Kvant 1975, số 5 · Trang

Kvasht
1975
5
khoa học bán Bắc Cực
vật lý và toán học
tạp chí

Trong bức vẽ này, lấy từ cuốn sách “Margarita philosophica” xuất bản năm 1504 của Georg Reisch, bạn sẽ thấy trạng thái giữa “Nhà tính toán” và “Nhà thuật toán”. Bạn có thể tìm hiểu xem “Nhà tính toán” và “Nhà thuật toán” là ai trong bài viết “Giới thiệu về Bàn tính”.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoni

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,

phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:

2 Chiến công vĩ đại của nhân dân Liên Xô
5 Yu. V. Matiyasevich. Công thức cho số nguyên tố
14 A. V. Chaplik. Cơ học sóng
22 SG Verov. Tiếp tuyến với cuộn
31 I. N. Bronshtein. Tính chất chung của đường conic

Phòng thí nghiệm «Kvant»
41 M. P. Golloway. Thí nghiệm với tia nước

vòng tròn toán học
45 I. F. Sharytsin. Thoát vào không gian

Vấn đề «Kvant»
50 Bài toán M321—M325; F333—F337
52 Lời giải bài toán M286—M290; F296—F298

Xưởng của người nộp đơn
58 K. I. Kashin. Viện bắt đầu ở trường
60 G. I. Rosenblam. Làm thế nào để tham dự lời giải bài toán môn vật lý?
64 Zh. M. Mikhailov, V. N. Sludsky, A. V. Ustinova. Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Thông tin
68 A. L. Stasenko. LỖI - nó là gì?
70 A. A. Bykov, Yu. I. Ionin. Trường nội trú tại Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

«Kvant» cho học sinh nhỏ
71 Bài toán
72 O. P. Chopenko. Về điểm số

Đáp số, gợi ý, lời giải

Góc sưu tầm
76 A. V. Altykis. XXX năm chiến thắng chủ nghĩa phát xít của Hitler (trang bìa thứ 3)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Nuka”, «Kvant», 1975 200

2

Chiến công vĩ đại của nhân dân Liên Xô

Vào ngày 9 tháng 5, nhân dân Liên Xô và cùng với toàn thể nhân loại tiến bộ kỷ niệm 30 năm chiến thắng Hermann của Hitler. Chiến thắng vĩ đại này không chỉ của các lực lượng vũ trang Liên Xô chiến đấu ở tiền tuyến mà còn của toàn thể nhân dân Liên Xô dưới sự lãnh đạo của Đảng Cộng sản Liên Xô.

Các nhà khoa học Liên Xô, xương thịt của nhân dân, cũng không đứng ngoài cuộc. Họ đã góp phần đáng kể vào chiến thắng khi chiến đấu ở mặt trận và làm việc trong các phòng thí nghiệm khoa học.

Chúng ta đừng quên cuộc biểu tình tại Thính phòng Cộng sản của Đại học Tổng hợp Moscow ở Mokhovaya, khi tổ chức Komsomol của trường đại học tuyên bố được huy động “để thực hiện bất kỳ nhiệm vụ nào của đảng và chính phủ - ở mặt trận, trong các nhà máy, trong giao thông, trên các cánh đồng trang trại tập thể và nhà nước.” Các nhà khoa học tiền tuyến đã chiến đấu quên mình chống lại kẻ thù; mọi suy nghĩ của họ đều hướng tới chiến thắng. Nhưng ngay cả khi đó, trong những ngày chiến tranh nảy lửa, họ vẫn trung thành với khoa học. Nhà toán học và giáo viên nổi tiếng của Liên Xô A. Ya. Khinchin viết cho một người trong số họ vào tháng 3 năm 1945:

“…Bạn làm tôi nghĩ tại sao trong cuộc chiến này, những chiến binh còn rất trẻ như bạn, cứ mỗi lần nghỉ ngơi, lại lao vào công việc yêu thích của mình với tất cả đam mê - công việc mà họ đã cống hiến hết mình trước chiến tranh và từ đó họ bị chiến tranh xé nát. Điều này không xảy ra trong cuộc chiến tranh hòa bình vừa qua. Khi đó, chàng trai trẻ ra mặt trận hầu như luôn cảm thấy rằng cuộc đời mình đã thay đổi, rằng mọi thứ anh từng sống trước đây đều trở nên không thể đối với anh. Nhưng bây giờ có những người, giữa các trận chiến, viết luận văn và bảo vệ họ khi họ đến Có phải vì bạn cảm thấy toàn bộ công việc PATH và trò tiêu khiển yêu thích của mình - khoa học, nghệ thuật; hoạt động thực tế - là hai mắt xích của cùng một mục đích lớn lao không? Và nếu đúng như vậy, thì đây chẳng phải là một trong những động lực chính đằng sau những chiến thắng của bạn, điều mà chúng tôi ở hậu phương rất ngưỡng mộ sao?…”

Không phải ai cũng sống sót để chứng kiến ​​ngày đại thắng. Nhiều nhà khoa học đã hy sinh mạng sống vì nền độc lập của Tổ quốc. Chúng tôi nói tên của họ với sự tôn kính.

Anh hùng Liên Xô Evgenia Maksimovna Rudneva tốt nghiệp Khoa Cơ học và Toán học của Đại học quốc gia Moscow. Trước chiến tranh, bà đứng đầu bộ phận của Hiệp hội Thiên văn học và Trắc địa toàn Liên minh. Thiếu úy cận vệ, trung đoàn trưởng của Trung đoàn hàng không cận vệ, cô đã thực hiện 645 phi vụ chiến đấu. Nhật ký và thư từ của Evgenia Maksimovna Rudneva được sưu tầm trong cuốn sách “Khi trái tim đang đập” do nhà xuất bản Molodaya Gvardiya xuất bản.

3

Những ai quan tâm đến văn học khoa học đại chúng nên biết tên của những nhà phổ biến khoa học tài năng - Rostislav Nikolaevich Bonchkovsky và Gorgiy Nikolaevich Berman. Rostislav Nikolaevich sở hữu một cuốn sách về kỳ thi Olympic toán học đầu tiên dành cho học sinh được tổ chức ở nước ta. Ông là chủ biên chính của tuyển tập “Khai sáng toán học” xuất bản trước chiến tranh. Và tất nhiên, tất cả các bạn đều đã đọc những cuốn sách khoa học phổ thông tuyệt vời của Gorgiy Nikolaevich Berman: “Cyclopdas”, “Số và khoa học về nó” và những cuốn khác. Bị thương nặng, anh ấy tìm thấy sức mạnh để tiếp tục công việc yêu thích của mình và theo đúng nghĩa đen, hai ngày trước khi chết, anh ấy đang sửa các bản in thử cuốn sách của mình.

Năm 1937-1941, một trong những phần của vòng tròn toán học dành cho học sinh tại Đại học quốc gia Moscow được dẫn dắt bởi nhà toán học trẻ tài năng David Oskarovich Shklyarsky. Ngay từ những ngày đầu của cuộc chiến, ông đã ra mặt trận và hy sinh một cách anh hùng vào năm 1944. Nhưng cho đến nay, ảnh hưởng của D. O. Shklyarsky đối với giáo dục toán học đã được phát huy. Từ năm 1946, một loạt sách “Thư viện vòng tròn toán học” đã được xuất bản, sử dụng vật liệu từ vòng tròn do David Oskarovich chủ trì. Ông chưa bao giờ cầm trên tay những cuốn sách này, nhưng để ghi nhận công lao đặc biệt của ông, tên tuổi của D. O. Shklyarsky đã được xếp ở vị trí đầu tiên trong số các tác giả.

Tên của các nhà khoa học đã chết trong trận chiến với Đức Quốc xã vẫn còn sống trong ký ức của người dân. Ký ức vĩnh cửu và những lời nói với họ!

Sự đóng góp của những nhà khoa học không cần sức lực đã làm việc ngày đêm, đem hết kinh nghiệm, kiến ​​thức, tài năng của mình vào làm việc, giúp đỡ lực lượng vũ trang và công nghiệp quốc phòng là vô giá. Việc Quân đội Liên Xô được thành lập với vũ khí hiện đại là một công lao to lớn của các nhà khoa học và nhà thiết kế của chúng ta. Chúng tôi chỉ đề cập đến một số công trình của các nhà toán học và vật lý hiện đại.

Pháo binh được mệnh danh là “Thần chiến tranh”. Khoa học đã giúp pháo binh “bao vây” mục tiêu và truyền lực lượng ra bên ngoài chính xác hơn. Vai trò chính trong việc thực hiện bài toán này được thực hiện bởi công trình của các nhà toán học và cơ học Liên Xô, đặc biệt là trường phái của Viện sĩ A. N. Kolmogorov về lý thuyết bắn, Viện sĩ M. A. Lavrentiev về hướng nổ, và thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. A. Ilyushin về dòng chảy dẻo của kim loại.

Ngay cả trước chiến tranh, một nhóm chuyên gia từ Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad, đứng đầu là Viện sĩ A.F. Ioffe, đã bắt đầu phát triển một vấn đề cấp bách đối với hạm đội - khử từ tính của tàu. Vào thời điểm đó, nhiều lực lượng hải quân trên thế giới đã áp dụng cái gọi là mìn từ tính, chúng sẽ tự động phát nổ khi có tàu đi ngang qua. Thực tế là bất kỳ thân thép nào (trong trường hợp này là thân tàu) đều bị từ hóa ở mức độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn và do đó tạo ra một từ trường xung quanh chính nó. Cánh đồng này chính là điều mà các khu mỏ “cảm nhận được”. Để bảo vệ con tàu khỏi mìn từ tính, nó cần được khử từ. Việc khử từ của tàu được thực hiện bằng một hệ thống xác định cách bố trí các dây dẫn mà dòng điện đi qua.

Trong chiến tranh, công việc khử từ cho tàu được thực hiện trực tiếp tại các căn cứ hải quân. Công việc này được thực hiện bởi một nhóm các nhà vật lý dưới sự lãnh đạo của các học giả A.P. Aleksandrov và I.V. Kurchatov. Việc khử từ đã được chứng minh là hiệu quả đến mức hạm đội của chúng tôi hầu như không bị mất mìn từ tính. Nhờ đó, mạng sống của các thủy thủ tương ứng đã được cứu.

Các nhà khoa học không chỉ giải quyết các vấn đề bảo vệ khỏi mìn của kẻ thù - họ còn làm rất nhiều việc trong việc tạo ra đạn nổ. Vì vậy, một nhóm các nhà vật lý đã phát triển

4

mìn chống xe cộ dùng để làm nổ tung xe tăng, xe lửa và ô tô của Đức. Những người ném mìn của Đức đã bất lực trong nỗ lực vô hiệu hóa những quả mìn này.

Các nhà vật lý Leningrad, dẫn đầu bởi thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô P. P. Kobeko, cùng với các thủy thủ của hải quân trong cuộc vây hãm Leningrad, đã phải giải quyết một vấn đề không hoàn toàn bình thường bài toán: phát triển các phương pháp đảm bảo việc di chuyển an toàn dọc theo con đường băng. Như bạn đã biết, trong thời gian phong tỏa, thành phố được cung cấp thực phẩm, nguyên liệu thô và đạn pháo dọc theo con đường duy nhất băng qua Hồ Ladoga. Trong điều kiện vô cùng khó khăn của thành phố bị bao vây, nơi đang bị pháo kích và ném bom, các nhà vật lý và thủy thủ đã đảm bảo cho “con đường sự sống” hoạt động không bị gián đoạn.

Kết quả công việc của các nhà vật lý Ural, người đã phát triển phương pháp phát hiện lỗ hổng từ tính, giúp phát hiện các lỗ hổng nguy hiểm trong vỏ thép của đạn pháo, hóa ra lại có hiệu quả. Phương pháp này dựa trên thực tế là đối với các sản phẩm có khuyết tật “bên trong” trong kim loại, từ trường gần các khuyết tật này khác với từ trường ở các bộ phận “khỏe mạnh” của sản phẩm. Những sai lệch này được phát hiện bởi các thiết bị đặc biệt gọi là máy dò lỗ hổng từ tính. Hàng triệu quả đạn pháo, bị loại do đặc tính cơ học bên ngoài, nhưng trên thực tế khá thích hợp để bắn, đã được tuyên bố là phù hợp với sự hỗ trợ của các thiết bị này và được đưa trở lại mặt trận.

Vai trò đặc biệt của radar trong chiến tranh đã được nhiều người biết đến. Ý tưởng tạo ra thiết bị này thuộc về học giả Yu. B. Kobzarv.

Công lao của các nhà khoa học Liên Xô được đảng và chính phủ đánh giá cao: nhiều người được phong là Anh hùng Liên Xô, Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa. Nhiều người mang trên mình các huân chương, huân chương của Liên Xô và các nước khác, đồng thời đã được trao giải thưởng nhà nước.

Bài toán việc làm chủ thiết bị quân sự, quá trình phát triển mà các nhà khoa học Liên Xô tích cực tham gia, giờ đây càng trở nên phù hợp hơn và phức tạp hơn. Tổng Bí thư Ban Chấp hành Trung ương CPSU L. I. Brezhnev lưu ý: “Trang bị quân sự ngày nay không phải là cách huấn luyện “nông dân” paris của những năm 20 và thậm chí không phải là “diều hâu” và “vịt” của thời kỳ Chiến tranh Vệ quốc. Ngày nay, những người bảo vệ Tổ quốc Liên Xô phải nắm vững nghệ thuật quản lý các gói hàng quốc tế, lái máy bay siêu thanh, tàu ngầm hạt nhân và làm quen với nhiều loại vũ khí phức tạp khác. và một bàn tay vững vàng, nhưng cũng là những kỹ sư, nhà toán học quen thuộc với những bí mật của điện tử và điều khiển học Bài toán, do đó, trong lĩnh vực này, họ đã trở nên phức tạp hơn, có trách nhiệm hơn và đã vươn lên một tầm cao mới. Nhưng ngày nay cần có sự nhạy bén, nhiệt tình, tuổi trẻ nông thôn, phẩm chất nam tính và lòng dũng cảm cũng như trong cuộc nội chiến và những kế hoạch 5 năm đầu tiên, như trong những năm rực lửa của cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại” *).

Đó là những năm khó khăn kể từ khi chiến tranh kết thúc. Nhưng chiến công của nhân dân Liên Xô vẫn còn mãi trong ký ức của con người. Nhân dân ta đánh giá cao sự đóng góp của các nhà khoa học cho sự nghiệp giành thắng lợi. Vinh dự cho họ!

*) Thưa anh. Zhnev L.I. Bài phát biểu tại Hội nghị trọng thể của BCHTW Komsomol ngày 25/10/1968 - Trong cuốn sách: “Con đường Lênin”. Bài phát biểu và bài viết, tập. 2. M., 1973, tr. 273.

5

Những gì được yêu cầu?

Các số nguyên tố nằm rải rác trong chuỗi tự nhiên một cách rất kỳ quái, và không có gì đáng ngạc nhiên khi sản phẩm của các nhà toán học tìm cách tìm ra một “công thức cho số nguyên tố”. Bằng cách này, chúng ta có thể đặt tên cho các công thức có các thuộc tính khác nhau và ở đây, điều rất quan trọng là phải hiểu những gì chúng ta thực sự cần.

Công thức đơn giản nhất cho số nguyên tố có vẻ là:

$$p = p_n,$$

(1)

trong đó $p_n$ biểu thị số nguyên tố thứ $n$. Tại sao công thức này không thành lập chúng ta? Thực tế là phần bên phải của đẳng thức này được tính bằng cách sử dụng hình ảnh - ví dụ: hãy thử tự tìm $p_{1975}$! Chúng tôi muốn có được một công thức tương tự với cách đơn giản nhất có thể để tính vế phải (tuy nhiên, như chúng tôi thấy, tính dễ tính hoàn toàn không phải là một khái niệm). Có thể nói đây là một chương trình mặt nạ.

Để đơn giản hóa công thức, người ta có thể bỏ yêu cầu phụ thuộc rõ ràng vào số $n$ và tìm kiếm các công thức cung cấp số nguyên tố, có thể không theo thứ tự. Hơn nữa, bạn có thể từ chối mong muốn chỉ định tất cả các số nguyên tố cùng một lúc bằng một công thức và chỉ yêu cầu công thức đó đưa ra vô số số nguyên tố. Cuối cùng, có thể giả định rằng công thức này, cùng với vô số số nguyên tố, cũng cho ra các số tổng hợp không hữu hạn. Đây là một chương trình tối thiểu.

