{23} \left| \frac{5,2}{33} \right| \\ \end{align*}$$

Giải hệ (4) và (6) bằng phương pháp Gauss, chia tất cả các phần tử của hàng đầu tiên cho số hạng đầu tiên của nó. Hãy lấy cái bàn

$$\left| \frac{1}{3} \right| \frac{0,4}{7} \frac{3,8}{23} \left| \frac{5,2}{33} \right|$$

Điều kiện là ở bất kỳ giai đoạn nào tổng của ba số ở dòng bất kỳ phải bằng số thứ tư; việc này được thực hiện ở đây.

Tiếp theo, nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên với số hạng đầu tiên của hàng thứ hai. chúng tôi nhận được

$$\left| \frac{3}{3} \right| \frac{1,2}{7} \left| \frac{11,4}{23} \right| \left| \frac{15,6}{33} \right|$$

Trừ từng số hạng từ dòng thứ 2 cho dòng thứ nhất:

$$\left| \frac{3}{0} \right| \frac{1,2}{5,8} \left| \frac{11,4}{11,6} \right| \left| \frac{15,6}{17,4} \right|$$

Từ dòng thứ hai (8) chúng ta có được

$$y = \frac{11,6}{5,8} = 2, \quad \tilde{y} = \frac{17,4}{5,8} = 3.$$

Cuối cùng, từ hàng đầu tiên của bảng (7) chúng ta tìm thấy

$$x = 3,8 - 2 \cdot 0,4 = 3, \\ \tilde{x} = 5,2 - 3 \cdot 0,4 = 4.$$

Đã tìm kiếm lời giải: $x = 3, y = 2$; lời giải hệ thống (6): $\tilde{x} = 4, \tilde{y} = 3$. Có sự bình đẳng

$$\tilde{x} = x + 1, \quad \tilde{y} = y + 1,$$

điều này có nghĩa là hệ thống lời giải là chính xác. Lưu ý rằng nếu các đẳng thức đáp số cuối cùng (9) không được thỏa mãn thì khi kết hợp với một vị trí, việc làm tròn quá thô hoặc có ở đâu đó

16

thì đã phạm phải một sai lầm. Sự hiện diện của cột điều khiển ở mỗi giai đoạn tính toán cho phép bạn nhanh chóng tìm ra vị trí có lỗi hoặc không chính xác.

Bình đẳng (9) là cơ sở lý luận của phương pháp điều khiển. Nếu chúng ta lấy hệ (6), nghiệm của nó là lời giải của hệ (4), tăng thêm một, $x = x + 1$, $y = y + 1$, thì các số hạng tự do của hệ (6) sẽ bằng tổng các hệ số của các hàng của hệ (4). Ví dụ: đối với dòng đầu tiên của hệ thống (4)

$$5(\tilde{x} - 1) + 2(\tilde{y} - 1) = 19,$$
$$5\tilde{x} - 5 + 2\tilde{y} - 2 = 19,$$
$$5\tilde{x} + 2\tilde{y} = 19 + 5 + 2 = 26.$$

Tính chất này có thể dễ dàng được kiểm chứng trong trường hợp tổng quát. Và vì tại lời giải chúng ta chuyển sang các hệ thống tương đương, nên trong đó tổng các hệ số phải bằng các số trong cột điều khiển.

Lỗi phương pháp

Có một nhóm nguyên nhân khác dẫn đến sai sót trong kết quả. Nó được gọi là lỗi phương pháp. Nó được kiểm tra, ví dụ, trong trường hợp, thay vì một hệ phương trình chính xác, một hệ phương trình đơn giản hơn mô tả gần đúng cùng một quá trình được xem xét. Những lý do cho sự thay thế như vậy rất đa dạng: thiếu hệ phương trình chính xác, không có khả năng chuẩn bị dữ liệu ban đầu cho một hệ chính xác, không thể hoặc phức tạp hơn trong việc giải chính xác hệ phương trình chính xác hiện có và các lý do khác. Ví dụ: hãy xem xét bài toán từ sách giáo khoa vật lý.

Máy bay nằm ngang ở độ cao $H$ với tốc độ $v$. Người đó phải thả quả bom cách vật một khoảng bằng bao nhiêu để quả bom trúng thẳng vào vật?

Nếu chúng ta đơn giản hóa giả định thì sẽ không có lực cản trước tác động của tác động đó.

Việc xem xét cần thiết $S$ được lấy từ công thức $S = v \cdot t$ tại $\frac{gt^2}{2} = H$, do đó $S = v \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Theo giả định này, quỹ đạo của quả bom là parabol (đường cong màu xanh lam trong Hình 3).

Nhưng trên thực tế, khả năng chống va đập sẽ có quỹ đạo lớn hơn. Nó được gọi là “đường cong đạn đạo” (đường cong màu đỏ trong Hình 3) và được xây dựng trên cơ sở dữ liệu thực nghiệm và các đề xuất lý thuyết bổ sung. Đường cong đạn đạo làm giảm đáng kể “sai số phương pháp”, nhưng do đặc điểm thực nghiệm của nó nên nó làm tăng nhẹ “sai số quan sát” và “sai số làm tròn”.

Bây giờ chúng ta có thể rút ra một số kết luận. Các ví dụ và tính toán đã cho cho thấy rằng quá trình tính toán bằng số của bất kỳ bài toán thực tế nào đều phải được lên kế hoạch cẩn thận.

Các giai đoạn dọc theo con đường này là:

1. lựa chọn phương pháp lời giải với ước tính sai số mà nó đưa ra;
2. đánh giá độ chính xác của dữ liệu nguồn;
3. lựa chọn sơ đồ đánh giá độ chính xác của việc làm tròn các giá trị trung gian và tổ chức kiểm soát hợp lý.

Sự phát triển hơn nữa của các phương pháp tính toán chịu ảnh hưởng của công nghệ máy tính, đặc biệt là máy tính điện tử kỹ thuật số (EDC), giúp thực hiện các phép tính bao gồm hàng tỷ phép tính số học. Tình huống này đòi hỏi phải tăng cường chú ý đến việc tích lũy sai sót và lựa chọn các phương pháp kế toán ít “nhạy cảm” hơn với chúng.

17

Khối lượng hấp dẫn
D. Borodin

Các nhà vật lý nghiên cứu hai khối lượng - quán tính và hấp dẫn. Cái đầu tiên được đưa vào định luật chuyển động của Newton, cái thứ hai - trong định luật vạn vật hấp dẫn.

