lượng tử

1975
1

khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Trong ảnh là hai máy tĩnh điện thuộc bộ sưu tập của Bảo tàng Lịch sử Tự nhiên Bang ở Leiden (Hà Lan).

Bên phải là một chiếc máy tĩnh điện được sản xuất vào năm 1788 tại Amsterdam bởi John Cuthbertson. Đường kính của vòng tròn thủy tinh đạt tới 165 cm. Máy được kết nối với bình Leyden. Máy của Cuthbertson rất thú vị vì đây là máy tĩnh điện đầu tiên không chỉ được sử dụng để tạo ra tia sét đồ chơi. Với sự trợ giúp của nó, việc điện phân nước lần đầu tiên được thực hiện vào năm 1799.

Máy tĩnh điện trình diễn hiện đại không khác nhiều so với máy của Cuthbertson.

Bên trái là chiếc máy tĩnh điện cổ. Trong đó, điện tích tích tụ trên một quả cầu thủy tinh đặt dưới một chiếc chuông thủy tinh. Khi không khí được bơm ra ngoài, một điện tích được tạo ra dưới chuông.

Hoạt động của máy tĩnh điện dựa trên hiện tượng cảm ứng tĩnh điện. Làm thế nào các điện tích được tạo ra trong quá trình điện khí hóa thông qua ảnh hưởng được mô tả trong số tạp chí này của chúng tôi trên trang. 74.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Beresia,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Cherpova

TRONG PHÒNG:

2 I. N. Bronshtein. hình elip
9 A. S. Kompanets. Thứ nguyên của các đại lượng vật lý và các hiện tượng tương tự
18 N. D. Krishtal. Phương pháp thứ nguyên
22 B. S. Ratner. Ước tính đại lượng vật lý
24 Yu. A. Gastev. Logic bắt đầu từ đâu?
30 giờ sáng Lopshitz. Phương trình hàm

vòng tròn toán học
36 Y. N. Sukonic. Cấp tiến số học-hình học

Vấn đề «Kvant»
41 Bài toán M301—M305; F313—F317
43 Lời giải bài toán M261—M268; F273—F277

Xưởng của người nộp đơn
55 G. V. Dorofeev. Mối quan hệ giữa các phân đoạn, diện tích và khối lượng
60 L. P. Bakanina. Bài toán về bóng bay
64 A. I. Zaboev, G. I. Pantyukhov, V. I. Rostokin, N. V. Sholokhov. Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Hỏi - chúng tôi trả lời

Thông tin
68 Sự chấp nhận mới vào thang đo toán học tương ứng của Liên minh.

Đánh giá, thư mục
70 V. A. Leshkovtsev. Cuộc thi toàn Liên minh của Hiệp hội Tri thức dành cho những tác phẩm hay nhất của văn học khoa học đại chúng
71 V. A. Rudov. Tương lai của khoa học

«Kvant» cho học sinh nhỏ
73 Bài toán
74 V. A. Tikhomirova. Điện hóa thông qua ảnh hưởng

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (trang 23, 39, 59, 63)

Trên trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy một trong những công thức cơ bản của Đại học Moscow. Nếu bạn hỏi tủ nhiệt kế có hình dạng gì thì tất nhiên bạn sẽ trả lời - hình tròn. Tuy nhiên, trong công thức bạn không thấy một hình tròn nào cả mà là một loại hình elip tròn nào đó. Bạn có thể đọc về đường cong này và một số tính chất của nó trong bài viết của I. N. Bronstein trên trang. 2-8.

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1975.

hình elip

I. N. Bronstein

Ba đường cong đáng chú ý - hình elip, hyperbola và parabola, được gọi chung là “đường conic” - đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại. Chúng được phát hiện vào khoảng năm 360 trước Công nguyên bởi Menaechmus, một trong những học trò của nhà thiên văn học, bác sĩ và nhà toán học nổi tiếng Eudoxus. Các tác phẩm của Menaechmus chưa đến được với chúng ta, nhưng chúng ta biết tác phẩm đáng chú ý của Apollonius, dành cho cùng một vấn đề và được viết sau Menaechmus khoảng 200 năm.
Trong số này chúng ta bắt đầu một loạt bài viết về đường conic.

Nén kéo mặt phẳng (PC)

Chúng ta hãy lấy một số đường thẳng $l$ trong mặt phẳng $\pi$ và chỉ định một số dương $k$. Chúng ta sẽ gọi nén-nén (viết tắt PC*)) của mặt phẳng $\pi$ so với trục $l$ với hệ số $k$ như một sự biến đổi của mặt phẳng thành chính nó, trong đó

---

*) Phép biến đổi này thường được gọi là nén theo trục, cũng có nghĩa là phần mở rộng (tại $k>1$). Theo chúng tôi, cái tên này thật đáng tiếc vì đôi khi nó gây nhầm lẫn. Ví dụ, một hình elip được coi là một đường thẳng chỉ thu được bằng cách nén một hình tròn (xem bên dưới), và do đó người ta thường cho rằng trong phương trình của hình elip luôn có $a>b$, điều này là không cần thiết.

mỗi điểm $m$ của nó sẽ tiến tới điểm $M$ theo quy luật sau:

1. các điểm $m$ và $M$ nằm trên cùng một phương vuông góc với trục $l$ ở một phía của nó; một điểm nằm trên trục tự biến thành chính nó;

2. khoảng cách từ điểm đến trục được nhân với $k$, tức là $m_0M = k \cdot m_0m$, trong đó $m_0$ là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm $m$ đến trục $l$ (xem Hình 1 a, b).

Nếu $k > 1$, thì tất cả các điểm của mặt phẳng (ngoại trừ các điểm của chính trục) sẽ di chuyển ra khỏi trục - mặt phẳng bị kéo giãn và nếu $k < 1$, thì chúng tiến gần đến trục - mặt phẳng bị nén. Với $k = 1$ tất cả các điểm của mặt phẳng vẫn giữ nguyên; trong trường hợp này chúng tôi

Hình 1 một.

Hình 1 b.

2

3

Hình 2 a. $k=^1/_2$.

Hình 2b. $k=2$.

chúng ta thu được sự biến đổi giống hệt của mặt phẳng.

Cho một số hình $\omega$ (tức là một số tập hợp điểm) trong mặt phẳng $\pi$. Chúng ta sẽ quan tâm đến tập $\Omega$ của tất cả các điểm thu được từ $\omega$ nhờ RS (xem Hình 2 a, b). Điều quan trọng cần lưu ý là với MS, một đường thẳng sẽ biến thành đường thẳng, các đường thẳng song song sẽ biến thành đường thẳng song song và điểm giữa của đoạn sẽ biến thành điểm giữa. Ví dụ: nếu $cd\|be$, $cm=md$ thì $CD\|BE$, $CM=MD$ (xem Hình 2). Chúng tôi để lại bằng chứng về những sự thật này cho người đọc.

Định nghĩa của hình elip. Các phần tử hình elip

Hình elip là hình thu được do PC của một hình tròn (hoặc hình tròn *)). Gọi $a$ là bán kính của đường tròn (Hình 3; trục RS sẽ được coi là đi qua tâm của đường tròn). Khi đó đường kính $cd$ nằm trên trục sẽ biến thành chính nó ($CD=2a$),

---

*) Circle là một đường thẳng và circle là một phần của mặt phẳng bên trong nó. Không có hai từ tương tự cho hình elip; cả đường cong và phần mặt phẳng bên trong nó đều được gọi giống nhau - họ nói “chiều dài của hình elip”, “diện tích của hình elip”. Trong mỗi trường hợp, người đọc có thể dễ dàng xác định ý nghĩa của từ “hình elip” đang được thảo luận.

1*

và đường kính $eh$ vuông góc với nó là đoạn $EH$ ($EH=2ka$). Chúng ta hãy biểu thị $OE(=OH)$ bằng $b$, sau đó là $ka=b$.

Các đoạn $CD$ và $EH$ được gọi là trục của hình elip và các nửa của chúng $OC$, $OD$, $OE$, $OH$ (cũng như các số $a$ và $b$) là bán trục của nó. Nếu $k>1$ (độ căng), thì $b>a$ (Hình 3), nếu $k<1$ (nén), thì $b<a$ (xem các hình sau). Tại $k=1$ vòng tròn sẽ chuyển thành vòng tròn *).

---

*) Để không vi phạm tính tổng quát của định nghĩa, hình tròn được coi là trường hợp đặc biệt của hình elip ($b=a$).

Hình 3.

4

Đoạn CD lớn hơn, EH được gọi là trục chính của hình elip và đoạn nhỏ hơn được gọi là trục nhỏ. Điều này có nghĩa là nếu $k > 1$ thì $a$ là bán trục phụ và $b$ là trục chính và nếu $k < 1$ thì ngược lại. Trong cả hai trường hợp $k = \frac{b}{a}$.

Điểm $o$—tâm của đường tròn—trong PC biến thành chính nó, điểm $O$ này gọi là tâm của hình elip, các điểm $C, D, E, H$ là các đỉnh của nó. Hình vuông $pqrs$ được bao quanh hình tròn (“mẹ” của hình elip) sao cho $pq \parallel rs \parallel l$ và $qr \parallel sp \perp l$ được chuyển thành hình chữ nhật $PQRS$ ở các cạnh $2a$ và $2b$ được bao quanh hình elip; nó được gọi là hình chữ nhật cơ bản cho hình elip của chúng ta. Các cạnh của hình chữ nhật này chạm vào hình elip ở các đỉnh của nó.

Cách đo một hình elip

Nếu đã cho các trục của hình elip, thì cách dễ nhất là đo hình elip bằng tay bằng cách trước tiên dựng một hình chữ nhật cơ bản và sau đó vẽ một đường cong hình bầu dục vào đó. Nhưng phương pháp này không chính xác, có nhiều đường cong hình bầu dục có cùng trục đối xứng (một số đường cong như vậy được hiển thị trong Hình 4), nhưng chỉ một trong số chúng (màu đỏ trong Hình 4) là hình elip. Bạn có thể xây dựng chính xác bao nhiêu điểm của hình elip tùy thích. Được sử dụng phổ biến nhất

Hình 5.

và một phương pháp đơn giản để xây dựng như vậy được thể hiện trong Hình 5.

Trên đó có hai đường tròn đồng tâm có bán kính $a$ và $b$. Hãy tự hiểu cách xây dựng này và chứng minh rằng $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Sau khi thực hiện cách xây dựng như vậy cho một số điểm $m_1, m_2, m_3, \dots$ của đường tròn, người ta có thể thu được các điểm tương ứng của hình elip. Tất cả những gì còn lại là kết nối chúng thành một đường thẳng bằng tay hoặc sử dụng mẫu.

Bạn có thể vẽ một hình elip bằng chuyển động liên tục mà không cần nhấc bút chì ra khỏi giấy, giống như cách chúng ta vẽ một hình tròn bằng compa, sử dụng một thiết bị đặc biệt - hình elip.

Hình 4.

Hình 6.

đồ thị *). Ở cuối bài viết, chúng tôi sẽ chỉ ra một cách đơn giản để vẽ liên tục một hình elip bằng một sợi chỉ.