Các công thức tưởng chừng rất đơn giản nhưng có thể không phải là công thức tốt nhất (1). Bây giờ chúng ta chuyển sang những ví dụ như vậy.

Định lý của E. M. Wright

Năm 1947, W. H. Mill công bố kết quả sau:

Tồn tại một số thực $\lambda$ sao cho với mọi $n=1, 2, \dots$ số đó

$$[\lambda^{3^n}]$$

(2)

rất đơn giản *).

Sau đó, một số công thức cùng loại xuất hiện. Tuy nhiên, đây đều là những kết quả mà công thức có vẻ hấp dẫn và đầy hứa hẹn, nhưng bằng chứng lại gây thất vọng. Đối với bất kỳ ai muốn hiểu tại sao lại như vậy, chúng tôi khuyên bạn nên xem xét cách chứng minh định lý sau đây của E. M. Wright:

Tồn tại một số thực $\mu$ sao cho mọi số có dạng

$$[2^2 \cdot 2^{\mu}]$$

(3)

thật đơn giản.

Điểm mấu chốt trong việc chứng minh định lý Wright là định đề Bertrand. Theo định đề này thì tại $x \geq 4$ luôn tồn tại giữa $x$ và $2x-2$

*) Ở đây và bên dưới [$\alpha$] biểu thị phần nguyên của số $\alpha$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\alpha$.

6

số nguyên tố. Giả thuyết này lần đầu tiên được đưa ra bởi nhà toán học người Pháp Bertrand: ông không thể chứng minh được nó và do đó sử dụng nó trong lập luận của mình như một cách xây dựng không thể chứng minh được. Chứng minh phỏng đoán của Bertrand sau đó đã được nhà toán học xuất sắc người Nga P. L. Chebyshev * tìm ra).

Để tìm số cần tìm μ, trước tiên chúng ta chọn một dãy số nguyên tố $q_1, q_2, \dots$ sao cho với mọi $n=1, 2, \dots$
$$2^q < q_{n+1} < 2^{q+1} - 1. \quad (4)$$
(Bất kỳ số nguyên tố nào cũng có thể được coi là $q_1$; có thể tiếp tục không giới hạn chuỗi $\{q_n\}$, tuân theo bất đẳng thức (4), đảm bảo cho cách xây dựng của Bertrand.)

Để cho ngắn gọn, chúng ta hãy ký hiệu số
$$2^2,$$
trong đó chúng ta lấy $n$ số mũ, thông qua $\exp^n \alpha$ và hàm nghịch đảo,
$$\log_2 \log_2 \dots \log_2 \beta - \text{через } \log_2^n \beta.$$

Hãy thử chọn số μ sao cho tại $n=1, 2, \dots$
$$[\exp^n \mu] = q_n. \quad (5)$$
Theo định nghĩa phần nguyên của một số thì đẳng thức (5) tương đương với bất đẳng thức
$$q_n \leqslant \exp^n \mu < q_n + 1.$$

Nhân nó $n$ lần trong cơ số 2, ta thu được một bất đẳng thức kép khác tương đương với (5):
$$\log_2^n q_n \leqslant \mu < \log_2^n (q_n + 1). \quad (6)$$

Hãy tự kiểm tra xem điều gì tiếp theo từ (4)
$$\log_2^1 q_1 < \log_2^2 q_2 < \dots < \log_2^n q_n < \log_2^{n+1} q_{n+1} < \dots < \log_2^{n+1} (q_{n+1} + 1) < \log_2^n (q_n + 1) < \dots < \log_2^2 (q_2 + 1) < \log_2^1 (q_1 + 1).$$

Vì vậy trình tự
$$\log_2^1 q_1, \log_2^2 q_2, \dots, \log_2^n q_n, \dots$$
tăng nghiêm ngặt và phạm vi hạn chế; do đó nó có giới hạn. Chúng ta sẽ coi đây là số μ; chứng minh rằng μ được chọn thỏa mãn bất đẳng thức thậm chí còn mạnh hơn (6)
$$\log_2^n q_n < \mu < \log_2^n (q_n + 1), \quad (7)$$
và do đó, đẳng thức (5) là đúng. Định lý Wright đã được chứng minh.

Nhược điểm chính của công thức (2) và (3) là chúng (chính xác hơn là chứng minh của chúng) không đưa ra bất kỳ

*) Bạn có thể đọc về cách chứng minh này trong bài viết của M. I. Bashmkov, «Kvant», 1971, số 5.

phương pháp tìm số nguyên tố hoặc để tính bất kỳ số nguyên tố nào bằng công thức (2) hoặc (3), số λ và μ được yêu cầu phải được biết với độ chính xác vừa đủ. Do đó, công thức (2) và (3) theo một số nghĩa chỉ là phiên bản trá hình (và tệ hơn) của công thức (1). Ngoài ra, dạng công thức (2) và (3) thực tế hầu như không nói gì cụ thể về tập hợp số nguyên tố. Từ việc chứng minh định lý Wright, rõ ràng là các công thức tương tự như (2), (3) có thể được xác định cho bất kỳ tập hợp “đủ dày đặc” nào.

Nhược điểm của công thức (2) và (3) xuất phát từ thực tế là chúng bao gồm các số thực λ và μ, được xác định theo một cách gián tiếp nào đó. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ xem xét các công thức chỉ bao gồm các hệ số nguyên. Những công thức như vậy có một ưu điểm quan trọng: chúng có thể (về nguyên tắc) được viết ra một cách rõ ràng:

Số nguyên tố Mersenne và Fermat
Các công thức của Millas, Wright và các công thức tương tự khác vẫn là những sự thật biệt lập và không dẫn đến kết quả mới. Tuy nhiên, trong những trường hợp khác, khả năng biểu diễn một số số nguyên tố dưới dạng đặc biệt này hay dạng đặc biệt khác lại gây ra những hậu quả bất ngờ và sâu sắc.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai công thức có dạng đơn giản tương thích:
$$p = 2^n - 1, \quad (8)$$
$$p = 2^n + 1. \quad (9)$$

Rõ ràng, công thức (8) không phải lúc nào cũng cho số nguyên tố; ví dụ: nếu $n$ là hợp số, $n = kl, k > 1, l > 1$ thì $p$ chia hết cho $2^k - 1$ và $2^l - 1$. Nhưng ngay cả với $n$ đơn giản thu được từ công thức (8), số này có thể là hợp số:
$$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \cdot 89.$$

Các số nguyên tố thu được theo công thức (8) được gọi là số Mersenne trong Marin Mer-

7

Senna, người quay lại năm 1664 đã chỉ ra tất cả các giá trị nguyên tố $n$ không vượt quá 257, theo quan điểm của ông, công thức (8) cho các số nguyên tố. Tuy nhiên, Mersenne không đưa ra bằng chứng; sau đó người ta phát hiện ra rằng dự đoán của ông đã sai một phần.

Sự quan tâm đến số Mersenne là do mối liên hệ của chúng với cái gọi là số hoàn hảo - những con số bằng tổng của tất cả các ước của chúng, tất nhiên, khác với chính số đó. Euclid cũng đã chứng minh (bằng chứng và bạn) rằng nếu số nguyên tố $p$ có dạng như công thức (8) thì số $p \cdot (p+1)/2$ là số hoàn hảo. Ví dụ,

$$3 = 2^2 - 1, \quad 7 = 2^3 - 1$$

là các số nguyên tố và do đó

$$6 = (3 \cdot 4)/2 = 1 + 2 + 3, \quad 28 = (7 \cdot 8)/2 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$$

• những con số hoàn hảo Vài thế kỷ sau, Leonhard Euler đã chứng minh (hãy thử dùng tay của ông ở đây) rằng tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng như Euclid chỉ ra. Do đó, câu hỏi liệu tập hợp bốn số hoàn hảo là hữu hạn hay vô hạn đã được rút gọn thành câu hỏi liệu tập hợp số nguyên tố Mersenne là hữu hạn hay vô hạn, nghĩa là câu hỏi liệu công thức (8) có thực hiện được chương trình tối thiểu của chúng ta hay không. Đáp số câu trả lời cho câu hỏi này vẫn chưa được biết *).

Công thức (9) không phải lúc nào cũng cho ra số nguyên tố, ví dụ: nếu $n$ có ước số lẻ đơn giản $m$ thì $p$ chia hết cho $2^{m/2} + 1$ và nếu $n$ là số lẻ thì $p$ chia hết cho 3. Do đó, thay vì $n$ trong công thức (9), bạn chỉ nên thay thế 0 và lũy thừa của số 2. Vì công thức $n=0, 2^0, 2^1, 2^2, 2^3$ và $2^4$ (9) thực sự cho ra các số nguyên tố, và Pierre

*) Bạn có thể đọc về lịch sử và hiện trạng nghiên cứu về số hoàn hảo và số nguyên tố Mersenne trong bài viết của I. Ya. Depman, «Kvant», 1971, số 8.

Form, người sống ở thế kỷ 17, đã đề xuất rằng với bất kỳ $n$ nào có dạng $2^k$ thì công thức (9) sẽ cho một số nguyên tố; trong đó các số nguyên tố có dạng $2^{2k} + 1$ được gọi là số Fermat. Giả thuyết của Fermat đã bị Euler bác bỏ, người chỉ ra rằng số $2^{25} + 1$ chia hết cho 641. Hiện tại, một số giá trị của $n$ có dạng $2^k$ đã được biết, tại đó các số tổng hợp thu được bằng công thức (9), nhưng không tìm thấy một số Fermat nguyên tố mới nào, khác với những giá trị được chỉ ra ở trên.

Số nguyên tố Fermat tiết lộ mối liên hệ bất ngờ với hình học Nhà toán học xuất sắc người Đức Carl Friedrich Gauss đã chứng minh rằng một $p$-giác đều có thể được dựng bằng một chu trình và thước cho số nguyên tố $p$ khi và chỉ khi $p$ là số Fermat*). Một kết quả tổng quát hơn là thế này: một $m$-giác đều có thể được dựng bằng một đường tròn và một thước thẳng khi và chỉ khi $m=2^s \cdot p_1p_2 \dots p_l$, trong đó $p_1, p_2, \dots, p_l$ là các số nguyên tố Fermat phân biệt theo cặp.

Khăn trải bàn Ulama

Công thức (8) và (9) chứa lũy thừa. Không thể thực hiện được các nhiệm vụ có vô số nhiệm vụ chỉ bằng phép cộng, phép trừ và phép nhân sao? Hãy tìm đáp số cho câu hỏi này.

Hãy bắt đầu bằng việc xem xét đa thức một biến có hệ số tự nhiên; Chúng ta hãy xem đa thức nào sẽ có tính chất và số lượng là bao nhiêu.

Trước tiên chúng ta hãy lấy đa thức bậc một (tức là đa thức tuyến tính). Rõ ràng, đa thức rút gọn $x$ xác định vô số đa thức, hơn nữa là tất cả các số nguyên tố, nhưng đây là một trường hợp không mấy thú vị. Chúng ta có thể nói gì về đa thức $ax + b$ (trong đó $a, b$ và $x$ là số tự nhiên)? Rõ ràng là nếu $a$ và $b$ có ước chung thì khác nhau

*) Khám phá này của Gauss khi đó còn rất trẻ được mô tả chi tiết hơn trong bài viết của S. G. Gindikna, «Kvant», 1972, No. 1.

8

Hình 1.

từ 1 thì giá trị của đa thức $ax + b$ là hợp số là bội số của ước số này. Trường hợp $a$ và $b$ tương đối nguyên tố thì ít được đánh giá cao hơn nhiều.

Nhà toán học người Pháp Legendre (sống ở thế kỷ 18) đã đưa ra giả thuyết rằng nếu $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau, thì trong một chương trình số học có số hạng đầu tiên $b$ và hiệu $a$ sẽ có vô số số nguyên tố. Giả thuyết này chỉ được chứng minh vào thế kỷ trước bởi nhà toán học người Đức Lejeune Dirichlet.

Bây giờ chúng ta chuyển sang đa thức bậc hai. Trong số đó có những “người giữ kỷ lục”, ví dụ như đa thức $x^2 + x + 41$ - nó đã được nghiên cứu bởi Leonard Euler. Đa thức này lấy giá trị nguyên tố ở $x = 1,2,...,40$. Khi $x=41$ giá trị của nó là tổng hợp.

Người ta đã chứng minh rằng không có đa thức nào (tất nhiên ngoài cấu trúc) chỉ có thể có giá trị là số nguyên tố, nhưng vẫn chưa biết liệu có đa thức (không phải đa thức tuyến tính) trong số các giá trị của nó có vô số số nguyên tố hay không.

9

Pris. 2

Pris. 3.

Gần đây, mối quan tâm đến việc biểu diễn các số nguyên tố dưới dạng giá trị của đa thức bậc hai đã nảy sinh liên quan đến một quan sát cần thiết của S. M. Ulam*). Khi bắt đầu đánh dấu các số nguyên tố trên một đường xoắn ốc toàn số tự nhiên (Hình 1), Ulam rất ngạc nhiên khi phát hiện ra các số nguyên tố được sắp xếp dọc theo các đường chéo, tạo thành những chuỗi khá dài. (Chứng minh rằng các số nằm dọc theo đường chéo bất kỳ nằm trong giới hạn bởi vạch đỏ trên Hình 1 là giá trị của một số đa thức bậc hai có hệ số nguyên). Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là mô hình này cũng được quan sát thấy khi đường xoắn ốc được mở rộng (với sự trợ giúp của máy tính) thành các số lớn - trong Hình 2, các chấm sáng đánh dấu các số nguyên tố trên đường xoắn ốc từ 10.000 số đầu tiên. Mẫu hiển thị trong Hình 2 được gọi là “khăn trải bàn Ulama”.

Để mẫu được ghi chú xuất hiện, không cần thiết phải bắt đầu đường xoắn ốc bằng một đơn vị. Ví dụ: các giá trị của đa thức $x^2 + x + 41$ được sắp xếp dọc theo các đường chéo của hình xoắn ốc bắt đầu bằng số 41 (Hình 3). Rất có thể độc giả của «Kvant», với sự khéo léo và kiên nhẫn thích đáng, sẽ có thể tìm ra những mẫu “hình học” màu đỏ mới để sắp xếp các số nguyên tố giữa số nhiều của tất cả các số.

Hiện tượng các số nguyên tố có xu hướng tạo thành chuỗi dọc theo các đường chéo được phát hiện tương đối gần đây và chưa nhận được bất kỳ lời giải thích toán học nào.

Chúng ta sẽ nói về việc biểu diễn số nguyên tố bằng đa thức nhiều biến ở cuối bài.

Đa thức hàm mũ của Julia Robinson

Đa thức hàm mũ khác với đa thức thông thường ở chỗ số mũ của chúng không chỉ có thể là số tự nhiên cụ thể mà còn có thể là đa thức tuyến tính trong các biến có hệ số tự nhiên, tức là đa thức có dạng $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_kx_k + b$, trong đó $a_1, a_2, \ldots, a_k, b$ là số nguyên không âm.

Ví dụ đơn giản nhất về đa thức mũ trong biến $n$ là quy tắc của phần công thức (8) và (9).

Trong tương lai, chúng ta sẽ luôn tưởng tượng rằng tất cả các biến chúng ta gặp đều có giá trị nguyên dương.

Năm 1952, nhà toán học người Mỹ Julia Robinson*) đã công bố kết quả sau:

*) Đây là cách quan sát này được thực hiện, M. Gardner kể một cách đầy màu sắc trong “Giải trí toán học”, M., “Mir”, 1972.

10

Có một đa thức hàm mũ $R(x_0, \dots, x_h)$ sao cho bất kỳ giá trị dương nào của nó đối với các giá trị nguyên dương của các biến đều là số nguyên tố; Bất kỳ số nguyên tố nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng này.

Kết quả là “công thức tính số nguyên tố” sau:

$$p = R(x_0, \dots, x_h).$$

Công thức này được thay thế bằng cái này. Thứ nhất, nó chỉ bao gồm các số nguyên, và do đó, không giống như các công thức của Mills, Wright và những thứ tương tự, công thức Julia Robinson có thể được viết ra một cách rõ ràng. Thứ hai, nó chỉ định tất cả các số nguyên tố chứ không chỉ một số số nguyên tố được chọn, không giống như tất cả các công thức đã thảo luận ở trên. Thứ ba, mặc dù công thức (10) không chỉ xác định các số nguyên tố, nhưng chúng ta có một cách rất đơn giản để lọc ra các số “phụ”: mỗi giá trị không nguyên tố $R$ cho các giá trị nguyên dương của ẩn số không vượt quá 0. Bằng cách này, công thức của Julia Robinson so sánh thuận lợi với các công thức (8) và (9), cũng như với các công thức đầy đủ vừa được xem xét *).