Theo định luật vạn vật hấp dẫn, độ lớn lực căng giữa hai chất điểm bằng

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2},$$

(1)

trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn $^*$), $m_1$ và $m_2$ là khối lượng của các vật liệu điểm, $r$ là khoảng cách giữa chúng. Các khối lượng $m_1$ và $m_2$ có trong công thức này giống với các đại lượng xuất hiện trong định luật thứ hai của Newton

$$F = ma,$$

(2)

lực liên kết và gia tốc của vật.

Vai trò của khối lượng trong công thức (1) và (2) là hoàn toàn khác nhau. Trong biểu thức (2) nó xác định độ trơ của vật liệu của một điểm và trong biểu thức (1) nó mô tả trường hấp dẫn mà một điểm vật chất tạo ra và lực mà trường này tác dụng lên một điểm/điểm vật chất khác. Lưu ý rằng, theo định luật thứ ba của Newton, chúng ta không quan tâm khối lượng nào ($m_1$ hoặc $m_2$) được coi là đang tạo ra trường và khối lượng nào được coi là nằm trong trường này: hành động bằng phản lực. Cái đó,

$$\gamma = 6,6732 \cdot 10^{-11} \frac{hm^2}{kc^2}$$

(dấu ngoặc đơn có thể được đọc không chính xác ở hai ký tự cuối cùng).

rằng khối lượng bao gồm trong định luật hấp dẫn (1) - nó được gọi là khối lượng hấp dẫn (hoặc hấp dẫn) - hóa ra giống như khối lượng quán tính có trong công thức (2), có một định luật lớn về trọng lực.

Nó được gọi là nguyên lý thể hiện của khối lượng hấp dẫn và quán tính.

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta đã quá quen với nguyên tắc này nên không để ý đến nó. Trong khi đó, chúng ta sử dụng nó khi xác định khối lượng của một vật thể bằng cách cân nó trên cân; Thực hiện thao tác này, chúng ta, không cần nghĩ đến vật lý, có thể dễ dàng cho rằng lực căng đối với mặt đất tỷ lệ thuận với khối lượng quán tính của vật này. Chúng tôi đã nói “tỷ lệ thuận”. Trên thực tế, trong thực tế, cả hai khối lượng – trọng lực và quán tính – đều thay đổi cùng đơn vị và bằng nhau về mặt số lượng. Do đó, chúng tôi không bao giờ nghĩ về loại khối lượng nào được vật lý hóa trong trường hợp này hay trường hợp kia. Đơn vị thay đổi khối lượng phải được chọn sao cho không có hệ số nào trong định luật thứ hai của Newton; thì hệ số $\gamma$ xuất hiện trong định luật vạn vật hấp dẫn. Tất nhiên, có thể đưa ra một đơn vị mới cho khối lượng hấp dẫn sao cho $m' = \sqrt{\gamma m}$; thì trong công thức (1) hệ số $\gamma$ biến mất, nhưng $m'$ xuất hiện. Bằng cách này, có thể nhấn mạnh sự phát triển vật lý của khối lượng quán tính và hấp dẫn; tuy nhiên, trong thực tế điều này sẽ rất bất tiện.

cánh đồng. Nếu chúng ta biểu thị hướng của trường bằng $E$ thì lực tác dụng lên điện tích $e$ sẽ bằng $eE$. Phương trình của Newton trông như thế này:

$$m a = e E,$$

và gia tốc

$$a = \frac{e}{m} E,$$

như chúng ta thấy, nó phụ thuộc vào tỷ lệ điện tích $k$ với khối lượng, tức là vào một giá trị khác nhau đối với các bộ phận khác nhau.

Ở đây chúng ta phải nhớ rằng điện tích $e$ xác định lực mà trường tác dụng lên hạt và khối lượng quán tính $m$ xác định gia tốc phát sinh dưới tác dụng của lực này. Trong trường hấp dẫn, lực được xác định bởi cùng khối lượng quán tính xác định gia tốc. Nói cách khác, vai trò của “điện tích” hấp dẫn (nghĩa là khối lượng hấp dẫn theo thuật ngữ của chúng ta) được thực hiện bởi cùng một khối lượng quán tính và tỷ số của cả hai khối lượng (đóng vai trò của hệ thức $e/m$) trong trường hợp trường hấp dẫn bằng một. Đây là nguyên tắc tương đương.

Trái đất quay

Hãy xem xét một vật thể nằm trong một hệ tọa độ quay, chẳng hạn như trên Trái đất. Nó (theo quan điểm của người quan sát trái đất) chịu tác dụng của lực ly tâm có quán tính $*$), hướng vuông góc với trục quay của Trái đất. Độ lớn của lực quán tính ly tâm bằng

$$F_{цб} = m \omega^2 r.$$

($m$ - khối lượng quán tính, $r$ - khoảng cách từ trục quay, $\omega$ - vận tốc góc).

Vì lực này tỉ lệ với khối lượng quán tính nên trong lĩnh vực ly tâm
*) Đây chính là lực ép chiếc bè vào ghế theo chuyển động quay tròn. Các lực loại này xuất hiện trong quá trình chuyển sang hệ tọa độ không quán tính, được gọi là quán tính.

lực lượng tị nạn, định luật Galileo cũng được áp dụng: gia tốc của vật

$$a = \omega^2 r$$

không phụ thuộc vào khối lượng của nó. Ví dụ, ở xích đạo gia tốc này là 0,02 $m/c^2$.

Để hiểu lực quán tính ly tâm phát sinh như thế nào, hãy xem xét một bài toán đơn giản về một vật nặng treo trên một sợi dây. Người quan sát ở ngoài Trái Đất sẽ thấy vật nặng lơ lửng cùng với Trái Đất. Trọng lượng có gia tốc $\omega^2\rho$ ($\rho$ là khoảng cách đến trục Trái đất); điều này có nghĩa là nó chịu tác dụng của một lực $F_{цс} = m_n \omega^2\rho$ hướng vào trục quay ($m_n$ là khối lượng trơ). Lực này được tạo ra bởi lực hút vào tâm Trái đất $F_T = m_r g$ ($m_r$ - khối lượng hấp dẫn) và lực căng của sợi dây $F_r + F_H = F_{цс}$ (Hình 1, a).

Nếu bây giờ chúng ta viết lại cán cân quyền lực như thế này:

$$F_r + F_H - F_{цс} = 0,$$

thì chúng ta có thể nói rằng tải trọng ở trạng thái cân bằng (như người quan sát trên Trái đất nhìn thấy) dưới tác dụng của ba lực. Lực thứ ba, $-F_{цс}$, hướng về hai phía so với trục quay và là lực ly tâm có quán tính $F_{цб}$ (Hình 1, b).