Đường kính liên hợp của hình elip

Chúng ta hãy lưu ý tính chất thú vị sau đây của hình elip: trung điểm của tất cả các dây cung song song của hình elip tạo thành một đoạn đi qua tâm của hình elip (Hình 6). Tính chất này hiển nhiên đối với đường tròn: đối với nó, trung điểm của các dây song song nằm trên đường kính vuông góc với các dây này. Trong quá trình nén, các dây song song của một hình tròn biến thành các dây cung song song của một hình elip, và trung điểm của các dây của đường tròn biến thành trung điểm của các dây hình elip. Đây là nơi tính hợp lệ của thuộc tính được xây dựng theo sau.

Dây cung đi qua tâm của hình elip được gọi là đường kính của nó. Trong một hình elip, nói chung độ dài của các đường kính không giống nhau. Trục lớn nhất trong số chúng là trục chính của hình elip và trục nhỏ nhất là trục nhỏ. Nếu chúng ta vẽ chuỗi dây thứ hai theo hình elip, song song với đường kính thu được, thì điểm giữa của chúng nằm trên đường kính thuộc chuỗi dây thứ nhất (Hình 6). Hai đường kính thu được được gọi là liên hợp lẫn nhau. Đối với mỗi đường kính của một hình elip có một liên hợp với nó. Trong một đường tròn, mỗi cặp đường kính liên hợp vuông góc với nhau, nhưng trong hình elip chỉ có một cặp đường kính liên hợp vuông góc với nhau, đó là trục chính và trục phụ.

** Phương trình đường thẳng. Phương trình elip**

Một trong những khám phá đáng chú ý nhất của thế kỷ 17 là phương pháp tọa độ **),

---

*) Ấn bản đầu tiên của bài viết này («Kvant», 1970, Số 9, trang 32) cung cấp mô tả và chứng minh lý thuyết của máy đo hình elip.

**) Nó thường được trình bày trong một khóa học về hình học giải tích.

Hình 7.

cho phép dịch các khái niệm hình học sang ngôn ngữ đại số. Phương pháp này cho phép thiết lập sự tương ứng giữa các đường thẳng nằm trên mặt phẳng chứa hệ tọa độ và các phương trình chứa hai chữ cái $x$ và $y$.

Phương trình đường thẳng là phương trình cho $x$ và $y$, phương trình này trở thành đồng nhất khi thay thế $x$ và $y$ các giá trị $x_0$, $y_0$ khi và chỉ nếu điểm có tọa độ $x_0$, $y_0$ nằm trên đường thẳng này. Ví dụ: phương trình $y = x$ là phương trình phân giác của góc tọa độ I và III và phương trình đường tròn bán kính $a$ có tâm tại gốc tọa độ có dạng $x^2 + y^2 = a^2$.

Giả sử hình elip này có bán trục $a$ và $b$ dưới dạng PC của một đường tròn có bán kính $a$ với hệ số $k = \dfrac{b}{a}$ (Hình 7). Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ trên mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng này như sau: trục $Ox$ hướng dọc theo trục PC và trục $Oy$ hướng qua tâm của đường tròn $o$, cũng là tâm của hình elip, vuông góc với trục $Ox$. Đặt $m$ là một điểm trên đường tròn và $M$ là điểm của hình elip mà $m$ sẽ đi tới RS.

Chúng ta biểu thị tọa độ của điểm $m$ bằng $x_{\text{окр}}$, $y_{\text{окр}}$ và tọa độ của điểm $M$ bằng $x_\text{э}$, $y_\text{э}$. Theo định nghĩa RS $x_\text{э} = x_{\text{окр}}$, $y_\text{э} = k y_{\text{окр}}$, từ đâu

$$x_{\text{окр}} = x_\text{э}, \quad y_{\text{окр}} = \frac{y_\text{э}}{k} \, . \qquad (*)$$

Nếu chúng ta thay tọa độ của điểm bất kỳ $(x_{\text{окр}},\ y_{\text{окр}})$ vào phương trình của đường tròn $x^2 + y^2 = a^2$, thì đẳng thức $x_{\text{окр}}^2 + y_{\text{окр}}^2 = a^2$ sẽ đúng và do đó, dựa trên $(*)$ đẳng thức sẽ đúng

$$x_\text{э}^2 + \frac{y_\text{э}^2}{k^2} = a^2.$$

5

Hình 8.

Nếu điểm $M'(X', Y')$ không nằm trên hình elip thì điểm $m'(x', y')$, được chuyển sang $M'$ do PC, không nằm trên đường tròn và đẳng thức $(x')^2 + (y')^2 = a^2$ là sai, nghĩa là đẳng thức

$$(X')^2 + \frac{(Y')^2}{k^2} = a^2.$$

Theo định nghĩa của phương trình đường thẳng, ta thu được phương trình hình elip sau: $x^2 + \dfrac{y^2}{k^2} = a^2$. Vì $ka = b$, phương trình cuối cùng rút gọn về dạng

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \tag{Э}$$

Đây là phương trình của hình elip ở dạng thuận tiện nhất (còn gọi là chính tắc).

Phần nghiêng của hình trụ tròn

Giao một hình trụ tròn với các mặt phẳng nghiêng với đáy một góc nhọn $\alpha$, ta thu được các đường cong hình bầu dục. Hãy chứng minh chúng là hình elip. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng mỗi hình bầu dục như vậy thu được từ một hình tròn là kết quả của RS (cụ thể là kéo dài) với hệ số $k = \dfrac{1}{\cos\alpha}$.

Chúng ta lấy (Hình 8) hai đường kính ở đáy hình trụ: $cd$ - song song và $eh$ - vuông góc với đường giao nhau của mặt phẳng đáy với mặt phẳng tiết diện của hình trụ.

lindra. Chúng ta hãy vẽ qua chúng trục hình trụ của các mặt phẳng $cdDC$ và $ehHE$, cũng như mặt phẳng $M_0Mmm_0$, song song với $ehHE$, đi qua một số điểm $M$ của mặt cắt. Biết rằng hình chiếu của một đoạn lên một đường thẳng nhất định bằng độ dài của đoạn đó nhân với cosin của góc giữa nó và hình chiếu của nó, ta thu được

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{1}{\cos\alpha} = k.$$

Nếu chúng ta đặt cả hai hình $CEDH$ và $cedh$ trên cùng một mặt phẳng sao cho $CD$ thẳng hàng với $cd$, thì chúng sẽ có vị trí như trong Hình 3, với $M_0M : m_0m = k$, trong đó $k > 1$. Điều này chứng minh tuyên bố của chúng tôi.

Mỗi hình elip có bán trục nhỏ $a$ và bán trục chính $b$ có thể thu được dưới dạng một phần của hình trụ tròn, bán kính của nó bằng bán trục nhỏ của hình elip. Để làm được điều này, chỉ cần cắt hình trụ có mặt phẳng nghiêng với đáy hình trụ một góc có cosin bằng $\dfrac{a}{b}$ là đủ. Điều này luôn có thể thực hiện được vì có $\dfrac{a}{b} < 1$.

Hình chiếu của hình tròn - hình elip

Nếu chúng ta chiếu một đường tròn nằm trong một mặt phẳng nhất định lên mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất một góc nhọn $\alpha$ thì phép chiếu sẽ tạo ra một hình elip. Người đọc có thể dễ dàng tự mình chứng minh điều này bằng cách sử dụng Hình 8, hình này bây giờ phải được nhìn từ một quan điểm khác: chúng ta sẽ coi đường thẳng $CEDH$ là một hình tròn ($OC = OD = OE = OH = a$), và hình trụ chiếu không phải là hình tròn mà là hình bầu dục. Đây $cd = CD = 2a$, $eh = EH \cdot \cos\alpha = 2b$. Cần phải chứng minh rằng $cedh$ là một hình elip (bề mặt trong trường hợp này được gọi là hình trụ elip - dựa trên hình dạng của mặt cắt vuông góc).

Đường chứng minh giống như đối với phần nghiêng của hình tròn

6

7

lindra. Lần này $m_0m = M_0M\cos \alpha$. Do đó, sedh hình bầu dục thu được từ $CEDH$ là kết quả của PC (lần này là skatia) với hệ số $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Các đường kính vuông góc của đường tròn được chiếu thành các đường kính liên hợp lẫn nhau của hình elip. Thực tế này có tầm quan trọng lớn trong lý thuyết mô tả các hình không gian trên một mặt phẳng*).

Thuộc tính tiêu điểm của hình elip

Chúng ta chuyển sang thuộc tính quan trọng nhất của hình elip - tiêu điểm (tiêu điểm là một tính từ từ tiêu điểm**); đây là tên được đặt cho hai điểm thay thế nằm trên trục chính đối xứng với tâm của hình elip).

Chúng ta sẽ coi hình elip là một phần của hình trụ tròn - chúng ta đã thấy rằng chúng ta luôn có quyền làm điều này. Bây giờ chúng ta hãy lăn quả bóng (có cùng bán kính với hình trụ) vào hình trụ từ cả hai đầu sao cho quả bóng chạm vào mặt phẳng của phần này (Hình 9), theo ngôn ngữ hình học - chúng ta sẽ đặt các quả bóng vào hình trụ sao cho chúng chạm vào mặt phẳng phần.

Các điểm tiếp xúc $F_1$ và $F_2$ sẽ là tiêu điểm của hình elip của chúng ta.

Mỗi quả bóng chạm vào hình trụ theo một vòng tròn (màu đỏ). Chúng ta hãy lấy bất kỳ điểm $M$ nào của hình elip và đánh dấu bộ tạo $PQ$ của hình trụ mà điểm $M$ nằm trên đó ($P$ và $Q$ là các điểm của bộ tạo này nằm trên các vòng tròn màu đỏ). Rõ ràng là $MF_1 = MQ$, vì đây là độ dài của hai tiếp tuyến của quả bóng bên phải được vẽ từ $M$ đến các điểm tiếp xúc

Hình 9.

$F_1$ và $Q$ (các đoạn này bằng nhau như phần tử tạo của một hình nón có đỉnh $M$, ngoại tiếp về quả bóng bên phải). Lập luận tương tự cho quả bóng bên trái, ta được: $MF_2 = MP$. Cộng cả hai đẳng thức, ta có

$$MF_1 + MF_2 = MQ + MP = PQ.$$

Không có độ dài $PQ$ nào giống nhau đối với tất cả các máy phát của hình trụ, đây là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các vòng tròn màu đỏ. Điều này có nghĩa là bất kể điểm $M$ nào chúng ta lấy trên hình elip thì đẳng thức $MF_1 + MF_2 = const$ sẽ thỏa mãn.

Do đó, tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hình elip đến hai tiêu điểm của nó là một giá trị không đổi. Đây là tính chất tiêu điểm của hình elip. Một hình elip thường được định nghĩa là một tập hợp các điểm nằm trong cùng một mặt phẳng, trong đó tổng khoảng cách đến hai điểm (tiêu điểm) là không đổi.

Khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến cuối trục nhỏ bằng một nửa chiều dài trục chính của hình elip (Hình 10) hay nói cách khác,

$$c^2 = a^2 - b^2.$$

Trong công thức này, $a$ là bán trục lớn, $b$ là trục nhỏ *) $c$ là một nửa

*) Xem bài viết của N. M. Beskin “Hình ảnh các hình không gian”, «Kvant», 1970, số 12.

**) Từ “tập trung” trong tiếng Latin có nghĩa là lò sưởi. Nguồn gốc của thuật ngữ này sẽ được thảo luận ở các quốc gia sau.

8

Hình 10.

khoảng cách giữa các tiêu điểm. Để chứng minh công thức này, hãy xét điểm cuối của trục chính của hình elip (điểm $C$ trong Hình 10). Theo thuộc tính tiêu điểm $CF_1 + CF_2 = \mathrm{const}$; do tính đối xứng $CF_1 = DF_2$; Điều này có nghĩa là hằng số hằng số bằng $CF_2 + F_2D$, tức là trục chính $2a$. Mặt khác, đối với điểm cuối của trục nhỏ, chẳng hạn như $E$, $EF_1 + EF_2 = 2a$, và do tính đối xứng, $EF_1 = EF_2$, nên mỗi đoạn này bằng $a$. Điều này cung cấp một cách để xây dựng các tiêu điểm của một hình elip dọc theo trục của nó (Hình 10).

Vẽ một hình elip bằng một sợi chỉ

Chúng ta hãy đặt một tờ giấy lên bảng vẽ và ghim hai nút (hoặc ghim, Hình 11) vào đó. Sau khi ném một vòng chỉ lên trên chúng (chiều dài của vòng phải lớn hơn hai lần khoảng cách giữa các nút), chúng ta dùng đầu bút chì kéo sợi chỉ để tạo thành hình tam giác $F_1MF_2$. Nếu bạn di chuyển bút chì dọc theo tờ giấy sao cho sợi chỉ vẫn căng thì hình tam giác sẽ bị biến dạng nhưng chu vi của nó không đổi. Độ dài cạnh $F_1F_2$ cũng sẽ không đổi; điều này có nghĩa là $F_1M + F_2M = \mathrm{const}$ và bút chì sẽ mô tả hình elip.

Phương pháp vẽ hình elip này được những người làm vườn sử dụng khi làm những luống hoa hình elip. Thay vì các nút chạm đất, bạn

Hình 11.

Có hai cái chốt, chiếc nhẫn được làm bằng sợi dây dày và hình elip được vẽ trên mặt đất không phải bằng bút chì mà bằng một cây gậy.

* *
*

Chúng tôi không giải thích nguồn gốc của cái tên “hình elip” (trong tiếng Hy Lạp cổ, “hình elip” có nghĩa là “bất lợi” - nhược điểm đó liên quan gì đến nó?), Chúng tôi không nói về những đặc tính thú vị khác của đường cong này - những đặc tính chung cho tất cả các phần hình nón: hình elip, hyperbola và parabola. Một bài viết riêng biệt sẽ được dành cho việc này. Nhưng trước tiên, trong những số tới chúng ta sẽ làm quen với hyperbol và parabol.

Thứ nguyên của các đại lượng vật lý và sự giống nhau của các hiện tượng

A. S. Kompaneets

Ý nghĩa thứ nguyên của các đại lượng vật lý

Mọi người đều biết rằng có những con số được đặt tên và trừu tượng. Các số được đặt tên phụ thuộc vào đơn vị đo đã chọn, các số không được đặt tên thì không. Ví dụ: nếu một mảnh đất có 100 mét vuông ($м^2$) và một mảnh đất khác có 200 $м^2$, thì 100 và 200 là các số được đặt tên và tỷ lệ của chúng $^1/_2$ là một số trừu tượng. Nó sẽ không thay đổi nếu bạn chuyển từ hệ thống đo lường số liệu sang bất kỳ hệ thống đo lường nào khác, đo diện tích bằng arshins vuông hoặc feet vuông *). Tương tự như vậy, tỷ lệ của hai số tiền không phụ thuộc vào loại tiền mà những số tiền này được biểu thị. Điều quan trọng là cả hai số tiền đều được thể hiện bằng cùng một loại tiền tệ.

Bạn có thể chia các số được đặt tên cho nhau, thể hiện các khái niệm hoàn toàn khác nhau, ví dụ: rúp trên mét vuông. Một lô đất 100 $м^2$, có giá 100 rúp, được bán với giá 1 rúp với giá 1 $м^2$. Nhưng biểu thức bằng số của kết quả phụ thuộc vào loại tiền tệ mà số tiền được biểu thị và diện tích được đo bằng đơn vị nào. Nói cách khác, do sự phân chia như vậy, một giá trị được đặt tên sẽ thu được một lần nữa. Một ví dụ khác là tốc độ

---

*) 1 đốt cháy $= 71{,}1$ cm; 1 foot $= 30{,}5$ cm.

9

10

tăng trưởng - rất nhiều đơn vị chiều dài trên một đơn vị thời gian. Đôi khi đơn vị tốc độ được đặt một tên đặc biệt: một hải lý (hoặc $1852$ m) mỗi giờ - một hải lý.

Mọi phương trình trong vật lý đều thể hiện mối quan hệ tồn tại khách quan trong tự nhiên, bất kể ý muốn của người viết phương trình này. Và tất nhiên, cả hai vế của phương trình phải được biểu thị bằng những đại lượng được đo bằng cùng đơn vị.

Đơn vị đo của từng đại lượng vật lý được thể hiện thông qua các đơn vị đo cơ bản, việc lựa chọn đơn vị này phần lớn là tùy ý. Công thức biểu thị đơn vị đo của một đại lượng cho trước thông qua các đơn vị đo cơ bản được gọi là thứ nguyên của đại lượng đó. Cả hai vế của mọi phương trình vật lý đều phải có cùng số chiều.

Bạn nên chọn bao nhiêu đơn vị đo lường cơ bản? Chuyển động cơ học được mô tả dưới dạng khoảng cách, nghĩa là độ dài và thời gian. Tiêu chuẩn của hai đại lượng này là cần thiết trong mọi trường hợp. Nhưng hai tiêu chuẩn là không đủ. Thật vậy, chẳng hạn, nếu hai vật có cùng hình dạng và kích thước tương tác với nhau thì gia tốc của chúng có thể khác nhau đáng kể. Gia tốc của mỗi vật, theo định luật thứ hai của Newton, phụ thuộc vào khối lượng của nó. Vì vậy, cần có ít nhất một tiêu chuẩn nữa - khối lượng. Hiện tại, chưa có định luật vật lý nào trong cơ học được biết đến để mô tả những tiêu chuẩn cơ bản mới nào là cần thiết, ngoại trừ độ dài, thời gian và khối lượng. Các ký hiệu tương ứng $\mathrm{L}$, $\mathrm{T}$ và $\mathrm{M}$ được giới thiệu cho đơn vị đo của các đại lượng cơ bản này. Để biểu thị thứ nguyên của bất kỳ đại lượng $A$ nào, hãy sử dụng ký hiệu $[A]$. Do đó, thứ nguyên của chiều dài được ký hiệu là $[l] = \mathrm{L}$, thứ nguyên của thời gian là $[t] = \mathrm{T}$ và kích thước

thứ nguyên của khối lượng là $[m] = \mathrm{M}$. Độ dài, thời gian và khối lượng được gọi là các đại lượng cơ bản, còn tất cả các đại lượng vật lý khác được gọi là đạo hàm.

Lưu ý rằng sẽ hợp lý khi chỉ nói về thứ nguyên trong mối quan hệ với một hệ đơn vị nhất định. Công thức tính thứ nguyên của cùng một đại lượng vật lý trong các hệ đơn vị khác nhau có thể khác nhau. Trong bài viết này chúng tôi chủ yếu sử dụng hệ thống GHS. Trong hệ đơn vị này, tất cả các công thức thứ nguyên đều có dạng hàm lũy thừa kiểu

$$[f] = \mathrm{L}^{\alpha}\,\mathrm{M}^{\beta}\,\mathrm{T}^{\gamma}.$$

Loại công thức này là do những cân nhắc vật lý sau đây. Rõ ràng, tỷ lệ của hai giá trị số của bất kỳ đại lượng dẫn xuất nào không nên phụ thuộc vào việc lựa chọn đơn vị đo của đại lượng cơ bản. Ví dụ: cho dù chúng ta đo thời gian bằng giây hay phút, tỷ lệ của hai khoảng thời gian được đo bằng giây sẽ giống như tỷ lệ của các khoảng thời gian được đo bằng phút. Và yêu cầu này luôn được đáp ứng với điều kiện công thức thứ nguyên có dạng đơn thức lũy thừa.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kích thước của một số đại lượng vật lý dẫn xuất. Hãy bắt đầu với đại lượng động học - gia tốc $a$. Theo định nghĩa, đây là sự thay đổi tốc độ trên một đơn vị thời gian. Do đó, thứ nguyên của gia tốc là thứ nguyên của tốc độ chia cho thời gian, nghĩa là

$\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} : \mathrm{T}$, hoặc

$$[a] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}^2}.$$

Theo định luật thứ hai của Newton, lực $F$ bằng khối lượng nhân với gia tốc. Từ đây bạn có thể có được thứ nguyên của lực:

$$[F] = [m]\,[a] = \left[\frac{ml}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}.$$

Giá trị heuristic của thứ nguyên

Vì vậy, sự bình đẳng về mặt vật lý chỉ có thể có ý nghĩa giữa các đại lượng có cùng thứ nguyên. Ví dụ, nếu tại lời giải bài toán việc kiểm tra cho thấy kích thước của cả hai vế của đẳng thức thu được không trùng nhau, thì đã xảy ra lỗi ở lời giải.

Mục đích của bài viết này là chỉ ra rằng khái niệm thứ nguyên không chỉ giúp tìm ra lỗi mà còn giúp thu được kết quả mới.

Tất nhiên, ngay cả những người đã quên định luật Archimedes cũng vẫn nhớ truyền thuyết rằng Archimedes khi khám phá ra định luật này đã thốt lên “Eureka”, dịch từ tiếng Hy Lạp sang tiếng Nga có nghĩa là “đã tìm thấy”. Do đó mới có tính từ “heuristic”, trong tiếng Nga có nghĩa là “giúp tìm ra”, hay “hướng dẫn”, “chỉ ra sự thật”. Ý nghĩa của lý thuyết thứ nguyên sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Chúng ta hãy xem xét mối liên hệ giữa định luật hấp dẫn của Newton và định luật thứ ba của Kepler. Không cần thiết phải xây dựng trước định luật Kepler: nó sẽ xuất hiện từ những lý luận sâu hơn. Để không chỉ viết các công thức, chúng ta hãy thỏa sức phát huy trí tưởng tượng của mình và cố gắng sáng tác một câu chuyện khoa học viễn tưởng.