Chứng minh của Julia Robinson khá đơn giản. Ý tưởng chính của nó được nêu dưới đây; Chúng tôi giao nhiệm vụ đưa bằng chứng đến mức chính xác về mặt hình thức cho người đọc: tất cả các kết quả trung gian đều được xây dựng dưới dạng năm bổ đề, và đây là những kết quả cần được chứng minh. Như chúng ta sẽ thấy, những bổ đề này không chỉ ngụ ý sự tồn tại của đa thức hàm mũ $R$ mà còn cả dạng rõ ràng của nó.

Chúng ta nên làm gì?

Để chứng minh định lý Julia Robinson, rõ ràng chúng ta phải chỉ định một đa thức hàm mũ $R$ sao cho phương trình (10) có thể giải được

*) Công thức đầy đủ là công thức được cho bởi đa thức.

trong các số tự nhiên đối với các biến $x_0, \dots, x_h$ khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn:

$$p - \text{простое число.}$$

Đây là ví dụ về điều kiện trên biến $p$.

Dưới đây là một vài ví dụ khác về điều kiện trên một tập hợp các biến:

$$\lambda_1, \dots, \lambda_n, x_0, \dots, x_h.$$

Nếu ta yêu cầu tập hợp số (11) thỏa mãn hệ phương trình dạng

$$F_i(\lambda_1, \dots, \lambda_n, x_0, \dots, x_h) = 0$$

($i=1, \dots, s$), (11’')

hoặc giả sử mô tả bằng lời như: “tất cả $\lambda_i$ đều là số nguyên tố” hoặc “$\lambda_1$ là số nguyên tố, $ax_0, \dots, x_h$ là số nguyên,” v.v., thì từ tập hợp tất cả các bộ (11’’), chúng ta sẽ chọn một số điều kiện phụ cho chúng.

Chúng tôi sẽ không xác định chính xác loại điều kiện nào được chúng tôi chấp nhận. Mô tả các ví dụ về phương trình đã cho để xác định phương pháp hành động mà chúng ta sẽ sử dụng trong tương lai.

Trong phần trình bày sau đây, chúng ta sẽ phân biệt giữa các biến, gọi một số biến trong số chúng là tham số, do đó việc chia biến thành tham số và ẩn số hoàn toàn có điều kiện.

Nếu tất cả vế trái của hệ phương trình (11’’) là đa thức hàm mũ trong $\lambda_1, \dots, \lambda_n, x_0, \dots, x_h$, và lời giải của hệ này được tìm kiếm dưới dạng số nguyên dương, thì hệ như vậy được gọi là Diophantine hàm mũ; nếu $F_i$ là các đa thức tổng quát thì hệ phương trình (11’’) được gọi đơn giản là Diophantine.

Phương trình (10) là một ví dụ về phương trình Diophantine hàm mũ đối với các biến $p, x_0, \dots, x_h$.

Chúng ta sẽ nói rằng hai hệ phương trình có cùng tham số tương đương với hệ phương trình khác về các tham số này nếu tập hợp các giá trị tham số mà chúng ta có lời giải một trong các hệ thống này trùng với tập hợp các giá trị tham số mà chúng ta có lời giải và hệ kia. (Lưu ý rằng chúng tôi không nói bất cứ điều gì trong định nghĩa này.)

11

Đó là về mối liên hệ giữa các giá trị của những ẩn số—đối với mục đích của chúng tôi, điều này không quan trọng; các hệ thống tương đương theo hiểu biết của chúng ta có thể không có ẩn số chung nào cả.)

Một ví dụ về điều kiện tương đương cho tham số $\lambda$ có thể là bất đẳng thức

$$2^n < \lambda < 2^{n+1}$$

và bình đẳng

$$\lambda = (2x_0 + 1) \cdot x_1.$$

Rõ ràng là mỗi điều kiện này có lời giải khi và chỉ nếu tham số $\lambda$ thuộc tập hợp các số không phải là số nguyên lũy thừa 2.

Trong thuật ngữ này, mục tiêu của chúng tôi được xây dựng như sau: tìm một đa thức tương đương $R(x_0, \dots, x_h)$ sao cho điều kiện (10) tương đương với điều kiện (11) đối với tham số $p$.

Tuy nhiên, yêu cầu tham số $p$ chỉ xuất hiện ở vế trái của đẳng thức (10), như chúng ta sẽ thấy, là nghiêm ngặt một cách không cần thiết.

Hãy thỏa mãn điều này: tìm một đa thức tương đương $Q(p, x_1, \dots, x_h)$ sao cho phương trình Diophantine tương đương (điều kiện trên $p, x_1, \dots, x_h$)

$$Q(p, x_1, \dots, x_h) = 0$$

(12) tương đương với điều kiện (11).

Hãy đặt

$$R(x_0, \dots, x_h) = x_0 \cdot (1 - Q^2(x_0, \dots, x_h)).$$

Bổ đề 1. Nếu các đa thức tương đương $R$ và $Q$ có liên hệ bởi quan hệ (13), thì phương trình (10) và (12) tương đương với tham số $p$.

Chúng ta thậm chí không cần tìm một phương trình là đủ, mà ít nhất là một hệ phương trình Diophantine tương đương

$$\begin{cases} Q_1(p, x_1, \dots, x_h) = 0, \\ Q_l(p, x_1, \dots, x_h) = 0, \end{cases}$$

tương đương với điều kiện (11) đối với $p$.

Bổ đề 2. Nếu

$$Q(p, x_1, \dots, x_h) = \sum_{i=1}^{l} Q_i^2(p, x_1, \dots, x_h),$$

trong hệ (14) tương đương với phương trình (12).

Chúng ta sẽ nghiên cứu hệ phương trình Diophantine tương đương của Nhật Bản tương đương với điều kiện (11).

Số nguyên tố là gì?

Một câu hỏi lạ, người đọc sẽ ngạc nhiên. Mọi người đều biết số nguyên tố là số lớn hơn số 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Tất nhiên, điều này đúng, nhưng định nghĩa như vậy không dễ thực hiện - xét cho cùng, nó giả định rằng việc kiểm tra tính nguyên tố của một số bao gồm việc thử vô số các ước số tiềm năng - tất cả các số tự nhiên ngoại trừ 1. Đối với mục đích của chúng tôi, định nghĩa sau đây phù hợp hơn:

một số $p$ là số nguyên tố nếu $p > 1$ và $p$ không chia hết cho bất kỳ số nào nhỏ hơn $p$ và khác 1.

Không có ràng buộc $q \neq 1$ trong định nghĩa này và quan trọng hơn, nó cho phép một số lượng phương trình H.O.D thay đổi. (1, $p$) = 1, H.O.D. (2, $p$) = 1, …, H.O.D. (p - 1, $p$) = 1 rút gọn thành một điều kiện:

H.O.D.((p - 1)!, $p$) = 1.

Nhận xét đưa ra cho phép chúng ta viết hệ phương trình đầu tiên tương đương với điều kiện (11) đối với tham số $p$:

$$\begin{cases} p = r + 1, \\ s = r!, \\ H.O.Д. (s, p) = 1. \end{cases}$$

Điều kiện đầu tiên trong số này có dạng duy nhất của phương trình Diophantine (hơn nữa là Diophantine), và điều kiện thứ ba có thể dễ dàng rút gọn về dạng tương tự bằng cách đưa vào hai ẩn số mới:

*) H.O.D. (a, b) là ước số chung nhất của các số $a$ và $b$.

12

Bổ đề 3. Điều kiện (17) tương đương với các tham số tương đối $r$ và điều kiện $s$

$$x_1 \cdot s - x_2 \cdot p = 1^*).$$

Vì phương trình (18) là Diophantine hàm mũ nên ta chỉ cần tìm hệ phương trình Diophantine hàm mũ tương đương với các tham số tương đối $r$ và $s$ của điều kiện (16).

Làm thế nào để tính giai thừa?

Điều kiện (16) bao gồm $r!$; Chính giai thừa này đã “làm phiền” chúng ta. Hãy nhớ lại rằng hàm giai thừa trong biểu thức cho hệ số biomp**): tại $t \geq r$

$$C_t^r = \frac{t(t-1) \dots (t-r+1)}{r!},$$

đó là

$$r! = \frac{t(t-1) \dots (t-r+1)}{C_t^r}.$$

Đa thức trong tử số có cấu trúc khá phức tạp. Hãy thử thay thế nó bằng một cái đơn giản hơn—cụ thể là đa thức $t^r$. Với $t \geq r$ chúng ta có:

$$\frac{t^r}{C_t^r} = \frac{t^r}{t(t-1) \dots (t-r+1)} \times \frac{t(t-1) \dots (t-r+1)}{C_t^r} = \left(1 + \frac{1}{t-1}\right)\left(1 + \frac{2}{t-2}\right) \times \dots \times \left(1 + \frac{r-1}{t-r+1}\right) \cdot r! \geq r!.$$

Thật dễ dàng để thấy điều đó

$$r! = \lim_{t \to \infty} \frac{t^r}{C_t^r},$$

(*) So sánh bổ đề này với Bổ đề 2 từ «Kvant» Số 6 năm 1972, tr. 33.

**) Anh ấy không nói về tính chất của hệ số biomp «Kvant»; xem, chẳng hạn, số 6, 1970, tr. 17-25, hoặc số 2 cho năm 1973, tr. 27-34.

tuy nhiên, việc ghi lại hệ số này không mang lại cho chúng ta bất cứ điều gì, vì $t$, là một tham số trong hệ phương trình ban đầu, có thể nhận bất kỳ giá trị nào, tuy nhiên nhiều hơn, nhưng có giá trị hữu hạn. Nhưng chúng ta sẽ không tiến hành giới từ mà sẽ sử dụng giá trị nguyên $r!$ - từ (19) và (20) nó theo sau để đủ lớn $t$

$$r! = \left[ \frac{t^r}{C_t^r} \right].$$

Bổ đề 4. Công thức (21) đúng như sữa $t \geq 2 r^{r+2}$.

Bổ đề 4 cho phép chúng ta chuyển đổi các điều kiện (16) thành một hệ tương đương với các tham số $r$ và $s$ (kiểm tra sự tương đương!)

$$\begin{cases} t = 2r^{r+2}, \\ c = C_t^r, \\ t^r = s \cdot c + (x_3 - 1), \\ (x_3 - 1) + x_4 = c. \end{cases}$$

Ở đây các điều kiện (22), (24) và (25) có dạng theo yêu cầu, và tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm một hệ phương trình Diophantine hàm mũ tương đương với điều kiện (23) đối với các tham số $r$, $t$ và $c$.

Vì vậy, tất cả những gì chúng ta phải làm là “loại bỏ” hệ số biomp.

Hệ số quần xã là hệ số quần xã!

Chúng ta vừa sử dụng biểu thức hệ số biomp thông qua giai thừa; nhưng hệ số biomp có nhiều định nghĩa khác. Bây giờ chúng ta hãy sử dụng nó

$$(u + 1)^t = \sum_{i=0}^{t} C_t^i u^i.$$

Công thức này là định nghĩa của hệ số biomp nếu được coi là đa số đối với $u$. Nhưng chúng ta cần $u$ là một ẩn số chỉ lấy một giá trị làm phần tử cụ thể lời giải của hệ ban đầu.

13

Lưu ý rằng
$$C_t^i \leq \sum_{i=0}^{t} C_t^i = (1+1)^t = 2^t,$$
và do đó nếu
$$u > 2^t,$$
thì $C_t^0, C_t^1, \dots, C_t^t$ là các chữ số trong ký hiệu của số $(u+1)^t$ trong hệ số vị trí có cơ số $u$.
Do đó, các hệ số biomp được xác định duy nhất bởi điều kiện đẳng thức (26) và bất đẳng thức (27) và (28) được thỏa mãn đồng thời với ít nhất một giá trị $u$.

Bổ đề 5. Điều kiện (23) tương đương với các tham số tương đối $r, t$ và $c$ của hệ điều kiện
$$\begin{cases} u = 2^t + 1, \\ x_5 = u + 1, \\ x_5^t = x_6 u^{r+1} + cu^r + x_7, \\ x_7 + x_8 = u^r, \\ c + x_9 = u. \end{cases}$$

Ở đây tất cả các điều kiện đã có dạng chúng ta cần.

Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra rằng các điều kiện (11) tương đương với hệ tham số tương đối $p$, bao gồm các phương trình Diophantine hàm mũ (15), (18), (22), (24), (25), (29) - (33). Để thu được đa thức hàm mũ cần thiết, vẫn phải thay đổi các biến $r, s, t, c$ và $u$ thành $x_{10}, x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14}$, kết hợp tất cả các phương trình thành một theo Bổ đề 2 và biến đổi phương trình này để sử dụng dạng (10) theo Bổ đề 1.

Các bước tiếp theo
Công thức (10) không chứa rõ ràng số nguyên tố được chỉ định. Phương pháp được mô tả ở trên để xây dựng đa thức mũ $R$ không cung cấp cách trực tiếp để đưa số nguyên tố vào công thức (10). Sử dụng những kỹ thuật phức tạp hơn nhiều, Martin Davis, Hilary Putnam, và Julia Robinson vào năm 1961 đã chứng minh một định lý rất mạnh mẽ và có những hệ quả như vậy.

Có một đa thức hàm mũ $P(x_0, \dots, x_k, n)$ sao cho với mọi giá trị cố định của tham số $n$ và các giá trị tùy ý của các biến khác, đa thức $P$ nhận một giá trị dương và giá trị này là số nguyên tố thứ $n$.

Năm 1970, tác giả bài viết này đã có thể sử dụng các kết quả khác của Julia Robinson để xây dựng phương trình Diophantine sau:
$$M(a, b, c, z_1, \dots, z_m) = 0,$$
(34) có thể giải được khi và chỉ nếu các tham số $a, b$ và $c$ có liên hệ với nhau bởi hệ thức $a = b^c$. Kết quả này cho phép chúng ta áp dụng từ “số mũ” trong công thức của định lý trước đó, tức là cho phép xây dựng một đa thức cho trước các số nguyên tố. Tuy nhiên, chúng ta sẽ nói về điều này vào lúc khác. Bạn đọc quan tâm đến những chủ đề như vậy và không ngại khó có thể thử tự tìm hiểu trong bài viết của tác giả “Đa số Diophantine”, đăng trên tạp chí “Thành công của khoa học toán học”, XXVII, số 5, 1972.

Chủ đề suy nghĩ

1. Chứng minh rằng cấp số biến phân là 3, 7, 11, . . . và 5, 11, 17, . . . có vô số số nguyên tố.
2. Tập hợp các đa thức có giá trị nằm dọc theo đường chéo là bao nhiêu nếu đường xoắn ốc (xem trang 9) bắt đầu từ 1? từ một số $u$? từ một số nhất định $u$, và dọc theo đường xoắn ốc có một thành viên của cấp số cộng $u, u + v, u + 2v, \dots$?
3. Định lý Wilson phát biểu rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $(p-1)! + 1$ chia hết cho $p$. Bạn có thể sử dụng kết quả này như thế nào để giảm số ẩn số trong đa thức hàm mũ $R$ cho trước các số nguyên tố?
4. Xây dựng một đa thức hàm mũ $S(x_0, \dots, x_h)$, xác định tập hợp các số nguyên tố sinh đôi, nghĩa là nếu $S(x_0, \dots, x_h) > 0$ thì cả hai số $S(x_0, \dots, x_h) - 1$ và $S(x_0, \dots, x_h) + 1$ đều là số nguyên tố và ngược lại, nếu $s-1$ và $s+1$ là số nguyên tố thì $S(x_0, \dots, x_h) = s$ đối với một số $x_0, \dots, x_h$.
5. Xây dựng một đa thức hàm mũ $T(q, x_0, \dots, x_m)$ sao cho nếu $q$ là số nguyên tố thì tồn tại các số $x_0, \dots, x_m$ sao cho $T(q, x_0, \dots, x_m) > 0$;
   nếu $q$ là số nguyên tố và $T(q, x_0, \dots, x_m) > 0$ thì $T(q, x_0, \dots, x_m)$ là số nguyên tố theo sau $q$;
   nếu $q$ không phải là số nguyên tố thì luôn luôn $T(q, x_0, \dots, x_m) \leq 0$.