Eotvos có kinh nghiệm

Vấn đề kiểm chứng nguyên lý tương đương vẫn được Newton quan tâm. Ông cũng đã thực hiện thí nghiệm đầu tiên. Newton đã quan sát sự dao động của các con lắc làm bằng các vật liệu khác nhau (Hình 2). Từ nguyên lý tương đương suy ra chu kỳ dao động

21

Cơm. 4. Kinh nghiệm của Đê. Hình vẽ sơ đồ cho thấy vị trí của mũi tên, ghi lại độ xoắn của sợi có giá trị xoắn.

Sv vào các thời điểm khác nhau trong ngày nếu $m_r \neq m_i$. Dưới đây là biểu đồ giả định về số đọc mũi tên trong một thí nghiệm như vậy.

Thí nghiệm của Dike và Bragiinsky
Các thí nghiệm chính xác hơn chỉ được thực hiện vào năm 1962. Nhà vật lý người Mỹ Dicke đã tiến hành các thí nghiệm mới trong đó lực hấp dẫn tác dụng lên cánh tay đòn của một cân xoắn là lực căng của các vật nặng không phải do Trái đất mà do Mặt trời. Nếu bạn không chạm vào cần lắc và không xoay nó về $180^\circ$, như đã làm trong các thí nghiệm của Eötvos, thì hướng xoắn của sợi cân xoắn dường như không thay đổi. Tuy nhiên, Dicke lưu ý rằng nếu nguyên lý tương đương không đúng thì ách của cân sẽ được quay chậm do tác dụng của lực hấp dẫn lên các mẫu từ Mặt trời (Hình 4). Hướng của cần lắc so với Mặt trời thay đổi theo thời gian do Trái đất quay và người thí nghiệm sẽ phải quan sát dao động xoắn của sợi dây với

khoảng thời gian 24 giờ. Không có biến động như vậy được phát hiện. Ưu điểm của thí nghiệm của Dicke so với thí nghiệm của Eotvos là trong các thí nghiệm mới, người làm thí nghiệm không phải tự mình thay đổi vị trí của tay bập bênh; điều này đã cứu anh ta khỏi nguy cơ mắc thêm sai lầm.

Phân tích cho thấy trong các thí nghiệm của Dicke, sai số đã giảm xuống còn $10^{-10}$.

Kết quả của Dicke đã được cải thiện bởi nhà vật lý Liên Xô V. B. Bragiinsky. Bragiinsky đã sử dụng ý tưởng của Dicke nhưng hạ thấp khả năng xảy ra sai sót xuống $10^{-12}$.

Khó có thể mong đợi rằng trong tương lai gần sẽ có ai đó thực hiện các thí nghiệm mới: phải dành quá nhiều công sức cho việc này và khả năng quá nhỏ là nguyên tắc tương đương có thể trở nên không công bằng nếu được thay đổi với độ chính xác cao hơn nữa.

sai lầm của Galileo

Galileo lý luận như thế này: Chúng ta hãy lấy hai hòn đá, một hòn lớn và một hòn nhỏ. Giả sử một hòn đá lớn rơi nhanh hơn một hòn đá nhỏ. Hãy buộc chúng lại với nhau và ném những viên đá đã buộc này từ trên cao xuống. Nếu hòn đá lớn rơi nhanh hơn hòn đá nhỏ thì hòn đá nhỏ nhất phải làm chậm chuyển động của hòn đá lớn hơn. Nhưng khi đó những viên đá buộc vào nhau sẽ rơi nhanh hơn, chậm hơn một viên lớn nhưng lại nhanh hơn viên nhỏ nhất. Mặt khác, khối lượng của các viên đá được kết nối lớn hơn khối lượng của từng viên, điều đó có nghĩa là chúng sẽ rơi nhanh hơn. Điều này dẫn đến một sự mâu thuẫn có thể nhìn thấy được. Tình hình không lắng xuống và phản bác lại giả định rằng hòn đá lớn hơn rơi chậm hơn. Có vẻ như điều này bao hàm quy luật bình đẳng về gia tốc của mọi vật.

Trên thực tế điều này không đúng. Lỗi lý luận nằm ở chỗ giả định ngây thơ rằng gia tốc của các vật chỉ phụ thuộc vào một đại lượng vật lý - “trọng lực” (nghĩa là vào khối lượng hấp dẫn). Nếu có hai khối lượng (trọng lực và quán tính không bằng nó), thì “bằng chứng” bổ sung không thể thực hiện được.

22

Trên một số đẳng giác không gian bài toán

M.G.Krein, A.A.Nudelman

Giới thiệu

Trước khi tiếp tục chủ đề của bài viết này, chúng tôi mời người đọc chứng minh (hoặc ghi nhớ) một cách độc lập các mệnh đề nổi tiếng sau đây.

Câu 1.
Trong số tất cả các hình bình hành có chu vi cho trước, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Đề xuất 2.
Trong số tất cả các hình bình hành có chu vi và chiều dài một trong các đường chéo cho trước, hình thoi có diện tích lớn nhất.

Hiển nhiên Mệnh đề 2 tương đương với mệnh đề sau:

Mệnh đề 2’.
Trong số tất cả các hình tam giác có chu vi và chiều dài một cạnh cho trước thì diện tích lớn nhất là tam giác đều.

Đề xuất 3.
Trong số các tam giác có chu vi cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất.

Mệnh đề 1-3 nằm trong số cái gọi là đẳng giác bài toán: trong số các hình thuộc loại xác định có chu vi cho trước, cần tìm các hình có diện tích lớn nhất. Ở đây chúng ta hãy lưu ý rằng Mệnh đề 1 và 3 là những trường hợp đặc biệt của một phát biểu tổng quát hơn: trong số tất cả các $n$-giác có chu vi cho trước, $n$-giác đều có diện tích lớn nhất. Từ đó, chúng tôi đề xuất một phép chuyển đổi để dễ dàng đạt được điều đó trong số tất cả các hình có chu vi nhất định (loại hình không trùng với diện tích bị giới hạn bởi diện tích lớn nhất là hình tròn có *).

Sản xuất bài toán

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các dạng tương tự mở rộng của các mệnh đề 1-3; trong đó, hình bình hành được thay thế bằng hình bình hành, hình tam giác được thay thế bằng hình tứ diện (cặp tam giác) và diện tích bằng thể tích.

Bài tập 1. Trong số tất cả các hình song song có tổng độ dài các cạnh cho trước, hãy tìm hình song song có thể tích lớn nhất.

Bài tập 2. Trong số tất cả các hình song song có tổng độ dài các cạnh và độ dài một đường chéo cho trước thì diện tích có thể tích lớn nhất.

