Kvant 1973, số 7 · Trang

QUANTUM
1973
7
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Những bức ảnh bạn nhìn thấy ở trang đầu tiên và trang thứ hai là minh họa cho bài báo “Sức căng bề mặt” của L. G. Aslamazov. Mỗi sự sắp xếp hỗn loạn của các màng trong bọt xà phòng trên thực tế đều có trật tự chặt chẽ và trật tự này được “quyết định” bởi năng lượng bề mặt.
Con bọ nước lướt đi trong nước. Tại sao anh ấy lại di chuyển? Nó bị ảnh hưởng bởi sức căng bề mặt của nước. Bạn sẽ tìm hiểu thêm về các hiện tượng khác nhau trong đó sức căng bề mặt đóng vai trò chính khi đọc bài viết của L. G. Aslamazov.

1

TRONG PHÒNG:

2. S. G. Gindikin. Có bao nhiêu thao tác tập hợp?
3. L. G. Aslamazov. Bề ngoài bề ngoài

vòng tròn toán học
21. A. L. Toom. Lời giải bài toán kiểm soát giới thiệu công việc của VZMSH năm 1973

Vấn đề «Kvant»
24. Bài toán M211—M215; F223—F227
26. Lời giải bài toán M171—M173; F188—F192

Xưởng của người nộp đơn
30. V. E. Belonuchkin, S. M. Kozel. Định luật bảo toàn năng lượng
35. I. A. Stolyarov. Sự chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường
42. V. I. Davydov, I. A. Dyykovov, P. T. Dybov, I. I. Naslurov. Các khóa học vật lý và toán học truyền hình dành cho ứng viên đại học

Kỳ thi tuyển sinh đại học.
44. V. M. Kamyshina. Viện năng lượng Moscow
45. A. N. Rublev, V. A. Tonyan. Viện kỹ thuật điện tử Moscow
48. V. V. Goldbere, L. G. Dymbtskaya. Viện thép và hợp kim Moscow
49. V. I. Malakhov. Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow
51. E. A. Golubov. Đại học bang Ural được đặt theo tên của A. M. Gorky
53. E. V. Veremennikova, V. I. Krupich. Học viện sư phạm quốc gia Mátxcơva mang tên V. I. Lênin

«Kvant» cho học sinh nhỏ
56. Bài toán
57. T. S. Petrova. Lửa trong một cái sàng

Đáp số, gợi ý, lời giải
Góc sưu tầm (trang bìa thứ 3)
V. A. Letskovtsev. Những con tem có hình vệ tinh liên lạc Molniya.
Hỗn hợp (cmr 43, 55)

2

S. G. Gindikin
Có bao nhiêu thao tác tập hợp?

Các bộ có thể không chỉ bao gồm các con số mà còn có thể bao gồm con người, ô tô, động vật, thực vật, v.v. Trong cuộc sống, các bộ thường được gọi bằng những tên khác nhau. Vì vậy, ví dụ, không phải nói nhiều con bò mà là một trăm con bò, không phải nhiều con ngựa mà là một đàn ngựa, không phải nhiều công cụ mà là một bộ công cụ, v.v.

Những từ này được lấy từ sách giáo khoa toán lớp 4. Bạn có thể biết rằng bạn có thể thực hiện các phép toán hợp và giao trên các tập hợp, đôi khi được gọi là phép cộng và phép nhân của một tập hợp. Bạn đã bao giờ nghe nói về bất kỳ hoạt động thiết lập nào khác chưa? Có thể bạn biết sự khác biệt của một tập hợp hoặc sự khác biệt đối xứng của chúng là gì? Có bao nhiêu phép toán trên tập hợp? Số lượng của chúng là hữu hạn hay vô hạn? Để trả lời những câu hỏi này, trước hết chúng ta cần hiểu thế nào là phép toán trên tập hợp? Chúng tôi đưa ra định nghĩa chung về các hoạt động như vậy và nói về một số tính chất thú vị của chúng. Những nội dung khó hơn sẽ được trao đổi trong bài viết, gõ chữ nhỏ (phần này có thể bỏ qua khi đọc lần đầu).

1. Liên minh và ngã tư
   Hãy nhớ rằng hợp $A \cup B$ của tập hợp $A, B$ bao gồm các phần tử có trong ít nhất một trong các tập hợp $A, B$ và phần giao $A \cap B$ bao gồm các phần tử có trong cả hai tập hợp này. Sự hình thành của sự thống nhất và giao nhau hoặc được xây dựng trong Hình 1, trong đó các “vòng tròn” tượng trưng cho các tập hợp mà thao tác sẽ được thực hiện và vùng bóng mờ tương ứng với tập hợp thu được do thao tác. Đáng chú ý là các tập hợp có thể có tính chất đa dạng nhất nhưng những sơ đồ này rất thuận tiện cho việc nghiên cứu các thao tác trên chúng.

Cả hai hoạt động đang được xem xét đều có hai thuộc tính sau:
$A \cup B = B \cup A; \ A \cap B = B \cap A$ (giao hoán),
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C;$
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ (tính kết hợp).

Tính giao hoán phụ thuộc rất nhiều vào các định nghĩa (xem Hình 1). Hình 2 sẽ giúp bạn chứng minh tính kết hợp. Vị trí của dấu ngoặc đơn quyết định thứ tự thực hiện các thao tác. Hình vẽ gợi ý rằng bất kỳ thứ tự nào ở trên mà các hoạt động gỡ lỗi được thực hiện, kết quả sẽ là một tập hợp bao gồm

3

Các phần tử có trong ít nhất một trong các bộ của chúng tôi. Tương tự, trong trường hợp giao nhau, một tập hợp thu được bao gồm các phần tử có trong mỗi tập hợp của chúng ta. Chúng tôi khuyên người đọc nên suy luận cẩn thận và chúng tôi không loại trừ rằng sẽ không quá dễ dàng để chuyển thành từ những gì rất / không từ các bức vẽ.

Ví dụ: tính kết hợp cho phép, trong trường hợp hợp nhất khi thực hiện một thao tác trên các tập hợp $A_1, \dots, A_n$ nhiều lần, không cố định thứ tự thực hiện các phép toán bằng dấu ngoặc đơn và chỉ nói đơn giản về hợp nhất $n$ của tập hợp $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$; bộ này bao gồm các phần tử chứa $A_1, \dots, A_n$ trong ít nhất một trong bộ. Luật giao hoán cho thấy thứ tự $A_1, A_2, \dots, A_n$ có thể thay đổi theo ý muốn.

Trong trường hợp số, phép cộng và phép nhân được kết nối với nhau bằng mối quan hệ sau: $a (b + c) = ab + ac$ (phân phối của phép nhân so với phép cộng). Mối quan hệ này cho phép bạn trừ hệ số chung ra khỏi ngoặc và mở ngoặc. Đối với một tập hợp các mối quan hệ như vậy có hai:

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C);$$
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$

Hình 3 thể hiện các sơ đồ minh họa các mối quan hệ này. Ví dụ, để chứng minh tập đầu tiên trong số đó, chỉ cần lưu ý rằng tập hợp đứng ở cả bên phải và bên trái bao gồm các phần tử có trong tập hợp $A$ và ít nhất một trong các tập hợp $B$ hoặc $C$. Lưu ý rằng trong một số trường hợp, mối quan hệ thứ hai sẽ có dạng $a + bc = (a + b) (a + c)$, tất nhiên là không đúng.

Mối quan hệ đầu tiên (2) cho thấy rằng bất kỳ chuỗi hợp và giao nào cũng có thể được chuyển đổi thành một chuỗi các thao tác sao cho trước tiên tất cả các giao đều được thực hiện, sau đó là hợp. Ví dụ: hãy đảm bảo rằng $(A \cup B) \cap ((C \cap D) \cup E)$ có thể được chuyển đổi thành $(A \cap C \cap D) \cup (A \cap E) \cup (B \cap C \cap D) \cup (B \cap E)$. Bạn cũng có thể thực hiện theo cách mà tất cả các phép nối sẽ được thực hiện trước (sử dụng mối quan hệ thứ hai). Hãy suy nghĩ thông qua các phép biến đổi tương tự trong trường hợp số.

2. Sự khác biệt và sự khác biệt đối xứng

Hiệu $A \setminus B$ của các tập hợp $A$ và $B$ được gọi là tập hợp bao gồm các phần tử $A$ không có trong $B$ (Hình 4). Sự khác biệt không phải là sự khác biệt đối xứng. Ví dụ, để chứng minh tập đầu tiên trong số đó, chỉ cần lưu ý rằng tập hợp đứng ở cả bên phải và bên trái bao gồm các phần tử có trong tập hợp $A$ và ít nhất một trong các tập hợp $B$ hoặc $C$. Lưu ý rằng trong một số trường hợp, mối quan hệ thứ hai sẽ có dạng $a + bc = (a + b) (a + c)$, tất nhiên là không đúng.

Mối quan hệ đầu tiên (2) cho thấy rằng bất kỳ chuỗi hợp và giao nào cũng có thể được chuyển đổi thành một chuỗi các phép toán sao cho trước tiên tất cả các giao đều được thực hiện, sau đó là hợp. Ví dụ: hãy đảm bảo rằng $(A \cup B) \cap ((C \cap D) \cup E)$ có thể được chuyển đổi thành $(A \cap C \cap D) \cup (A \cap E) \cup (B \cap C \cap D) \cup (B \cap E)$. Bạn cũng có thể thực hiện theo cách mà tất cả các giao điểm sẽ được thực hiện trước (sử dụng mối quan hệ thứ hai). Hãy suy nghĩ thông qua các phép biến đổi tương tự trong trường hợp số.

4

Nó không phải là một phép toán giao hoán hay kết hợp. Hình 5 sẽ giúp bạn chứng minh điều này. Cũng lưu ý rằng hiệu không phải là phép toán nghịch đảo của phép hợp (mà, như chúng ta đã nói, đôi khi được gọi là phép cộng của một tập hợp). Bạn sẽ bị thuyết phục về điều này bằng cách chứng minh mối quan hệ sau:

$$(A \setminus B) \cup B = A \cup B;$$
$$(A \setminus B) \cup (A \cap B) = A.$$

Hiệu đối xứng $A \triangle B$ tập $A$ và $B$ bao gồm các phần tử được bao gồm trong một và chỉ một trong các tập hợp $A$ và $B$ (Hình 6): $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Sự khác biệt đối xứng là một hoạt động giao hoán và kết hợp. Chứng minh điều này bằng Hình 7. Đối với hiệu và giao đối xứng, quan hệ phân phối có giá trị:

$$A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)$$
(xem Hình 8). Tuy nhiên, $A \triangle (B \cap C)$ có thể không giống với $(A \triangle B) \cap (A \triangle C)$ (xem Hình 9). Tình hình là số phân tích. Có những lý do sâu xa cho điều này, như chúng ta sẽ thấy.

3. Bộ phổ quát và bộ bổ sung

Sau đây chúng ta sẽ đề xuất rằng tất cả các tập đang được xem xét là tập con của một tập cố định nào đó. Chúng ta sẽ gọi nó là hình ảnh phổ quát. Ví dụ, nếu xét các tập hợp điểm trên mặt phẳng thì tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng là tập hợp phổ quát; Nếu xét các tập hợp số tự nhiên thì tập hợp các số tự nhiên có tính phổ quát.

Nếu tập phổ quát cố định là $I$, thì chúng ta có thể nói về một tập $\bar{A}$ bổ sung $A$ (tối đa $I$): $\bar{A} = I \setminus A$, nghĩa là, $\bar{A}$ bao gồm các phần tử $I$ không có trong $A$

5

(xem hình 10). Bộ phổ quát bổ sung trống: $\bar{I} = 0$ (bộ trống).

Thao tác bổ sung cho phép bạn liên kết các thao tác hợp và giao cắt như sau:

$$\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}.$$

Thật vậy, $\bar{A} \cap \bar{B}$ bao gồm các phần tử có trong $\bar{A}$ và $\bar{B}$, nghĩa là không được bao gồm trong $\bar{A}$ hoặc $\bar{B}$, hoặc, giống nhau, không được bao gồm trong liên minh $\bar{A} \cup \bar{B}$, tức là điều được khẳng định. Từ những thư từ thu được, rằng

$$\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}, \quad \bar{A} \cap \bar{B} = \bar{A} \cup \bar{B}.$$

(3)

Để có được sự tương ứng đầu tiên trong số này, chỉ cần thay thế rằng sự trùng khớp của các tập hợp hàm ý sự trùng khớp của phần bù của chúng và rằng $\bar{C} = C$ (phần bù của sẽ trùng khớp với tập hợp ban đầu). Để có được số thứ hai, cần phải tính đến rằng vì $\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ dành cho bất kỳ $A$ và $B$ nào, nên chúng ta có thể lấy $\bar{A}, \bar{B}$: $\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ làm các tập hợp này. Sự tương ứng (3) được gọi là định luật De Morgan. Họ chứng tỏ rằng sự hợp nhất có thể được biểu diễn dưới dạng giao và phần bù, và sự giao nhau có thể được biểu diễn dưới dạng hợp và phần bù.

Lưu ý rằng $A \setminus B = A \cap \bar{B}$, có nghĩa là $A \triangle B = (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B})$.