Đa thức hàm mũ này đưa ra “công thức cho số nguyên tố tiếp theo”.

14

Cơ học sóng

Khoảng năm mươi năm trước, cơ học lượng tử đã ra đời - môn khoa học về các định luật chuyển động của các hạt vật chất cực nhỏ (nguyên tử, hạt nhân nguyên tử, electron, v.v.). Những định luật này hóa ra rất đáng ngạc nhiên, quá khác so với những gì các nhà vật lý đã gặp cho đến nay, đến nỗi lúc đầu ngay cả các nhà khoa học hàng đầu cũng từ chối tin vào các kết luận của cơ học lượng tử. Và thậm chí ngày nay, các cuộc thảo luận về nền tảng vật lý của khoa học này vẫn tiếp tục, mặc dù nhiều phần của nó đã trở thành các ngành kỹ thuật.

Trong những năm đầu của cơ học lượng tử, nó được gọi là cơ học sóng. Bây giờ cái tên này đã bắt đầu bị lãng quên, nhưng trong khi đó nó lại chứa đựng gợi ý đặc điểm quan trọng nhất vốn có trong các hiện tượng của thế giới vi mô. Xét cho cùng, lượng tử, tức là bản chất rời rạc của các quá trình mà các vi hạt tham gia, có liên quan chính xác đến tính chất sóng của chúng. Ví dụ, việc năng lượng của các electron trong nguyên tử chỉ có thể nhận một tập giá trị rời rạc nhất định là hệ quả của bản chất sóng của electron.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cố gắng tìm hiểu cụm từ “bản chất sóng của điện tử” nghĩa là gì và tại sao nó dẫn đến sự rời rạc về các tính chất của nó. Chúng ta sẽ phải bắt đầu từ xa.

Hạt và sóng

Làm thế nào để chúng ta mô tả chuyển động của các vật thể lớn, chẳng hạn như chuyển động của một quả đạn pháo, một vệ tinh Trái đất hoặc một hành tinh quay quanh Mặt trời? Những vật thể như vậy được gọi là vi mô (trái ngược với vi hạt) và các đặc điểm của chuyển động tốt đã được biết đến. Tất nhiên, việc vệ tinh và đạn pháo của Trái đất làm hại sóng có thể coi là điều xúc phạm. Nhưng những quy luật chi phối chuyển động của chúng rất dễ hiểu từ kinh nghiệm hàng ngày của chúng ta.

Chúng ta đã quen với việc mỗi vật thể chiếm một vị trí nhất định trong không gian và vị trí này có thể được xác định bằng cách xác định tọa độ của vật thể. Nếu một vật chuyển động thì vị trí của nó trong không gian sẽ thay đổi theo thời gian. Để mô tả chuyển động của một vật thể, bạn có thể xác định các vị trí mà nó chiếm giữ tại các thời điểm liên tiếp, nghĩa là (nói chính xác hơn) bạn có thể xác định sự phụ thuộc của tọa độ của vật thể vào thời gian. Đây là ngôn ngữ của cơ học, hay đúng hơn là bảng chữ cái của nó. Nhưng ông đề phòng sự vắng mặt với niềm tin rằng có thể xác định được vị trí của một vật thể trong không gian tại mọi thời điểm bằng cách xác định tọa độ của nó? Đáp số hoàn toàn rõ ràng: từ cùng một nơi mà tất cả kiến ​​​​thức của chúng ta đều đến từ - từ kinh nghiệm. Kinh nghiệm hàng ngày đóng vai trò là nguồn gốc của các khái niệm và cách biểu diễn được sử dụng bởi cơ học nói chung - cơ học của các vật thể vi mô (nó còn được gọi là cổ điển). Điều quan trọng cần nhớ là trường hợp này: trong kinh nghiệm hàng ngày chúng ta đang xử lý các vật thể vi mô, do đó, thông thường

15

ý tưởng về sự chuyển động trong không gian chỉ liên quan đến những chủ đề như vậy. Theo những ý tưởng này, mọi vật thể chuyển động đều có một quỹ đạo và tại mỗi điểm của quỹ đạo, người ta có thể chỉ ra tốc độ của vật thể, gia tốc của nó, v.v. Đây là cách mô tả chuyển động của các vật thể trong cơ học cổ điển.

Chúng ta phải làm khác đi khi mô tả các quá trình sóng, chẳng hạn như âm thanh hoặc sóng trên mặt nước. Điều đầu tiên cần lưu ý là khái niệm quỹ đạo của sóng là vô nghĩa. Rốt cuộc, âm thanh truyền từ nguồn của nó theo mọi hướng. Nếu bạn vẫn đặt câu hỏi: sóng âm ở đâu tại một thời điểm nhất định, thì đáp số sẽ như sau: đây là một phần không gian nhất định, bị giới hạn bởi bề mặt mà sóng có thể chạm tới tại một thời điểm nhất định. Bên trong bề mặt này tại mỗi điểm (tất nhiên, nếu nguồn công không bị gián đoạn) đều có sự dao động về mật độ không khí, đó là âm thanh. Điều này có nghĩa là sẽ vô nghĩa khi nói về tọa độ của âm thanh, về điểm trong không gian nơi âm thanh phát ra. Điều này trở nên đặc biệt rõ ràng trong trường hợp sóng trong một khoang kín, nơi có thể xảy ra sóng dừng. Một ví dụ có thể là hộp cộng hưởng Cameron, nhạc cụ hơi (chẳng hạn như đàn organ hoặc socophone), trống, v.v. Khi đánh trống, sóng đứng được tạo ra bên trong nó, đồng thời toàn bộ thể tích không khí chứa trong trống được vang lên. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng sóng lấp đầy tất cả không gian có sẵn cho nó và các khái niệm như tọa độ hoặc quỹ đạo không áp dụng cho sóng. Ở đây bạn nên sử dụng các phương pháp khác. Sóng được đặc trưng bởi biên độ, tần số, pha, tốc độ truyền và bước sóng.

Chúng ta hãy tập trung vào một điểm khác biệt nữa về tính chất của sóng và hạt, điều này rất quan trọng để nghiên cứu sâu hơn về sóng cơ bản - sóng cực kỳ hấp dẫn. Sóng, theo nghĩa đen của từ này, có thể rẽ một góc, tần số thì không. Ví dụ: bạn có thể nghe thấy giọng nói khi đứng quanh góc nhà và không thấy mọi người đang nói chuyện.

Hiện tượng nhiễu xạ bột có liên quan đến hoạt động của sóng khi chúng phản xạ từ một bề mặt gồ ghề. Nếu bề mặt phản xạ hoàn toàn nhẵn thì sóng và các hạt sóng sẽ hành xử giống hệt nhau (Hình 1). Đối với cả hai, định luật nổi tiếng sẽ được đáp ứng: góc tới bằng góc phản xạ (tất nhiên, cần lưu ý rằng tác động của các hạt lên bề mặt được coi là hoàn toàn đàn hồi). Dễ dàng nhận thấy rằng trong trường hợp lý tưởng này, một chùm hạt bay song song vẫn song song ngay cả sau khi phản xạ từ bề mặt, vì tốc độ của mỗi hạt quay theo cùng một góc. Điều tương tự cũng áp dụng cho sóng.

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì xảy ra trong trường hợp thực tế, nghĩa là khi bề mặt không phải là mặt phẳng lý tưởng nhưng có một số

16

sự gồ ghề. Hãy bắt đầu với các hạt. Cần phân biệt hai trường hợp. Đầu tiên, thể hiện trong Hình 2, tương ứng với các hạt nhỏ. Kích thước chân trời của chúng nhỏ hơn chiều cao và chiều rộng của bề mặt răng nên các hạt như vậy có thể được coi là điểm vật chất. Mỗi hạt này chạm vào một diện tích nhất định của bề mặt, một độ dốc nhất định của răng và bị phản xạ từ độ dốc này theo cùng một định luật: góc tới bằng góc phản xạ. Nhưng vì mỗi chiếc răng nghiêng một góc nhất định theo hướng của dòng chuyển động cơ bản của các hạt, nên các hạt rơi trên các răng khác nhau sẽ bay đi theo các hướng khác nhau. Kết quả là các hạt phản xạ không còn tạo thành chùm tia song song mà được đặt ngẫu nhiên ở các góc khác nhau.

Nếu các hạt lớn rơi trên bề mặt, khi tiếp xúc với bề mặt sẽ bao phủ nhiều răng cùng một lúc, thì hình ảnh sẽ khác (Hình 3). “Từ quan điểm” của một hạt như vậy, một bề mặt có răng nhỏ khác rất ít so với một mặt phẳng lý tưởng. Ví dụ, người ta gọi một bàn bóng bàn (ván ép được xử lý không đồng đều, sơn không được phủ một lớp bằng nhau, v.v.), tuy nhiên, quả bóng nảy gần giống như một mặt phẳng san bằng. Thực tế là một quả bóng lớn, chạm vào nhiều răng bề mặt nhỏ cùng một lúc khi va chạm, dường như làm tăng tác dụng của chúng, và hành động tăng mức tiết kiệm này hóa ra gần giống như đối với một mặt phẳng lý tưởng. Trong những trường hợp như vậy họ nói về sự phản chiếu gương.

Sự phản xạ của sóng từ một bề mặt gồ ghề cũng có thể xảy ra theo hai cách. Sóng dài (bước sóng lớn hơn kích thước của vùng không đều) bị khuếch tán bởi các vùng không đều; Kết quả là sự phản xạ gần đạt mức lý tưởng. Ví dụ, độ bất thường trên bề mặt của một tấm gương thông thường nhỏ hơn nhiều so với bước sóng của ánh sáng khả kiến. Sự phản xạ ánh sáng xảy ra có hướng (gương). Tuy nhiên, các tia RENT cứng, có bước sóng ngắn hơn hàng nghìn lần so với bước sóng của ánh sáng khả kiến, bị phản xạ từ cùng một gương bằng cách tán xạ (khuếch tán) - các tia phản xạ đi theo các hướng khác nhau.

Vì vậy, khi dòng hạt hoặc sóng bị phản xạ từ những bất thường trên bề mặt, vai trò quyết định của các hạt được thể hiện bởi sự tương ứng giữa kích thước của những bất thường và kích thước hạt, và trong trường hợp sóng, sự tương ứng giữa kích thước của những bất thường và bước sóng.

Bây giờ chúng ta đến phần chính của câu chuyện.

Các electron hoạt động như thế nào?
Khi J. J. Thomson phát hiện ra electron vào cuối thế kỷ này,

17

ông tưởng tượng nó như một hạt mang một phần điện tích nhất định. Thật vậy, mọi thí nghiệm dường như đều chỉ ra rằng electron là một hạt mang điện tích âm và hành xử như các hạt cần phải làm. Chúng tôi đã biết điều này có nghĩa là gì. Đầu tiên, các electron có thể được đếm riêng lẻ (ví dụ, bằng cách đo tổng điện tích và chia cho điện tích của một electron); chưa ai từng quan sát thấy một nửa electron. Thứ hai, mỗi electron trong chùm tia được đặc trưng bởi quỹ đạo riêng của nó, quỹ đạo này có thể thay đổi bằng cách tác động lên chùm tia bằng điện trường hoặc từ trường. Thời điểm một electron chạm vào mục tiêu có thể được phát hiện bằng một tia chớp trong lớp phủ phát quang của mục tiêu. Đèn flash này gần giống như điểm, nghĩa là electron chỉ tác động lên một vùng rất nhỏ của mục tiêu. Do đó, chúng ta có thể nói về tọa độ của electron, về quỹ đạo của nó, nghĩa là về mọi thứ đặc trưng cho nó như một hạt.

Chính trên cơ sở khái niệm electron như một hạt mà cái gọi là mô hình hành tinh của nguyên tử, do Rutherford đề xuất, đã nảy sinh. Trong mô hình này, nguyên tử được coi như một Hệ Mặt trời thu nhỏ, trong đó các “hành tinh” - các electron - chuyển động trên quỹ đạo xung quanh “Mặt trời” - hạt nhân nguyên tử. Kích thước của nguyên tử, tức là bán kính quỹ đạo của electron, đã sớm được tìm ra. Hóa ra chúng có kích thước khoảng $10^{-8}$ cm, hoặc một angstrom. Có nhiều quan điểm khác nhau về kích thước của bản thân electron, nhưng mọi người đều đồng ý rằng bán kính của nó tất nhiên phải nhỏ hơn $10^{-8}$ cm. Xét cho cùng, electron là một phần của nguyên tử và trong mọi trường hợp, một phần không thể lớn hơn toàn bộ. Nhưng vào năm 1927, các nhà vật lý người Mỹ Davisson và Germer đã thực hiện những thí nghiệm nổi tiếng của họ với chùm tia điện tử. Và ngay lập tức người ta thấy rõ rằng việc coi các electron là nhỏ

Nói một cách nhẹ nhàng thì những quả bóng cứng như vậy là ngây thơ. Bản chất của electron hóa ra phức tạp hơn nhiều.

Ở đây chúng ta chỉ xem xét một trong những thí nghiệm của Davisson và Germer. Một chùm electron song song hướng tới mặt tinh thể và phản xạ từ nó. Chùm tia phản xạ vẫn song song (như trong trường hợp phản xạ ánh sáng khả kiến ​​từ gương). Thế thôi. Thoạt nhìn, thực tế này không có gì đáng ngạc nhiên. Rốt cuộc, chúng ta biết rằng trong những điều kiện nhất định, các hạt có thể chịu phản xạ gương từ bề mặt rắn. Nhưng chúng ta không được quên rằng “theo quan điểm của electron”, bề mặt của tinh thể hoàn toàn không phải là một bề mặt liên tục. Một tinh thể được tạo thành từ các nguyên tử cách nhau bởi những khoảng trống. Kích thước của các khoảng trống xấp xỉ bằng kích thước của chính các nguyên tử và có giá trị cỡ $10^{-8}$ cm. Và electron là những hạt nhỏ, bán kính của chúng nhỏ hơn rất nhiều so với $10^{-8}$ cm. Điều này có nghĩa là khi một chùm electron va chạm với một tinh thể, sẽ xảy ra tình huống trong đó kích thước hạt nhỏ hơn kích thước của các điểm bất thường. Do đó, sự phản xạ của electron phải khuếch tán.

Do đó, hoặc các electron phải được coi là những quả cầu rất lớn, lớn hơn nhiều so với bản thân các nguyên tử (khi đó chúng sẽ bị phản xạ một cách đặc biệt từ tinh thể), hoặc… hoặc các electron không tuân theo các định luật cơ học cổ điển và không phải là các hạt theo nghĩa thông thường của từ này. Khả năng đầu tiên dẫn đến một điều hiển nhiên là vô nghĩa: một quả bóng lớn không thể quay quanh một nguyên tử nhỏ. Điều này có nghĩa là vẫn còn khả năng thứ hai, cho dù nó có vẻ khó tin đến đâu.

Chỉ những sóng có chiều dài lớn hơn khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể mới có thể bị phản xạ rõ ràng từ bề mặt tinh thể. Vì vậy, chúng ta phải giả sử rằng chùm electron hoạt động giống như sóng.

2 «Kvant» № 5

18

chúng ta, và khi đó câu hỏi đặt ra về các tham số đặc trưng của các sóng này: tần số, bước sóng, v.v. Vào thời điểm thực hiện các thí nghiệm của Davisson và Germer, giả thuyết “điên rồ” của nhà khoa học người Pháp de Broglie (phát biểu năm 1923) đã biết rằng mọi hạt đều hành xử giống như một sóng, độ dài của sóng $\lambda$ có liên hệ với động lượng $p=mv$ của hạt theo công thức sau (công thức của de Broglie):

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.$$

Lưu ý rằng đại lượng $h$ trong công thức này là hằng số Planck nổi tiếng, bằng $6{,}62 \cdot 10^{-27}$ $эрг \cdot с$. Nó nối tần số $\nu$ dao động của trường điện từ với năng lượng $E$ của lượng tử (photon) của nó theo công thức Planck: $E = h\nu$, hay bước sóng với động lượng của photon: $\lambda = \dfrac{h}{p}$. Ý tưởng của De Broglie nảy sinh từ giả định về tính đối xứng trong tự nhiên. Lý thuyết cho thấy sóng có một số tính chất của hạt. Ngược lại, các hạt không thể có tính chất sóng sao? Giả thuyết của De Broglie là những mối quan hệ này áp dụng như nhau cho cả photon và hạt vật chất. Nhiều thí nghiệm được thực hiện sau đó đã xác nhận điều này.