Vì vậy, hãy để một gia đình phi hành gia bay tới một ngôi sao xa xôi có một đứa con chào đời trên đường đi. Khi anh lớn lên, cha anh muốn giúp anh có được ý tưởng trực quan về Trái đất quê hương và người bạn đồng hành của nó, Mặt trăng. Với mục đích này, người ta đã quyết định phóng một vệ tinh nhân tạo của tàu vũ trụ. Có thể thực hiện điều này theo cách mà vệ tinh quay quanh tàu vũ trụ cùng lúc với Mặt trăng quay quanh Trái đất không? Các thông số khác mô tả chuyển động của một vệ tinh như vậy là gì?

Galileo còn chứng minh rằng trong chân không mọi vật đều rơi tự do với gia tốc bằng nhau. Luật này

có giá trị nếu khối lượng của vật thu hút nhỏ hơn nhiều lần khối lượng của vật thu hút. Đặt khối lượng của tàu vũ trụ dự định di chuyển xa hơn là khoảng 100 t. Sau đó, định luật Galileo có thể được áp dụng, chẳng hạn, cho một quả bóng trẻ em được lấy làm vệ tinh của con tàu này. Thông thường khối lượng $m$ của một quả bóng như vậy không quá 1 kg, thực tế là nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của con tàu.

Định luật vạn vật hấp dẫn ở dạng cơ bản $\left(F = \gamma\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\right)$ có thể áp dụng cho các chất điểm, tức là cho các vật thể có kích thước nhỏ hơn nhiều so với khoảng cách giữa chúng. Giả sử rằng khoảng cách từ tàu vũ trụ đến quả bóng lớn hơn nhiều so với con tàu ở bất kỳ kích thước nào của nó (điều này sẽ được xác nhận bằng các tính toán sau). Quỹ đạo của Mặt trăng gần như tròn, do đó, quỹ đạo của quả bóng cũng phải là hình tròn - nếu không sẽ không có được sự tương đồng như mong muốn. Quỹ đạo như vậy được đặc trưng bởi bán kính $r$ và chu kỳ quỹ đạo là $\tau$. Chúng ta sẽ chỉ ra cách tìm chu kỳ cách mạng từ việc nghiên cứu các thứ nguyên của các đại lượng vật lý.

Vì lực hấp dẫn $F$ đối với các điểm vật chất nhất định chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và trong quỹ đạo tròn khoảng cách không thay đổi nên lực cũng không đổi về độ lớn. Chính lực này có thể truyền gia tốc hướng tâm cần thiết cho vệ tinh. Nhưng thay vì viết phương trình chuyển động tương ứng và tìm chu kỳ quay từ đó, chúng ta sẽ chỉ sử dụng các chiều. Chúng ta được cung cấp các đại lượng không đổi sau: lực $F$ có kích thước $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$, bán kính quỹ đạo $r$ có kích thước $\mathrm{L}$ và khối lượng $m$ của một vật chuyển động có kích thước $\mathrm{M}$. Chúng ta cần tìm chu kỳ quỹ đạo $\tau$ của chiều $\mathrm{T}$.

Chúng ta sẽ tìm biểu thức cho thời gian lưu thông dưới dạng

$$\tau = A F^x r^y m^z,$$

11

12

trong đó $x$, $y$ và $z$ là số mũ chưa xác định, $A$ là một số trừu tượng. Chúng ta hãy viết lại phương trình của $\tau$ dưới dạng đẳng thức về thứ nguyên:

$$[\tau] = |F|^{x}\,[r]^{y}\,[m]^{z} = \left(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^{2}}\right)^{x}\ \mathrm{L}^{y}\ \mathrm{M}^{z}.$$

Chúng ta viết vế trái là $\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{1}$ và vế phải là $\mathrm{M}^{x+z}\mathrm{L}^{x+y}\ \mathrm{T}^{-2x}$ rồi so sánh số mũ của $\mathrm{M}$, $\mathrm{L}$ và $\mathrm{T}$. Chúng ta nhận được ba phương trình với ba ẩn số:

$$\begin{array}{c} x + z = 0,\\ x + y = 0,\\ -2x = 1. \end{array}$$

Do đó $x = -\dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{2}$, $z = \dfrac{1}{2}$.

Do đó, biểu thức mong muốn cho $\tau$ phải có dạng

$$\tau = Am^{1/2}r^{1/2}F^{-1/2} = A\left(\frac{mr}{F}\right)^{1/2}. \qquad (1)$$

Nếu các phi hành gia muốn chu kỳ quỹ đạo của quả bóng bằng chu kỳ quỹ đạo của Mặt trăng quanh Trái đất thì phải chọn các đại lượng thích hợp sao cho tỷ lệ $\frac{mr}{F}$ giống như đối với Mặt trăng. Làm thế nào để làm điều này?

Chúng ta hãy viết biểu thức của lực hấp dẫn $F$:

$$F = \gamma\,\frac{mM}{r^{2}}. \qquad (2)$$

Ở đây có hai đại lượng mới: khối lượng của vật thu hút $M$ và hằng số hấp dẫn phổ quát $\gamma$. Chúng ta hãy thay biểu thức của lực $F$ thành đẳng thức (1) và viết đẳng thức này hai lần:

cho hệ Trái Đất-Mặt Trăng

$$\tau_{1} = A\left(mr_{1}\ \frac{r_{1}^{2}}{mm_{1}\gamma}\right)^{1/2} = A\left(\frac{r_{1}^{3}}{m_{1}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (3)$$

($m$ là khối lượng của Mặt Trăng, $m_{1}$ là khối lượng Trái Đất, $r_{1}$ là khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất);

cho hệ thống bóng tàu

$$\tau_{2} = A\left(\frac{r_{2}^{3}}{m_{2}\gamma}\right)^{1/2} \qquad (4)$$

($m_{2}$ là khối lượng của con tàu, $r_{2}$ là khoảng cách từ quả bóng đến con tàu).

Khi đó tỉ lệ các thời kỳ cách mạng

$$\frac{\tau_{1}}{\tau_{2}} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\right)^{1/2}. \qquad (5)$$

Khối lượng Trái đất $m_{1} = 6\cdot10^{27}$ g, khối lượng tàu $m_{2} = 100\ m = 10^{8}$ g, bán kính quỹ đạo mặt trăng $r_{1} = 3{,}84\cdot10^{10}$ cm. Các phi hành gia muốn $\tau_{1} = \tau_{2}$. Để làm điều này, bạn cần phải thực hiện $r_{2} \approx 10^{4}\ см = 100\ м$. Dễ dàng kiểm tra được rằng trong những điều kiện này, quả bóng sẽ quay quanh con tàu trong khoảng thời gian như Mặt trăng quay quanh Trái đất, tức là trong 29 ngày.

Chúng ta hãy viết lại đẳng thức (5) như sau:

$$\frac{\tau_{1}^{2}}{\tau_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}\ \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}. \qquad (6)$$

Nếu hai vật thể khác nhau quay xung quanh một tâm chung (nghĩa là $m_{1} = m_{2}$), chẳng hạn như các hành tinh của hệ mặt trời, thì đẳng thức (6) thể hiện định luật thứ ba của Kepler *): bình phương thời gian quay của các hành tinh có liên hệ với nhau bằng lập phương khoảng cách trung bình của chúng tới Mặt trời. Từ “trung bình” có thể được bỏ qua, vì hình elip của quỹ đạo hành tinh hơi dài và gần với hình tròn.

Chúng ta hãy nhớ rằng Kepler sống trước Newton. Trên thực tế, định luật hấp dẫn bắt nguồn từ các định luật Kepler chứ không phải ngược lại, như đã được thực hiện trong ví dụ “khoa học viễn tưởng” của chúng ta và như được thực hiện trong các sách giáo khoa vật lý và thiên văn học hiện nay. Chúng ta hãy chứng tỏ rằng để rút ra định luật hấp dẫn từ các định luật Kepler, chỉ cần sử dụng học thuyết về các chiều là đủ. Vì vậy, chúng tôi một lần nữa nhấn mạnh đến khả năng tự khám phá, tức là sức mạnh dẫn dắt của các chiều.

---

*) Chúng ta hãy trình bày các công thức của hai định luật đầu tiên của Kepler.

I. Các hành tinh mô tả các hình elip, tại một trong những tiêu điểm của Mặt trời.

II. Vectơ bán kính nối Mặt trời với hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.

Lưu ý rằng định luật III ở dạng tổng quát hơn được xây dựng như sau: bình phương chu kỳ quay của các hành tinh có liên hệ với nhau như lập phương của bán trục lớn của các quỹ đạo.

Giả sử lực hấp dẫn của các hành tinh đối với Mặt trời có dạng

$$F = Bmr^n. \qquad (7)$$

Ở đây $B$ là giá trị giống nhau cho tất cả các hành tinh, $m$ là khối lượng của hành tinh, $r$ là khoảng cách từ hành tinh đến Mặt trời. Làm sao người ta có thể đoán rằng lực $F$ phụ thuộc vào khối lượng $m$ một cách chính xác một cách tuyến tính? Điều này có thể được nhận thấy từ định luật Galileo: gia tốc của tất cả các vật thể dưới tác dụng của trọng lực ở cùng một khoảng cách tính từ vật thể thu hút là như nhau. Nhưng gia tốc bằng lực chia cho khối lượng của vật, nên gia tốc khi các vật rơi tự do chỉ có thể bằng nhau trong trường hợp lực tỉ lệ với khối lượng. Chúng ta sẽ coi số mũ $n$ trong định luật hấp dẫn hiện chưa được biết; chúng ta phải xác định nó từ định luật Kepler. Suy cho cùng, chúng ta dường như đã thay thế Newton và muốn đi đến định luật hấp dẫn, biết định luật tổng quát về chuyển động (tức là định luật thứ hai của Newton) và các kết quả của Kepler và Galileo sống trước đây.

Lập luận tương tự như khi suy ra công thức (5), sử dụng giả thiết (7), ta thu được

$$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\frac{1-n}{2}} \qquad (8)$$

Để đẳng thức này trùng với định luật Kepler, cần phải đặt $n = -2$, và điều này dẫn đến biểu thức (7) theo định luật Newton, theo đó lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các vật.

Người ta cũng có thể hỏi tại sao luật hấp dẫn lại được chọn trước ở dạng lũy ​​thừa (7)? Vấn đề là chỉ có tỷ số của các hàm công suất mới cho cùng một hàm công suất của tỷ số đó. Bình đẳng

$$\frac{f\,(r_1)}{f\,(r_2)} = f\left(\frac{r_1}{r_2}\right)$$

chỉ được thực hiện nếu $f\,(r) = r^n$. Cụ thể, hàm lũy thừa của tỷ số này được đưa vào định luật thứ ba của Kepler:

$$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}.$$

Do đó, về mặt tất yếu, định luật hấp dẫn của Newton được rút ra từ các định luật của Kepler và Galileo.

Kích thước của hằng số phổ quát

Định luật hấp dẫn bao gồm một hằng số phổ quát $\gamma$, hằng số này giống nhau đối với mọi vật thể. Vật lý cũng biết các hằng số phổ quát khác. Ví dụ: tốc độ ánh sáng trong chân không $c$, hằng số Planck $h$, điện tích cơ bản $e$, v.v.