4. Luật nhị nguyên

Việc nghiên cứu các phép toán trên tập hợp bao gồm việc thu thập các điểm khác nhau kết nối các phép toán. Chúng tôi muốn nói đến các tuyên bố thuộc loại sau. Một số chuỗi thao tác được thực hiện trên tập hợp $A_1, \dots, A_n$ theo hai cách và người ta tuyên bố rằng những kết hợp thao tác này luôn (đối với bất kỳ $A_1, \dots, A_n$) nào dẫn đến sự trùng khớp của các tập hợp. Tất cả các định luật (1), (2), (3) cũng có điểm giống nhau. Điều quan trọng là có thể có được những cái mới từ các điểm hiện có. Ví dụ: chúng ta thực sự đã sử dụng thực tế là nếu trong một điểm, chúng ta thay thế $A_1, \dots, A_n$ bằng $\bar{A}_1, \dots, \bar{A}_n$ hoặc chuyển đến phần bù ở cả hai phần của điểm, chúng ta cũng sẽ nhận được dấu chấm.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một cách rất quan trọng để biến đổi các điểm chứa các phép toán hợp, giao và phép cộng (và chỉ các phép toán này).

Luật nhị nguyên. Nếu tại một điểm chỉ chứa các phép toán hợp, giao và cộng, chúng ta thay thế tất cả các giao bằng hợp và tất cả các hợp bằng giao, thì chúng ta lại thu được điểm.

Kiểm tra xem theo cách này, từ tính giao hoán và tính kết hợp của phép hợp, chúng ta thu được tính giao hoán và tính kết hợp của giao và ngược lại, và từ một tương ứng phân phối (2) - một tương ứng khác.

Chúng tôi sẽ không đưa ra bằng chứng cho tuyên bố này ở đây mà sẽ đưa ra một ví dụ về cách có thể đạt được nó.

Hãy xem xét các điểm

$$A_1 \cap ((A_2 \cup \bar{A}_3) \cap (\bar{A}_4 \cap A_5)) = A_1 \cap (\bar{A}_2 \cap A_3) \cup (\bar{A}_4 \cap A_5),$$

thật dễ dàng để kiểm tra, sử dụng định luật De Morgan. Chúng ta hãy đi đến điểm bổ sung ở cả hai phần và thay thế tất cả $A_1, \dots, A_5$ bằng $\bar{A}_1, \dots, \bar{A}_5$:

$$\bar{A}_1 \cap ((\bar{A}_2 \cup A_3) \cap (\bar{A}_4 \cap A_5)) = \bar{A}_1 \cap (\bar{A}_2 \cap \bar{A}_3) \cup (\bar{A}_4 \cap \bar{A}_5).$$

Bây giờ chúng ta thay thế tất cả các phép toán hợp và giao bằng (3). Nếu chúng ta đơn giản hóa các điểm kết quả, chúng ta sử dụng thực tế là hai dòng nằm trên một biểu thức

6

Chúng ta có thể phá hủy nó, sau đó chúng ta có được danh tính mong muốn:

$$A_1 \cup ((A_2 \cap A_3) \cup (A_4 \cap A_5)) = A_1 \cup (A_2 \cup A_3) \cap (A_4 \cup A_5).$$

Một bằng chứng nghiêm ngặt được thực hiện từ các tin nhắn tương tự.

5. Một hoạt động thiết lập là gì?

Hãy thử tự mình chấm đáp số cho câu hỏi này, sau đó so sánh kết luận của bạn với những gì được nêu dưới đây.

Việc chỉ định một thao tác trên một tập hợp trước hết có nghĩa là chỉ ra cách xây dựng tập hợp thứ ba từ hai tập hợp đã cho $A$ và $B$; hãy biểu thị nó bằng $A \bigcirc B^*$). Nếu chúng ta vẫn giữ nguyên định nghĩa tại thời điểm này, chúng ta sẽ nhận được một số lượng lớn các phép toán. Nhưng có lẽ bạn có thể nhận thấy rằng trong tất cả các thao tác mà chúng tôi đã trình bày, câu hỏi liệu có phần tử nào được đưa vào $A \bigcirc B$ hoàn toàn được quyết định chỉ dựa trên bộ nào trong số các bộ $A$, $B$ nó được đưa vào và bộ nào không. Hãy đưa yêu cầu này vào định nghĩa của hoạt động. Hãy để chúng tôi xây dựng nó chi tiết hơn.

Nếu cho hai bộ $A$ và $B$ thì tập phổ quát $I$ được chia thành bốn tập con rời rạc: tập $A \cap B$, bao gồm các phần tử có trong các tập chung $A$ và $B$; bộ $\overline{A} \cap \overline{B}$, bao gồm các phần tử không có trong bất kỳ bộ nào trong số này; tập hợp $\overline{A} \cap B$, bao gồm các phần tử có trong $B$, nhưng không có trong $A$ và tập hợp $\overline{A} \cap \overline{B}$, bao gồm các phần tử có trong $A$, nhưng không có trong $B$. Chúng ta sẽ gọi những tập hợp này là những tập hợp đơn. Yêu cầu bổ sung của chúng tôi đối với hoạt động là nếu hai phần tử nằm trong cùng một dolbe thì chúng được bao gồm

*) Tất nhiên, $A \bigcirc B$, như $A$ và $B$ phải có trong tập phổ quát $I$.

Cơm. 11.

trong $A \bigcirc B$, hoặc nó không được bao gồm. Nói cách khác, $A \bigcirc B$ là sự kết hợp của một số lát cắt nhất định. Việc chia hàng hóa thành các phần được minh họa bằng sơ đồ mà chúng tôi đã vẽ (trong Hình 11, các khu vực tương ứng được tô màu khác nhau); đây là lý do tại sao sơ ​​đồ lại hữu ích trong hoạt động học tập.

6. Có bao nhiêu phép toán trên một cặp tập hợp?

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng trả lời câu hỏi này. Có nhiều thao tác khác nhau cũng như có nhiều cách khác nhau để chọn các phân đoạn tạo nên $A \bigcirc B$. Có 4 đoạn và có 16 cách tạo thành $A \bigcirc B$ khác nhau. Có cùng số lượng các tập hợp con khác nhau trong một tập hợp gồm 4 phần tử (tính cả tập hợp rỗng và toàn bộ). Những phép tính này có thể được thực hiện trực tiếp hoặc bạn có thể sử dụng bổ đề tổ hợp sau đây, bổ đề này sẽ hữu ích cho chúng ta sau này.

Bổ đề. Một tập hợp các phần tử $n$ có $2^n$ các tập hợp con khác nhau.

Bằng chứng. Đặt $N$ là một tập hợp như vậy. Hãy đánh số các phần tử của nó bằng cách nào đó. Chúng ta hãy gán cho mỗi tập hợp con $M$ trong $N$ một tập hợp các số 0 và các số một có độ dài $n$, và ở vị trí $k$, chúng ta đặt 1 nếu phần tử $k$ của tập hợp $N$ được bao gồm trong $M$ và 0 nếu ngược lại. Những bộ như vậy được gọi là bộ đôi. Giữa những cái tên

7

Cử chỉ ở $N$ và bộ đôi độ dài $n$ tạo ra sự tương ứng một-một. Trong trường hợp này, một tập hợp chỉ các số 0 tương ứng với một tập hợp trống và một tập hợp chỉ các số 0 tương ứng với tất cả các bộ $N$. Vậy số lượng tập hợp con trong $N$ bằng số lượng các tập hợp đôi có độ dài $n$. Chúng ta hãy chứng minh bằng quy nạp rằng số $f(n)$ này bằng $2^n$. Tại $n = 1$ điều này là hiển nhiên; hãy $f(n - 1) = 2^{n-1}$. Mỗi bộ độ dài $n$ thu được từ một bộ độ dài $n - 1$ bằng cách thêm 0 hoặc 1, nghĩa là từ mỗi bộ độ dài $n - 1$ thu được hai bộ độ dài $n$ và do đó $f(n) = 2f(n - 1) = 2^n$.

Đặt $n = 4$, chúng ta nhận được rằng có 16 tập hợp con trong tập hợp 4 phần tử và do đó có 16 thao tác trên hai tập hợp. Các thao tác này bao gồm các thao tác $A \bigcirc B = 0$ (tập trống) cho bất kỳ $A$ và $B$ nào ($A \bigcirc B$ không chứa bất kỳ lát cắt nào) và $A \bigcirc B = I$ cho bất kỳ $A$ và $B$ nào ($A \bigcirc B$ là sự kết hợp của tất cả các lát cắt). Chúng ta sẽ ký hiệu các hoạt động này lần lượt là 0 và 1. Các phép toán cũng bao gồm $A \bigcirc B = A$, $A \bigcirc B = B$, $A \bigcirc B = \overline{A}$, $A \bigcirc B = \overline{B}$, vì trong cả bốn bộ ngẫu nhiên, bộ bên phải là sự kết hợp của hai lát cắt (ví dụ: $\overline{A} = (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})$). Hãy liệt kê các hoạt động còn lại:
$A \bigcup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \triangle B$, $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \triangle B$.

Lưu ý rằng các hoạt động bao gồm việc hình thành các tiểu thùy *). Từ thực tế là mọi phép toán đều là hợp của các phân đoạn, nên mọi phép toán đều có thể được biểu diễn dưới dạng hợp, giao và cộng.

*) Để biểu thị các thao tác mà chúng ta gọi một cách phù phiếm là “phân vùng thành các lát”, có một thuật ngữ hoàn toàn nghiêm túc “dạng phân biệt hoàn hảo” và các lát cắt được gọi là “các liên kết cơ bản chính quy hoàn chỉnh”.

Cơm. 12.

Hãy để chúng tôi chỉ ra một cách thể hiện khác của các hoạt động thông qua ba điều này. Hãy gọi phép cộng vào lát cắt là phần phụ. Theo (3), trọng số bổ sung tương ứng với các phép toán $\overline{A} \cup \overline{B}$, $A \cup B$, $A \cup \overline{B}$, $\overline{A} \cup B$. (Điều này cũng dễ dàng xác minh bằng bản vẽ). Bằng cách chỉ định thao tác $A \bigcirc B$, ngoài việc liệt kê những phân đoạn nào được bao gồm trong $A \bigcirc B$, có thể chỉ ra những phân đoạn nào không được bao gồm trong đó và khi đó $A \bigcirc B$ sẽ là giao điểm của các trọng số tương ứng với các phân đoạn này. Ví dụ: $\overline{A} \cap B = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (\overline{A} \cup B)$ hãy tự mình xem các ví dụ khác. Việc biểu diễn các phép toán dưới dạng giao điểm của các trọng số *) có thể thu được từ việc biểu diễn dưới dạng kết hợp các lát cắt bằng cách sử dụng luật đối ngẫu (hãy làm đi!).

7. Bảng nhị phân cho các hoạt động
   Chúng ta hãy gán cho mỗi lát một bộ đôi gồm hai phần tử: $A \cap B => (1, 1)$, $\overline{A} \cap \overline{B} => (0, 0)$, $\overline{A} \cup B => (0, 1)$, $A \cup \overline{B} => (1, 0)$. Ở đây 1 chỉ ra rằng phân đoạn được bao gồm trong tập tương ứng ($A$ hoặc $B$) và 0 chỉ ra rằng phân đoạn đó không được bao gồm và do đó, được bao gồm trong phần bù (xem Hình 12). Khi chỉ định thao tác $A \bigcirc B$, chúng ta gán 1 cho mỗi lát được mã hóa bởi tập hợp đó, nếu lát này

*) Và có một tên tiếng Serbia cho cách thể hiện này; “dạng liên hợp chuẩn hoàn hảo”.

8

được bao gồm trong $A \bigcirc B$ và 0 nếu không. Tất cả điều này có thể được viết dưới dạng một bảng trong đó các hàng sẽ tương ứng với các lát và dòng, ví dụ: 1,0|0 phải được coi là mục nhập được mã hóa của cụm từ: nếu một phần tử được bao gồm trong tập đầu tiên ($A$) và không được bao gồm trong tập thứ hai ($B$), thì nó không được bao gồm trong $A \bigcirc B$. Một bảng như vậy được gọi là bảng thao tác kép hoặc bảng Boolean và nó chỉ định đầy đủ thao tác. Trên đây là bảng kép tóm tắt tất cả các thao tác trên một cặp tập hợp.

Hãy chú ý đến các cột trong bảng tương ứng với $A \cap B$, $A \triangle B$ và $\bar{A}$. Nếu $(x, y)$ là một tập hợp tương ứng với một lát, thì trong cột của $A \cap B$ chỉ có $xy$, trong cột của $A \triangle B$ có phần dư của phép chia $x + y$ cho 2 và trong cột của $\bar{A}$ có phần dư của phép chia $x + 1$ cho 2. Các thao tác này được thực hiện trên các phần tử $x, y = 0,1$ được gọi là các phép toán số học modulo 2, và đối với chúng, tất cả các định luật cơ bản của phép tính số học tổng quát đều được bảo toàn (tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối của phép nhân so với phép cộng) *). Thực tế này cho phép chúng ta thay thế các tính chất của sai phân đối xứng.

*) Bạn có thể đọc về các phép toán dựa trên mô hình (phép tính số dư) trên tạp chí «Kvant» số 5, 1970.