Công thức Planck và de Broglie kết nối các đặc tính cơ học của hạt (động lượng, năng lượng) với đặc tính sóng (bước sóng và tần số) của chúng. Giá trị cực kỳ nhỏ (theo quan điểm của thang đo mà chúng ta quen thuộc) của hằng số Planck cho thấy hiệu ứng sóng trong chuyển động của các hạt chỉ trở nên quan trọng trong thế giới vi mô. Thật vậy, một quả bóng bàn có khối lượng 1 $г$ chuyển động với tốc độ 1 $м/с$ có bước sóng de Broglie bằng $6{,}6 \cdot 10^{-29}$ $см$. Đây là một chiều dài cực kỳ ngắn, nhỏ hơn hàng nghìn tỷ lần so với kích thước của hạt nhân nguyên tử.

Hoàn toàn rõ ràng rằng không thể phát hiện được hiệu ứng sóng nào (ví dụ như nhiễu xạ) trong chuyển động của một vật thể như vậy. Ngược lại, đối với một electron trong nguyên tử, bước sóng de Broglie xấp xỉ $10^{-8}$ $см$ ($m \approx 9 \times 10^{-28}$ $г$, $v \approx 10^{8}$ $см/с$), tức là theo thứ tự kích thước của chính nguyên tử mà electron đang chuyển động trong đó. Trong những điều kiện này, hành vi sóng của electron đóng vai trò quyết định. Tất cả các chi tiết cụ thể của hiện tượng nguyên tử và đặc biệt là bản chất lượng tử của chúng đều liên quan chính xác đến hành vi giống như sóng này của các electron. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét ví dụ đơn giản nhất cho thấy tính chất rời rạc của một nguyên tử xuất phát từ bản chất sóng của electron như thế nào.

Trong điều kiện bình thường, các electron được giữ trong nguyên tử bằng lực hút tĩnh điện và không thể di chuyển quá xa hạt nhân. Do đó, các electron của nguyên tử chuyển động trong một vùng không gian giới hạn. Chúng thường được gọi là các electron liên kết. Ngược lại, các electron trong chùm tia do súng điện tử tạo ra về nguyên tắc có thể rơi vào bất kỳ vùng không gian nào và do đó được gọi là tự do. Ví dụ được đề cập thể hiện chính xác đặc điểm này của electron nguyên tử: vùng không gian có hạn dành cho chuyển động của nó.

Để đơn giản cho lý luận, chúng ta hãy tưởng tượng rằng electron chỉ có thể chuyển động dọc theo một đường thẳng nhất định và không vượt ra ngoài ranh giới của đoạn $AB$ (Hình 4). Giả sử tại các điểm $A$ và $B$ có ​​những bức tường rắn mà electron không thể xuyên qua. Hệ thống như vậy là mô hình một chiều của nguyên tử. Tất nhiên, các nguyên tử phức tạp hơn nhiều và ví dụ của chúng ta không giả vờ là một sự tương ứng về mặt định lượng với một nguyên tử thực. Nhưng đặc tính định tính chính của nguyên tử là sự tồn tại của các mức năng lượng rời rạc.

19

nó - chúng ta sẽ có thể theo dõi nó ngay cả trên mô hình đơn giản này. (Tuy nhiên, cần lưu ý rằng mô hình như vậy cũng có thể có ý nghĩa vật lý ngay lập tức. Ví dụ, nó mô tả khá chính xác hành vi của các electron trong các màng mỏng kim loại hoặc chất bán dẫn. Trong trường hợp này, đoạn $AB$ biểu thị độ dày của màng và hai bề mặt của màng đóng vai trò là những bức tường không cho electron thoát ra ngoài.) Để tính các đặc tính của nguyên tử một chiều như vậy, hãy sử dụng công thức de Broglie. Vì electron bị “khóa” trong một vùng không gian giới hạn (trong trường hợp này là trên một đoạn thẳng), nên chúng ta phải nói về sóng dừng. Ví dụ, các sóng câu chuyện một chiều cơ học tương tự xuất hiện khi một sợi dây cố định tại hai điểm dao động. Đương nhiên, những điểm neo này phải được so sánh với các điểm $A$ và $B$, ngoài những điểm đó electron không thể xuyên qua. Các dây dây cũng không xuyên qua được các đầu cố định. Điều này có nghĩa là sự nhầm lẫn giữa các điểm của dây trong quá trình dao động luôn sao cho các điểm $A$ và $B$ là nút (hỗn hợp của chúng luôn bằng 0). Từ đây suy ra ngay rằng đoạn $AB$ phải chứa một số nguyên nửa sóng. Do đó, một dây dao động có các đầu cố định chỉ có thể ở một số trạng thái chuyển động nhất định, trạng thái này có thể được đánh số bằng số nửa sóng khớp giữa các điểm $A$ và $B$. Nói cách khác, chỉ những sóng như vậy mới có thể tồn tại trong một chuỗi có độ dài $\lambda$ thỏa mãn hệ thức sau: $AB = n\lambda/2$, trong đó $n$ là một số nguyên có giá trị 1, 2, 3, v.v. Trong Hình 4, các sluans I, II, III, IV tương ứng với $n$, bằng 1, 2, 3 và 4. Chúng ta biểu thị độ dài của đoạn $AB$ với chữ cái $L$. Khi đó các bước sóng có thể có $\lambda_n$ được tính theo công thức

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Bây giờ chúng ta hãy quay lại với electron chạy giữa hai bức tường và áp dụng công thức de Broglie cho nó. Vì chỉ có thể tồn tại một tập hợp sóng rời rạc $\lambda_n$ nên tốc độ electron $v_n = \frac{h}{m\lambda_n}$ cũng chỉ có thể nhận một tập hợp giá trị rời rạc:

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = \frac{h}{m2L} n; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Động năng của electron là $E = mv^2/2$ và nó cũng không thể tùy ý. Chỉ có các mức năng lượng riêng biệt:

$$E_n = \frac{h^2n^2}{8mL^2}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

(số $n$ gọi là số lượng tử). Chúng ta đã thu được một trong những công thức đầu tiên của cơ học lượng tử - mức năng lượng của một electron “bị khóa” giữa hai bức tường không thể xuyên thủng. Theo quan điểm của cơ học cổ điển, việc xây dựng câu hỏi về các giá trị năng lượng cho phép trong trường hợp này là vô nghĩa. Nếu một quả bóng cổ điển nhảy giữa hai bức tường, phản xạ đàn hồi từ chúng, thì năng lượng của nó $E = \frac{mv^2}{2}$ phụ thuộc vào tốc độ ban đầu $v_0$ và có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Không có “thang” năng lượng, có lẽ các giá trị năng lượng được điền vào

20

toàn bộ thang năng lượng. Đối với các vi hạt, như chúng ta đã thấy, vấn đề rất chi tiết. Năng lượng của nó chỉ có thể có một tập hợp các giá trị rời rạc và sự rời rạc này là hệ quả trực tiếp của bản chất sóng của vi hạt.

Nói chung, biểu thức của các mức năng lượng cũng có thể được xây dựng cho một hạt cổ điển, ví dụ, cùng một quả bóng bàn. Đặt khối lượng của nó $m = 1 \, e$ và khoảng cách giữa các bức tường $L = 10 \, cm$; sau đó, do độ cực kỳ nhỏ của $h$, khoảng cách giữa các cấp độ lân cận hóa ra nhỏ đến mức không thể tưởng tượng được; Ví dụ,

$$E_{21} = \frac{h^2}{8mL^2} (2^2 - 1) \approx 16 \cdot 10^{-55} \, \text{эр}.$$

Thang năng lượng hóa ra dày đặc đến mức năng lượng thực tế có thể thay đổi liên tục, giống như đối với một hạt cổ điển. Đây là sự chuyển đổi cuối cùng từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển.

Ngoài bản chất sóng của vi hạt, việc hạt chuyển động trong một vùng không gian giới hạn là cực kỳ quan trọng đối với sự xuất hiện của quang phổ rời rạc. Trong trường hợp này, như chúng tôi đã nói, sóng phát sinh và các dao động được đặc trưng bởi các bước sóng riêng biệt và do đó tần số riêng biệt. Tần số nhân với $h$ bằng năng lượng của hạt. Xu hướng chung là kích thước của vùng chuyển động khả dụng càng nhỏ thì khoảng cách giữa các mức năng lượng liền kề càng lớn (ví dụ: xem công thức (*)).

Nếu một vi hạt chuyển động dưới tác dụng của những lực cho phép nó đi đến vô cùng, thì sóng đứng sẽ không phát sinh và năng lượng có thể có bất kỳ giá trị nào. Trong trường hợp này, hệ lượng tử được cho là có phổ năng lượng liên tục (ví dụ, chùm tia của súng điện tử).

Trong nguyên tử hydro, một electron bị đẩy ra gần hạt nhân bởi lực hút điện. Nếu trạng thái của một electron không có đủ năng lượng để thắng lực hút và đi một khoảng cách vô cùng lớn so với hạt nhân thì nó có phổ rời rạc. Tuy nhiên, nếu bằng cách nào đó bạn truyền đủ năng lượng cho electron (chẳng hạn, điều này có thể được thực hiện bằng cách chiếu sáng nguyên tử bằng ánh sáng), thì electron sẽ vượt qua lực hút đối với proton và có thể di chuyển ra xa nó bao nhiêu tùy ý. Bắt đầu từ năng lượng này, phổ electron trở nên liên tục, nghĩa là năng lượng của electron có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Hình 5 cho thấy các giá trị năng lượng điện tử thu được trong nguyên tử hydro. Mức năng lượng thấp nhất xảy ra được gọi là bình thường hoặc cơ bản. Trong ví dụ trên với một electron “chạy” giữa hai bức tường, mức mặt đất tương ứng với giá trị của số $n$ bằng 1. Công thức () cho mức năng lượng hóa ra khá hữu ích để ước tính năng lượng của trạng thái cơ bản và các hệ lượng tử khác. Trong trường hợp này, dưới $L$ người ta nên nhớ kích thước của vùng không gian có thể tiếp cận được mà electron chuyển động trong đó. Ví dụ, đường kính của nguyên tử hydro xấp xỉ $10^{-8} \, cm$, khối lượng của electron là $\approx 9 \cdot 10^{-28} \, e$. Thay các giá trị này vào công thức (), ta thu được cho

21

Năng lượng ở trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro là $E_1 = 0,6 \cdot 10^{-10} \text{эр} = 37,5 \text{эр}$. Giá trị chính xác của năng lượng này là 13,5 kỷ nguyên, tức là chúng ta đã nhầm gần ba lần. Nhưng đây chính xác là một ước tính, một ước tính sơ bộ, chỉ đưa ra ý tưởng về mức độ quan tâm của chúng ta.

Tóm lại, cần nhấn mạnh rằng các sự kiện xảy ra trong thế giới vi mô ở cấp độ nguyên tử, phân tử và hạt nhân nguyên tử chỉ trở nên dễ hiểu sau khi ý tưởng về bản chất sóng của các vi hạt xuất hiện. Bản chất kép của chúng (một mặt, chúng là hạt, mặt khác là sóng) không có điểm tương đồng trong thế giới macrosopper vốn có trong chúng ta, vì vậy sẽ vô ích nếu cố gắng tưởng tượng, chẳng hạn như một electron chuyển động trong nguyên tử là như thế nào. Nó không giống bất cứ điều gì chúng ta đã biết cho đến nay. Một electron có cả tính chất hạt và sóng, nhưng không phải là hạt theo nghĩa chung cũng như không phải là sóng thông thường. Chúng ta chỉ có thể nói về một electron như một hạt gần đúng mà không quên các tính chất sóng của nó. Ví dụ, đối với một hạt cổ điển, thông thường, bạn có thể xác định chính xác tọa độ, động lượng và năng lượng của nó bất kỳ lúc nào. Có thể nói gì về những thông số này khi mô tả hoạt động của các vi hạt?

Theo công thức của de Broglie, một hạt có động lượng nhất định, nghĩa là được xác định bởi giá trị tốc độ của nó, sẽ tương ứng với một sóng có độ dài nhất định. Chúng ta hãy xác định rằng chỉ có sóng hài được đặc trưng bởi giá trị của bước sóng. Nhưng sóng hài là vô hạn trong không gian. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể nói về sự định vị, về tọa độ không gian của một vi hạt tại một thời điểm nhất định.

Nếu chúng ta tin rằng hạt được định vị trong không gian, thì do đó chúng ta đã giới hạn vùng tập trung quá trình dao động được mô tả bởi các tính chất sóng của hạt này. Nhưng những rung động như vậy không thể được mô tả bằng một sóng điều hòa có độ dài nhất định. Do đó, theo hệ thức de Broglie, không thể nói bất cứ điều gì một cách chắc chắn về động lượng của một hạt tại thời điểm mà tại đó chúng ta coi tọa độ của nó là cố định.

Vì vậy, sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về các giá trị chính xác đồng thời của tọa độ và động lượng của vi hạt. Các thông số này chỉ có thể được xác định tại cùng một thời điểm với độ chính xác nhất định. Năm 1927, nhà vật lý người Đức Werner Heisenberg đã chỉ ra rằng có mối liên hệ giữa độ sai số $\Delta x$ và $\Delta p$ trong việc xác định tọa độ và động lượng của một vi hạt tại một thời điểm nhất định:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq h^*).$$

Mối quan hệ này được gọi là mối quan hệ không chắc chắn.

Ngày nay chúng ta không thể trả lời câu hỏi tại sao các vi hạt lại có cấu trúc theo cách này mà không phải cách khác, và câu hỏi như vậy khó có thể là một trong những câu hỏi được đặt ra chính xác. Nhưng giờ đây chúng ta biết chắc chắn rằng những vi hạt quen thuộc nhất, dường như không thể lay chuyển được xác định về tự nhiên có thể được xác định bằng dòng chảy các sự kiện và quan sát mới. Vì vậy, chúng ta hết sức thận trọng với tất cả các loại phán đoán mang tính phân loại về các đặc tính và quy luật của thế giới xung quanh chúng ta, hoặc mỗi tuyên bố “tuyệt đối” như vậy thực ra đều dựa trên kinh nghiệm hạn chế của con người.

*) $\Delta p$ là thành phần tổng động lượng của hạt trên trục tọa độ tương ứng. Trong trường hợp này - trên trục $X$.

22

Đầu tiên, hãy nói về kỹ thuật được phát triển bởi Torrielli (1608-1647) và Roberval (1602-1675); Kỹ thuật này dựa trên việc bổ sung tốc độ.

Hãy xem xét sự chuyển động của một điểm vật chất. Nếu tại thời điểm $t_0$ tác dụng của các lực dừng lại thì điểm sẽ dừng lại hoặc bắt đầu chuyển động đều dọc theo tiếp tuyến với quỹ đạo (tốc độ của chuyển động đều tạo ra được gọi là tốc độ vectơ hoán đổi của chuyển động ban đầu tại $t = t_0$). Tuyên bố này tuân theo định luật Newton. Nhưng người ta có thể, như các nhà toán học thường làm ở thế kỷ 17, coi nó như một định nghĩa điện ảnh về tiếp tuyến, đảm bảo rằng nó phù hợp với những quan sát về những chuyển động đơn giản nhất (chủ yếu là chuyển động quay). Theo quan điểm này, chúng ta có thể xây dựng các tiếp tuyến của nhiều đường cong thú vị chỉ bằng cách sử dụng những sự kiện đơn giản về tốc độ.

Chúng ta sẽ chỉ xét chuyển động phẳng. Chúng ta hãy sửa điểm $O$ trên mặt phẳng—gốc gốc. Nếu một điểm chuyển động tại thời điểm $t$ chiếm vị trí $A_t$, thì $r(t)$ chúng ta biểu thị vectơ $\vec{O A_t}$. Việc chỉ định vectơ $r(t)$ cho tất cả các giá trị $t$ xác định hoàn toàn chuyển động. Chúng ta biểu thị vận tốc vectơ tức thời tại thời điểm $t$ bằng $r(t)$; Chúng ta hãy nhớ lại rằng vectơ $r(t)$ có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động. Độ dài $|r(t)|$ của nó được gọi là vận tốc. Nếu chuyển động xảy ra dọc theo một đường thẳng cố định có tọa độ thì vectơ $r(t)$

23

và $\dot{\mathbf{r}}(t)$ được định hướng dọc theo đường này và chúng có thể được đặc trưng bởi tọa độ $s(t)$ và $\dot{s}(t)$.