Trước khi phát biểu lại bài toán 2 để có được sự tương tự của Mệnh đề 2’, chúng ta hãy giới thiệu một số định nghĩa.

Một đường đứt đoạn khép kín gồm bốn mắt xích có các đỉnh không nằm trong cùng một mặt phẳng được gọi là tứ giác không gian. Về một tứ diện có các đỉnh trùng với các đỉnh của một tứ giác không gian, chúng ta sẽ nói rằng nó được đặt theo tên của tứ giác này (Hình 1).

Dễ dàng thấy rằng thể tích của một tứ diện được bao bọc bởi không gian

*) Người đọc sẽ tìm thấy một bằng chứng tao nhã cho nhận định này, không sử dụng đoạn văn đến giới hạn, trong cuốn sách: G. Rademacher và O. Toeplitz. Những con số và hình vẽ, M., Fizmatgiz, 1962.

23

Một hình tứ giác có các cạnh là đường chéo của hình bình hành và ba cạnh liên tiếp của nó (Hình 2), tạo thành một phần sáu thể tích của hình bình hành. Do đó, bài toán2 bao gồm bài toán tiếp theo:

Nhiệm vụ 2’. Trong số tất cả các tứ giác không gian có chu vi cho trước là 2p và độ dài một cạnh h, hãy thấy rằng chúng ta cần khối tứ diện có thể tích lớn nhất.

Sau lời giải, bài toán này có thể được giải quyết dễ dàng.

Nhiệm vụ 3. Trong số tất cả các tứ giác không gian có chu vi 2p cho trước, hãy tìm thể tích tối đa mà chúng ta cần cho một khối trung diện.

Lời giải bài toán

Lời giải bài toán 1

Vì trong số các hình bình hành có chiều dài cố định, hình bình hành hình chữ nhật có diện tích cạnh lớn nhất và trong số các hình bình hành có chiều dài cạnh cố định, hình bình hành hình chữ nhật có thể tích lớn nhất, nên đối với lời giải bài toán 1, chỉ cần xem xét hình bình hành hình chữ nhật là đủ.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Nếu độ dài các cạnh của một hình bình hành phải được biểu thị bằng $a_1, a_2, a_3$, thì bất đẳng thức nổi tiếng giữa trung bình số học và trung bình hình học

$$\sqrt[3]{a_1 a_2 a_3} \leq \frac{1}{3} (a_1 + a_2 + a_3)$$

(trong đó dấu bằng chỉ xuất hiện trong trường hợp $a_1 = a_2 = a_3$) dẫn đến kết quả sau:

Định lý 1. Trong số tất cả các hình bình hành có tổng độ dài các cạnh cho trước, hình lập phương có thể tích lớn nhất.

Lời giải bài toán 2'

Hãy bắt đầu nhìn vào bài toán 2’. Với her lời giải mệnh đề phụ sau đây sẽ được sử dụng.

Gọi P là mặt phẳng vuông góc với cạnh AB của tứ giác không gian ABCD (Hình 3). Chiếu ABCD lên P, ta được tam giác BEF.

Bổ đề 1. Thể tích V của khối tứ diện ta cần trên ABCD được tính theo công thức

$$V = \frac{1}{3} h S,$$

(1)

thức ăn $h - \text{dлина стороны } AB, S - \text{ площадь треугольника } BEF$.

Để chứng minh điều này, chỉ cần lưu ý rằng các terzer ABCD và ABEF có kích thước bằng nhau, vì mỗi terzer đều có kích thước bằng với terzer ABCF.

Công thức (1) ngay lập tức gợi ý đặt lời giải bài toán 2’: bạn cần độ dài và vị trí của cạnh BC, CD và

24

Cơm. 4.
AD (Hình 3) nên chọn sao cho diện tích của tam giác BEF rộng nhất có thể.

Để đạt được điều này, trước tiên chúng tôi đảm bảo rằng chu vi của nó càng rộng càng tốt. Chúng ta hãy khai triển các mặt ABFD, FDCE, CEB lên mặt phẳng, chiếu tứ giác ABCD lên mặt phẳng P. Trong hệ kết quả là hình phẳng (Hình 4), độ dài cạnh $B_1B_2$ bằng chu vi của tam giác BFE, do đó rõ ràng chu vi này sẽ rộng nhất trong trường hợp các đoạn AD, DC, CB tạo thành một góc $\alpha = \arccos \frac{h}{2p-h}$ tính từ cạnh AB (Hình 5). Do đó, có thể thu được một tứ giác không gian tính từ cạnh $AB = h$ và chu vi $2p$, trong đó tam giác BEF có chu vi rộng nhất, nhờ vào cấu trúc sau: một hình chữ nhật tính từ cạnh $AB_1 = h$ và đường chéo $AB_2 = 2p - h$ được gấp thành lăng trụ tam giác sao cho các điểm $B_1$ và $B_2$ trùng nhau, và cạnh bên của nó là đoạn thẳng $AB_1$. Trong trường hợp này, đường thẳng $B_1ADCB_2$ trở thành tứ giác không gian ban đầu.

Lời giải bài toán 3

Hãy tính thể tích lớn nhất được thảo luận trong Định lý 2. Từ Hình 5, chúng ta thấy rằng chu vi của tam giác BFE bằng $\sqrt{(2p-h)^2-h^2} = 2\sqrt{p(p-h)}$, nghĩa là diện tích lớn nhất của nó là $\left[\frac{2\sqrt{p(p-h)}}{3}\right]^2 = \frac{p(p-h)}{3\sqrt{3}}$;

cuối cùng, diện tích tối đa của tứ diện hình thành, theo công thức (1), bằng

$$V = \frac{1}{3}h \frac{p(p-h)}{3\sqrt{3}} = \frac{p}{9\sqrt{3}}h(p-h).$$

Bây giờ bài toán 3 có thể được giải dễ dàng. Nó khác với bài toán 2’ ở chỗ nó chỉ định chu vi mol của hình tứ giác.

25

Rõ ràng, đối với lời giải của nó, chỉ cần đặt ở bài toán trước đó một giá trị $h$ mà tại đó phần bên phải của công thức (2) có giá trị lớn nhất. Giá trị $h$ này được tìm thấy bằng cách sử dụng bất đẳng thức giữa giá trị trung bình đối số và giá trị trung bình hình học:

$$h(p-h) \leq \left[ \frac{h+(p-h)}{2} \right]^2 = \frac{p^2}{4};$$

nó bằng $\frac{p}{2}$, vì $h = p - h$ chính xác là ở $h = \frac{p}{2}$. Điều này ngụ ý lời giải bài toán 3:

Định lý 3. Trung bình cộng của các khối tứ diện định hướng trên không gian của các tứ giác có chu vi cho trước, thể tích lớn nhất là khối tứ giác hướng trên một tứ giác có các cạnh bằng nhau và các góc tạo bởi một cặp cạnh nào cũng bằng nhau.