8. Hoạt động trên bộ $n$

Trên thực tế, chúng ta đã xử lý các phép toán như vậy nhưng chúng luôn được thể hiện thông qua các phép toán trên các cặp tập hợp. Bây giờ chúng tôi đưa ra một định nghĩa chung. Để chỉ định một thao tác trên tập hợp $n$ có nghĩa là chỉ định luật xây dựng cho một tập hợp gồm bất kỳ tập hợp $n$ $A_1, \dots, A_n$ nào của tập hợp được xác định duy nhất $f(A_1, \dots, A_n)$ và câu hỏi về việc đưa một số phần tử vào $f(A_1, \dots, A_n)$ hoàn toàn được xác định bởi phần tử nào trong tập hợp $A_1, \dots, A_n$ phần tử này được bao gồm trong và phần tử nào không có. Hãy đặt $A^\sigma = A$ tại $\sigma = 1$ và $A^\sigma = \bar{A}$ tại $\sigma = 0$. Lưu ý rằng tập hợp $A_1^{\sigma_1} \cap A_2^{\sigma_2} \cap \dots \cap A_n^{\sigma_n}$ bao gồm tất cả các phần tử có trong $A_j$ nếu $\sigma_j = 1$ và không có trong $A_j$ nếu $\sigma_j = 0$. Hoạt động $A_1^{\sigma_1} \cap A_2^{\sigma_2} \cap \dots \cap A_n^{\sigma_n}$, giống như $n = 2$, sẽ được gọi là một lát tương ứng với tập hợp $(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n)$. Có bao nhiêu lát cắt thì có hai bộ chiều dài $n$, tức là (theo Bổ đề) $2^n$. Trong Hình 13, bạn thấy sự phân tách ở $n = 3$.

Từ định nghĩa của thao tác, mỗi thao tác $f(A_1, \dots, A_n)$ là một luồng xung quanh một số lát nhất định. Để gán một thao tác cho mỗi lát, được mã hóa thành hai

9

Cơm. 13.

đặt σ, chúng ta đặt nó tương ứng với 1 hoặc 0, tùy thuộc vào việc phần này có được đưa vào $f(A_1, \dots, A_n)$ hay không. Kết quả của thao tác là một tập hợp có độ dài gấp đôi $2^n$ (tức là có bao nhiêu lát), nghĩa là có $2^{(2n)}$ các thao tác khác nhau trên các tập hợp. Vì trong mọi trường hợp $f(A_1, \dots, A_n)$ là hợp của các phân đoạn, nên chúng ta đồng thời thu được rằng mỗi phép toán được thể hiện thông qua hợp, giao và phần bù. Chúng ta có một ý tưởng khác nếu xem xét hai và ba thao tác trên các bộ phận, chúng có dạng $A_1^{\sigma_1} \cup \dots \cup A_n^{\sigma_n}$. Bất kỳ hoạt động nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng giao điểm của trọng lượng bổ sung.

Vì vậy, hóa ra, thứ nhất, có một số hữu hạn các phép toán trên các tập hợp $n$, và thứ hai, tất cả các phép toán này có thể được biểu diễn dưới dạng các phép toán trên các cặp tập hợp - hợp, giao và phần bù $^*$). Điều này giải thích rằng trong nhiều câu hỏi của lý thuyết tập hợp, chúng ta bị giới hạn trong việc xem xét ba phép toán này. Tuy nhiên, xét đến (3), chúng ta có thể giới hạn ở hai phép toán: hợp và bổ sung hoặc giao và bổ sung.

Có những khả năng khác để chọn các thao tác cơ bản mà qua đó tất cả các thao tác khác được thể hiện. Ví dụ, hãy xem xét phép toán $A \cap B$. Nếu bạn lấy

*) Xem xét bổ sung như một thao tác trên một bộ ($n=1$).

vì $A$ và $B$ cùng một bộ $C$, thì chúng ta nhận được $\overline{C}$. Bằng cách thực hiện hai thao tác này theo trình tự, chúng ta nhận được $A \cap B$. Nhưng bất kỳ hoạt động nào cũng có thể được biểu diễn thông qua phép giao và phần bù. Điều này có nghĩa là bất kỳ thao tác nào cũng có thể được biểu diễn thông qua một thao tác duy nhất $\overline{A \cap B}$. Kiểm tra xem tất cả các thao tác cũng có thể được thể hiện thông qua thao tác $A \cup B$. Hai hoạt động đáng chú ý này được gọi là hoạt động Schaefer. Chứng minh rằng $\overline{A} \cup B$, $\overline{C}$ hoặc $\overline{A} \cup B$, 0 có thể chọn làm hệ các phép toán cơ bản.

9. Những thao tác đơn điệu

Liệu tất cả các hoạt động có thể được thể hiện thông qua các công đoàn và giao lộ mà không cần dùng đến các hoạt động bổ sung không? Hóa ra là không. Để xác minh điều này, bạn cần tìm một số thuộc tính mà tất cả các phép toán được biểu diễn thông qua hợp và giao đều có, nhưng có những phép toán không có thuộc tính này. Như chúng tôi đã lưu ý ở điểm 1 khi thảo luận về sự tương ứng (2), luôn có thể thay đổi thứ tự hợp và giao để thực hiện giao trước, sau đó mới đến hợp. Khả năng biểu diễn như vậy được áp dụng cho mục đích định nghĩa trên tập hợp các lát cắt trong đó $f(A_1, \dots, A_n)$ có thể bao gồm nếu $f(A_1, \dots, A_n)$ được biểu thị thông qua các phép hợp và giao. Tập hợp các phân đoạn này phải được sắp xếp như sau: có các tập hợp con $M_1, \dots, M_k$ trong tập hợp $N = \{1, 2, \dots, n\}$ và một phân đoạn thay thế $\sigma = (\sigma_1, \dots, \sigma_n)$ được bao gồm trong $f(A_1, \dots, A_n)$ khi và chỉ khi $\sigma_j = 1$ cho tất cả $j \in M_1$ hoặc $\sigma_j = 1$ cho tất cả $j \in M_2$, v.v. Ví dụ: trong trường hợp $(A_1 \cap A_3 \cap \bigcap A_5) \cup A_4 \cup (A_2 \cap A_5)$ chúng ta có: $M_1 = \{1, 3, 5\}, M_2 = \{4\}, M_3 = \{2, 5\}$. Không khó để nhận thấy rằng các tập hợp các tập hợp như vậy có đặc điểm là cùng với mỗi tập hợp $\sigma$, chúng chứa tất cả các tập hợp $\sigma'$, trong đó tất cả những vị trí trong đó $\sigma$ chứa các tập hợp cũng có các tập hợp đó (chúng ta sẽ ký hiệu một cách tượng trưng điều này như sau: $\sigma' \geq \sigma$). Bây giờ, rõ ràng là, ví dụ, phép toán $A \setminus B = A \cap B$ không có thuộc tính này: nó trùng với phần duy nhất tương ứng với tập hợp (1, 0) và $(1, 1) \geq (1, 0)$ tương ứng với phần không có trong $A \setminus B$. Các phép toán được biểu diễn thông qua hợp và giao, cũng như 0, 1, sẽ được gọi là đa quan hệ. Rõ ràng, phần bù cũng là một phép toán hơi thập phân: đếm $n = 1$, chúng ta thấy rằng $A$ trùng với phân số của $\sigma = (0) \leq \sigma' = (1)$.

10

10. Hoạt động tuyến tính

Mọi thao tác có thể được biểu diễn dưới dạng $A \cap B, A \triangle B, I$. Thật vậy, $\overline{A} = A \triangle I$, $A \cup B = (A \cap B) \triangle (A \triangle B)$, và trong phần 8 chúng ta đã chứng minh rằng mọi phép toán đều được biểu diễn thông qua phép giao và phần bù. Chúng ta hãy khám phá thực tế này từ quan điểm giải thích số học của các phép toán. Đặt $f(A_1, \dots, A_n)$ là một phép toán tùy ý; Hãy nhìn vào bảng nhị phân của nó (xem đoạn 7). Chúng ta hãy biểu thị bằng $\tilde{f}(x_1, \dots, x_n)$ giá trị trong bảng này tương ứng với tập nhị phân $(x_1, \dots, x_n)$.

Nếu chúng ta biểu thị $f$ theo $A \cap B, A \triangle B, I$, thì đối với $f$, một biểu thức sẽ xuất hiện thông qua các phép toán số học modulo 2. Bằng cách mở dấu ngoặc và đưa các số hạng tương tự, chúng ta thu được biểu diễn cho $\tilde{f}$ dưới dạng đa thức trong $x_1, \dots, x_n$. Xét rằng $x_j$ lấy các giá trị 0, 1 và kết quả là chỉ lấy phần còn lại của việc chia giá trị của đa thức cho 2, chúng ta có thể đơn giản hóa rất nhiều dạng của đa thức. Thứ nhất, chúng ta có thể giả sử rằng tất cả các hệ số khác 0 đều bằng 1 (2x chia cho 2) và thứ hai, các biến $x_j$ sẽ xuất hiện dưới dạng đơn thức không cao hơn lũy thừa thứ nhất $(x^2 = x$ của $x = 0, 1)$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các hoạt động thuộc loại này: $f(A_1, A_2, \dots, A_n) = A_1 \triangle A_2 \triangle \dots \triangle A_n$. (Trong bản ghi, chúng tôi đã sử dụng giao hoán và kết hợp $A \triangle B$; xem đoạn 2.) Tập kết quả bao gồm các phần tử được bao gồm trong số lẻ của tập hợp $A_1, \dots, A_n$, và sau đó chúng tôi sẽ gọi các phép toán này là các số lẻ kỳ quặc. Thật dễ dàng để xác minh trực tiếp tuyên bố này (đối với $n = 2, 3$, xem Hình 6, 7) và người ta có thể nhận thấy rằng trong trường hợp này $\tilde{f}(x_1, \dots, x_n) = x_1 + \dots + x_n$ modulo 2. Điều này cho thấy, ví dụ, giao điểm $A \cap B$ không thể được biểu thị thông qua hiệu đối xứng, vì $A \cap B$ bao gồm các phần tử rơi vào hai tập hợp. Nếu thêm thao tác 1, chúng ta sẽ nhận được nhiều chỉ báo chẵn lẻ hơn $A_1 \triangle \dots \triangle A_n \triangle I$; chúng sẽ được gán các đa thức bậc nhất $x_1 + \dots + x_n + 1$. Một lần nữa, chúng ta sẽ không thể biểu thị giao điểm vì các phần tử không có trong $A$ hoặc $B$ đều không có trong $A \cap B$. Chúng ta sẽ gọi các phép toán được thể hiện thông qua $A \triangle B$ và $I$ (nghĩa là các chỉ báo chẵn và lẻ) là các phép toán tuyến tính và các phép toán còn lại - phi tuyến tính. Các thuật ngữ này được liên kết với các đa thức tương ứng với các phép toán này.

11. Mô tả hệ thống vận hành cơ bản

Bằng một hệ thống các thao tác cơ bản, chúng ta hiểu hệ thống các thao tác đó mà tất cả các thao tác khác đều được thể hiện thông qua chúng.

Chúng ta đã có một số ví dụ về hệ thống vận hành cơ bản. Hơn nữa, trong hai đoạn trước, chúng ta đã chứng minh rằng các tập $\{A \cap B, A \cup B\}$, $\{A \triangle B, I\}$ không thể được coi là hệ các phép toán cơ bản. Đồng thời, chúng tôi đã có được những điều kiện cần thiết cho hệ thống đó; chúng nhất thiết phải chứa các hoạt động chưa hoàn thành và thần kinh. Điều đáng chú ý là điều kiện cần và đủ được đưa ra theo cùng một điều kiện. Chúng tôi sẽ không làm điều này trong hệ thống chung nhất. Chúng ta sẽ nói rằng giả định 01 được thỏa mãn đối với một hệ điều hành nếu hệ thống này chứa 0 và 1.

Định lý bài. Hệ các phép toán thỏa mãn Giả thiết 01 có thể được coi là hệ các phép toán cơ bản của mô hình và chỉ là mô hình khi nó chứa các phép toán neotonic và neotonic.

Có một công thức chung của định lý Post cho mọi hệ thống (không có giả định 01); Hơn nữa, số điều kiện của định lý, nếu không có giả định 01 thì chúng phải nằm trong đoạn 9, 10. Rõ ràng, chúng được bảo toàn ngay cả trong điều kiện 01, vì 0 và 1 là các phép toán đơn điệu và tuyến tính $(A \triangle A = 0)$.

Chỉ cần làm theo hai bài toán dưới đây là đủ.

Bài tập 1. Chứng minh rằng theo giả định 01, từ bất kỳ phép toán tân âm nào cũng có thể thu được một phép toán bổ sung.