Ví dụ 1. Galileo đã chỉ ra rằng đối với chuyển động thẳng $s(t)=\dfrac{gt^2}{2}$ thì tốc độ sẽ bằng $\dot{s}(t)=gt$.

Ví dụ 2. Cho một điểm cách một điểm $O$ một khoảng $R$ quay đều quanh $O$. Khi đó vectơ $\dot{\mathbf{r}}(t)$ có hướng tiếp tuyến với đường tròn mà điểm di chuyển dọc theo, theo hướng tương ứng với hướng quay và $|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\dfrac{2\pi R}{T}$, trong đó

$T$ — thời gian quay (thời gian quay đầy đủ). Đặc biệt, với $T=2\pi$ ta có

$$|\dot{\mathbf{r}}(t)|=|\mathbf{r}(t)|=R.$$

Định luật cộng vận tốc

Cho hai chuyển động $\mathbf{r}_1(t)$ và $\mathbf{r}_2(t)$. Hãy gọi chúng là chuyển động tổng mà $\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1(t)+\mathbf{r}_2(t)$, trong đó tổng vectơ nằm ở bên phải. Định luật cộng tốc độ quy định rằng tốc độ chuyển động $\mathbf{r}(t)$ bằng $\dot{\mathbf{r}}_1(t)+\dot{\mathbf{r}}_2(t)$, tức là tổng tốc độ (vectơ) của các chuyển động thành phần. Định luật cộng vận tốc dễ dàng được thiết lập cho tổng các chuyển động có vận tốc không đổi; trường hợp tổng quát thu được từ trường hợp cụ thể này bằng cách chuyển đến giới hạn.

Bất kỳ chuyển động nào $\mathbf{r}(t)$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai chuyển động thẳng. Để làm được điều này, chỉ cần giới thiệu bất kỳ hệ tọa độ Descartes nào sao cho $O=(0,0)$ và xem xét sự thay đổi thời gian của tọa độ $x(t)$, $y(t)$ của vectơ $\mathbf{r}(t)$ là đủ. Rõ ràng là chuyển động ban đầu $\mathbf{r}(t)$ sẽ là tổng của chuyển động $x(t)$ và $y(t)$ dọc theo trục tọa độ. Vận tốc của các chuyển động này $\dot{x}(t)$ và $\dot{y}(t)$ là thành phần của vectơ $\dot{\mathbf{r}}(t)$ (do định luật cộng vận tốc).

Hãy xem ví dụ 2 với $R=1$, $T=2\pi$ và để vectơ $\mathbf{r}(0)$ hướng dọc theo hướng dương của trục $x$. Sau đó, $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$, $\dot{\mathbf{r}}(t)=(-\sin t,\cos t)$ và chúng ta nhận được $\dot{s}(t)=-\sin t$ nếu $s(t)=\cos t$ và $\dot{s}(t)=\cos t$ nếu $s(t)=\sin t$. Người đọc quen với vi phân chắc chắn sẽ nhận thấy rằng ý nghĩa động học rất đơn giản của các công thức cho đạo hàm $\sin t$ và $\cos t$ đã xuất hiện.

Định nghĩa động học của tiếp tuyến với parabol

Galileo (1564-1642) phát hiện ra rằng nếu một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời, nó sẽ bay theo đường parabol. Khi chứng minh thực tế này, Galileo đã tiến hành giả định rằng chuyển động đó là tổng của chuyển động đều theo quán tính và rơi tự do. Tuy nhiên, Galileo đã không sử dụng các tính toán của mình để xây dựng tiếp tuyến của parabol. Torricelli đã làm được điều đó. Kết quả của nó được xây dựng trong Bài toán 1 và 2 dưới đây.

Bài 1. Chứng minh tiếp tuyến vẽ tại điểm $A_t$ của quỹ đạo của một vật ném ngang: $A_t=(x(t),y(t))=(vt,-gt^2/2)$ nối điểm này với điểm $(0,-y(t))=(0,gt^2/2)$.

Mọi phép tính đều có thể dễ dàng khái quát hóa cho trường hợp một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời với tốc độ $(u,v)$. Trong trường hợp này, chuyển động được chia thành chuyển động $\{x_1(t)=ut,\;y_1(t)=vt\}$ với tốc độ không đổi $(u,v)$ và rơi tự do $\{x_2(t)=0,\;y_2(t)=-gt^2/2\}$. Do đó, chuyển động thu được được viết như sau: $\{x(t)=ut,\,y(t)=vt-gt^2/2\}$ (khi cộng các vectơ có điểm bắt đầu tại $O$ thì tọa độ các đầu của chúng được cộng vào).

Bài 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của parabol mà một vật bay dọc theo với vận tốc $(u,v)$, nối điểm tiếp tuyến $(x(t),y(t))$ với điểm $(0,-y_2(t))=(0,gt^2/2)$.

Lưu ý rằng phương pháp do Torricelli chỉ ra để dựng các tiếp tuyến của một parabol đã được biết trước đó; tuy nhiên, cách giải thích động học của nó chắc chắn mang tính hướng dẫn.

Tiếp tuyến với cycloid

Xycloid Galileo gọi đường cong được mô tả bởi một điểm nằm trên ranh giới của một vòng tròn lăn theo đường thẳng (Hình 1); Cái tên này có nghĩa là “đến từ một vòng tròn”.

23

24

Hình 1. Lốc xoáy.

Ở Pháp, cơn lốc xoáy độc lập với Gaul được phát hiện bởi Mersenne (1588-1648); ở đây nó được gọi là roulette hoặc trochoid. Các nhà khoa học vĩ đại nhất của Ý và Pháp (Torriceli, Vivanni (1622-1703), Fermat (1601-1665), Descartes (1596-1650), Roberval) đã giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. bài toán về cơn lốc xoáy. Có lẽ Vivanni là người đã xây dựng đường tiếp tuyến đầu tiên của cơn lốc xoáy. Tuy nhiên, vì xoáy thuận được định nghĩa về mặt động học, nên việc tìm cách xây dựng một tiếp tuyến của nó thu được từ các thông điệp động học là điều đương nhiên. Điều này được thực hiện bởi Roberval và Torricelli.

Giả sử tại thời điểm ban đầu $(t=0)$ $O$ là tâm của vòng tròn sinh (lăn) và điểm quan sát $A$ là điểm mà vòng tròn sinh chạm vào đường định hướng $l$. Rõ ràng là chuyển động của điểm $A$ là tuần hoàn; do đó, chỉ cần quan sát cho đến khi nó lại rơi trên đường thẳng $l$ là đủ. Hơn nữa, tại thời điểm $t$ điểm quan sát chiếm vị trí $A_t = K$ (Hình 3). Vector $\dot{r}_1(t)$ hướng tiếp tuyến với ranh giới của vòng tròn sinh ra, vectơ $\dot{r}_2(t)$ nằm ngang; chiều dài của chúng bằng nhau. Theo quy tắc hình bình hành

$\cdot$ Chúng ta có $c = \frac{2\pi R}{T}$, trong đó $R$ là bán kính của vòng tròn tạo ra, $T$ là thời gian quay hết vòng của nó. Cụ thể, nếu $T=2\pi$ thì $c=R$.

25

Hình 4.

(trong trường hợp này là hình thoi) chúng ta tìm được tốc độ cần thiết $\dot{r}(t)$, và do đó là tiếp tuyến với xoáy thuận.

Bài 3. Chứng minh tiếp tuyến của cyclon tại điểm $K$ nối điểm này với điểm trên $D$ của đường tròn sinh tại vị trí tương ứng.

(Đối với lời giải bài toán chúng ta chỉ cần chứng minh một sự thật hình học đơn giản: vectơ $\dot{r}(t)$ hướng dọc theo đường thẳng $KD$.)

Lưu ý rằng giá trị của tốc độ $|\dot{r}(t)|$ không phải là hằng số: nó lớn nhất khi điểm đã chiếm vị trí lớn nhất (trong trường hợp này, các vectơ $\dot{r}_1(t)$ và $\dot{r}_2(t)$ nằm trên cùng một đường thẳng và trùng phương), và bằng 0 khi điểm rơi trên đường thẳng $l$ (trong trường hợp này, các vectơ $\dot{r}_1(t)$ và $\dot{r}_2(t)$ ngược nhau (Hình 2). 4)).

Có thể chứng minh rằng sự bằng nhau của vận tốc bằng 0 tại các điểm tiếp xúc của đường tròn và đường thẳng tại mọi thời điểm tương đương với định nghĩa trước đó về lăn không trượt.

Vì vậy, chúng ta thấy rằng nơi cơn bão hướng tới, tốc độ của điểm quan sát trở thành bằng không. Hóa ra, nói chung, bất kể quỹ đạo là gì, tại các điểm nhọn, tốc độ luôn bằng không. Đôi khi người ta nói rằng quỹ đạo không thể “bị đứt” ở tốc độ khác 0. Người ta thường chấp nhận rằng các đường cong không có tiếp tuyến tại các điểm nhọn của chúng. Mọi điều được nói ở đây cần phải được làm rõ một cách nghiêm túc, nhưng chúng tôi sẽ không làm điều này.

Pháp tuyến của đường cong tại điểm $A$ là đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Hình 5.

Từ nhiệm vụ 3, pháp tuyến đến xoáy thuận đi qua điểm dưới của vòng tròn tạo ra (điểm $E$ trong Hình 3; góc $DKE$ là đường thẳng vì nó nằm trên đường kính).

Lốc xoáy rút ngắn

Cho đến nay chúng ta mới chỉ đi theo một điểm ranh giới (cố định) của vòng tròn sản xuất; tuy nhiên, rõ ràng là các điểm biên khác sẽ di chuyển theo cùng một xoáy thuận, chỉ thẳng hàng dọc theo đường thẳng $l$ (Hình 5). Bây giờ chúng ta hãy theo dõi quỹ đạo của các điểm bên trong của đường tròn. Các đường cong thu được được gọi là lốc xoáy rút ngắn (Hình 6); chúng được đặc trưng bởi tỷ lệ $k = \frac{\rho}{R}$, trong đó $R$ là bán kính của vòng tròn tạo ra, $\rho$ là khoảng cách từ tâm

Hình 6. Lốc xoáy rút ngắn.

26

Vòng tròn đến điểm quan sát. Đối với $k=0$, chúng ta thu được một đường thẳng dọc theo đó tâm của vòng tròn di chuyển và đối với $k=1$, chúng ta thu được một cơn lốc xoáy.

Bài toán 4. Chứng minh pháp tuyến của xoáy thuận rút gọn đi qua điểm dưới của đường tròn sinh ra.

Lưu ý rằng một điểm chuyển động dọc theo một cơn xoáy thuận rút ngắn không có vận tốc bằng 0 ở bất cứ đâu. Tại điểm dưới cùng, tốc độ hướng theo chiều ngang và độ lớn của nó bằng $R-\rho$. Điều này có nghĩa là việc trượt với tốc độ $R-\rho$ (chuyển động tịnh tiến) được thêm vào chuyển động lăn của một vòng tròn có bán kính $\rho$.

Lốc xoáy mở rộng

Hãy sử dụng các điểm bên ngoài của nó làm hình tròn (người ta có thể tưởng tượng rằng một bánh xe chuyển động trên đường ray có vành trên đó). Những điểm này di chuyển dọc theo những đường cong gọi là lốc xoáy kéo dài (Hình 7). Tất cả các lập luận được đưa ra cho các cơn lốc rút gọn đều được chuyển nguyên văn sang các cơn lốc mở rộng. Ở đây chỉ có $k=\frac{\rho}{R}>1$. Chúng ta chỉ lưu ý rằng tại điểm dưới cùng của cơn lốc kéo dài, tốc độ hướng theo hướng ngược lại với chuyển động của vòng tròn ($|\dot{r}_1|=\rho, |\dot{r}_2|=R, \rho>R$).

Bạn có để ý rằng phần dưới của vành bánh xe ngựa di chuyển về phía sau không?

Tâm quay tức thời

Vì vậy, chúng ta đã bao gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng dưới dạng một vòng tròn dọc theo một đường thẳng. Mỗi điểm di chuyển theo quỹ đạo riêng của nó, nhưng tất cả các quỹ đạo này đều giống nhau, vì các điểm chuyển động tạo thành một vật rắn. Tính chất đặc trưng của vật rắn xét theo quan điểm động học là khi chuyển động thì khoảng cách giữa tất cả các điểm của nó không đổi. Ở đây chúng tôi sẽ giới hạn ở đây chỉ xem xét những chuyển động của các tấm rắn có thể được thực hiện mà không cần tháo các tấm ra khỏi mặt phẳng (ví dụ: không được phép lật chúng). Chúng ta sẽ quan tâm đến những hạn chế nào đối với tốc độ của một điểm trên tấm là điều kiện của độ cứng (lưu ý rằng câu hỏi về chuyển động của vật rắn ba chiều phức tạp hơn nhiều so với vật phẳng bài toán mà chúng ta đang xem xét).

Dưới đây là một số mô hình chuyển động của tấm rắn.

Nguyên tắc tham gia. Chuyển động của một tấm rắn được xác định duy nhất bởi chuyển động của hai thùy bất kỳ của nó. Chuyển động của hai thùy khác nhau, trong đó khoảng cách giữa chúng được duy trì, có thể, theo một cách độc đáo, tiếp tục chuyển động của toàn bộ mặt phẳng như một tấm rắn. Tuyên bố này hoàn toàn có tính chất hình học. Chúng tôi sẽ không cung cấp bằng chứng về điều đó và chỉ giới hạn ở

27

thiếu giải thích trực quan. Thứ nhất, chuyển động của một thanh thẳng được đặc trưng hoàn toàn bởi chuyển động của hai điểm của nó, và thứ hai, nếu một tam giác bao gồm các thanh cứng, thì chuyển động của một trong số chúng sẽ làm cho toàn bộ tam giác chuyển động. Do đó, chuyển động của hai điểm, $A$, $B$, có thể liên quan đến đường thẳng $AB$ và sau đó là bất kỳ điểm $C$ nào bên ngoài $AB$.

Nguyên tắc phân cấp. Nếu không có ngoại lực nào tác động lên tấm (mà chỉ có nội lực đảm bảo độ cứng) thì nó sẽ tạo ra một chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động y học đều.

Khi xem xét các chuyển động tùy ý của các tấm, chúng ta cần một nguyên lý cơ bản của cơ học. Tốc độ không thể thay đổi hoán đổi cho nhau (cần có thời gian khác 0 để thay đổi tốc độ). Đặc biệt, nếu tại thời điểm $t_0$ các lực tác dụng lên điểm chuyển động thay đổi thì tốc độ $r(t_0)$ sẽ không thay đổi, nghĩa là nếu $r(t_0) \neq 0$, tiếp tuyến với quỹ đạo tại thời điểm $t_0$ sẽ không thay đổi (mặc dù bản thân quỹ đạo có thể trở nên khác so với thời điểm này).

Giả sử tại thời điểm $t_0$ ngoại lực không còn tác dụng lên tấm tam giác đang chuyển động. Khi đó, một mặt, vận tốc của điểm tại thời điểm $t_0$ không đổi, mặt khác, chuyển động phải tuân theo nguyên lý quán tính đã được công thức hóa. Do đó, khi tấm tam giác chuyển động, tại mỗi thời điểm $t$ chỉ có thể thay đổi một trong hai khả năng:

a) vận tốc của tất cả các điểm đều bằng nhau (dưới dạng vectơ);
b) có một điểm $O_t$ tại đó tốc độ bằng 0; tại một điểm tùy ý $A$ của tấm, tốc độ có hướng vuông góc với vectơ $O_tA$ và độ lớn của nó tỷ lệ thuận với khoảng cách từ $A$ đến $O_t$. (Hệ số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào thời gian $t$ và không phụ thuộc vào $A$.)