Thật vậy, nếu $h = \frac{p}{2}$, thì độ dài của ba cạnh còn lại là $\frac{2p-h}{3} = \frac{p}{2}$; sự bằng nhau của các góc có thể thu được trực tiếp bằng cách tính toán (vì $h = \frac{p}{2}$, nên tất cả các góc đều bằng arccos$^1/3$), nhưng dễ dàng nhận thấy rằng trong tứ giác đang xét, tất cả các cạnh đều bằng nhau.

Bằng những phương pháp vượt xa toán học sơ cấp, có thể chứng minh rằng một song song cho lời giải bài toán 2 cũng cho lời giải cho bài toán tiếp theo: trong cùng điều kiện, hãy tìm song song có tổng bề mặt cho trước lớn nhất.

Một số khái quát

Công thức (1) có thể được khái quát hóa cho các vật thể có hình dạng phức tạp hơn tứ diện và cho phép chúng ta giải các vật thể đó bài toán, tương tự như bài toán 2 và 3, theo cách tương tự: giảm đẳng tích không gian bài toán thành đẳng tích phẳng bài toán.

Cho một số đường gãy không gian $n$ chiều $A_0 A_1 \dots A_n$. Chúng ta sẽ nói rằng đó là một hệ quy chiếu đơn nếu toàn bộ mặt phẳng đi qua hai đầu $A_0$ và $A_n$ của nó có nhiều nhất một điểm chung với đường đứt nét $A_1 A_2 \dots A_{n-1}$.

Về một khối đa diện có các mặt là hình tam giác $A_0 A_1 A_2$, $A_0 A_2 A_3$, …, $A_0 A_{n-1} A_n$ và các hình tam giác $A_n A_0 A_1$, $A_n A_1 A_2$, …, $A_n A_{n-2} A_{n-1}$, chúng ta sẽ nói rằng nó được gắn vào một khung đơn giản nhất định (Hình 6) (các mặt được chỉ định tạo thành “cấu trúc chung” của nó).

Vì một khối đa diện được bao bọc bởi một khung đơn giản có thể bao gồm các tứ diện $A_0 A_1 A_2 A_n$, $A_0 A_2 A_3 A_n$, …, $A_0 A_{n-2} A_{n-1} A_n$, với mỗi khối đó áp dụng Bổ đề 1, thì điều đó đúng.

Bổ đề 2. Thể tích $V$ của khối đa diện gắn vào hệ quy chiếu đơn được tính theo công thức

$$V = \frac{1}{3} h S,$$

food $h$ là khoảng cách giữa hai đầu $A_0$ và $A_n$, $S$ là diện tích của đa giác $A_0 A_1^2 \dots A_{n-1}^2 A_n$ ($A_n^2 = A_0^2$), là hình chiếu của khung lên mặt phẳng P, vuông góc với đường thẳng $A_0 A_n$.

Sử dụng ví dụ tương tự như trong chứng minh Định lý 2, người đọc có thể dễ dàng chứng minh, dựa trên lời giải đẳng giác bài toán cho $n$-giác, định lý sau:

Định lý 4. Khối đa diện trung bình, gọi các khung $n$-gân đơn giản $A_0 A_1 \dots A_n$ với khoảng cách cho trước $h$ giữa hai đầu, cái lớn nhất là một đa giác, gọi là khung, nằm trên các mặt bên của lăng kính n-y bên phải, trong đó đoạn $A_0 A_n$ đóng vai trò là một cạnh, và đáy là argmeter $\sqrt{L^2 - h^2}$; trong trường hợp này, các cạnh của khung tạo thành các góc bằng nhau $\alpha = \arccos \frac{h}{L}$ với $A_0 A_n$.

26

Do đó, âm lượng tối đa bằng
$$\frac{1}{12} h (L^2 - h^2) \frac{1}{n} \text{ctg} \frac{\pi}{n}.$$
Nếu chúng ta không cố định khoảng cách giữa các đầu của khung thì điều đó ngay lập tức tuân theo Định lý 4.

Định lý 5. Trong số tất cả các khối đa diện chúng ta cần cho các khung liên kết n đơn giản có độ dài L cho trước, khối lượng lớn nhất chúng ta có là khối đa diện chúng ta cần cho khung, nằm trên các mặt bên của lăng kính liên kết n bên phải có chiều cao $\frac{L}{\sqrt{3}}$ và chu vi đáy $L \sqrt{\frac{2}{3}}$, và các cạnh của khung có dạng lăng kính có chiều cao lăng kính bằng α = $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$. Đây là khối lượng lớn nhất bằng
$$\frac{1}{18 \sqrt{3}} L^3 \cdot \frac{1}{n} \text{ctg} \frac{\pi}{n}.$$

Được biết, trong số n-giác có độ dài các cạnh cho trước, hình có diện tích lớn nhất là hình có thể nội tiếp được trong một đường tròn. Sử dụng thực tế này, người đọc sẽ có thể chứng minh rằng trong số tất cả các khối đa diện, chúng ta cần các khung liên kết n đơn giản với độ dài các liên kết cho trước $a_1, a_2, \dots, a_n$ và khoảng cách h giữa các đầu, khối lớn nhất có khối đa diện, chúng ta cần một khung nằm trên các mặt bên của lăng kính có chiều cao h, các cạnh của đáy $b_k = a_k \frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{L} (k=1, 2, \dots, n)$, trong đó $L = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, và đáy của lăng kính có thể nội tiếp trong một vòng tròn.

Bây giờ chúng ta hãy từ bỏ yêu cầu rằng khung nhất thiết phải bao gồm các đoạn thẳng: chúng ta sẽ xem xét các đường cong không gian “trơn tru”. Một đường cong được gọi là trơn nếu một tiếp tuyến có thể được vẽ tại mỗi điểm của nó và hướng của tiếp tuyến thay đổi “một cách đều đặn” khi có những thay đổi nhỏ ở vị trí của điểm tiếp tuyến. Do đó, chúng tôi không xem xét các đường cong có “điểm gấp khúc”, mặc dù phải trả giá bằng việc trình bày hơi phức tạp nhưng vẫn có thể mở rộng kết quả cho những đường cong như vậy. Đường cong không gian trơn AB được gọi là hệ quy chiếu trơn đơn nếu mọi mặt phẳng đi qua hai đầu A và B có nhiều nhất một điểm chung với nó.