Giả sử $f$ là một phép toán neonotonic và cho $f(A_1, \dots, A_n)$ chỉ được đưa vào tương ứng với $\sigma$ và chỉ tương ứng với $\sigma' \geq \sigma$ không được đưa vào. Sau đó, nếu ở vị trí thứ $j$ và trong $\sigma$ và $\sigma'$ có 0, thì thay vì $A_j$ chúng ta thay thế tập trống, nhưng nếu cả ở đây và ở đó đều có 1 thì chúng ta thay thế tập phổ quát $I$. Ở những nơi khác, vì $\sigma' \geq \sigma$, trong $\sigma$ có 0 và trong $\sigma' - 1$. Chúng ta hãy thay thế cùng một bộ $A$ thay vì những $A_j$ này. Khi đó, câu trả lời phải $\sigma$ sẽ chuyển thành $A$, và câu trả lời phải là $\sigma'$ sẽ chuyển thành $A$. Phép toán kết quả $\varphi(A)$ sẽ giống như $A$, vì $\varphi(A)$ chứa $A$ và không chứa $A$.

Nhiệm vụ 2. Chứng minh rằng theo giả định 01, giao điểm có thể được biểu diễn thông qua bất kỳ phép toán neonotonic và phần bù nào.

Hãy cố gắng tự mình giải quyết bài toán này. lời giải của chúng tôi được đưa ra trên trang. 58.

*) Xem cuốn sách Gindikin S.G., Đại số logic trong các vấn đề, M., “Nauka”, 1972.

11

Sức căng bề mặt
L. G. Aslamaozov

Các quá trình căng thẳng bề mặt của chất lỏng trong tự nhiên và công nghệ rất đa dạng. Nó tạo ra những giọt nước, nhờ đó chúng ta có thể thổi bong bóng xà phòng và viết bằng bút. Sức căng bề mặt đóng một vai trò quan trọng trong sinh lý của cơ thể chúng ta. Ứng dụng của nó trong công nghệ vũ trụ. Tại sao bề mặt chất lỏng có tính chất như một màng đàn hồi? Hãy thử tìm hiểu điều này.

Năng lượng bề mặt
Các phân tử nằm trong lớp chất lỏng mỏng gần bề mặt ở trong điều kiện đặc biệt. Chúng có những hàng xóm giống hệt nó chỉ ở một mặt của bề mặt, trái ngược với các phân tử bên trong chất lỏng, được bao quanh tất cả các mặt bởi cùng một phân tử. Do đó, lực tác dụng lên phân tử ở lớp bề mặt khác 0. Ví dụ, trên bề mặt tự do của chất lỏng (Hình 1), lực này hướng vào bên trong chất lỏng.

Cơm. 1.

ty, vì một phân tử trên bề mặt chịu lực hút từ các phân tử chất lỏng lớn hơn đáng kể so với từ các phân tử không khí.

Khi một phân tử di chuyển từ bề mặt vào phần lớn chất lỏng, công dương được thực hiện. Điều này có nghĩa là các phân tử ở lớp bề mặt có thế năng dư thừa so với các phân tử bên trong chất lỏng. Tất nhiên, các phân tử của chất lỏng chuyển động nhiệt liên tục - một phân tử rời khỏi bề mặt, ngược lại, các phân tử khác rơi xuống nó. Nhưng chúng ta có thể nói về năng lượng bổ sung trung bình của lớp bề mặt chất lỏng - về năng lượng bề mặt tỷ lệ với diện tích bề mặt của chất lỏng.

Người ta biết rằng trong tất cả các trạng thái có thể có của một hệ nguồn, trạng thái trong đó năng lượng của hệ là nhỏ nhất. Đặc biệt, bề mặt của chất lỏng có xu hướng có hình dạng trong đó năng lượng bề mặt của nó là tối thiểu. Như người ta nói, chất lỏng có sức căng tăng lên, lực căng này có xu hướng co lại và giảm bề mặt của nó. Hệ số sức căng bề mặt là năng lượng bề mặt trên một đơn vị diện tích hoặc lực trên một đơn vị chiều dài của ranh giới bề mặt. Thật dễ dàng để chứng minh (tự mình làm) rằng cả hai định nghĩa về sức căng bề mặt đều tương đương nhau.

12

Cơm. 2.

Xu hướng sức căng bề mặt làm giảm bề mặt của chất lỏng thường bị phản tác dụng bởi các lực khác. Ví dụ, một giọt chất lỏng hầu như không bao giờ là hình cầu, mặc dù hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất trong tất cả các hình đối với một thể tích nhất định. Khi một giọt tích tụ trên một bề mặt nằm ngang cố định, nó sẽ trở nên dẹt. Một giọt nước rơi trong không khí cũng có hình dạng phức tạp. Và chỉ một giọt không trọng lượng mới có hình dạng hình cầu hoàn hảo.

Nhà khoa học người Bỉ J. Plateau lần đầu tiên đồng ý loại bỏ tác dụng của trọng lực khi nghiên cứu sức căng bề mặt của chất lỏng vào giữa thế kỷ trước. Tất nhiên, vào thời điểm đó họ thậm chí còn không mơ tới tình trạng không trọng lượng thực sự, và Plato chỉ đơn giản đề xuất cân bằng lực với trọng lực bằng cách sử dụng lực nổi Archimedean. Ông đặt chất lỏng đang được nghiên cứu (dầu) vào một dung dịch có cùng tỷ trọng, và như người viết tiểu sử của ông viết, “ông rất ngạc nhiên khi thấy dầu có dạng hình cầu; ông ngay lập tức chấp nhận quy tắc của mình là “phải ngạc nhiên về thời gian” và hiện tượng này sau đó trở thành chủ đề để ông suy ngẫm lâu dài”.

Plato đã sử dụng phương pháp của mình để nghiên cứu các hiện tượng khác nhau. Ví dụ, ông đã nghiên cứu quá trình hình thành và tách một giọt chất lỏng ở đầu ống.

Rõ ràng, cho dù chúng ta nhỏ giọt chậm đến đâu thì nó cũng rời khỏi ống nhanh đến mức mắt không thể theo dõi được các chi tiết của quá trình này. Plato đặt đầu ống vào một chất lỏng có mật độ chỉ nhỏ hơn mật độ của một giọt một chút. Trong trường hợp này, tác dụng của trọng lực bị suy yếu; bạn có thể trồng một giọt rất lớn và xem nó thoát ra khỏi ống như thế nào.

Hình 2 thể hiện các bức ảnh thể hiện các giai đoạn khác nhau của quá trình hình thành và tách giọt màu đỏ (các bức ảnh thu được bằng phương pháp hiện đại - sử dụng phim tốc độ cao). Hãy thử giải thích hiện tượng này. Miễn là giọt nước tăng chậm, chúng ta có thể cho rằng nó ở trạng thái cân bằng tại mọi thời điểm. Sau đó, đối với một thể tích cho trước của một giọt, hình dạng của nó được xác định từ điều kiện tổng năng lượng bề mặt và thế năng của giọt do trọng lực là tối thiểu. Sức căng bề mặt gây ra sự co lại

13

bề mặt của giọt nước, nó có xu hướng làm cho giọt nước có dạng hình cầu. Ngược lại, lực cũng có xu hướng định vị tâm của giọt nước càng thấp càng tốt. Kết quả là giọt nước trở nên dài ra.

Độ rơi càng lớn thì thế năng của trọng lực càng đóng vai trò lớn. Khi giọt nước lớn lên, phần lớn khối lượng tập trung ở phía dưới và hình thành cổ trên giọt nước (ảnh thứ hai trong Hình 2). Lực căng bề mặt được định hướng theo phương thẳng đứng tiếp tuyến với cổ. Nó cân bằng lực hấp dẫn tác dụng lên giọt nước. Bây giờ, đủ để độ rơi tăng lên khá nhiều và lực căng bề mặt sẽ không còn có thể cân bằng với lực hấp dẫn nữa. Cổ của giọt nước nhanh chóng thu hẹp lại (ảnh thứ ba trong Hình 2), và kết quả là giọt nước bị vỡ ra (ảnh thứ tư). Trong trường hợp này, một giọt nhỏ được tách ra khỏi cổ giọt và rơi sau giọt lớn. Một giọt thứ cấp luôn được hình thành (nó được gọi là quả bóng Plateau), nhưng vì quá trình xé nhỏ một giọt diễn ra rất nhanh nên chúng ta thường không nhận thấy giọt thứ cấp này.

Độ nâng thả rơi được sử dụng để đo sức căng bề mặt của chất lỏng. Khi giọt nước vẫn còn treo trên cổ, lực hấp dẫn được cân bằng bởi sức căng bề mặt tác dụng dọc theo chu vi của mặt cắt ngang của cổ:

$$mg = 2\pi r\sigma,$$

trong đó $r$ là bán kính điểm hẹp nhất của cổ chất lỏng, trong đó lực căng bề mặt hướng theo phương thẳng đứng, $\sigma$ là hệ số sức căng bề mặt của chất lỏng. Khối lượng của giọt $m$ treo trên cổ, như đã bị dịch chuyển, thực tế bằng khối lượng của giọt tách ra. Do đó, bằng cách thay đổi bán kính của cổ $r$ và xác định khối lượng của giọt tách ra $m$ mà chúng ta cân, chúng ta có thể tìm được các giá trị của sức căng bề mặt của chất lỏng:

$$\sigma = \frac{mg}{2\pi r}.$$

Để có độ chính xác cao hơn, họ thường thu thập nhiều giọt vào một bình và chia tổng khối lượng của chúng cho số giọt, tìm khối lượng giọt trung bình $m$. Để xác định chính xác hơn bán kính của cổ $r$, tại thời điểm giọt nước chưa rơi ra, nó được chiếu sáng bằng một chùm ánh sáng phân kỳ và kích thước của cổ được xác định bởi kích thước của bóng trên màn hình và hệ số phóng đại.

Phim xà phòng

Màng xà phòng là vật liệu tuyệt vời để nghiên cứu sức căng bề mặt. Trọng lực hầu như không đóng vai trò gì ở đây vì các màng cực kỳ mỏng và khối lượng của chúng hoàn toàn không đáng kể. Vai trò chính ở đây được thực hiện bởi năng lượng bề mặt, và do đó, trong màng xà phòng, hình dạng của bề mặt luôn sao cho diện tích của nó là tối thiểu.

Chắc hẳn ai cũng đã từng nhìn thấy bụi xà phòng. Chúng có thể lơ lửng tự do trong không khí và có hình cầu hoàn hảo.

Áp suất bên trong bụi lớn hơn áp suất khí quyển và bán kính bụi $R$ càng nhỏ thì áp suất dư bên trong bụi càng lớn. Áp suất dư $\Delta p_{c\phi}$ (đối với bụi hình cầu) được xác định bằng công thức Laplace nổi tiếng:

$$\Delta p_{c\phi} = \frac{2\sigma'}{R},$$

trong đó $\sigma' = 2\sigma$ là hệ số căng bề mặt gấp đôi của chất lỏng (màng có hai bề mặt).

Nghịch đảo của bán kính hình cầu được gọi là độ cong của nó: $\rho = \frac{1}{R}$.

Công thức viết ở trên có nghĩa là áp suất dư tỷ lệ với độ cong của quả cầu.

Một quả bóng không phải là hình dạng duy nhất mà bụi xà phòng có thể tạo ra. Nếu bạn đặt hình nộm đầy bụi thành các vòng, thì nó có thể được kéo căng cho đến khi có dạng hình trụ với các “nắp” hình cầu (Hình 3).

14

Cơm. 3.

Áp suất dư thừa bên trong một bong bóng như vậy là gì? Một bề mặt hình trụ có độ cong khác nhau theo các hướng khác nhau. Dọc theo đường sinh của hình trụ, độ cong bằng 0 (đường sinh là đường thẳng) *), và ở tiết diện vuông góc với trục hình trụ, độ cong của nó bằng 1/R, trong đó R là bán kính của hình trụ. Chúng ta nên thay thế giá trị nào của p vào công thức trước? Hóa ra, sự chênh lệch áp suất ở các mặt khác nhau của bất kỳ bề mặt nào được xác định bởi độ cong trung bình của nó. Những số lượng này là gì?

*) Độ cong của đường cong phẳng là gì? Độ cong của hình tròn được xác định giống như độ cong của hình cầu: $\rho_{\text{окр}} = 1/R$, trong đó R là bán kính của hình tròn. Tuy nhiên, nếu đường cong không phải là đường tròn thì các phần nhỏ riêng lẻ của nó có thể được coi là gần đúng các cung của các đường tròn có bán kính nhất định. Nghịch đảo của các bán kính này được gọi là độ cong của đường cong phẳng tại các điểm khác nhau của nó.

Cơm. 4.

Chúng ta vẽ pháp tuyến lên bề mặt tại điểm A của mặt phẳng. Các mặt cắt của bề mặt hình trụ bởi các mặt phẳng này (chúng được gọi là các mặt cắt bình thường) có thể là hình tròn, hình elip hoặc đường thẳng (Hình 4). Dễ dàng nhận thấy độ cong của các mặt cắt này tại điểm A là khác nhau: độ cong lớn nhất có tiết diện là hình tròn, còn độ cong nhỏ nhất bằng 0 là đường thẳng (tiết diện dọc). Độ cong trung bình $\rho_{\text{сред}}$ được xác định là kết quả của độ cong tối đa và tối thiểu của các phần bình thường:

$$\rho_{\text{сред}} = \frac{\rho_{\text{max}} + \rho_{\text{min}}}{2}.$$

Định nghĩa này không chỉ phù hợp với hình trụ, và bằng cách này người ta có thể xác định độ cong trung bình tại một điểm cho trước của bất kỳ bề mặt nào.