Từ thực tế là tốc độ không thể thay đổi ngay lập tức, dễ dàng suy ra rằng việc chuyển từ trạng thái $a$ sang $b$ và ngược lại chỉ có thể thực hiện được tại những thời điểm tấm dừng lại (vận tốc của tất cả các điểm bằng 0). Do đó, trong khoảng thời gian giữa các điểm dừng, tình huống $a$ hoặc tình huống $b$ sẽ diễn ra. Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp $a$ quỹ đạo của bất kỳ điểm $A$ nào được lấy từ quỹ đạo của một số điểm $B$ bằng cách dịch song song sang vectơ $BA$. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp $b$ (nghĩa là giả sử rằng tại mỗi thời điểm có một điểm $O_t$ với tốc độ bằng 0). Chúng tôi sẽ gọi $O_t$ là trung tâm trao đổi xoay vòng tại thời điểm hiện tại $t$. (Trong ví dụ về đường tròn lăn dọc theo đường thẳng, tâm quay tức thời là điểm tiếp xúc của đường tròn với đường thẳng định hướng).

Nếu biết tâm quay tức thời $O_t$ thì pháp tuyến của quỹ đạo tại thời điểm $t$ (kỹ thuật $O_tA_t$), và do đó, các tiếp tuyến, sẽ được xây dựng tự động. Ngược lại, nếu tại thời điểm $t$ biết vận tốc của hai điểm của tấm, thì lấy giao điểm của pháp tuyến với các vận tốc này, chúng ta thu được tâm quay tức thời $O_t$.

Bây giờ để tấm hình tam giác di chuyển dọc theo một mặt phẳng cố định. Chúng ta hãy xem xét trên mặt phẳng này đường cong $L$, bao gồm các tâm quay tức thời tại mọi thời điểm; đường cong $L$ được gọi là tâm cố định; chúng ta sẽ gọi nó là “đường ray”. Mặt khác, hãy xét một đường cong $C$ trên mặt phẳng, bao gồm tất cả các điểm hóa ra là tâm quay tức thời tại một thời điểm nào đó; $C$ được gọi là tâm chuyển động; chúng ta sẽ gọi $C$ là “bánh xe”. Các thuật ngữ “không nghiêm trọng” được giới thiệu có thể cho bạn biết rằng nguồn

28

Chuyển động này có thể thu được nếu chúng ta xem xét việc lăn mà không trượt “bánh xe” cong dọc theo một “đường ray” cong và bao gồm các điểm còn lại trong quá trình lăn này (Hình 8).

Chúng ta sẽ giả sử rằng việc không trượt có nghĩa là vận tốc tức thời tại các điểm tiếp xúc của “bánh xe” và “đường ray” dẫn hướng luôn bằng 0 (điều này phù hợp với định nghĩa về tâm quay tức thời).

Từ đây, chúng ta có thể suy ra sự bằng nhau về độ dài cung của “bánh xe” và cung tương ứng của “đường ray” dẫn hướng (trên đó cung này của “bánh xe” lăn). Trong trường hợp này, được phép để các “bánh xe” giao nhau với “đường ray” khi lăn.

Thông thường, các cuộn được hiểu là các quỹ đạo mô tả các điểm của mặt phẳng trong quá trình chuyển động của nó dưới dạng một tấm rắn với các điều kiện (6) ở mọi thời điểm, tức là có một số chuyển động lăn. Đối với tất cả các cuộn, chúng tôi đã học cách vẽ pháp tuyến và tiếp tuyến. Hóa ra là bạn thậm chí không cần phải vẽ các tiếp tuyến với “bánh xe” và “đường ray” (điều này sẽ cần thiết nếu bạn sử dụng phép cộng vận tốc).

Trong các cuộc kiểm tra cơ khí của chúng tôi, chúng tôi đã thêu những tác phẩm vượt ra ngoài thế kỷ 17; Tuy nhiên, người ta đã thay thế rằng phương pháp thực hiện các cuộn thông thường đến cuộn tổng quát đã được phát hiện bởi Descartes, người đã định nghĩa chúng với sự trợ giúp của việc lăn (tất nhiên là không biết các chuyển động được tạo ra bởi việc lăn tổng quát như thế nào).

Epicyclopda

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các cuộn thu được bằng cách lăn một vòng tròn trong một vòng tròn. Để một hình tròn có bán kính $r$ lăn dọc theo cạnh ngoài của hình tròn có bán kính $R$. Quỹ đạo của các điểm biên của một vòng tròn lăn (“bánh xe”) được gọi là epicyclopes. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào $k = \frac{R}{r}$ (Hình 9). Nếu $k$ là một số nguyên, thì vòng tròn di động, sau khi lăn một lần dọc theo đường viền của vòng tròn cố định, sẽ thực hiện $k$ vòng quay và ngoại thiên văn sẽ có $k$ điểm và $k$ vòm. Một epicyclope với $k = 1$ được gọi là cardioid (nó giống với hình ảnh cách điệu của một trái tim). Nếu $k = \frac{p}{q}$ là một phân số tối giản thì vòng tròn chuyển động sau khi quay $q$ sẽ lăn trên vòng tròn đứng yên $p$ lần. Nếu $k$ là số hữu tỷ thì sẽ không có tính tuần hoàn và điểm quan sát sẽ không bao giờ trở về vị trí ban đầu.

Có thể chứng minh rằng quỹ đạo vô hạn dẫn đến trường hợp này lấp đầy vòng ($R \leqslant OA \leqslant R + r$), tiếp cận mọi điểm của nó càng gần càng tốt, nhưng không chạm vào mọi điểm.

Các tiếp tuyến của ngoại xích đạo có thể dễ dàng được xây dựng bằng cách sử dụng tâm quay tức thời - điểm tiếp xúc của đường tròn. Chứng minh rằng tiếp tuyến của ngoại tâm (tại một số điểm) sẽ đi qua điểm của đường tròn di động tương ứng, đối diện hoàn toàn với điểm tiếp xúc với đường tròn cố định.

Bình luận. Khi xây dựng epicyclops và lời giải bài toán bạn cần nhớ những điều sau. Nếu $A$ là vị trí ban đầu của điểm quan sát (Hình 10) và tại một thời điểm nào đó, vòng tròn chuyển động chạm vào điểm cố định tại điểm $B$, thì ngoại kính thuộc về một điểm trên ranh giới của nó $C$ sao cho cung $BA$ có độ dài bằng các cung $BC$; có tính đến sự khác biệt về bán kính, chúng ta nhận được

$$\frac{BC}{BA} = \frac{R}{r} = k.$$

Quỹ đạo chuyển động của các điểm bên trong (tương ứng, bên ngoài) của vòng tròn chuyển động trong quá trình lăn đang xem xét được gọi là các epicyclopes gốc (tương ứng, có gắn) (Hình 11; chúng tôi giới hạn ở số nguyên $k$).

29

Hình 9. Epicycloid.

30

Hypocyclops

Các cuộn thu được bằng cách lăn một vòng tròn có bán kính $r$ dọc theo mặt trong của vòng tròn có bán kính $R > r$ được gọi là hypocyclopses (tương ứng được kéo dài và rút ngắn).

Nếu $r > R$, thì tương tự như một chuyển động như vậy, chúng ta có thể coi việc lăn một vòng có bán kính $r$, mặt trong chạm vào ranh giới của một vòng tròn đứng yên có bán kính $R$. Các cuộn tương ứng được gọi là Pericyclopdes. Nhưng hóa ra chúng lại trùng với các epicyclopds (xem «Kvant», 1975, số 1, bài toán M261).

Loại hypocyclops phụ thuộc vào bản chất số học của $k = \frac{R}{r}$ và người đọc có thể dễ dàng tự mình tìm ra điều này bằng cách tương tự với epicyclops.

Bài toán 5’. Để các phép quay được mô tả ở bài toán 5 xảy ra theo hướng ngược nhau (một hướng ngược chiều kim đồng hồ, một hướng ngược chiều kim đồng hồ). $A$ sẽ di chuyển theo những quỹ đạo nào?

Hãy để tôi nhấn mạnh trong phần kết luận rằng chúng tôi đã không đặt ra mục tiêu chứng minh một cách nghiêm ngặt tất cả các kết quả mà chúng tôi thu được từ các thông điệp động học. Trong một số trường hợp, điều này rất dễ thực hiện: lý luận cơ học được thay thế bằng lý luận toán học. Gần như tự động (đối với điều này, chỉ cần thay thế tốc độ bằng đạo hàm là đủ). Trong các trường hợp khác, khó tìm thấy “chất thay thế” hơn (ví dụ: khi xem xét chuyển động của các tấm hoặc lực thay đổi). Tuy nhiên, những cân nhắc thuần túy về mặt toán học không thể thay thế hoàn toàn cách giải thích máy móc, điều này trong nhiều trường hợp khiến người ta có thể thấy một đáp số đơn giản và màu đỏ.

Hình 11. Epicyclops rút ngắn và kéo dài.

Bài toán 5. Cho điểm $A$ quay đều quanh điểm $O_1$, rồi lần lượt quay đều quanh điểm $O; |OO_1| = r_2, |O_1A| = r_1$. Để cả hai phép quay xảy ra theo chiều kim đồng hồ; $v_1$ và $v_2$ là giá trị của tốc độ tuyến tính. Chứng minh rằng chuyển động của điểm $A$ sẽ xảy ra dọc theo một loại bách khoa toàn thư nào đó (có thể rút ngắn hoặc mở rộng). Những mối quan hệ xác định bản chất của đường cong?

31

Mặt cắt hình nón

Trong các bài viết “Ellipse”, “Hyperbola” và “Parabola”*), những đường cong này được xác định theo nhiều cách khác nhau: đường cong đầu tiên là kết quả của việc kéo dài hoặc lăn một vòng tròn, đường cong thứ hai và thứ ba là đồ thị của một số hàm nhất định. Mỗi trong số chúng có đặc tính tiêu cự riêng, thường được coi là định nghĩa của đường cong. Chúng ta hãy nhớ lại những “định nghĩa tiêu điểm” này (giả định rằng tất cả các điểm đang xét cho mỗi đường đều nằm trong cùng một mặt phẳng):

Hình elip là tập hợp tất cả các điểm, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm (tiêu điểm) là như nhau.

Hyperbol là tập hợp tất cả các điểm, sự khác biệt về khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm (tiêu điểm) là như nhau.

Parabol là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách bằng nhau tính từ một điểm (tiêu điểm) và từ một đường thẳng không đi qua nó (hướng).

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Menaechmus, người đã phát hiện ra những đường cong này, đã định nghĩa chúng theo cách khác: là các phần của một hình nón tròn bởi một mặt phẳng vuông góc với một trong các đường sinh. Ông gọi các phần đường cong thu được là một hình nón có góc nhọn, hình chữ nhật và góc myno, tùy thuộc vào góc của hình nón. Cái đầu tiên, như chúng ta thấy bên dưới, là một hình elip, cái thứ hai là parabol, cái thứ ba là một nhánh của hyperbol (Hình 1, a, b và c). Những cái tên “Ellipse”, “Hyperbola” và “Parabola” được giới thiệu bởi Apollo*. Trước mắt chúng ta sẽ nhận được (7 trên 8 cuốn) bài tiểu luận “Về các phần Conchex” của Apollo. Trong tác phẩm này, Apollonius xem xét cả hai nửa của hình nón (Hình 2) và giao hình nón với các mặt phẳng không nhất thiết phải vuông góc với một trong các đường sinh.

Định lý. Nếu mặt phẳng cắt cắt tất cả các đường sinh của hình nón (chỉ một nửa của nó), thì đường giao nhau (đường màu đỏ trong Hình 2) là một hình elip;

nếu mặt phẳng song song với một đường sinh (và có thể cắt một tầng) thì đường giao nhau (màu xanh) là một parabol;

nếu mặt phẳng song song với hai máy phát điện (chúng ta giao nhau cả hai tầng), thì đường giao nhau (màu đen) là một eperbola.

Một bằng chứng tao nhã của định lý này đã được đề xuất vào năm 1822 bởi kỹ sư Dandel người Selgian, người đã sử dụng những quả cầu mà ngày nay được gọi một cách vui vẻ là những quả cầu Dandelen.

Hình elip. Chúng ta hãy nội tiếp hai hình cầu trong hình nón, tiếp xúc với mặt phẳng cắt.

*) Xem Quiet, 1975, số 1, 3 và 4. Có thể giả định rằng người đọc đã quen thuộc với những bài viết này.

32

rời đi $M$; tương tự, $MF_2 = MP_2$. Vì vậy, $MF_1 + MF_2 = MP_1 + MP_2 = P_1P_2$.

Độ dài của đoạn $P_1P_2$ là như nhau đối với tất cả các điểm $M$ trong phần của chúng ta: đây là ma trận của một hình nón cụt được giới hạn bởi các mặt phẳng song song $I$ và $II$, trong đó các đường tròn $k_1$ và $k_2$ nằm. Do đó, đường thẳng cắt hình nón với mặt phẳng $\Pi$ là một hình elip có tiêu điểm $F_1$ và $F_2$.

Cường điệu. Trường hợp này tương tự như trường hợp vừa thảo luận. Mời độc giả chứng minh, sử dụng Hình 4, a, 6, rằng mặt cắt ngang tạo ra một hyperbol.

Parabol. Trường hợp này được thảo luận trong bài “Parabola” *), dựa trên định nghĩa tương tự về đường cong này. Nhưng bạn cũng có thể kiểm tra sự xa lánh từ hình cầu của Dandelen (Hình 5).

*) «Kvant», № 4, c. 16.

Hình 1.

niya P từ các phía khác nhau (Hình 3, a, 6). Chúng ta hãy biểu thị bằng $F_1$ và $F_2$ các điểm tiếp tuyến của mặt phẳng này với các hình cầu. Lấy một điểm tùy ý $M$ trên đường thẳng của tiết diện hình nón theo mặt phẳng P. Đánh dấu trên tọa độ của hình nón đi qua $M$ các điểm $P_1$ và $P_2$ nằm trên đường tròn $k_1$ và $k_2$ mà các quả cầu tiếp xúc với hình nón. Rõ ràng $MF_1 = MP_1$ là các đoạn của hai tiếp tuyến với hình cầu thứ nhất,

33

Hình 3.

Hình 4.

3 «Kvant» № 5

34

Mặt phẳng П cắt hình nón tròn song song với đường sinh $St$. Ta vẽ một hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng P vào trong hình nón. Điểm tiếp tuyến $F$ là tiêu điểm. Hình nón và hình cầu tiếp xúc dọc theo một đường tròn $k$, mặt phẳng I cắt P dọc theo đường thẳng $d$. Đây là giám đốc.

Để chứng minh điều này, ta vẽ mặt phẳng II song song với I đi qua điểm $M$ nằm trên đường sinh $SHM$ của hình nón. Nó sẽ cắt hình nón dọc theo vòng tròn thứ hai $k'$. Sau đó, chúng ta hạ đường vuông góc $MD$ từ $M$ xuống đường thẳng $d$. Dễ dàng nhận thấy nó song song với ma trận $St$ và hình $MDEB$ là hình bình hành. Chúng ta có: $MF = MH$ (là hai tiếp tuyến từ điểm $M$ đến hình cầu); $MH = BE$ (là hai thế hệ của hình nón cụt được giới hạn bởi mặt phẳng I và II); $BE = MD$ (giống như các cạnh đối diện của hình bình hành). Từ đẳng thức $MF = MD$ cho bất kỳ điểm $M$ nào của đoạn thì suy ra đoạn này là một parabol.

Tính chất định hướng của đường conic. Độ lệch tâm

Thuộc tính tiêu điểm của parabol có thể được đưa ra theo công thức sau: tỷ lệ $\dfrac{MF}{MD}$ của khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của parabol đến tiêu điểm $F$ và với đường chuẩn $d$ (Hình 5) là một giá trị không đổi (bằng đơn vị).

Tính chất tương tự cũng áp dụng cho hình elip và hyperbol.

Trong mặt phẳng của một hình elip (hyperbola) cho mỗi tiêu điểm $F$ có một đường thẳng $d$ (directrix) sao cho tỷ lệ khoảng cách từ bất kỳ điểm $M$ của hình elip (hyperbola) đến tiêu điểm $F$ và đến đường chuẩn $d$ là một giá trị không đổi. Nó được gọi là độ lệch tâm của đường cong hình elip (hyperbolas) và được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp $\varepsilon$ (epsilon). Do đó, đối với một parabol, $\varepsilon = 1$; từ những gì sau đây hóa ra rằng đối với một hình elip $\varepsilon$ nhỏ hơn 1, và đối với một hyperbola $\varepsilon$ thì lớn hơn 1. Một parabol có một đường chuẩn và một hình elip (siêu-

bolas) - hai, một cho mỗi tiêu điểm (Hình 6).