Chúng ta hãy xác định đơn vị nào $h$ và $e$ được đo và tìm thứ nguyên của các đại lượng này.

Đối với sóng điện từ có tần số $\nu$ đẳng thức sau đây đúng:

$$E = h\nu, \qquad (9)$$

trong đó $E$ là năng lượng được truyền bởi sóng. Đại lượng $h\nu$ được gọi là lượng tử năng lượng. Vì tần số là số dao động trên một đơn vị thời gian nên $\nu$ có ​​thứ nguyên nghịch đảo thời gian:

$$[\nu] = \left[\frac{1}{t}\right] = \frac{1}{\mathrm{T}}\,.$$

Hệ số tỷ lệ chung giữa năng lượng và tần số là hằng số Planck $h$. Do đó, chiều $h$ là chiều của năng lượng nhân với thời gian

$$[h] = [Et].$$

Thứ nguyên của năng lượng có thể được xác định theo hai cách. Hoặc đây là chiều của công - nghĩa là lực nhân với đường đi -

$$[E] = [Fl] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,,$$

hoặc chiều của động năng $\dfrac{mv^2}{2}$ —

$$[E] = [mv^2] = \left[\frac{ml^2}{t^2}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{T}^2}\,.$$

Trong cả hai trường hợp, kích thước phải giống nhau. Từ đây

$$[h] = \left[\frac{ml^2}{t}\right] = \frac{\mathrm{ML}^2}{t}\,.$$

13

14

Bây giờ, sử dụng định luật Coulomb, chúng ta sẽ tìm được thứ nguyên của điện tích $e$ (trong hệ đơn vị SGSE). Giả sử rằng hai điện tích đơn vị trong chân không ở một khoảng cách đơn vị sẽ đẩy nhau với một lực bằng một. Vì đơn vị của chiều dài và lực được xác định trong cơ học nên đơn vị của điện tích có thể được tìm thấy thông qua M, L và T. Theo định luật Coulomb

$$F_\text{э} = \frac{e^2}{r^2},$$

trong đó $F_\text{э}$ là lực tĩnh điện. Chiều của nó, giống như chiều của bất kỳ lực nào, là $\dfrac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T}^2}$. Do đó, kích thước của điện tích bình phương bằng

$$[e^2] = \frac{\mathrm{ML}^3}{\mathrm{T}^2},$$

và kích thước điện tích là

$$[e] = \frac{\mathrm{M}^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{L}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{T}}. \qquad (10)$$

Đơn vị đo lường tự nhiên

Tất cả các cuộc thảo luận trước đây của chúng ta về các kích thước đều dựa trên sự lựa chọn tùy ý các đơn vị đo lường cơ bản - centimet, gram, giây. Đối với các đơn vị này (hoặc bội số của chúng), các tiêu chuẩn tương ứng về chiều dài, khối lượng và thời gian đã được tạo ra.

Được biết, việc lưu trữ, đối chiếu các tiêu chuẩn số liệu là rất khó khăn. Tiêu chuẩn mét nổi tiếng của Paris, được làm bằng hợp kim bạch kim và iridium, đã phần nào thay đổi chiều dài và tiếp tục thay đổi do quá trình kết tinh lại. Trái đất quay không đều quanh trục của nó nên tiêu chuẩn thời gian cũng có sai số. Khối lượng của một decimet khối nước ở $4^\circ$ C (đây là tiêu chuẩn khối lượng ban đầu là 1 kg) phụ thuộc vào nguồn nước: nước thông thường chứa tạp chất H$_2$O.

Tính chất của nước nặng trong đó một trong các nguyên tử hydro được thay thế bằng đơteri. Đó là lý do tại sao các nhà khoa học phải tìm kiếm những tiêu chuẩn đáng tin cậy hơn.

May mắn thay, vẫn tồn tại những tiêu chuẩn đáng tin cậy hơn như vậy; chính thiên nhiên đã lưu trữ chúng mà không cần bất kỳ nỗ lực nào từ phía chúng ta. Những tiêu chuẩn như vậy đã được liệt kê một phần: tốc độ ánh sáng $c$, điện tích cơ bản $e$ và các đại lượng không đổi phổ quát khác. Nói cách khác, thay vì tiêu chuẩn về độ dài, thời gian và khối lượng, bạn có thể chọn tiêu chuẩn của các đại lượng khác, không phải được tạo ra một cách nhân tạo mà chứa trực tiếp trong các định luật vật lý. Nói chung, số lượng đại lượng cơ bản và do đó đơn vị đo cơ bản có thể được chọn tùy ý. Nhưng hóa ra thuận tiện nhất là chọn ba đại lượng cơ bản. Bộ ba đại lượng nào phù hợp cho mục đích này và đại lượng nào không cung cấp mô tả đầy đủ về kích thước?

Ví dụ: chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nếu $e$ và $h$ được chọn làm tiêu chuẩn thì không thể chọn $c$ làm tiêu chuẩn thứ ba. Hãy soạn mối quan hệ $\dfrac{e^2}{h}$ và tìm thứ nguyên của nó (ví dụ: trong hệ thống CGS):

$$\left[\frac{e^2}{h}\right] = \left[\frac{ml^3}{t^2}\,\frac{t}{ml^2}\right] = \left[\frac{l}{t}\right] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}.$$

Đây là thứ nguyên của tốc độ, có nghĩa là giá trị $\dfrac{e^2}{h}$ có thể dùng làm tiêu chuẩn cho tốc độ, vì vậy tốc độ ánh sáng $c$ không còn cần thiết làm tiêu chuẩn nữa.

Chúng ta nên chọn tiêu chuẩn thứ ba nào?

Nếu chúng ta quan tâm đến hành vi của các electron trong nguyên tử, thì hóa ra để mô tả nó, việc lấy khối lượng electron $m$ làm đại lượng cơ bản thứ ba là hợp lý. Chúng ta cũng hãy nói thêm rằng các phương trình của electron thực ra không bao gồm chính giá trị $h$ mà bao gồm $h$ chia cho $2\pi$. Thương số này thường được ký hiệu là $\hbar$.

Khi đó, thuận tiện nhất là chọn ba tiêu chuẩn độc lập sau đây:

các giá trị chung: $e$, $\hbar$ và $m$. Không có kích thước nào trong số chúng có thể được biểu thị thông qua sự kết hợp các kích thước của hai kích thước còn lại, điều này rất dễ được xác minh chỉ bằng một vài lần thử.

Nếu chúng ta muốn tìm bán kính quỹ đạo của electron trong hệ đơn vị mà chúng ta đã chọn, một đại lượng có thứ nguyên là chiều dài, thì bằng phương pháp thứ nguyên, chúng ta thu được biểu thức

$$r = \frac{\hbar^2}{me^2}, \qquad (11)$$

nghĩa là, thứ nguyên của độ dài trong hệ thống của chúng ta

$$[r] = \frac{[\hbar^2]}{[m]\,[e^2]}\;.$$

Có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách thay thế các kích thước cho $\hbar$, $m$ và $e$, chẳng hạn như trong hệ CGS (đây là hệ đơn vị thường được các nhà vật lý sử dụng nhất), rằng đại lượng $\frac{\hbar^2}{me^2}$ thực sự có thứ nguyên là chiều dài:

$$\left[\frac{\hbar^2}{me^2}\right] = \left[\frac{m^2l^4}{t^2}\;\frac{1}{m}\;\frac{t^2}{ml^3}\right] = [l] = \mathrm{L}.$$

Tương tự, từ các đại lượng $\hbar$, $m$ và $e$ người ta có thể thu được duy nhất một đại lượng có thứ nguyên năng lượng:

$$E = \frac{me^4}{\hbar^2}, \qquad (12)$$

đó là

$$[E] = \left[\frac{me^4}{\hbar^2}\right].$$

Hãy để người đọc bị thuyết phục bằng cách thu được công thức (7) rằng các đại lượng khác có thứ nguyên như vậy không thể được xây dựng từ $e$, $\hbar$ và $m$.

Công thức (11) và (12) chứa các kết quả có tầm quan trọng cơ bản; chúng cho phép ước tính, ít nhất là theo thứ tự độ lớn, các đại lượng đặc trưng cho một nguyên tử: kích thước của nó, năng lượng cần thiết để tách một electron ra khỏi nó. Giá trị chính xác của các đại lượng này thu được bằng lời giải nghiêm ngặt của các phương trình tương ứng. Nhưng dù nó có được quyết định chặt chẽ thế nào

phương trình, đáp số phải luôn có cùng thứ nguyên và được xác định duy nhất bởi các công thức (11) và (12). Tất nhiên, vẫn còn câu hỏi về các hệ số số cho các đại lượng thứ nguyên. Các hệ số này chỉ có thể được lấy từ mức nghiêm ngặt lời giải. Nó chỉ ra rằng trong một số trường hợp, các hệ số số khác với sự thống nhất không quá 2-3 lần. Ví dụ, đối với một electron trong nguyên tử hydro, giá trị bán kính quỹ đạo của electron từ công thức (11) thu được hoàn toàn chính xác:

$$r = \frac{\hbar^2}{me^2} = 0{,}5\cdot 10^{-8}\ \textit{см},$$

và giá trị năng lượng ion hóa

$$E = \frac{me^4}{\hbar^2} = 4{,}3\cdot 10^{-11}\ \textit{эрг}$$

hóa ra lớn hơn gấp 2 lần so với thực tế.

Một số đơn vị đo tự nhiên có thể thu được từ bên ngoài thế giới nguyên tử, ví dụ, bằng cách chọn tốc độ ánh sáng $c$ và hằng số hấp dẫn $\gamma$ làm đại lượng cơ bản. Họ cung cấp các tiêu chuẩn đáng tin cậy như $e$, $\hbar$ và $m$. Nhưng từ hai tiêu chuẩn thì không thể thu được bất kỳ giá trị nào. Tiêu chuẩn thứ ba được lấy tùy ý.

Nếu chúng ta bỏ qua giá trị $c$ thì ngoài $\gamma$ chúng ta sẽ cần hai tiêu chuẩn tùy ý. Bạn có thể lấy centimet và giây theo tiêu chuẩn như vậy thì không cần đến gam. Rốt cuộc, thay vì nó, hằng số hấp dẫn đã được lấy, bằng trong hệ GHS $6{,}7\cdot10^{-8}$ cm³/g s². Nhưng bây giờ nó được lấy làm đơn vị, vì vậy đơn vị khối lượng không phải là một gam mà là một giá trị mới bằng $1/(6{,}7\cdot10^{-8})$ gam, như bạn có thể dễ dàng thấy, là khoảng 15 tấn. Đơn vị như vậy sẽ thuận tiện cho việc buôn bán buôn bán với đại diện của các nền văn minh ngoài Trái đất nếu họ đồng ý chọn centimet và giây làm hai đơn vị còn lại.