Một bề mặt hình trụ tại bất kỳ điểm nào có độ cong tối đa $\rho_{\text{max}} = \frac{1}{R}$, trong đó R là bán kính tiết diện của hình trụ và $\rho_{\text{min}} = 0$. Do đó, độ cong trung bình là $\rho_{\text{цил}} = \frac{1}{2R}$, và áp suất dư bên trong bong bóng hình trụ là $\Delta p_{\text{цил}} = \frac{\sigma'}{R}$.

Như bạn có thể thấy, bong bóng hình trụ có áp suất dư - giống như áp suất của bong bóng phun hình cầu có bán kính lớn. Do đó, bán kính của các “nắp” hình cầu của bong bóng hình trụ sẽ lớn hơn bán kính của hình trụ và chúng là các đoạn hình cầu, không phải là các đoạn nhận được.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta phá hủy hoàn toàn áp suất dư thừa trong một bong bóng như vậy, chẳng hạn như buộc “nắp” vỡ ra? Có vẻ như vì không có áp suất dư thừa bên trong bong bóng nên bề mặt của nó sẽ không có bất kỳ độ cong nào. Tuy nhiên, các bức tường của bong bóng biến mất bên trong và bong bóng có dạng catenon (từ la-

Cơm. 5.

từ Thiếc “catena” - chuỗi; Bề mặt này có thể thu được bằng cách xoay quanh một đường cong có dạng dây xích treo ngang từ hai đầu - đường dây xích). Có chuyện gì vậy?

Hãy nhìn kỹ hơn vào bề mặt này (Hình 5). Hãy chú ý đến nút thắt của nó - sự đánh chặn. Dễ dàng nhận thấy giao điểm này vừa lồi vừa lõm. Mặt cắt ngang của nó là một hình tròn, và chiều dọc của nó là một đường dây xích. Độ cong của hướng vào trong sẽ làm tăng áp suất bên trong bong bóng, trong khi độ cong của hướng ra ngoài sẽ làm giảm áp suất. (Áp suất dưới bề mặt lõm lớn hơn ở trên bề mặt lõm). Trong trường hợp cataenode, các độ cong này có độ lớn bằng nhau và vì chúng hướng theo hướng ngược nhau nên độ cong trung bình bằng không. Do đó, không có áp suất dư thừa bên trong bong bóng như vậy.

Cơm. 6.

Có nhiều bề mặt khác bị cong theo mọi hướng, nhưng độ cong trung bình của chúng vẫn bằng 0 và những bề mặt này không tạo ra bất kỳ áp suất nào. Để có được chúng, bạn chỉ cần lấy bất kỳ khung dây uốn cong nào và ngâm vào nước xà phòng. Lấy khung ra, bạn có thể thấy nhiều bề mặt khác nhau với độ cong trung bình bằng 0, hình dạng của nó phụ thuộc vào hình dạng của khung. Tuy nhiên, kataenode là bề mặt quay duy nhất ngoài mặt phẳng có độ cong trung bình bằng 0.

Một trong những bài toán khoa học toán học đặc biệt của hình học vi phân là sự che khuất của các bề mặt như vậy với độ cong trung bình bằng 0 được kéo dài bởi các đường cong không gian khép kín. Có một định lý toán học chính xác nói rằng diện tích của các bề mặt như vậy luôn là tối thiểu và giờ đây nó có vẻ rất thuận tiện đối với chúng ta.

Bong bóng xà phòng có thể kết nối với nhau tạo thành bọt. Bất chấp sự hỗn loạn trong việc sắp xếp các màng xà phòng trong điều kiện nuôi nhốt, quy luật sau luôn được tuân theo: các màng chỉ giao nhau ở những góc bằng nhau (xem ảnh trên trang bìa).

Ví dụ, hãy xem xét hai bong bóng tiếp xúc với nhau và có một vách ngăn chung. Áp suất quá mức (so với khí quyển) bên trong bong bóng được xác định và xác định theo công thức Laplace:

$$\Delta p_1 = \frac{2\sigma'}{R_1}, \quad \Delta p_2 = \frac{2\sigma'}{R_2}.$$

Vì vậy, vách ngăn phải sao cho có thể tạo thêm áp suất bằng chênh lệch áp suất của bong bóng. Vì vậy, nó phải có độ cong nhất định. Bán kính $R_3$ độ cong của vách ngăn được xác định từ sự tương ứng

$$\frac{2\sigma'}{R_3} = \frac{2\sigma'}{R_2} - \frac{2\sigma'}{R_1},$$

18

Cơm. 9.

Trên thực tế, trên một đơn vị chiều dài của vòng tròn mà nước tiếp xúc với thành bình, chỉ có ba lực căng bề mặt tác dụng: $\sigma_{2-3}$ - sức căng bề mặt ở ranh giới giữa không khí và nước, $\sigma_{1-2}$ - sức căng ở ranh giới của nước và ngăn xếp, và $\sigma_{3-1}$ - sức căng ở ranh giới của ngăn xếp với không khí. Ở trạng thái cân bằng, bề mặt của chất lỏng tạo thành một góc tiếp xúc với tường sao cho hợp lực của ba lực này không có thành phần dọc theo tường: $\sigma_{1-3} = \sigma_{1-2} + \sigma_{2-3}\cos\theta$ (thành phần vuông góc được cân bằng bởi phản lực của tường). Đó là lý do tại sao

$$\cos\theta = \frac{\sigma_{1-3} - \sigma_{1-2}}{\sigma_{2-3}}$$

Chúng ta thấy rằng góc tiếp xúc chỉ phụ thuộc vào bản chất của ba môi trường tiếp xúc, cụ thể là vào sức căng bề mặt tại ranh giới của chúng. Nó không phụ thuộc vào độ lớn của trọng lực và hình dạng của tàu.

Bề mặt của chất lỏng, ranh giới với không khí, trong trạng thái không trọng lượng phải ở mức tối thiểu và do đó có hình cầu. Khi đó, hình ảnh cuối cùng về vị trí của chất lỏng trong bình ở điều kiện không trọng lực trở nên rõ ràng. Bề mặt hình cầu của chất lỏng bao phủ không khí ở thành bình để duy trì góc tiếp xúc (Hình 86). Tất nhiên, không có khái niệm lên xuống trong môi trường không trọng lực, và bức tranh này có thể quay như một góc.

Tại sao nước trong bình thủy tinh lại bao quanh bong bóng ở mọi phía, xé nó ra khỏi thành bình? Điều này thật dễ hiểu - xét cho cùng, nước sạch sẽ làm ướt hoàn toàn kính sạch (Hình 9, a). Góc tiếp xúc bằng 0, và chất lỏng sẽ được bao bọc bằng cách tác động thành một bong bóng hình cầu, bong bóng này sẽ chạm bề mặt của nó vào chồng bình. Nhưng sau đó nó có thể tách ra khỏi chúng và lắng xuống bên trong chất lỏng (Hình 9, b).

Tất nhiên, một nghiên cứu như vậy về hoạt động của chất lỏng trong môi trường không trọng lượng về bản chất chỉ mang tính chất định tính và các phép tính thực sự rất phức tạp về mặt vật lý và toán học bài toán. Tuy nhiên, một nghiên cứu định tính như vậy đã giúp chúng tôi hình dung một cách chính xác hành vi của một chất lỏng “không trọng lượng”.

Làm thế nào có thể xà phòng?

Khi thậm chí một lượng nhỏ xà phòng hoặc bột giặt được hấp thụ vào nước, hiệu quả làm sạch của nó sẽ được tăng cường đáng kể. Tính chất này được giải thích là do xà phòng, da đầu

20

trong nước, các hạt bụi bẩn và giọt mỡ sẽ bị loại bỏ cùng với nó.

Điều thú vị là sự hình thành bọt ổn định chỉ là tác dụng phụ của việc giảm sức căng bề mặt khi chất tẩy rửa hòa tan. Bọt được hình thành từ các bọt khí rơi vào bên trong nước (khi được khuấy, có dòng nước). Sau đó, chúng nổi lên trên bề mặt và thấy mình được bao quanh bởi một lớp màng chất lỏng. Nếu sức căng bề mặt không cao thì áp suất dư thừa bên trong bong bóng sẽ thấp và bong bóng sẽ không vỡ. Tất nhiên, độ bền cao của màng xà phòng cũng đóng một vai trò quan trọng ở đây.

Cơ chế của hành động giặt, được thảo luận ở đây, cũng được quan tâm liên quan đến các nhiệm vụ kỹ thuật quan trọng khác - phủ bề mặt bằng vecni và sơn, liên kết, nhuộm vải bằng huyền phù, làm vải không thấm nước.

Ví dụ, để tạo ra một loại vải không thấm nước, chất chuyên dụng mang tính giáo dục của nó sẽ tạo thành một lớp màng mỏng bao quanh mỗi sợi. Lớp màng này làm tăng đáng kể sức căng bề mặt ở bề mặt tiếp xúc vải-nước, nhưng ít làm thay đổi sức căng ở bề mặt tiếp xúc vải-không khí. Nếu công thức tính góc tiếp xúc θ được hình thành thì dễ dàng nhận thấy góc θ tăng lên. Kết quả là nước không làm ướt vải mà đọng lại trên vải thành từng giọt làm lăn vật liệu.

Màng hấp phụ được sử dụng để làm giảm sự bốc hơi nước từ bề mặt hồ chứa, đây là một vấn đề quan trọng ở những vùng khô cằn. Một màng bảo vệ dễ dàng được tạo ra trên toàn bộ bề mặt của bể chứa, vì sự hấp phụ luôn làm giảm sức căng bề mặt (nếu không thì sự hấp phụ sẽ không tạo ra năng lượng bề mặt). Lực căng bề mặt của nước tinh khiết tác dụng lên ranh giới màng, có xu hướng làm màng bị kéo căng và

lực căng của bản thân màng được hướng theo hướng ngược lại. Sức căng bề mặt của nước sạch lớn hơn và kết quả là màng bao phủ toàn bộ bề mặt sạch.

Để tạo màng bảo vệ, người ta sử dụng một chất đặc biệt - hexadecanol. Trong điều kiện bình thường, đây là chất rắn nổi trên mặt nước. Nếu toàn bộ bề mặt nước được bao phủ bởi một lớp đơn phân tử bị hấp phụ thì chất đó không được tiêu thụ. Tuy nhiên, nếu phim bị hư hỏng ở đâu đó. Khi sức căng bề mặt tăng lên ở nơi này, nó sẽ kéo màng từ các khu vực lân cận, v.v. Kết quả là màng bị vỡ và ở gần mảnh chất nổi, giúp phục hồi màng.

Người ta nhận thấy rằng để tạo ra một lớp màng bảo vệ trên diện tích 1 EA thì cần khoảng 2 EA hexadecanol và lượng mất đi trung bình là 2-3 lớp đơn phân tử mỗi ngày. Do đó, việc tiêu thụ chất để duy trì màng chỉ khoảng 60 ea mỗi ngày và phương pháp này mang lại lợi nhuận kinh tế. Ví dụ, ở Australia, mỗi ngày tiết kiệm được khoảng 10 triệu lít nước/ha mặt nước.

Bài tập

1. Được biết, một số côn trùng không chỉ ở trên mặt nước do sức căng bề mặt mà còn di chuyển dọc theo nó, tiết ra một chất lỏng đặc biệt làm giảm sức căng bề mặt của nước. Côn trùng phải tiết ra chất lỏng như thế nào để tiến về phía trước?
2. Hai bong bóng xà phòng giống hệt nhau cho biết trạng thái cân bằng của chúng có ổn định không?
3. Vẽ đồ thị áp suất theo chiều cao trong ống mao dẫn với một đầu đặt a) trong nước, b) trong rue.
4. Tại sao các que diêm nổi gần nhau trên mặt nước lại dính vào nhau? Que diêm sẽ tương tác như thế nào nếu lần đầu tiên chúng được nhúng vào parafin? (Nước làm ướt gỗ nhưng không làm ướt parafin.)
5. Một bình cầu chứa chất lỏng không làm ướt thành bình. Góc tiếp xúc là θ. Chất lỏng sẽ lắng xuống như thế nào trong môi trường không trọng lực?

21

Lời giải bài toán công trình thử nghiệm giới thiệu của VZMSH 1973
A. L. Toom

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài viết thú vị nhất bài toán từ tác phẩm giới thiệu về VZMSH năm 1973 (xem «Kvant» Số 1, 1973, trang 49).

Bài toán 2. Có số nguyên nào như số có $(k+1)$ chữ số không. Hãy biểu thị chữ số đầu tiên của nó bằng $x$ và số còn lại sau khi gạch bỏ nó bằng $y$. Vậy số ban đầu là $10^k x + y$. Nó trùng với điều kiện với 57$y$:

$$10^k x = 56y.$$

Vì 56 chia hết cho 7 nên $x$ chia hết cho 7. Nhưng $x$ là một chữ số nên nó là $x = 7$ và $y = 10^k/8$.

Với $k \geq 3$ thì số $y$ là số nguyên. Bằng cách nhấp vào $k = 3$, chúng tôi nhận được một trong những đáp số có thể:

$$10^k x + y = 7125.$$

Bài toán 5. 4 số được viết trên bảng. Chúng được cộng theo mọi cách có thể theo cặp và nhận được các tổng bằng số sau: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Những con số nào được viết trên bảng?