Cho điểm M di chuyển dọc theo một khung đơn giản. Khi đó các đoạn AM và BM sẽ lược bỏ một số bề mặt nhất định tạo nên “lớp da” của khung; Về một vật thể bị giới hạn bởi “lớp da”, chúng ta sẽ tiếp tục nói rằng nó bị kéo căng trên khung (Hình 7).

Sử dụng đoạn văn đến giới hạn, có thể chứng minh rằng thể tích của một vật trải dài trên một khung đơn giản nhẵn cũng được tính

Cơm. 7.

được tính theo công thức (1), trong đó S lúc này biểu thị diện tích của hình được giới hạn bởi hình chiếu của khung lên mặt phẳng Π. Bản chất của việc chuyển sang giới hạn rất rõ ràng về mặt trực giác: cần phải thay thế khung trơn “gần” với nó bằng khung bị hỏng; tuy nhiên, việc thực hiện các phép tính chính xác là một vấn đề khá thận trọng.

Sử dụng tính chất đẳng tích của đường tròn, như trên, chúng ta có thể xác minh tính đúng đắn của định lý sau:

Định lý 6. Trong số tất cả các loại phấn, chúng ta cần các khung trơn đơn giản có chiều dài L cho trước và khoảng cách h cho trước giữa các đầu, thể tích lớn nhất mà chúng ta có, chúng ta cần một khung, là một chuỗi xoắn có bước h, nằm trên một bề mặt hình trụ tròn có bán kính đáy $\frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{2\pi}$ (Hình 7).

Định lý 7. Trong số tất cả các loại phấn, chúng ta cần các khung trơn đơn giản có chiều dài L cho trước, thể tích lớn nhất mà chúng ta có, chúng ta cần một khung, là một cuộn dây xoắn có bước h = $\frac{L}{\sqrt{3}}$, nằm trên một mặt hình trụ tròn có bán kính đáy $\frac{\sqrt{L^2 - h^2}}{2\pi}$.

27

Số $C_n^k$, đa thức, dãy
(nhiều cách tiếp cận một bài toán)
V. N. Vagumen

Chúng ta hãy nhớ lại một bài toán từ “Bài toán «Kvant», lời giải cơ bản được viết bằng «Kvant» Số 12 cho năm 1972.

M138. Chứng minh rằng nếu $m$ và $n$ là số hạng của số $1 < m < n$ thì

$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^m C_k^k = 0,$$

$C_k^k$ của nó là các hệ số sinh học.

Những cách chứng minh khác nhau về những điểm này sẽ là cơ hội tốt để chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một số khái niệm và sự kiện toán học quan trọng chưa có trong chương trình học ở trường (vi phân hữu hạn, công thức nội suy cho đa thức, đa thức tùy ý, chuỗi lũy thừa của số mũ). Theo các định nghĩa và lý thuyết trong mỗi đoạn văn, người đọc sẽ bắt gặp dòng chữ “bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán của mình”, theo sau là một lời giải bài toán M138 mới.

Việc chứng minh các định lý có thể được bỏ qua, nhưng tốt hơn là nên phân tích chúng, mặc dù điều này không dễ thực hiện vì chúng được viết rất ngắn gọn.

Giới thiệu. Hệ số sinh học và công thức bài toán

Chúng tôi liệt kê một số thuộc tính của số $C_n^k$. Mỗi thuộc tính 0,1-0,3 có thể được lấy để xác định những con số này.

0,1. $C_n^k$ — hệ số đa thức

$$(a + x)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} x + \dots + C_n^k a^{n-k} x^k + \dots + C_n^n x^n.$$

0,2. $C_n^0 = 1; C_n^n = 1$; cho mỗi $k = 1,2, \dots, n - 1$

$$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k.$$

0,3. Đối với tất cả $n$ và $k$ ($0 \leqslant k \leqslant n$)

$$C_n^k = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k},$$ hoặc $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!},$

ở đâu $m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots m; \quad 0! = 1! = 1$.

Bài tập 0. a) Tìm các số $C_n^k$ cho mọi $n$ từ 1 đến 10, sử dụng từng định nghĩa 0,1, 0,2, 0,3. b) In 0,2 từ 0,1, sử dụng tokdev $(a + x)^n = (a + x)^{n-1}(a + x)$. b) Rút ra 0,3 từ 0,2, sử dụng quy nạp toán học

28

tsini (nghĩa là kiểm tra xem nếu công thức (3) đúng với $n-1$ thì nó cũng đúng với $n$).
d) Kiểm tra xem $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Đa thức $a + x$ đôi khi được gọi là “nhị thức” (bin giống như double), công thức (1) là công thức của “nhị thức Newton” và các số $C_n^k$ là “hệ số nhị thức”.

Chúng ta đặt $a$ bằng 1 trong đẳng thức (1). Chúng tôi có được

$$(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + \dots + C_n^k x^k + \dots + C_n^n x^n.$$

Thay $x = -1$ vào đây, ta được

$$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^k C_n^k + \dots + (-1)^n C_n^n = 0.$$

Hóa ra, ngoài sự tương ứng (5), các đẳng thức sau đây cũng đúng với các số $C_n^k$:

$$- C_n^1 + 2 C_n^2 - 3 C_n^3 + \dots + (-1)^n n C_n^n = 0,$$
$$- C_n^1 + 2^2 C_n^2 - 3^2 C_n^3 + \dots + (-1)^n n^2 C_n^n = 0,$$
$$- C_n^1 + 2^{n-1} C_n^2 - 3^{n-1} C_n^3 + \dots + (-1)^n n^{n-1} C_n^n = 0.$$

Chính những đẳng thức này cần được chứng minh trong bài toán M138; chúng sẽ được thảo luận ở cuối mỗi đoạn văn.

Trong tương lai, chúng tôi sẽ thường sử dụng ký hiệu ngắn về số lượng bằng biểu tượng $\Sigma$. Ví dụ, công thức (1) có thể được viết ngắn gọn như sau:

$$(a + x)^n = \sum_{k=0}^{k=n} C_n^k a^{n-k} x^k,$$
công thức (4) $-(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{k=n} C_n^k x^k,$
đẳng thức (5) $-\sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k C_n^k = 0$ và cuối cùng là đẳng thức (6), cần được chứng minh trong bài toán M138 -

$$\sum_{k=1}^{k=n} (-1)^k k^m C_n^k = 0$$

cho mọi $m < n$ tự nhiên.