15

Cơ học chất lỏng, chất khí và lý thuyết tương tự

Khi thiết kế một chiếc máy bay hoặc tàu thủy, trước tiên người nghệ sĩ sẽ vẽ nó theo kế hoạch của nhà thiết kế để phác thảo các tỷ lệ chung. Dựa trên bản vẽ này, các bản vẽ chi tiết hơn được thực hiện và tính toán được thực hiện. Nhưng những tính toán tiên tiến nhất không thể cung cấp mọi thứ - xét cho cùng, một thiết kế mới cũng phải có những đặc tính mới. Nếu bạn ngay lập tức chế tạo một chiếc máy bay hoặc tàu thủy theo bản vẽ và tính toán thì việc thử nghiệm chúng sẽ quá nguy hiểm và việc phát triển sản xuất hàng loạt sẽ rất tốn kém. Do đó, trước tiên, một mô hình thu nhỏ tương tự như sản phẩm được thiết kế sẽ được chế tạo và thử nghiệm trong hầm gió hoặc trong bể để thử nghiệm với tàu.

Trong những điều kiện nào thì dòng không khí hoặc nước xung quanh mô hình sẽ giống với dòng chảy xung quanh mô hình ban đầu? Nói cách khác, khi nào bạn sẽ có được một mô hình, chứ không chỉ là một món đồ chơi, trông giống với đồ vật đó, ngay cả khi đó là một bản sao chi tiết?

Dựa trên học thuyết về các chiều, chúng ta có thể đưa ra điểm chung đáp số cho câu hỏi được đặt ra. Sự tương tự động thực sự giữa một vật và một mô hình sẽ đạt được khi các tỷ số của tất cả các đại lượng có trong phương trình chuyển động của chất khí hoặc chất lỏng là như nhau đối với bản chất và đối với mô hình. Những số lượng này là gì?

Vì mô hình tương tự về mặt hình học với cuộc sống nên tất cả các kích thước của nó được xác định bởi một kích thước duy nhất. Ví dụ: trên thực tế, nếu sải cánh của máy bay là 50 m và chiều dài thân máy bay là 30 m thì mô hình có sải cánh 10 m phải có thân máy bay 6 m. Sau đó, chỉ cần thực hiện tất cả các so sánh với một kích thước đã chọn $d$ là đủ.

Một chất lỏng hoặc chất khí chảy được đặc trưng bởi tốc độ $v$. Khi lập mô hình, họ đảm bảo rằng bản thân mô hình đứng yên và khí hoặc chất lỏng chảy vào mô hình. Tất cả đều tương đối

Kết quả là tốc độ sẽ không thay đổi, nhưng chúng là tốc độ duy nhất quan trọng để kiểm tra các đặc tính động. Chỉ cần so sánh với một tốc độ đặc trưng là đủ, được coi là tốc độ của dòng chảy hoặc tốc độ của chính vật thể (trong tự nhiên). Từ quan điểm cơ học, việc lựa chọn chính xác cái gì không quan trọng. Ngoài tốc độ, một môi trường chuyển động còn được đặc trưng bởi mật độ $\rho$, tức là khối lượng trên một đơn vị thể tích. Chất lỏng và chất khí cũng khác nhau về độ nhớt: nước chảy nhẹ hơn dầu thực vật hoặc dầu bôi trơn, dầu chảy nhẹ hơn mật ong, v.v. Nói cách khác, dòng chảy phụ thuộc vào một đặc tính đặc biệt của môi trường, được gọi là hệ số nhớt $\eta$.

Hãy cùng tìm hiểu xem $\eta$ có chiều gì. Trở lại thế kỷ trước, Poiseuille đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng tốc độ chất lỏng chảy qua một mao quản hẹp tỷ lệ thuận với chênh lệch áp suất $\Delta p$ (ở các đầu khác nhau của mao quản), bình phương bán kính của nó $r$ và tỷ lệ nghịch với chiều dài của mao quản $l$ và hệ số $\eta$. Hãy viết phương trình tương ứng của các kích thước:

$$[v] = \left[\frac{\Delta p r^2}{\eta l}\right].$$

Do đó kích thước $\eta$

$$[\eta] = \left[\frac{\Delta p r^2}{v l}\right].$$

Nhưng tích $\Delta p r^2$ có thứ nguyên là lực (áp suất là lực trên một đơn vị diện tích), vì vậy

$$[\eta] = \left[\frac{mlt}{t^2 ll}\right] = \left[\frac{m}{lt}\right] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{LT}}.$$

Trong hệ thống GHS, đơn vị đo hệ số nhớt được gọi là “poise” (được đặt theo tên của Poiseuille). Một trạng thái cân bằng - độ nhớt cao; ví dụ, nước ở nhiệt độ phòng có độ nhớt chỉ $0{,}01$ cân bằng.

Vì vậy, với chuyển động đều của một vật trong một môi trường, dòng chuyển động của nó xung quanh nó hoàn toàn được xác định bởi bốn đại lượng $d$, $v$, $\rho$ và $\eta$. Đối với một hình dạng nhất định của các phần thân được sắp xếp hợp lý, các mô hình dòng chảy hoàn toàn

16

hoàn toàn giống nhau nếu tỷ số không thứ nguyên của các đại lượng thứ nguyên là như nhau. Nhưng hóa ra từ bốn đại lượng chiều được liệt kê, chỉ có thể xây dựng được một tổ hợp không thứ nguyên. Nó được gọi là số Reynolds và được ký hiệu bằng ký hiệu $\mathrm{Re}$:

$$\mathrm{Re} = \frac{dv\rho}{\eta}.$$

(Ở đây bạn có thể sử dụng lại phương pháp số mũ chưa biết $x$, $y$, $z$, như trong công thức suy ra (1).)

Hai luồng có cùng số $\mathrm{Re}$ giống nhau về mọi mặt. (Nói một cách chặt chẽ, điều này đúng miễn là không cần tính đến khả năng nén của môi trường, vốn tạo ra một hằng số bổ sung trong các phương trình chuyển động. Điều này sẽ xảy ra ở tốc độ gần bằng tốc độ âm thanh, nhưng chúng ta sẽ gác câu hỏi này sang một bên). Lưu ý rằng nếu có thể xây dựng một số quan hệ không thứ nguyên từ các đại lượng đặc trưng cho dòng chảy thì sự tương tự động chỉ đạt được nếu tất cả các quan hệ không có thứ nguyên đều bằng nhau. Thật vậy, chỉ trong trường hợp này, hai hiện tượng mới có thể được coi là tương tự nhau và từ những đặc điểm nhất định của hiện tượng này, người ta mới có thể thu được các đặc điểm của hiện tượng kia bằng cách tính toán lại đơn giản, giống như khi chúng ta chuyển từ hệ thống đơn vị này sang hệ thống đơn vị khác.

Ví dụ: giả sử mô hình đang được thử nghiệm nhỏ hơn 5 lần so với mô hình ban đầu. Sau đó, bạn cần thổi nó với tốc độ lớn hơn năm lần hoặc thay vì không khí lấy khí, tỷ lệ $\frac{\rho}{\eta}$ lớn hơn 5 lần so với không khí, hoặc thay đổi cả tốc độ và khí, nhưng sao cho $\mathrm{Re}$ không thay đổi. Vì vậy, đặc biệt, có thể đo lực nâng hoặc lực cản không khí cho một máy bay mô hình và tính toán lại chúng cho đời thực. Các lực tác dụng lên các điểm riêng lẻ của máy bay cũng được xác định, điều này rất quan trọng trong việc tính toán cường độ.

2 Lượng tử số 1

Dựa trên kích thước của các đại lượng, có thể chỉ ra cách chuyển đổi được thực hiện từ mô hình sang đối tượng. Từ $d$, $v$, $\rho$ và $\eta$ một đại lượng có thứ nguyên của lực có thể được xây dựng theo hai cách:

$$F_1 = \rho v^2 d^2$$

Và

$$F_2 = d\eta v.$$

Bạn nên thích cái nào hơn? Hãy lấy mối quan hệ $\frac{F_1}{F_2}$:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{dv\rho}{\eta} = \mathrm{Re}.$$

Hóa ra tỷ lệ này bằng số Reynold. Do đó, nếu mô hình và số thực có cùng số Reynolds thì cả hai biểu thức lực đều tương đương nhau và bạn có thể sử dụng một trong hai biểu thức. Do đó, lực tác dụng lên mô hình khác nhiều lần so với lực trong tự nhiên vì tích $dv\eta$ (hoặc $\rho v^2 d^2$) của mô hình và của tính chất khác nhau.

Với ví dụ cụ thể này, chúng tôi muốn chỉ ra rằng lý thuyết các chiều làm cơ sở cho việc mô hình hóa.

17

Phương pháp thứ nguyên

N. D. Krishtal

Bài viết này xem xét một số bài toán, trong đó lời giải phương pháp thứ nguyên được sử dụng. Phương pháp này được mô tả chi tiết trong bài viết của A. S. Kompaneets “Các kích thước của đại lượng vật lý và sự giống nhau của các hiện tượng” trên tạp chí số này.

Sẽ thuận tiện nhất khi chứng minh các quy định chính của phương pháp thứ nguyên bằng các ví dụ cụ thể. Chúng ta sẽ làm điều này bằng cách phân tích các biến dạng và áp suất phát sinh trong quá trình tương tác đàn hồi của hai vật thể. Giá trị tuyệt đối của lực $F$ mà các vật chống lại các tác động từ bên ngoài có xu hướng làm thay đổi hình dạng và kích thước của chúng được xác định bởi định luật Hooke:

$$F = kx, \qquad (1)$$

trong đó $x$ là độ lớn biến dạng, $k$ là hệ số đàn hồi. Đối với biến dạng kéo (hoặc nén), biểu thức (1) có thể được viết lại dưới dạng khai triển:

$$F = \frac{ES}{l}\,\Delta l. \qquad (2)$$

Hình 1

18

Ở đây $E$ là mô đun đàn hồi (mô đun Young) - đại lượng đặc trưng cho khả năng của vật liệu chống lại các tác động bên ngoài; nó không phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của mẫu đang nghiên cứu, $S$ là diện tích mặt cắt vuông góc với hướng của ngoại lực, $l$ là chiều dài và $\Delta l$ là sự thay đổi chiều dài của vật bị biến dạng.

Chúng ta xét sự va chạm đàn hồi của các quả bóng.

Bài 1. Hai quả bóng có bán kính $R$, được làm bằng vật liệu có mật độ $\rho$ và mô đun đàn hồi $E$, chuyển động hướng về nhau theo một đường thẳng nối tâm của chúng, với tốc độ bằng nhau $v$ (Hình 1). Một tác động tuyệt đối đàn hồi xảy ra giữa các quả bóng. Tìm mức biến dạng tối đa $x$ trong quá trình va chạm.

Rõ ràng là giá trị của $x$ có thể phụ thuộc vào tất cả các tham số đặc trưng cho quả bóng trong quá trình va chạm, nghĩa là trên $v$, $\rho$, $R$ và $E$:

$$x = x(v,\ \rho,\ R,\ E).$$

Chúng ta sẽ tìm sự phụ thuộc này ở dạng *)

$$x = A v^{p}\, \rho^{b}\, R^{c}\, E^{d}, \qquad (3)$$

trong đó $A$ là hệ số tỷ lệ không thứ nguyên ($[A] = 1$), $p$, $b$, $c$ và $d$ hiện là số mũ không thứ nguyên chưa xác định.