Chúng ta hãy biểu thị số nhỏ nhất trong số ban đầu bằng $A$, số lớn tiếp theo là $B$, số tiếp theo là $C$ và số lớn nhất là $D$. Vì vậy, $A \geq B \geq C \geq D$. Khi đó tồn tại các bất đẳng thức sau giữa tổng của chúng bằng hai:

$$A + B \leq A + C \left\{ \begin{array}{l} \leq A + D \\ \leq B + C \end{array} \right\} B + D \leq$$

Sử dụng những bất đẳng thức này, có thể dễ dàng phân phối rõ ràng các giá trị số đã cho trong các điều kiện giữa các tổng, đây là điều đã được thực hiện. Trong số bốn người trong số họ, đáp số được tìm thấy:

$$A = -1,5; \quad B = 3,5;$$

$$C = 5,5; \quad D = 10,5.$$

Cần kiểm tra xem hai số tiền còn lại có đúng như quy định trong điều kiện hay không.

Bài toán 6. Có thể xét 9 số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trong một vòng tròn sao cho tổng của ba số bất kỳ liên tiếp đều chia hết cho 3 và là: a) lớn hơn 9; b) hơn 12?

a) Có thể được. Ví dụ: 1, 9, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 8.

b) Điều đó là không thể được. Đặt tổng của mỗi bộ ba số liền kề ít nhất là 15. Khi đó, vì tổng của tất cả

22

Số các số từ 1 đến 9 bằng 45, tổng của mỗi bộ ba là 15. Nhưng khi đó các số cách nhau ba chữ số phải bằng nhau, điều này là không thể.

Bài toán 7. Tam giác ABC sau khi quay gần đỉnh A chiếm vị trí $AB_1C_1$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng AC chia đôi đoạn $BB_1$ thì đường thẳng $AB_1$ chia đôi đoạn $CC_1$.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $M$ điểm giao nhau của các đường $AC$ và $BB_1$. Hai trường hợp cách nhau.

a) $M$ giống với $A$. Khi đó $A$ là tâm của đoạn $BB_1$ và do đó góc quay là $180^\circ$. Nhưng khi đó $A$ là tâm của đoạn $CC_1$, và tất nhiên, $AB_1$ chia đôi $CC_1$.

6. $M$ không giống với $A$. Sau đó $\triangle ABM = \triangle AB_1M$ ở ba phía. Vì vậy $MAB = MAB_1$.

Nếu điểm $C$ nằm cùng phía với $A$ với điểm $M$ thì các góc $CAB$ và $CAB_1$ trùng với góc này. Nếu điểm $C$ nằm ở phía đối diện thì các góc $CAB$ và $CAB_1$ liền kề với điểm đó. Trong cả hai trường hợp

$$CAB_1 = CAB = C_1AB_1,$$
nghĩa là, $AB_1$ là bissertis của góc $A$ trong $\triangle CAC_1$. Vì nó cách đều nên $AB_1$ cũng là trung tuyến, đây là điều cần chứng minh.

Bài toán 8. Hãy tưởng tượng số 203 là tổng của một số tổng dương, sao cho tích của các tổng này có thể là 203.

Các số được yêu cầu thậm chí có thể được lấy dưới dạng số nguyên:

$$203 = 29 + 7 + 1 \dots + 1 = 167 \text{ раз} = 29 \cdot 7 \cdot 1 \dots 1. 167 \text{ раз}$$

(Với các số không nguyên thì còn rất nhiều đáp số khác).

Bài toán 10. Có thể chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần của mô hình bởi 4 đường thẳng khác nhau? Chúng tôi áp dụng nó cho mọi trường hợp.

Nếu tất cả các đường thẳng song song thì có năm phần. Hãy chứng minh rằng trong mọi trường hợp khác có ít nhất 8 phần. Hãy vẽ một vòng tròn lớn sao cho tất cả các điểm giao nhau đều nằm bên trong nó (xem Hình 1, trong đó mọi thứ bên trong vòng tròn không được vẽ cho rõ ràng). Tám vòng tròn không giao nhau xuất hiện từ đó, chia thành tám khu vực. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng tất cả các khu vực này thuộc về các phần khác nhau. Giả sử rằng hai vùng thuộc cùng một phần (các vùng $A$ và $B$ trong Hình 1). Khi đó bốn vòng giới hạn chúng thuộc về hai đường thẳng song song (xem Hình 1). Nhưng sau đó một số đường khác cắt chúng và vẫn tách $A$ khỏi $B$.

Bây giờ chúng ta hãy ước tính số lượng bộ phận tối đa có thể. Chúng tôi sẽ tiến hành từng dòng một. Lý do chung chung sẽ dễ dàng hơn: hãy lên máy bay

23

Cơm. 3.

$n$ các đường thẳng đã được thực hiện và chúng tôi đang tiến hành lần thứ $n + 1$. Rõ ràng, không có nhiều hơn $n$ điểm giao nhau trên đó, chia nó thành không quá $n + 1$ phần. Mỗi phần chia một số phần thành hai. Do đó, số lượng bộ phận tăng không quá $n + 1$. Đối với một phần thẳng luôn có hai phần, vì vậy đối với bốn phần thì không còn phần thẳng nữa

$$2 + 2 + 3 + 4 = 11.$$

Vì vậy, có năm phần, hoặc ít nhất là tám phần và không giống nhau nữa. Các ví dụ trong Hình 2 cho thấy tất cả các trường hợp này đều có thể xảy ra.

Ghi chú. Có thể sử dụng các phương pháp khác lời giải: cách liệt kê tài khoản này hoặc cách khác. Lý luận của chúng ta có thể dễ dàng được khôi phục về trường hợp dòng $n$ và cho phép chúng ta chứng minh rằng số phần bằng $n + 1$ hoặc không nhỏ hơn $2n$ và không lớn hơn $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$. Tuy nhiên, đối với $n$ lớn thì không phải tất cả các số trong dự án này đều có thể thực hiện được. (Còn con số nào có thể, con số nào không thì không biết).

Bài toán 11. Vào buổi sáng, Kolya và Olya quyết định đổ hydro. Kolya mở vòi, đổ đầy bình tưới của mình, và ngay sau anh ta, Olya đặt bình tưới của mình dưới dòng suối. Kolinaleika hoàn thành trong 15 giây và Olina sau 10 giây. Sau khi đổ đầy bình tưới, mỗi đứa trẻ có thể bắt đầu đổ hydro. Nước rơi từ Kolinoyeika trong 60 giây và từ Olina trong 45 giây. Ngay khi bình sữa cạn, mỗi lần thay bình, chúng ta thay bình dưới dòng nước, và nếu lúc này chúng ta bắt đầu đổ nước bằng bình khác thì chúng ta sẽ chứng minh cho đến khi hết vòi, và ngay lập tức bắt đầu đổ đầy bình sữa. Khi một người không nhặt leika của mình. Khi người ta không múc nước, nước sẽ đổ vào thùng đặt dưới vòi. Nếu không có ai lấy nước thì trong 15 phút thùng sẽ đầy. Sẽ mất bao lâu sau khi mở vòi để đổ đầy thùng nếu Kolya và Olya đã đổ hydro suốt thời gian qua? Ai sẽ là người đầu tiên múc nước sau tôi, như nước được múc qua mép thùng?

bài toán này có thể được giải quyết một cách thuận tiện bằng cách sử dụng biểu đồ. Hãy vẽ sơ đồ các hành động của Kohl và Olya. Làm đầy phổi sẽ được biểu thị bằng cách loại bỏ, tưới nước bằng màu đỏ, chờ đợi bằng màu đen. Thật thuận tiện để lấy thang đo như sau: có 5 giây trong một ô. Phần đầu của biểu đồ được hiển thị trong Hình 3. Nếu bạn hoàn thành biểu đồ đến ô thứ 50, bạn sẽ nhận thấy rằng ô thứ 48 về cơ bản trùng với ô thứ 2 (Kolya 5 giây lấp đầy phổi của anh ấy và Olya chờ đợi); Ngày 49 trùng với ngày 3; Thứ 50 - từ thứ 4, v.v. Do đó, hành động của Kolya và Olya sẽ được lặp lại định kỳ sau mỗi 46 ô (230 giây). Đồ thị cho thấy trong một chu kỳ, nước được đổ vào thùng trên 29 ô. Vì 15 phút tương ứng với 180 ô và 180 = $6 \cdot 29 + 6$, nên 6 tiết đầy đủ và một phần của tiết thứ bảy phải trôi qua cho đến khi thùng đầy.

Sử dụng biểu đồ của kỳ đầu tiên, chúng tôi xác định rằng phần này là 11 ô. Tổng cộng, cho đến khi thùng đầy, $6 \cdot 46 + 11 = 287$ ô sẽ trôi qua, tức là 23 phút 55 giây. Sử dụng cùng một biểu đồ, chúng ta thấy rằng Olya sẽ là người đầu tiên đổ đầy nước vào phổi sau khi đổ đầy nước.

24

Bài toán
M211-M215; F223-F227

M211. Cho $n$ điểm, $n > 4$. Chứng minh rằng bạn có thể nối chúng bằng các mũi tên sao cho từ mỗi điểm bạn có thể đến từng điểm bằng cách đi theo một hoặc hai mũi tên (mỗi điểm có thể được nối bằng một mũi tên chỉ theo một hướng; bạn chỉ có thể đi theo mũi tên theo hướng chỉ trên đó). (8 lớp)

G. Sh. Friedman

M212. Tại phiên tòa, 14 đồng xu được đưa ra làm bằng chứng. Chuyên gia phát hiện ra bảy cái trong số đó là giả, cái yếu nhất là thật, ông tìm ra cái nào là giả, cái nào là thật. Tòa án chỉ biết rằng tiền giả có giá trị như nhau, tiền thật có giá trị như nhau và tiền giả nhẹ hơn tiền thật. Chuyên gia này muốn chứng minh trước tòa bằng cách cân trên chiếc cân cốc không dính bụi bẩn rằng tất cả những đồng tiền giả mà ông phát hiện được đều là tiền giả, còn lại là tiền thật. Liệu anh ấy có thể làm được điều đó không? (lớp 8, lớp 9)

R. V. Freivald

M213. Cho một góc có đỉnh $O$ và một đường tròn tiếp xúc với các cạnh của nó tại các điểm $A$ và $B$. Một tia được vẽ từ điểm $A$ song song với $OB$, cắt đường tròn tại điểm $C$

25

Đoạn OC cắt đường tròn tại điểm E, các đường thẳng AE và OB cắt nhau tại điểm K. Chứng minh OK = KB. (lớp 9, lớp 10)

E. V. Sallinen

M214. Tam giác vuông f(x) = ax² + bx + c sao cho phương trình f(x) = x không có nghiệm thực. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x cũng không có nghiệm thực. (10 lớp)

Yu. I. Ionin

M215.* Trên một tờ giấy trắng kẻ ô vuông có vô số n ô được tô màu đen. Tại thời điểm t = 1, 2…, việc đổi màu đồng thời tất cả các ô của trang tính sẽ diễn ra theo quy tắc sau: mỗi ô k nhận được màu mà hầu hết ba ô có ở thời điểm trước đó: chính ô k và các ô lân cận ở bên phải và phía trên (nếu hai hoặc ba ô này màu trắng thì k trở thành màu trắng, nếu hai hoặc ba ô màu đen thì đen).

a) Chứng minh rằng sau một thời gian hữu hạn sẽ không còn ô đen nào trên tờ giấy.