§ 1. Dãy số và sai phân hữu hạn

Cho tập hợp các số nguyên không âm 0, 1, 2, 3… có hàm $f$. Điều này có nghĩa là trình tự được đưa ra

$$f(0), f(1), f(2), f(3), \dots$$

Tất nhiên, nếu từ mỗi thành viên của chuỗi $f$, ngoại trừ thành viên đầu tiên, chúng ta trừ đi thành viên trước của chuỗi, thì chúng ta thu được một chuỗi mới - một chuỗi khác biệt

$$f(1) - f(0), f(2) - f(1), f(3) - f(2), \dots$$

Chúng ta hãy biểu thị hàm tương ứng bằng $\Delta f$: $\Delta f(0) = f(1) - f(0);$
$\Delta f(1) = f(2) - f(1);$ $\Delta f(2) = f(3) - f(2) \dots$

Nếu chúng ta thực hiện thao tác tương tự - chuyển đổi từ $f$ sang $\Delta f$ - với chuỗi $\Delta f$, thì chúng ta sẽ có được chuỗi

$$f(2) - 2f(1) + f(0), f(3) - 2f(2) + f(1), \dots$$

Hãy biểu thị nó bằng $\Delta^2 f$.

29

Chuỗi này được gọi là chuỗi sai phân thứ hai của $f$. Hãy làm rõ lại một lần nữa, chúng ta nhận được chuỗi khác biệt thứ ba - $\Delta^3 f$:

$$f(3) - 3f(2) + 3f(1) - f(0), f(4) - 3f(3) + 3f(2) - f(1), \dots$$

và vân vân.

Như vậy, theo định nghĩa

$$\Delta^{n+1}f(x) = \Delta^n f(x + 1) - \Delta^n f(x).$$

(7)

(Hãy nhớ rằng đối số $x$ của các hàm $f$, $\Delta f$, $\Delta^2 f$, … nhận các giá trị nguyên không âm: $x = 0, 1, 2, \dots$).

Ví dụ đầu tiên, hãy xem xét hàm hằng $f$:

$$f(0) = f(1) = f(2) = \dots = a.$$

Đối với nó, chuỗi khác biệt $\Delta f$ rõ ràng sẽ chỉ bao gồm các số 0. Hãy viết ngắn gọn như thế này: $\Delta f \equiv 0$ (với tất cả $x$).

Đương nhiên, các chuỗi $\Delta^2 f$, …, $\Delta^n f$ cũng sẽ chỉ bao gồm các số 0, tức là $\Delta^n f \equiv 0$.

Nếu $f$ là hàm tuyến tính: $f(x) = ax + b$, tức là nếu dãy được biểu thị bằng cấp số cộng $b, a + b, 2a + b, 3a + b, \dots$, thì tất cả các số hạng của dãy $\Delta f$ sẽ bằng cùng một số $a$. Do đó $\Delta^2 f \equiv 0$.

Nếu $f$ là tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ thì $\Delta f$ là hàm tuyến tính (từ số $x$):

$$\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c - ax^2 - bx - c = 2ax + b.$$

Khi đó $\Delta^2 f$ là hàm hằng: $\Delta^2 f = 2a$. Do đó $\Delta^3 f = 0$ và tất nhiên là $\Delta^n f = 0$ cho tất cả $n > 2$.

Chúng tôi không có quyền 1. a) Đặt $f(x) = x^3$. Tìm $\Delta f$, $\Delta^2 f$, $\Delta^3 f$, … 6) Câu hỏi tương tự nếu $f(x) = 2^x$.

Những quan sát của chúng tôi được tóm tắt trong hai định lý sau đây.

1.1. Số $\Delta^n f(x)$ được biểu thị thông qua giá trị của hàm $f$ theo công thức

$$\Delta^n f(x) = C_n^0 f(x + n) - C_n^1 f(x + n - 1) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x) =$$

$$= \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k C_n^k f(x + n - k).$$

1.2. Nếu $f(x)$ là đa thức bậc $m < n$ thì $\Delta^n f = 0$.

Cả hai mệnh đề 1.1 và 1.2 đều có thể được chứng minh bằng quy nạp trên $n$. Đối với $n = 1, 2, 3$ chúng tôi đã kiểm tra chúng. Giả sử chúng đúng với $n$, chúng ta chứng minh chúng cho $n+1$.

1.1. Sử dụng (7), (8) và (2), chúng tôi thu được

$$\Delta^{n+1}f(x) = \Delta^n f(x + 1) - \Delta^n f(x) =$$

$$= C_n^0 f(x + n + 1) - C_n^1 f(x + n) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x) - C_n^0 f(x + n) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x) =$$

$$= C_n^0 f(x + n + 1) - C_n^1 f(x + n) + \dots + (-1)^n C_n^n f(x + n) + (-1)^n \times C_n^n f(x).$$

1.2. Hãy để $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_j x^j + \dots + a_m x^m$. Đẳng thức $m$ của chúng ta (chúng tuân theo (4))

$$(x + 1)^j - x^j = C_j^1 x^{j-1} + C_j^2 x^{j-2} + \dots + C_j^{j-1} x + 1$$

(ở đây $j = 1, 2, \dots, m$). Chúng ta hãy nhân chúng tương ứng với các hệ số $a_j$ và cộng chúng lại. Chúng ta nhận được: ở bên trái $\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)$, ở bên phải - một đa thức nhất định ở $g(x)$ bậc không cao hơn $m - 1$. Nếu $m < n$ thì $m - 1 < n - 1$ và theo giả thuyết quy nạp $\Delta^{n-1}g = 0$. Vì vậy, $\Delta^n f = \Delta^{n-1} (\Delta f) = \Delta^n g = 0$.

30

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán của chúng ta.

Đẳng thức (6’), theo 1.1. Tôi biết chính xác rằng $\Delta^n f(0) = 0$ dành cho hàm $f(x) = x^m$ và điều này diễn ra trực tiếp từ Tuyên bố 1.2.

Bài toán 1. Đặt $f(x) = a + a_1x + \dots + a_nx^n$. Tìm $\Delta^n f$. Sử dụng kết quả này hãy tính tổng

$$\sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k k^n C_n^k.$$

Bài toán 2. Chứng minh rằng tồn tại $\Delta^{n+1} f(x) = 0$ với mọi $x$ thì $f(x)$ là đa thức bậc nhiều nhất $n$.

Bài toán 3. Tìm tất cả các chuỗi $f$ trong đó $\Delta f(x) = \lambda f(x)$, trong đó $\lambda$ là một số nào đó.