Theo học thuyết về kích thước, các công thức tính kích thước của bên trái và bên phải bằng nhau (3) phải giống nhau:

$$[x] = [v^{p}]\ [\rho^{b}]\ [R^{c}]\ [E^{d}]. \qquad (4)$$

Điều này áp đặt một số điều kiện nhất định đối với các giá trị của chỉ báo $p$, $b$, $c$ và $d$. Chúng ta hãy viết thứ nguyên của tất cả các đại lượng xuất hiện ở cả hai vế đẳng thức (3).

Độ dài là đơn vị đo cơ bản nên viết ngay

---

*) Việc biểu diễn sự phụ thuộc mong muốn dưới dạng hàm lũy thừa là một giả định, tính hợp lệ của nó phải được chứng minh. Khi sử dụng nghiêm ngặt phương pháp thứ nguyên, giả định như vậy sẽ không được thực hiện.

19

chúng tôi đợi
$$[x] = \mathrm{L}, \quad [R] = \mathrm{L}.$$
Theo đó, khối lượng và diện tích có kích thước $\mathrm{L}^3$ và $\mathrm{L}^2$. Theo định nghĩa, tốc độ đặc trưng cho quãng đường di chuyển trong một đơn vị thời gian, có nghĩa là
$$[v] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} = \mathrm{LT}^{-1}.$$

Mật độ của vật liệu là lượng chất trên một đơn vị thể tích, do đó
$$[\rho] = \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3} = \mathrm{ML}^{-3}.$$

Kích thước của mô đun đàn hồi có thể được xác định bằng định luật Hooke và định luật II Newton. Từ công thức (2) suy ra
$$E = \frac{F}{S}\,\frac{l}{\Delta l}.$$

Theo định luật II Newton, lực bằng khối lượng nhân với gia tốc:
$$F = ma.$$
Có nghĩa,
$$E = \frac{ma}{S}\,\frac{l}{\Delta l}. \qquad (5)$$

Gia tốc là sự thay đổi vận tốc trong một đơn vị thời gian, do đó
$$[a] = \frac{[v]}{[t]} = \mathrm{LT}^{-2}.$$

Kích thước của các đại lượng còn lại có trong phương trình (5) có thể viết ngay:
$$[m] = \mathrm{M}, \quad [S] = \mathrm{L}^2,$$
$$[l] = [\Delta l] = \mathrm{L}.$$
Kể từ đây,
$$[E] = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2}\,\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Chúng ta hãy thay thứ nguyên của các đại lượng tương ứng thành đẳng thức (4):
$$\mathrm{L} = (\mathrm{LT}^{-1})^p\,(\mathrm{ML}^{-3})^b\,(\mathrm{L})^c\,(\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^d,$$
hoặc
$$\mathrm{L}^1 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\ \mathrm{M}^{b+d}\ \mathrm{T}^{-(p+2d)}. \qquad (6)$$
Công thức tính kích thước của cạnh bên trái và bên phải là như nhau nếu số mũ của các ký hiệu giống nhau ở bên trái và bên phải bằng nhau. Chúng ta hãy viết lại phương trình (6) dưới dạng
$$\mathrm{L}^1\mathrm{M}^0\mathrm{T}^0 = \mathrm{L}^{p-3b+c-d}\mathrm{M}^{b+d}\mathrm{T}^{-(p+2d)}.$$

2*

Đánh đồng các số mũ có ký hiệu giống nhau ở vế trái và vế phải, ta thu được hệ phương trình
$$\begin{cases} 1 = p - 3b + c - d, \\ 0 = b + d, \\ 0 = p + 2d, \end{cases}$$
từ đó chúng tôi tìm thấy
$$c = 1, \quad b = \frac{p}{2}, \quad d = -\frac{p}{2}.$$

Hãy thay thế các giá trị này thành (3):
$$x = Av^p\,\rho^{p/2}E^{-p/2}R,$$
hoặc
$$\frac{x}{R} = A\left(\frac{\rho^{1/2}v}{E^{1/2}}\right)^p = A\left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{p/2}. \qquad (7)$$

Biểu thức thu được xác định dạng phương trình biến dạng tương đối $\dfrac{x}{R}$ của các quả bóng. Tuy nhiên, $A$ và $p$ vẫn chưa được biết.

So sánh các biểu thức (3) và (7), có thể lưu ý rằng việc xem xét thứ nguyên của các đại lượng có thể thay thế mối quan hệ giữa các đại lượng năm chiều ($x$, $v$, $\rho$, $R$, $E$) bằng mối quan hệ giữa hai đại lượng không thứ nguyên:
$$\left[\frac{x}{R}\right] = 1, \quad \left[\frac{\rho v^2}{E}\right] = 1.$$

Nếu chúng ta đang tìm kiếm sự phụ thuộc $x = x(v,\ \rho,\ R,\ E)$ bằng thí nghiệm, thì việc sử dụng phương pháp thứ nguyên sẽ cho phép chúng ta nghiên cứu, thay vì ảnh hưởng của các đại lượng bốn chiều lên $x$, ảnh hưởng của chỉ một đại lượng không thứ nguyên $\dfrac{\rho v^2}{E}$ lên $\dfrac{x}{R}$. Điều này mang lại sự thuận tiện lớn cho người thực nghiệm vì nó cho phép giảm đáng kể số lượng thí nghiệm cần thiết.

Cần lưu ý rằng hệ số $A$ không thể được xác định bằng phương pháp thứ nguyên, vì nó không liên quan gì đến số mũ trong công thức tính thứ nguyên của đại lượng. Chỉ báo $p$ liên quan đến công thức thứ nguyên nên trong một số trường hợp có thể

định nghĩa. Hãy cố gắng nêu bật những trường hợp có thể thực hiện được điều này.

Trong bài toán của chúng tôi có bốn số mũ chưa biết $p$, $b$, $c$, $d$ và ba phương trình để xác định chúng. Số phương trình có thể xây dựng để tìm các hệ số chưa biết bằng số đơn vị đo cơ bản. Để xác định giá trị số của tất cả các chỉ số chưa biết, số của chúng phải bằng số phương trình độc lập trong hệ thống. Điều này chỉ có thể thực hiện được trong hai trường hợp: nếu bạn chọn một hệ thống đơn vị đo lường có bốn đơn vị cơ bản hoặc nếu bạn giảm số lượng các biến độc lập một cách hợp lý (và do đó là số lượng các chỉ số chưa biết).

Chúng ta sẽ xem xét cách thứ hai. Giả sử rằng biến dạng xảy ra khi va chạm chỉ phụ thuộc vào mô đun đàn hồi $E$ và động năng của quả bóng $\mathrm{K} = \dfrac{mv^2}{2}$, trong đó $m$ là khối lượng của quả bóng. Ở đây chúng ta chỉ tính đến kích thước của quả bóng trong biểu thức động năng: $\mathrm{K} = \dfrac{1}{2}\ \dfrac{4}{3}\ \pi R^3 \rho v^2$.

(Đây là một giả định sơ bộ, vì độ lớn của biến dạng không chỉ phụ thuộc vào động năng mà còn phụ thuộc vào bán kính của quả bóng $R$.) Giả định này cho phép chúng ta viết gần đúng:

$$x = A_1 \mathrm{K}^{p_1} E^{b_1}.$$

Kích thước của động năng

$$[\mathrm{K}] = [mv^2] = \mathrm{ML^2T^{-2}}.$$

Nếu bây giờ chúng ta soạn một hệ phương trình và xác định các giá trị của $p_1$ và $b_1$ (tương tự như cách thực hiện ở trên), chúng ta thu được

$$\frac{x}{R} = \frac{A_1}{R}\left(\frac{\mathrm{K}}{E}\right)^{1/3} = A_2 \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{1/3}. \qquad (8)$$

Số mũ $^1/_3$ trong công thức (8) gần với số mũ $^2/_5$ thu được bằng toán học chặt chẽ lời giải bài toán*).

---

*) Để biết một cách khác để có được công thức (8), chẳng hạn, hãy xem bài viết của G. L. Kotkin “Sự va chạm của các quả bóng”, «Kvant», 1973, Số 3.

Khi sử dụng phương pháp thứ nguyên, điều rất quan trọng là phải xây dựng chính xác bài toán, bởi vì công thức bài toán làm nổi bật các tham số mà giá trị mong muốn phụ thuộc vào. Khi giải bài toán về va chạm đàn hồi của các quả bóng, chúng tôi đã tính đến khả năng vật liệu của các quả bóng chống lại sự lan truyền biến dạng bên trong quả bóng ($E$), hình dạng và kích thước của khu vực đang nghiên cứu (các quả bóng có bán kính $R$), ảnh hưởng bên ngoài đến khu vực đang nghiên cứu (thông qua tốc độ $v$ và mật độ vật liệu của mỗi quả bóng $\rho$).

Bài 2. Tìm biến dạng xảy ra ở các quả cầu có bán kính $R$ dưới tác dụng của hai lực nén $F$ hướng dọc theo đường nối tâm các quả cầu. Chất liệu của các quả bóng là như nhau và mô đun đàn hồi của nó là $E$.

Ở đây, như trong bài toán đầu tiên, chúng ta biết hình dạng và kích thước của vật thể (quả bóng có bán kính $R$), tác động bên ngoài lên quả bóng (lực $F$) và tính chất vật liệu của quả bóng (mô đun Young $E$).

Đối với lời giải bài toán chúng ta cần tìm sự phụ thuộc của độ lớn biến dạng $x$ vào các giá trị $F$, $R$ và $E$. Chúng ta sẽ lại tìm sự phụ thuộc này dưới dạng

$$x = A_3 F^n R^s E^t, \qquad (9)$$

hoặc cho kích thước

$$[x] = [F^n]\ [R^s]\ [E^t]. \qquad (10)$$

Độ lớn của lực $F$ bằng

$$[F] = [ma] = \mathrm{MLT^{-2}}.$$

Thay thứ nguyên của các đại lượng $x$, $F$, $R$, $E$ vào (10), ta thu được

$$\mathrm{L} = (\mathrm{MLT^{-2}})^n \mathrm{L}^s (\mathrm{ML^{-1}T^{-2}})^t,$$

hoặc

$$\mathrm{L^1M^0T^0} = \mathrm{L}^{n+s-t}\mathrm{M}^{n+t}\mathrm{T}^{-2n-2t}.$$

Chúng ta hãy đánh đồng số mũ của các ký hiệu giống nhau ở bên trái và bên phải của phương trình này:

$$\begin{cases} 1 = n + s - t, \\ 0 = n + t, \\ 0 = -2n - 2t. \end{cases}$$

Từ đây

$$t = -n, \quad s = 1 - 2n.$$

Kể từ đây,

$$x = A_3 F^n R^{1-2n} E^{-n} = A_3 R \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n,$$

20

Hình 2.

hoặc
$$\frac{x}{R} = A_3 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^n. \qquad (11)$$

Nói chung, các tác động từ bên ngoài lên quả bóng sẽ làm thay đổi trạng thái vật liệu của quả bóng. Sự thay đổi trạng thái của vật liệu này được đặc trưng bởi khái niệm “ứng suất”. Ứng suất của vật liệu tại tiết diện $S$ (Hình 2) dưới tác dụng của ngoại lực $F$ gọi là giá trị $\sigma = F/S$, trong đó $S$ là diện tích mặt cắt ngang. Ứng suất xảy ra dưới tác dụng của các lực vuông góc với tiết diện đang xét được gọi là ứng suất hoặc áp suất pháp. Ứng suất đặc trưng cho tải trọng cụ thể tác dụng lên vật liệu (tải trọng trên một đơn vị diện tích mặt cắt ngang của cơ thể). Khi tải trọng riêng tăng dần, vật liệu đầu tiên trở nên kém đàn hồi và sau đó bị xẹp xuống. Vì vậy, việc xác định ứng suất có ý nghĩa thực tiễn.