6. Chứng minh rằng ô đen sẽ biến mất không muộn hơn thời điểm t = n. (10 lớp)

A. L. Toom

F223. Mô hình tàu được đẩy và báo vận tốc v₀ = 10 m/s. Khi mô hình chuyển động, nó chịu tác dụng của một lực cản tỷ lệ thuận với tốc độ: F = -kv. a) Tìm quãng đường mà mô hình đã đi được trong thời gian vận tốc của nó giảm đi một nửa. b) Tìm đường đi mà mô hình bao phủ trước khi nó dừng hẳn. Xét k = 0,5 ke/s. Khối lượng mô hình m = 0,5 ke. (8 lớp)

F224. Dọc theo các đường dốc bằng gỗ tạo thành một góc α với đường chân trời, một hộp được chèn phía sau sợi dây. Hệ số ma sát của hộp đối với điểm hội tụ μ. Dây phải nghiêng một góc bao nhiêu so với đường chân trời để nhét được hộp có số nhỏ nhất: a) đều, 6) với gia tốc a cho trước? (lớp 8, 10)

F225. Hai chất lỏng không trộn lẫn được đổ vào ly: cacbon tetraclorua CCl₄ và nước. Ở áp suất khí quyển bình thường, CCl₄ sôi ở 76,7° C, nước - ở 100° C. Khi một cốc thủy tinh được đun nóng đồng đều trong nồi cách thủy, quá trình sôi ở bề mặt tiếp xúc chất lỏng bắt đầu ở nhiệt độ 65,5° C. Xác định chất lỏng nào sôi nhanh ở “biên giới” sôi như vậy và sôi bao nhiêu lần. Áp suất hơi bão hòa của nước ở 65,5°C là 192 mm/phút. cm. (lớp 9, lớp 10)

F226. Một động cơ điện DC được kích thích độc lập (có nam châm vĩnh cửu) nâng tải với tốc độ v₁ bằng cách sử dụng một sợi dây quấn quanh trục động cơ. Khi không có tải trọng, sợi dây không trọng lượng tăng lên với tốc độ v₀. Tải tương tự sẽ giảm ở tốc độ nào nếu xảy ra đoản mạch trong mạch phần ứng, do đó cuộn dây phần ứng bị đoản mạch? Chúng tôi có khiếu nại về vòng bi. (10 lớp)

F227. Hai cuộn dây được quấn trên lõi ferrite horopod có độ thấm từ μ = 2000: một cuộn sơ cấp có n₁ = 2000 vòng và một cuộn thứ cấp có n₂ = 4000 vòng. Khi đặt điện áp U₁ = 100,0 V vào cuộn sơ cấp, trên cuộn thứ cấp hở, nếu lõi được thay thế bằng lõi có cùng kích thước nhưng làm bằng ferit có μ’ = 20. Rò rỉ từ thông và tổn thất trong lõi không được tính đến. (10 lớp)

26

Lời giải bài toán

M170—M173; F188—F192

M170. a) Gọi $M$ và $N$ là điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác ABC trên các cạnh AB và AC, P là giao điểm của đường thẳng MN với phân giác của góc B. Chứng minh rằng góc BPC vuông.

b). Chứng minh một thực tế tổng quát hơn: nếu điểm O nằm bên trong tam giác, cho cực đại $BOC - BAO = 90^\circ$, M và N là đáy của các đường vuông góc hạ từ điểm O đến các cạnh AB và AC, P là giao điểm của các đường thẳng BO và MN thì $BPC = 90^\circ$ (Hình 1).

Vấn đề a), thực ra, là trường hợp đặc biệt 6): nếu O là tâm của đường tròn nội tiếp thì BOC trong tổng các góc OCB và OBC bằng 180°, và BAO trong tổng có các góc bằng nhau bằng một nửa tổng các góc của tam giác, tức là 90°.

Chúng ta sẽ giải quyết tư thế ngay bài toán 6). Để xác định điểm, hãy đặt P nằm trên phần tiếp theo của đoạn MN ngoài điểm N, như trong hình của chúng ta. (Các trường hợp khác được chia theo cách tương tự; bạn có thể dễ dàng tự mình xử lý.) Theo điều kiện $OMA = ONA = 90^\circ$, do đó, vectơ của tứ giác OMNA có thể mô tả bằng một đường tròn, do đó,

$$OMM = OAM = BAO.$$

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các điểm O, N, P và C nằm trên cùng một đường tròn. Thật vậy, $CNP = MNA = 90^\circ - MNO = 90^\circ - BAO = 180^\circ - BAO$.

Sử dụng điều kiện bài toán: $BOC - BAO = 90^\circ$, ta thu được $CNP = CPO$.

Cuối cùng, vì tứ giác CONP là tuần hoàn nên đẳng thức $CPO = CNO = 90^\circ$ mà chúng ta cần tuân theo.

I. F. Sharytsin

M171. Một tấm ván sáu chiều thông thường được vẽ trên mặt phẳng, chiều dài cạnh của nó bằng 1. Dùng thước kẻ dựng một đoạn có chiều dài $\sqrt{7}$.

Bạn có thể dễ dàng chứng minh rằng độ dài của các đoạn màu đỏ trong Hình 2 bằng $\sqrt{7}$.

Cơm. 2.

M172. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì số $\underline{11\dots1}$ $\underline{22\dots2}$ $\underline{33\dots3}$ $\dots$ $\underline{99\dots9}$ $= \underline{10\dots02}$ $\underline{0\dots03}$ $\dots$ $\underline{0\dots08}$ $\underline{0\dots09}$ $= 10^8p + 2 \cdot 10^7p + 3 \cdot 10^6p + \dots + 8 \cdot 10^p + 9 = C$, $\underline{11\dots1} = E$.

Rõ ràng là $B = E \cdot C$, $C - A = (10^8p - 10^8) + 2 (10^7p - 10^7) + 3 (10^6p - 10^6) + \dots + 8 (10^p - 10)$, $10^p - 10 = (9 \cdot E + 1) - 10 = 9 (E - 1)$.

Theo định lý nhỏ Fermat (xem «Kvant» Số 10 (1972)), số $n^p$ - n chia hết cho $p$ với mọi số nguyên tố $p$ và mọi tự nhiên

27

Cụ thể, $10^p - 10, 10^2p - 10^2, \dots, 10^8p - 10^8$ chia hết cho $p$. Vậy $C - A$ chia hết cho $p$ và $9(E - 1)$ chia hết cho $p$.

Vì tổng các chữ số của số $A$ là 45 nên $A$ chia hết cho 9 và do đó $A(E - 1)$ chia hết cho 9 $(E - 1)$. Do đó, $A(E - 1)$ chia hết cho $p$.

Do đó, $B - A = EC - AE + AE - A = E(C - A) + A(E - 1)$ chia hết cho $p$, đây là điều cần chứng minh.

M. L. Gerver

M173. Trong bảng vuông $4 \times 4$ khoảng cách các số lớn nhất là 1, 2, 3, …, 16, sao cho tổng các số ở tất cả các hàng trong mỗi hàng, trong mỗi cột và trên mỗi đường chéo đều bằng cùng một số, với 1 và 16 đứng ở các góc đối diện của bảng. Chúng ta hãy chứng minh rằng trong phương trình bậc hai này, tổng của hai số bất kỳ nằm đối xứng qua tâm bằng 17. Đối với các số 1 và 16, điều này đúng theo điều kiện. Giả sử rằng 1 ở góc trên bên trái và 16 ở góc dưới bên phải, thì hai số còn lại trên cùng một đường chéo - hãy biểu thị chúng bằng $a$ và $a'$ - thỏa mãn đẳng thức $a + a' = 17$. Chúng ta hãy luôn đồng ý biểu thị số bổ sung $x$ lên đến 17 bằng $x' : x' = 17 - x$.

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng ký hiệu được đưa ra trong Hình 3 ($S_i$ biểu thị tổng các số trong các ô tương ứng).

Các đẳng thức sau đây đúng:
$$S_1 + c + d + a + a' + S_2 + S_3 + c + d + a + a' + S_4 + 2(b + c + d + e) = 34 \cdot 6$$

Cơm. 3.

Cơm. 4.

Cơm. 5.

28

Cơm. 6.

F188. Một chiếc tủ lạnh có dung tích $P$ trong thời gian $t$ đã biến $n$ lít nước thành đá, ban đầu có nhiệt độ $t^\circ$ C. Trong thời gian này, bao nhiêu nước đã thoát ra khỏi phòng?

Từ nguyên lý hoạt động của bất kỳ thiết bị làm lạnh nào, tất cả năng lượng mà tủ lạnh tiêu thụ từ mạng và năng lượng được tách ra khỏi các sản phẩm được làm mát (trong trường hợp này là nước) đều được chuyển thành nhiệt. Điều này có nghĩa là lượng nhiệt tỏa ra trong phòng trong thời gian $t$, $Q = P\tau + c_B m_B t^\circ + \lambda m_B$,

trong đó $m_B = n$ là khối lượng nước tính bằng kcal, $c_B$ là nhiệt dung riêng của nước và $\lambda$ là nhiệt dung riêng của sự tan chảy của băng.

Tôi. Sh. Slobodetsky

F189. Điện tích $q = 10^{-8}$ to được phân bố đều trên tâm của một hình tròn có bán kính $R = 1$ cm với góc khoảng cách bằng nước và $\lambda = 2/3$ π radian. Xác định cường độ điện trường tại tâm đường tròn.

a) Thể tích của cung được chia thành $n$ phần bằng nhau, mỗi phần có điện tích $q/n$. Khi đạt đến mức $n$ ($\pi R/n \ll R$) lớn, những khoản phí này có thể được coi là chính xác. Mỗi điện tích tạo ra một trường ở tâm vòng tròn có cường độ $\Delta E_i$ có độ lớn bằng nhau

$$\Delta E_i = k \frac{q}{nR^2},$$

ở đâu $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9.10^9 \text{ nm}^2/\text{k}^2$. Hướng của vectơ $\Delta E_i$ được thể hiện trong Hình 6,a.

Để tìm tổng cường độ trường $E = \sum_{i=1}^{n} \Delta E_i$, chúng ta sẽ chỉ cộng các vectơ này, đặt phần đầu của mỗi vectơ ở cuối vectơ trước đó (Hình 6.6). Giá trị $E$ càng lớn thì độ chính xác của việc xác định $n$ càng cao.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi $n$ đạt đến một đường gãy lớn, được hình thành bằng cách cộng các vectơ $\Delta E_i$, người ta có thể nhận thấy một hình bán nguyệt và độ lớn của vectơ $E$ về mặt số học bằng đường kính của nó. Đối với hình bán nguyệt $l$ bằng

$$l = n \Delta E_i = n \frac{kq}{nR^2} = \frac{kq}{R^2}.$$

Mặt khác, $l = \pi E/2$.

Từ đây

$$E = \frac{2l}{\pi} = \frac{2kq}{\pi R^2} = 5.7 \cdot 10^5 \text{ σ/m}.$$

6. Bài toán đối với cung có góc mở tùy ý $\varphi$ cũng được giải tương tự. Trong trường hợp này, vectơ $E$ là dây cung của cung tròn (Hình 7.6). Độ dài của cung là $l = n \Delta E_i$, góc ở tâm là $\varphi$ (pad) ($\varphi$ là góc lớn nhất giữa các vectơ $\Delta E_i$).

Chúng ta hãy biểu thị bán kính của hình tròn $r$ và biểu thị qua nó độ dài của cung $l$ và dây cung $E$:

$$l = r \varphi, \quad E = 2r \sin \frac{\varphi}{2}.$$

Nhưng $l = n \Delta E_i = kq/R^2$ do đó

$$E = 2 \frac{kq}{\varphi R^2} \sin \frac{\varphi}{2}.$$

Với $\varphi = 2/3$ π chúng ta nhận được

$$E = 7.4 \cdot 10^5 \text{ σ/m}.$$

V. G. Svetmozarov

F190. Tải trọng được buộc trên một sợi dây vào một thanh dầm vuông $c$ theo cạnh $a$ (Hình 8). Chiều dài dây $l = na$ ($n$ là số nguyên). Tải trọng được truyền với tốc độ $V$ theo hướng vuông góc với sợi dây. Sau bao lâu thì toàn bộ sợi dây quấn quanh dầm?

Chúng ta hãy xem xét trường hợp tại thời điểm ban đầu sợi dây song song với một trong các mặt bên của dầm ($\alpha = 0$). Tải bắt đầu di chuyển xung quanh mép $A$ dọc theo một vòng tròn bán kính $l$ với tốc độ tuyến tính $V$. Sau một phần tư vòng, sợi dây chạm vào mép dầm, tải trọng có cùng tốc độ tuyến tính dọc theo một vòng tròn bán kính $l - a$. Sau một phần tư lượt quay nữa, bán kính của hình tròn sẽ trở thành $l - 2a$, v.v.

30

Định luật bảo toàn năng lượng là một trong những định luật cơ bản của tự nhiên. Ông lập luận rằng năng lượng không sinh khởi cũng không biến mất; trong bất kỳ quá trình vật lý nào nó chỉ chuyển hóa từ loại này sang loại khác hoặc truyền từ cơ thể này sang cơ thể khác. Có thể nói rằng định luật này thiết lập các điều kiện cho sự cân bằng năng lượng của các quá trình vật lý.

Định luật bảo toàn năng lượng không phải là hệ quả của bất kỳ định luật vật lý nào khác. Nó thu được là kết quả của sự khái quát hóa toàn bộ tập hợp các sự kiện thực nghiệm, bao gồm cả các hiện tượng quy mô lớn ở quy mô vũ trụ và nguồn gốc của chính chúng trong thế giới phân tử, nguyên tử và các hạt cơ bản. Những sự thật đặc trưng cho các quá trình cơ, nhiệt, điện từ, hạt nhân, hóa học và sinh học không có lý do gì để nghi ngờ tính đúng đắn của định luật bảo toàn năng lượng.

Ở dạng toán học tổng quát nhất, định luật này có thể được viết như sau:

$$\Delta E + \Delta U = A + Q.$$ (1)

Ở đây $\Delta E$ là độ biến thiên cơ năng của hệ, bằng tổng độ biến thiên động năng và thế năng của các vật có trong hệ đang xét; $\Delta U$ - sự thay đổi năng lượng bên trong của các phần của hệ thống; $A$ - công của ngoại lực; $Q$ là nhiệt mà hệ thống nhận được.

Khi xem xét bất kỳ quá trình cụ thể nào, định luật bảo toàn năng lượng thường được viết dưới dạng đơn giản hơn. Vì vậy, ở mức lời giải cơ học bài toán thường không được sử dụng trong truyền nhiệt bên trong ($Q = 0$). Trong trường hợp này đẳng thức giữ:

$$\Delta E + \Delta U = 0.$$

Một ví dụ về quá trình trong đó cơ năng được chuyển hóa thành nội năng là va chạm không đàn hồi.