§ 2. Đa thức và công thức nội suy

Biết rằng qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Nói cách khác, nếu cho hai cặp số $(\alpha_0, \beta_0), (\alpha_1, \beta_1)$ và $\alpha_0 \neq \alpha_1$, thì sẽ tồn tại một đa thức bậc duy nhất không cao hơn đa thức bậc $P(x) = ax + b$ đầu tiên sao cho $P(\alpha_0) = \beta_0$ và $P(\alpha_1) = \beta_1$.

Thực tế này được tóm tắt như sau.

Cho $n + 1$ các số khác nhau $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ và $n + 1$ các số $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$. Khi đó các khẳng định sau đây là đúng.

2.1. Tồn tại một đa thức $P$ bậc không lớn hơn $n$ sao cho

$$P(\alpha_i) = \beta_i \quad (\text{для всех } i = 0,1,\dots,n).$$

2.2. Đa thức $P$ được xác định duy nhất.

Để chứng minh 2.1, chỉ cần tưởng tượng một đa thức như vậy là đủ. Để làm điều này, trước tiên hãy xem xét các đa thức

$$D_k(x) = \frac{(x - \alpha_0)(x - \alpha_1)\dots(x - \alpha_{k-1})(x - \alpha_{k+1})\dots(x - \alpha_n)}{(\alpha_k - \alpha_0)(\alpha_k - \alpha_1)\dots(\alpha_k - \alpha_{k-1})(\alpha_k - \alpha_{k+1})\dots(\alpha_k - \alpha_n)}$$

(vào tử số và mẫu số của đa thức $n$). Rõ ràng là vậy

$$D_k(\alpha_i) = \begin{cases} 1, \text{ если } i = k; \\ 0, \text{ если } i \neq k. \end{cases}$$

Bây giờ chúng ta hãy nhân $D_k(x)$ với số $\beta_k$ và cộng tất cả các đa thức này. Để có được một đa thức

$$P(x) = \sum_{k=0}^{k=n} \beta_k D_k(x)$$

mọi đẳng thức (9) đều được thỏa mãn.

Để chứng minh 2.2, ta cần hai định lý quan trọng về nghiệm của đa thức.

2.3. Nếu một đa thức

$$f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$$

độ không cao hơn $n + 1$ của các nghiệm khác nhau thì đa thức này bằng 0, tức là $a_0 = a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$.

2.4. (“Định lý Bezout.”) Nếu $\alpha$ là nghiệm của đa thức $f(x)$, thì đa thức $f(x)$ chia hết cho $x - \alpha$, tức là

$$f(x) = (x - \alpha)g(x),$$

thực phẩm $g(x)$ là một đa thức nhất định.

31

Chứng minh 2.4. Hãy viết $n$ điểm $(x^j - \alpha^j) = (x - \alpha)(x^{j-1} + x^{j-2}\alpha + \ldots + \alpha^{j-2}x + \alpha^{j-1})$, $(j=1, 2, \ldots, n)$, nhân chúng tương ứng với các hệ số $a_j$ rồi cộng tất cả các điểm này lại. Chúng ta thu được một công thức hợp lệ cho mọi đa thức (12) và mọi số $\alpha$:

$$f(x) - f(\alpha) = (x - \alpha)g(x),$$

trong đó $g(x)$ là một đa thức nào đó. Cụ thể, nếu $f(\alpha)=0$, chúng ta thu được (13).

Chứng minh 2.3. Chúng ta hãy tiến hành quy nạp trên $n$. Vì $n=1$ Mệnh đề 2.3 là hiển nhiên. Hãy chứng minh rằng nếu nó đúng với $n-1$ thì nó cũng đúng với $n$. Đặt $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ là nghiệm của đa thức (12). Khi đó, theo 2.4:

$$f(x) = (x - \alpha_n)g(x),$$

hơn nữa, đa thức $g(x)$ có bậc nhiều nhất là $n-1$ và có $n$ nghiệm khác nhau $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$. Theo giả thuyết quy nạp, $g(x)$ bằng 0; từ (14) suy ra $f(x)$ cũng bằng 0.

Chứng minh 2.2. Giả sử $p_1$ và $p_2$ là hai đa thức, với mỗi đẳng thức (9) đều đúng. Khi đó hiệu của chúng thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3 (đa thức $f(x) = p_1(x) - p_2(x)$) bậc không cao hơn $n+1$ căn $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ và do đó bằng 0, tức là $p_1(x) = p_2(x)$.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng qua $n+1$ điểm $(\alpha_0, \beta_0), (\alpha_1, \beta_1), \ldots, (\alpha_n, \beta_n)$ chúng ta có thể chứng minh được một đường cong duy nhất có dạng

$$y = f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n,$$

và thậm chí còn cung cấp một công thức cho phép bạn viết ngay đa thức cần thiết. Công thức (11) này được gọi là công thức tích phân Laerang.

Bài tập 2. a) Tìm một tam giác vuông biết tại các điểm 2, 3, 5 có các giá trị tương ứng là 7, 11, 13. 6) Tìm một đa thức bậc không lớn hơn 4, đồ thị của tam giác đó đi qua các điểm $(-2, -7), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 9)$.

Hãy quay trở lại bài toán của chúng tôi. Chúng ta hãy xây dựng một đa thức bậc nhiều nhất là $n$, mà tại các điểm $\alpha_k = k(k=0, 1, 2, \ldots, n)$ thuộc giá trị của $\beta_k = k^m$ tương ứng. Từ công thức (11), suy ra đa thức này bằng $\sum_{k=0}^{k=n} k^mD_k(x)$, trong đó

$$D_k(x) = \frac{x(x-1)\ldots(x-k+1)(x-k-1)\ldots(x-n)}{k(k-1)\ldots1(-1)(-2)\ldots(k-n)}.$$

Rõ ràng hệ số $x^n$ của đa thức (15) bằng

$$\frac{1}{k(k-1)\ldots1(-1)(-2)\ldots(k-n)} = (-1)^{k-n} \frac{1}{k!(n-k)!} = \frac{(-1)^n}{n!} (-1)^k C_n^k,$$

Về cơ bản hệ số $x^n$ của đa thức $P(x)$ bằng

$$(1/n!) (-1)^n \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k k^m C_n^k.$$

Mặt khác, rõ ràng đa thức $P(x)$ đơn giản là $x^m$, bởi vì $m < n$. Do đó, hệ số của $x^n$ $P(x)$ bằng 0.

Bài 4. Chứng minh tập hợp số $y_0, y_1, \ldots, y_n$ thỏa mãn điều kiện: “với mọi đa thức $f(x)$ bậc không lớn hơn $n-1$ đẳng thức

$$\sum_{k=0}^{k=n} f(k)y_k = 0»,$$

khi và chỉ khi $y_k = t(-1)^k C_n^k$, trong đó $t$ là một số nào đó.