Bài 3. Tìm ứng suất $\sigma$ tại điểm tiếp xúc của hai quả bóng có bán kính $R$, phát sinh dưới tác dụng của lực nén $F$ (xem Hình 2), nếu các quả bóng được làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi $E$.

Rõ ràng, $\sigma$ phụ thuộc vào $F$, $E$ và $R$:
$$\sigma = \sigma(F,\ E,\ R).$$
Chúng ta sẽ lại giả sử rằng sự phụ thuộc này có dạng
$$\sigma = A_4 F^{n_1}\ R^{s_1}\ E^{t_1}. \qquad (12)$$
Từ định nghĩa của điện áp, ta suy ra thứ nguyên của điện áp là

thứ nguyên của lực chia cho thứ nguyên của diện tích:
$$[\sigma] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2}.$$

Vì vậy, xét đến (12),
$$\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2} = (\mathrm{MLT}^{-2})^{n_1}\ \mathrm{L}^{s_1}\ (\mathrm{ML}^{-1}\mathrm{T}^{-2})^{t_1},$$
Ở đâu
$$\left\{ \begin{array}{l} 1 = n_1 + t_1, \\ -1 = n_1 + s_1 - t_1, \\ -2 = -2n_1 - 2t_1. \end{array} \right.$$

Sau khi thực hiện các phép tính thích hợp, chúng tôi nhận được
$$\sigma = A_4 F^{n_1} R^{-2n_1}\ E^{1-n_1},$$
hoặc
$$\frac{\sigma}{E} = A_4 \left(\frac{F}{ER^2}\right)^{n_1}. \qquad (13)$$

Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng phương pháp thứ nguyên được sử dụng rộng rãi trong những bài toán trong đó, do số lượng biến lớn và độ phức tạp của các phương trình mô tả hiện tượng, nên không thể phân tích lời giải. Trong trường hợp này, một thử nghiệm được thực hiện để tìm ra các phụ thuộc cần thiết. Các kết quả thử nghiệm được xử lý bằng cách sử dụng kết hợp các tham số không thứ nguyên bài toán, có thể được phân biệt bằng phương pháp thứ nguyên. Do đó, trong các vấn đề được xem xét trong bài viết này, phương pháp thứ nguyên cho phép chúng ta khẳng định rằng biến dạng và ứng suất tương đối được xác định không phải bởi các giá trị số riêng lẻ của các tham số $v$, $\rho$, $E$, $R$ hoặc $F$, $E$, $R$, mà bởi giá trị số của sự kết hợp không thứ nguyên của các tham số $\dfrac{\rho v^2}{E}$ và $\dfrac{F}{ER^2}$.

Bài tập

1. Chứng tỏ rằng ứng suất sinh ra trong các quả bóng chuyển động hướng về nhau với tốc độ $v$ tại thời điểm va chạm được xác định bởi biểu thức
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n.$$

2. Chứng tỏ rằng khi hai quả bóng có bán kính $R_1$ và $R_2$ va chạm nhau thì ứng suất tại điểm tiếp xúc được mô tả bằng công thức
   $$\frac{\sigma}{E} = A \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^n \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^r.$$

21

Ước tính đại lượng vật lý

B.S. Ratner

Trong vật lý, cũng như trong các ngành khoa học khác, giá trị của các đại lượng khác nhau thu được từ kết quả tính toán hoặc thí nghiệm được xác định với độ chính xác không bằng nhau. Trong một số trường hợp, điều quan trọng là phải biết giá trị của một đại lượng vật lý với độ chính xác cao nhất, trong những trường hợp khác, chỉ cần ước tính giá trị gần đúng của nó là đủ. Độ chính xác của những ước tính như vậy có thể thay đổi từ mức độ lớn đến vài phần trăm.

Lấy ví dụ về phép tính ước tính, không chính xác, chúng ta sẽ tìm chu kỳ dao động $T$ của một con lắc toán học theo một cách hơi khác thường. Qua môn vật lý ở trường, người ta đã biết rằng đối với các góc lệch nhỏ của sợi dây con lắc so với phương thẳng đứng, giá trị $T$ được tìm thấy với độ chính xác cao từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$, trong đó $l$ là chiều dài của sợi dây con lắc và $g$ là gia tốc rơi tự do. Do đó, ví dụ của chúng tôi hoàn toàn là

Hình 1.

22

minh họa - không ai trong điều kiện thực tế sẽ ước tính gần đúng một giá trị đã được biết chính xác. Nhưng chúng ta sẽ biết ngay ước tính đó gần đúng đến mức nào.

Giả sử tại thời điểm ban đầu con lắc ở điểm $A$ - điểm có khoảng cách lớn nhất đến vị trí cân bằng $B$, đồng thời sợi dây tạo một góc nhỏ $\alpha$ với phương thẳng đứng (Hình 1). Chu kỳ dao động $T$ gấp bốn lần khoảng thời gian $t$ trong đó con lắc sẽ mô tả cung $AB$:

$$T = 4t = 4\,\frac{\smile AB}{v_{\mathrm{ср}}},$$

trong đó $v_{\mathrm{ср}}$ là tốc độ trung bình ở đoạn này.

Vì góc $\alpha$ nhỏ nên cung $\smile AB$ có thể được thay thế bằng dây cung $AB$. Từ tam giác vuông $ACO$ và $ACB$

$$AC^2 = l^2 - (l-h)^2$$

Và

$$AC^2 = AB^2 - h^2,$$

kể từ đây,

$$AB = \sqrt{2lh}.$$

Hãy giả sử rằng

$$v_{\mathrm{ср}} = \frac{v_0 + v_t}{2} = \frac{0 + \sqrt{2gh}}{2}.$$

Ở đây $v_0$ là tốc độ tại thời điểm ban đầu, và $v_t$ là tốc độ của con lắc khi đi qua vị trí cân bằng. Sự thiếu chính xác của giả định như vậy là hiển nhiên, vì nó tương ứng với chuyển động có gia tốc đều, tức là chuyển động dưới tác dụng của một lực không đổi. Trong trường hợp của chúng ta, quả bóng chịu tác dụng của một lực thay đổi theo thời gian—thành phần tiếp tuyến của trọng lực. Thật không may, không thể đạt được giá trị $v_{\mathrm{ор}}$ gần với giá trị thực hơn bằng toán học cơ bản.

Chúng ta hãy thay thế các giá trị của $\smile AB$ và $v_{\mathrm{ср}}$ vào biểu thức cho chu kỳ dao động $T$ và thu được

$$T = 8 \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Hình 2.

Hình 3.

Giá trị chu kỳ dao động thu được bằng ước tính lớn hơn khoảng 27% so với giá trị thực. Điều gì gây ra sự khác biệt này? Về cơ bản, với giá trị vận tốc trung bình mà chúng ta đã chọn thì việc thay thế cung bằng dây cung không mấy quan trọng. Hình 2 hiển thị đồ thị của lực và độ dịch chuyển trong hai trường hợp: dao động điều hòa, khi lực $F_2$ giảm tuyến tính khi nó tiến đến vị trí cân bằng và được sử dụng để ước tính chuyển động có gia tốc đều, khi lực $F_1$ không đổi. Các diện tích bên dưới đồ thị, bằng năng lượng của chuyển động, đương nhiên phải bằng nhau. Bây giờ chúng ta hãy thử so sánh

khoảng thời gian dành cho cả hai trường hợp. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng sự phụ thuộc $v = v(t)$ (Hình 3). Với chuyển động có gia tốc đều, đồ thị $v = v_1(t)$ là một đường thẳng. Với dao động điều hòa, đường cong $v = v_2(t)$ ban đầu đi cao hơn (tiếp tuyến của độ dốc của đường cong tại $t = 0$ gấp đôi tiếp tuyến của đường thẳng), ở giữa đường đi, độ dốc của các đường cong xấp xỉ bằng nhau và ở cuối đường tiếp tuyến của độ dốc của đường cong $v_2(t)$ bằng 0. Nhưng diện tích bên dưới cả hai đường cong phải bằng nhau vì chúng bằng đường đi. Do đó, $t_1 > t_2$, tương ứng với dấu của sự chênh lệch về giá trị của chu kỳ dao động.

Sự cố tại Thế vận hội

Cuộc thi Olympic cấp trường vừa kết thúc. Nhiệm vụ đầu tiên luôn là dễ nhất, nhưng lần này các cuộc tranh luận bắt đầu thậm chí vì đáp số. Trong điều kiện đầu tiên bài toán người ta nói: Tìm tất cả các giá trị của tham số a mà phương trình $x^2 - |x| + a = 0$ có một nghiệm duy nhất.

“Tôi đã quyết định bài toán như thế này,” sinh viên Krestikov nói. — Đã biết rằng $x^2 = |x|^2$, nên thay vì cho trước

Phương trình này có thể được viết như sau:

$$|x|^2 - |x| + a = 0.$$

Vì nó là bình phương đối với $|x|$, nên chỉ có thể có một nghiệm duy nhất trong trường hợp phân biệt bằng 0, nghĩa là đối với $a = \frac{1}{4}$. Vì vậy, $a = \frac{1}{4}$.

“Không hề,” sinh viên Nulikov nói. “Nhìn xem tôi đã quyết định như thế nào.” Cho phương trình này có nghiệm $x_0$. Rõ ràng là $-x_0$ cũng sẽ là gốc của nó. Và để có một gốc duy nhất, điều cần thiết là $x_0 = -x_0$. Điều này chỉ có thể thực hiện được với

$x_0 = 0$. Thay giá trị $x$ này vào phương trình, chúng ta thấy rằng $a = 0$ chứ không phải $\frac{1}{4}$!

• Cả hai người đều chưa nói xong. lời giải ví dụ cho đến cùng,” sinh viên Kvadratikov nói. “Cần phải làm nhiều hơn nữa…

“Không còn cần thiết nữa,” sinh viên Triangle nói dứt khoát. “Mọi chuyện đã rõ ràng rồi.”

Hãy cố gắng trả lời những câu hỏi này.

1. đáp số của ai đúng?

2. Kvadratikov có ý gì?

3. Điều gì rõ ràng với Triugolnikov?

TRONG. I. Ryzhik

23