Nếu lực cơ học tác dụng lên hệ chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối của vật thì

$$\Delta E = A,$$

và trong các hệ cô lập

$$\Delta E = 0.$$

Hai đẳng thức cuối cùng có thể thu được trực tiếp từ các định luật Newton. (Ví dụ, hãy xem xét sự rơi tự do của các vật thể trong trường trọng lực, như được thực hiện trong sách giáo khoa vật lý lớp 8). Do đó, chúng ta có thể nói rằng định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học không độc lập, mặc dù định luật tổng quát về bảo toàn và biến đổi năng lượng (chúng ta hãy lưu ý lại điều này) không thể suy ra từ bất kỳ định luật vật lý nào khác.

Trong lý thuyết về các quá trình nhiệt, những bài toán như vậy thường được xem xét trong đó sự thay đổi cơ năng c có thể bị bỏ qua

31

thân cây. Từ đó suy ra rằng
$$\Delta U = A + Q.$$
Định luật bảo toàn năng lượng ở dạng này gọi là định luật nhiệt động thứ nhất *). Đối với hệ thống cách nhiệt $Q = 0$, và do đó
$$\Delta U = A.$$
Trong một số bài toán về hiện tượng điện từ, việc ghi lại định luật bảo toàn năng lượng cũng được đơn giản hóa, chẳng hạn khi $\Delta E = 0$ hoặc $Q = 0$. Cần nhớ rằng năng lượng của điện trường và từ trường tồn tại trong một hệ thống nhất định được bao gồm trong năng lượng bên trong của hệ thống.
Định luật bảo toàn năng lượng (cùng với định luật bảo toàn động lượng và các định luật bảo toàn khác rút ra từ vật lý, chưa được học ở trường trung học) là một công cụ đắc lực cho lời giải vật lý bài toán. Lý do chính của điều này là định luật bảo toàn năng lượng luôn có hiệu lực, bất kể diễn biến của quá trình và bản chất của các lực tác dụng. Định luật này cũng có thể được sử dụng khi diễn biến của quá trình nói chung là không xác định - chỉ các trạng thái ban đầu và cuối cùng của hệ thống được trích xuất. Ví dụ, đây là trường hợp trong vật lý hạt cơ bản.
Bây giờ chúng ta sẽ phân tích một số bài toán, trong đó việc áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho phép chúng ta hiểu tình huống trong đó các mô hình đường kính dẫn đến các phép tính toán học rất phức tạp và đôi khi thậm chí dẫn đến ngõ cụt.
Tất cả bài toán đều được lấy từ bài viết trong kỳ thi tuyển sinh tại MIPT năm 1970-1972.
Bài toán 1. Trên mặt phẳng nghiêng từ độ cao $h$ chiếc vòng bị nghiền nát mà không xuyên qua nhà sư. Xác định vận tốc của nó ở cuối mặt phẳng nghiêng.
bài toán này có thể được giải chỉ bằng định luật Newton. Nhưng

*) Thường thì phần mở đầu đầu tiên được gọi là sự tương ứng tổng quát hơn (1).

Cơm. 1.
lời giải như vậy thực tế không thể thực hiện được trong khuôn khổ một khóa học ở trường.
Hãy sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.
Ban đầu vòng có thế năng $mgh$ (m là khối lượng của vòng); Đến cuối đường đi dọc theo mặt phẳng nghiêng, toàn bộ năng lượng này đã chuyển thành động năng, gồm năng lượng của chuyển động tịnh tiến $\frac{mv^2}{2}$ (v là tốc độ cuối cùng của khối tâm vòng) và năng lượng của chuyển động quay. Vì vòng không trượt nên tốc độ tuyến tính của tất cả các điểm của nó bằng tốc độ chuyển động tịnh tiến của toàn bộ vòng, tức là $v$. Do đó, động năng của chuyển động quay cũng như chuyển động tịnh tiến bằng $\frac{mv^2}{2}$.
Như vậy,
$$2 \cdot \frac{mv^2}{2} = mgh$$
Và
$$v = \sqrt{gh}.$$
Bài toán 2. Hai bình thông nhau có tiết diện $S_1 = 100 \text{ cm}^2$ và $S_2 = 200 \text{ cm}^2$ chứa đầy nước và đóng kín bằng piston. Hệ thống đang ở trạng thái cân bằng. Ở vị trí này, phông chữ lớn $m = 1$ke được đặt trên piston lớn hơn. Xác định lượng chổi sẽ được giải phóng trong hệ thống trong quá trình chuyển sang vị trí cân bằng mới (Hình 1).

32

Dưới tác dụng của trọng lượng của tải, hệ sẽ luôn chuyển động. Bạn có thể tính trực tiếp lượng nhiệt tỏa ra trong quá trình chuyển động, nhưng để làm được điều này, bạn cần biết nhiều dữ liệu bổ sung - lượng nước, độ nhớt của nó, hình dạng của ống nối, tính chất chuyển động của nước, v.v. Lời giải được đơn giản hóa đáng kể nếu bạn sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Vì ở thời điểm đầu và cuối, cả nước và trọng lượng đều tích tụ nên nhiệt chỉ tỏa ra do thế năng của hệ giảm $W$

$$Q = W_{\text{н}} - W_{\text{к}},$$

(1)

trong đó $W_{\text{н}}$ và $W_{\text{к}}$ là giá trị ban đầu và cuối cùng của thế năng. Dễ dàng nhận thấy thế năng của vật nặng giảm còn thế năng của nước tăng lên.

Hãy viết các biểu thức của $W_{\text{н}}$ và $W_{\text{к}}$ (hãy coi bình chứa là mức 0):

$$W_{\text{н}} = \rho g \frac{h^2}{2} (S_1 + S_2) + mgh$$

(2)

(h là mực nước ban đầu trong bình hàng ngày),

$$W_{\text{к}} = \rho g \frac{h^2}{2} S_1 + \rho g \frac{h^2}{2} S_2 + mgh_2$$

(3)

($h_1$ và $h_2$ lần lượt là cấp độ cuối cùng trong bình thứ nhất và thứ hai).

Các giá trị $h_1$ và $h_2$ có thể được tìm thấy từ điều kiện cân bằng của hệ và khối lượng không đổi của nước:

$$\rho gh_1 = \rho gh_2 + \frac{mg}{S_2},$$

(4)

$$\rho h_1 S_1 + \rho h_2 S_2 = \rho h (S_1 + S_2).$$

(5)

Giải hệ phương trình (1)–(5), ta tìm được

$$Q = \frac{m^2 g S_1}{2 \rho S_2 (S_1 + S_2)} \approx 0,08 \text{ дж.}$$

Bài toán 3. Phương pháp nào nổi bật trong mạch như hình 2.

Hình 2, khi chuyển phím $K$ từ vị trí 1 sang vị trí 2?

bài toán này, thoạt nhìn không có gì chung với cái trước, rất giống với sự chuyển đổi vị trí - ngược lại. Do đó, quá trình sạc lại tụ điện xảy ra và một dòng điện chạy qua mạch. Nếu biết điện trở của dây dẫn và nguồn dòng điện thì dòng điện có thể được xác định là hàm của thời gian và có thể tính được nhiệt sinh ra trong mạch.

Định luật bảo toàn năng lượng cho phép thu được điện tích ngay cả khi không biết độ lớn của quá trình, có nghĩa là năng lượng của tụ điện không thay đổi (trong trường hợp thứ nhất, cũng như trong trường hợp thứ hai, tổng e.d.c. của các nguồn sạc cho tụ điện bằng $E$). Vì vậy mọi công do nguồn dòng điện thực hiện đều phải chuyển thành nhiệt. Và công việc này không khó để tính toán. Nguồn có e. d. c. $2E$, không thực hiện công nào vì ở vị trí 2 nó bị ngắt khỏi mạch điện. Nguồn từ e. d. c. $E$ có ​​tác dụng vượt qua điện tích $q = 2CE$.

Vậy nhiệt lượng tỏa ra trong mạch bằng

$$Q = A = E \cdot 2CE = 2CE^2.$$

Bài toán 4. Một tụ điện có công suất $C_1 = 1$ uF được tích điện bằng hiệu giữa $U_0 = 300$ V. $K$ được đặt

33

Cơm. 3.

Một tụ điện không tích điện có xương $C_2 = 2$ µF được nối với nó thông qua diode D và độ tự cảm L (Hình 3). Menchalas sẽ bị tính phí chênh lệch bao nhiêu sau khi đóng khóa K? Điện trở của dây không đáng kể. Điện trở của diode theo hướng thuận có thể được coi là bằng 0 và theo hướng ngược lại, nó có thể được coi là vô cùng lớn. Giá trị của độ tự cảm L đủ lớn để quá trình nạp điện diễn ra chậm.

Tại thời điểm đầu tiên nạp điện, tụ điện có năng lượng điện dự trữ $\frac{C_1 U_0^2}{2}$.

Sau khi đóng chìa khóa, trong mạch xuất hiện một dòng điện; điện tích và do đó năng lượng của tụ thứ nhất giảm và tụ thứ hai tăng. Kết thúc quá trình, khi dòng điện trong mạch dừng thì tụ điện sẽ có năng lượng điện lần lượt là $\frac{C_1 U_1^2}{2}$ và $\frac{C_2 U_2^2}{2}$.

Tổn thất nhiệt trong hệ thống trong quá trình này có thể được bỏ qua vì điện trở mạch điện không đáng kể. Sự phát xạ năng lượng vào không gian là không đáng kể, vì quá trình sạc lại diễn ra chậm do có độ tự cảm cao trong mạch.

Do đó, định luật bảo toàn năng lượng có thể được viết như sau:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2} = \frac{C_1 U_0^2}{2}.$$ (1)

Ngoài ra, tất nhiên, hệ thống vẫn giữ lại điện tích, nghĩa là

$$C_1 U_1 + C_2 U_2 = C_1 U_0.$$ (2)

Từ hệ thống điều khiển (1) và (2) ta thu được mức tăng cần thiết

$$U_2 = \frac{2 C_1 U_0}{C_1 + C_2} = 200 \text{ e}.$$

Sau đó và e. Tính điện áp trên tụ thứ nhất $U_1$ và công bố kết quả.

Bài toán 5. Tell foremimic (Hình 4) là một buồng rỗng có diện tích bề mặt bên trong $S = 2 \text{ cm}^2$, có diện tích loại bỏ nhỏ $\sigma = 1 \text{ mm}^2$. Bề mặt bên trong của máy ảnh làm biến dạng một phần ánh sáng (hệ số vị trí $k = 0,01$) và làm tán xạ phần còn lại. Phần nào của luồng ánh sáng đi vào đầu vào của máy ảnh sẽ thoát ra qua nó?

Đặc tính định tính của bức xạ ánh sáng bên trong buồng có thể được mô tả như sau. Ánh sáng chiếu vào tường, một phần trăm năng lượng của nó bị hấp thụ và phần năng lượng còn lại bị tiêu tán. Một phần ánh sáng tán xạ được giải phóng thông qua sự từ chối, phần còn lại sẽ rơi trở lại bề mặt của bộ tách sóng quang và một phần trăm năng lượng này (ít hơn năng lượng ban đầu) sẽ bị hấp thụ và 99 phần trăm sẽ bị tán xạ, v.v.

Vì vật chịu trách nhiệm nhỏ và hệ số hấp thụ nhỏ nên mỗi “phần” ánh sáng nhỏ trước khi nó đi ngược lại qua đáp số

34

Cơm. 5. Hình 6.

chất rắn hoặc sẽ bị các bức tường hấp thụ, theo quy luật, sẽ đi qua khoang thu nhiều lần theo nhiều hướng khác nhau. Vì hướng của ánh sáng được xác định bởi các yếu tố ngẫu nhiên nên các dòng năng lượng theo các hướng khác nhau phải được cân bằng. Bức xạ đẳng hướng (phân bố đều theo mọi hướng) xảy ra trong buồng.

Hãy viết điều kiện cân bằng năng lượng cho bức xạ đó. Cho một luồng ánh sáng (năng lượng trên một đơn vị thời gian) $P_0$ đi vào buồng, một luồng $P_1$ thoát ra và bị hấp thụ - $P_2$. Theo định luật bảo toàn năng lượng

$$P_0 = P_1 + P_2.$$ (1)

Hãy biểu thị $P_2$ đến $P_1$. Vì bức xạ có tính đẳng hướng nên bất kỳ khu vực nào cũng nhận được quang thông tỷ lệ với kích thước của khu vực đó. Nếu một dòng chảy $P_1$ đi ra qua diện tích nghịch đảo $\sigma$ thì một dòng chảy bằng $\frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma)$ rơi vào các vách của buồng có diện tích $S - \sigma$.

Pozny

$$P_2 = k \frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma) \approx kP_1 \frac{S}{\sigma}.$$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được đại lượng mong muốn

$$\frac{P_1}{P_0} = \frac{1}{1 + k \frac{S}{\sigma}} = \frac{1}{3}.$$

Tóm lại, chúng tôi khuyên bạn nên tự mình giải quyết bài toán, tương tự như những gì được thảo luận trong bài viết.