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh tính chất này cho hình elip. Đường chuẩn $d_1$ và $d_2$ là các đường giao nhau của mặt phẳng P với mặt phẳng I và II (xem Hình 3). Đối với hình elip, chúng nằm bên ngoài hình nón và do đó nằm ngoài đường cong. Từ sự giống nhau của các tam giác $MD_1P_1$ ($MD_1 \perp d_1$) và $MD_2P_2$ ($MD_2 \perp d_2$) ta có: $MP_1 : MD_1 = MP_2 : MD_2$. Chúng ta hãy biểu thị các mối quan hệ này bằng $\varepsilon$. Vì $MP_1 = MF_1$, $MP_2 = MF_2$, rồi $MF_1 = \varepsilon \cdot MD_1$, $MF_2 = \varepsilon \cdot MD_2$. Cộng các đẳng thức này, ta được

$$MF_1 + MF_2 = \varepsilon (MD_1 + MD_2) = \varepsilon \cdot D_1D_2.$$

Nhưng cạnh trái, theo tính chất tiêu cự của hình elip, không đổi và bằng $2a$, độ dài $D_1D_2$ (khoảng cách giữa các đường chuẩn) cũng không đổi. Vì vậy, $\varepsilon = \mathrm{const}$.

Lý do tương tự đối với hyperbol.

Hình 5.

35

Các tiêu điểm của hình elip phân kỳ nhau theo độ dài 2a của trục tiêu cự của nó, tức là độ giãn dài của hình elip là bao nhiêu.

Nguồn gốc của hình elip và hyperbol được đặt tên. Đường cong bậc hai

Chúng ta hãy gọi dây cung chính của hình elip, hyperbol hoặc parabol là dây cung đi qua tiêu điểm vuông góc với trục tiêu (đây là tên của trục đi qua tiêu điểm của đường cong). Hình elip và hình hyperbol, không giống như parabol, có hai dây chính. Chúng ta sẽ ký hiệu độ dài của một nửa hợp âm chính bằng chữ p và gọi đó là tham số tiêu điểm của phần cuối *).

Đối với bất kỳ điểm M nào của phần hữu hạn, chúng ta dựng hình chữ nhật ABCD màu vàng (chiều cao bằng dây chính) và hình vuông màu xanh NMEH (Hình 7, a, 6, b). Như chúng ta đã biết**), đối với parabol, hình chữ nhật và hình vuông này có cùng diện tích.

Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng đối với một hình elip, hình vuông có diện tích nhỏ hơn hình chữ nhật, tức là hình vuông này không có đủ diện tích (elleipsis). Đối với hyperbol, hình vuông có diện tích lớn hơn hình chữ nhật, nghĩa là nó có phần dư (hyperbol). Thực tế này, được Apollo biết đến, là cơ sở cho tên của cả hai đường cong.

Bằng chứng. Phương trình chính tắc của elip có dạng

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Tuy nhiên, nếu chúng ta hợp nhất hình elip sang bên phải một đơn vị (sao cho tại gốc tọa độ không có tâm mà là đầu bên trái của trục tiêu của hình elip), thì ở vị trí mới này (hình elip màu xanh lam trong Hình 8,a) nó sẽ có một phương trình khác, thu được

*) Chúng tôi khuyên bạn nên tiếp tục thông tin liên quan về hợp âm chính và parabol tham số tiêu điểm («Kvant», Số 4, trang 12).

**) «Kvant», № 4, c. 12.

36

Hình 7.

tiếp theo từ trước nếu $x$ được thay thế bằng $x - a$:

$$\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

hoặc

$$y^2 = \frac{2b^2}{a} x - \frac{b^2}{a^2} x^2.$$

Nhận thấy rằng $p = \frac{b^2}{a}$ (chúng ta có thể tính trực tiếp giá trị này; xem Hình 7.6)

Hình 8.

và $\frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 - c^2}{a^2} = 1 - \varepsilon^2$, chúng ta có thể viết phương trình này như sau:

$$y^2 = 2px + (\varepsilon^2 - 1)x^2.$$

Phương trình hyperbol được rút gọn về dạng giống hệt nhau (ở đây đường cong được dịch chuyển sao cho đầu bên phải của trục tiêu điểm nằm ở gốc tọa độ (xem Hình 8, 6) và $x$ được thay thế bằng $x + a$).

Lưu ý rằng parabol (Hình 8, c), có $\varepsilon = 1$, có cùng phương trình:

37

$y^2=2px$). Do đó, cả ba đường cong đều được biểu thị bằng cùng một phương trình (2). Nó được gọi là phương trình đỉnh tương đối, vì gốc tọa độ trong trường hợp này là ở đỉnh của đường cong (Hình 9).

Số hạng thứ hai ở vế phải của (2) là số âm đối với hình elip, bằng 0 đối với hình parabol

*) Trong «Kvant» Số 4 (tr. 13), phương trình của parabol thu được có dạng $x^2=2py$, và ở đây chúng ta viết nó như thế này: $y^2=2px$. Thực tế là chúng ta đã sắp xếp lại các trục tọa độ ở đây (so sánh hình 8 trong bài viết này và hình 6 trong bài “Parabola” ở «Kvant» số 4).

Điều quan trọng là phương trình phần hữu hạn (2) phải ở bậc hai đối với các biến có trong nó. Điều này áp dụng cho các phương trình hữu hạn của cả ba đường cong. Nói chung, bất kỳ đường cong nào có phương trình trong hệ tọa độ chữ nhật đều có bậc hai, tức là $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$, là một phần hữu hạn *). Vì vậy, các phần hữu hạn còn được gọi là đường cong bậc hai.

Từ hình elip đến hyperbol thông qua paraboly

Chúng ta hãy xem xét một mặt phẳng P cắt một hình nón dọc theo một đường tròn và trong mặt phẳng này chúng ta lấy một đường thẳng $l$ tiếp xúc với đường tròn này. Nếu bây giờ chúng ta bắt đầu quay mặt phẳng P quanh đường thẳng $l$, thì nó sẽ là

*) Đúng, với công thức này, chúng ta không chỉ phải coi một đường cong là một phần hữu hạn mà còn phải coi một cặp đường thẳng giao nhau (phương trình $x^2-y^2=0$). Tuy nhiên, điều này là hoàn toàn tự nhiên, vì mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón có thể cắt nó dọc theo hai đường thẳng, tức là dọc theo một tiết diện hữu hạn “suy biến”.

Hình 9.

Hình 10.

38

cắt hình nón dọc theo các hình elip ngày càng dài. Cuối cùng (khi mặt phẳng quay song song với một trong các đường sinh của hình nón), phần này sẽ biến thành một parabol, và sau đó (với sự quay tiếp theo của mặt phẳng) nó sẽ là một hyperbol *). Hình 10 cho thấy các đường cong được xây dựng xuất hiện trong một mặt phẳng quay.

Từ những điều trên, rõ ràng parabol là trường hợp ranh giới giữa hình elip và hyperbol. Đối với một vòng tròn (ε=0), tiêu điểm thứ hai nằm ở tiêu điểm đầu tiên. Với độ lệch tâm tăng dần, tiêu điểm thứ hai di chuyển ra xa tiêu điểm thứ nhất, nhưng miễn là ε nhỏ hơn 1, đường cong vẫn là một hình elip, được kéo dài. Tại ε=1, hình elip bị biến dạng thành một parabol (tiêu điểm thứ hai của nó “đi đến vô cùng”), và sau đó (với ε lớn hơn 1) tiêu điểm thứ hai sẽ lại xuất hiện trên trục tiêu (mặt khác, bên trong nhánh thứ hai của hyperbol).

Bằng cách di chuyển và xoay đèn, các tia bị giới hạn bởi chụp đèn tròn (Hình 11), chúng ta có thể thu được một đường viền ở dạng tiết diện hữu hạn bất kỳ, ngoại trừ các hyperbol có độ lệch tâm lớn (ε > 1/cos α).

Tính chất quang học của mặt cắt hình nón

Hình 12 thể hiện một mạng lưới dày đặc gồm hai chuỗi đường tròn đồng tâm có tâm F₁ và F₂; hiệu giữa bán kính của hai đường tròn liền kề của mỗi dãy bằng d. Mạng chia mặt phẳng thành các hình tứ giác nhỏ, có thể coi là

*) Các phép tính đơn giản (chúng tôi không trình bày) cho thấy rằng độ lệch tâm của hyperbol, có thể thu được bằng cách cắt một hình nón tròn cho trước bằng một mặt phẳng, không thể chuyển đổi thành 1/cos α, trong đó α là góc giữa trục và ma trận của hình nón. (Điều này xuất phát từ thực tế là góc giữa các tiệm cận của hyperbol thu được trong phần này không chuyển thành 2α.)

Hình 11.

39

Điều này suy ra từ đặc tính tiêu điểm của cả hai đường cong: đối với hình elip $F_1N = F_1M + d$, $F_2N = F_2M - d$ và $F_1N + F_2N = F_1M + F_2M$; tương tự đối với hyperbol. Đây là một cách mới để dựng hình elip và hyperbol bằng tiêu điểm và một điểm! Chúng ta có thể bắt đầu từ bất kỳ nút nào trong mạng và chúng ta có hai họ hình elip và hyperbol “tiêu điểm”. Cách xây dựng này càng chính xác thì $d$ càng nhỏ.

Các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau, có nghĩa là mỗi cặp hình elip đồng tiêu và hyperbol cắt nhau một góc vuông $*$). Đường chéo của hình thoi chia góc của hình thoi làm đôi, có nghĩa là tiếp tuyến của hình elip (hyperbola) là một bissertrix của mỗi góc của mạng hình thoi mà nó đi qua. Từ thực tế là mỗi bán kính của đường tròn cắt nó theo một góc vuông, suy ra tiếp tuyến $MN$ tại mỗi điểm $M$ của hình elip tạo thành các góc bằng nhau với các đường thẳng $F_1M$ và $F_2M$. Điều này có nghĩa là theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”, tia $F_1M$ tới từ $F_1$ đến điểm $M$ của hình elip được phản xạ từ nó dọc theo đường thẳng $MF_2$ (Hình 13, a). Điều này sẽ áp dụng cho từng điểm của hình elip.

Do đó, tất cả các tia đi ra từ tiêu điểm $F_1$ đều bị phản xạ từ hình elip và hoàn thành ở tiêu điểm khác của nó $F_2$. Đây là tính chất quang học

*) Góc giữa hai đường cong là góc giữa các tiếp tuyến với chúng vẽ tại giao điểm của chúng.

40

hình elip, do đó có tên là tiêu điểm (tiêu điểm tiếng Latin - lò sưởi).

Đối với hyperbol, tính chất quang học phát ra như sau: các tia ló ra từ một tiêu điểm, phản xạ từ hyperbola, sẽ phân kỳ giống như mỗi tia ló ra từ tiêu điểm thứ hai (Hình 13, 6).

Trường hợp parabol là trung gian giữa hình elip và hyperbol. Tiêu điểm thứ hai “đi đến vô cực” dọc theo trục tiêu cự và các tia phát ra từ tiêu điểm duy nhất, phản xạ từ parabol, gần như song song với trục *) (Hình 13, c).

Một số tài sản khác

Để kết luận, chúng tôi trình bày thêm một số tính chất của phần hữu hạn mà không cần chứng minh.

Tính chất của đường kính liên hợp, đã được chứng minh cho hình elip **), với một số biến thể, được chuyển sang parabol và hyperbol. Trong một parabol, tập hợp trung điểm của các dây cung song song nằm trên một tia song song với trục đối xứng của parabol - mỗi tia như vậy là đường kính của parabol. Trong một nhánh của hyperbol, trung điểm của các dây song song cũng nằm trên tia. Đường thẳng chứa tia này đi qua tâm của hyperbol và được gọi là đường kính. Hãy tự mình khám phá xem trung điểm của các hợp âm song song thuộc loại khác nằm ở đâu - các đoạn, một đầu của chúng nằm trên đầu này và đầu kia trên nhánh kia của hyperbola.

Nếu chúng ta lấy sáu điểm liên tiếp A, B, C, D, E, F trên một phần conchex (giới hạn ở một nhánh trong trường hợp hyperbol), thì trong hình lục giác nội tiếp ABCDEF khi chúng ta moki giao điểm ngủ trưa

*) Thiết kế của máy chiếu dựa trên đặc tính này của parabol - bề mặt gương bên trong của chúng có được bằng cách xoay parabol quanh trục của nó (paraboloid quay). Nếu một nguồn sáng đặt tại tiêu điểm của một parabol thì tia sáng đó sẽ bị cắt khỏi gương bởi một tia song song.

**) Xem «Kvant» Số 1 của năm nay, tr. 5.

phía công nghiệp AB và DF, BC và EF, CD và FA nằm trên cùng một gia vị (định lý Pascal). Có thể có những trường hợp ngoại lệ khi có một cặp cạnh đối diện song song hoặc hai cặp cạnh như vậy (khi đó các cạnh của cặp thứ ba song song). Hãy xem xét những gì có thể nói về ba điểm giao nhau trong những trường hợp này.

Đây là hai tính chất thú vị hơn - một là hình elip, một là tính chất hyperbol.

Nếu đoạn AB có chiều dài không đổi trượt với các đầu của nó dọc theo hai thiên thể - hành tinh, sao chổi, vệ tinh. Nếu một điểm vật chất M chỉ chuyển động trong không gian dưới tác dụng của trọng lực của một điểm vật chất C khác (mà chúng ta coi là đứng yên), và lực hấp dẫn tuân theo định luật Newton F = a/r² (trong đó r là khoảng cách giữa C và M, a là hằng số), thì quỹ đạo của chuyển động là một tiết diện hữu hạn có tiêu điểm tại điểm C (hoặc điểm M di chuyển dọc theo một đường thẳng đi qua C). Kepler đi đến định luật thực nghiệm này bằng cách nghiên cứu những quan sát của Tycho Brahe; Định luật này sau đó đã được Newton chứng minh về mặt toán học. Các hành tinh và vệ tinh tự nhiên của chúng di chuyển dọc theo các hình elip, sao chổi di chuyển dọc theo các hình elip, hyperbol và parabol**). Tàu vũ trụ có thể được cung cấp bất kỳ quỹ đạo nào trong số này.

*) Người đọc «Kvant» có thể tìm thấy bằng chứng cho thực tế này trong lần xuất bản đầu tiên của bài báo “Hình elip” («Kvant», 1970, số 9).

**) Một cung nhỏ của một hình elip có độ dài cao, gần tiêu điểm, khó có thể phân biệt được với một cung tương tự của parabol và hyperbol (ε≈1, xem trang 37). Vì điều này, sẽ nảy sinh khó khăn trong việc xác định quỹ đạo của sao chổi – liệu nó có quay trở lại hay không?

41

Thí nghiệm với tia nước
M. P. Golovey

Khoa học nghiên cứu các định luật cân bằng và chuyển động của chất lỏng cũng như các phương pháp áp dụng các định luật này cho lời giải các bài toán thực tế khác nhau được gọi là thủy lực. Thật khó để gọi tên một lĩnh vực công nghệ mà không áp dụng các định luật thủy lực. Chúng được sử dụng trong xây dựng các nhà máy thủy điện, các địa điểm, đường ống dẫn nước, kênh mương; chúng cần thiết cho việc chế tạo máy tưới tiêu và lắp đặt jedeval.

Chúng ta cũng gặp phải nhiều thiết bị thủy lực khác nhau ở nhà: cấp nước, thoát nước, sưởi ấm. Dòng nước từ vòi, vòi, kết nối trong bình - trong tất cả những điều này, thoạt nhìn, là những hiện tượng đơn giản, không dễ để xác định mô hình.

Bạn không cần phải tìm đâu xa để tìm ví dụ. Theo bạn, mặt cắt ngang của dòng nước chảy ra từ cửa xả hình vuông có hình dạng như thế nào? Và từ câu trả lời có dạng hình tam giác? vòng tròn? Hãy dành thời gian của bạn với đáp số. Hãy thử xem nước chảy ra khỏi các đường ống có nhiều đoạn khác nhau như thế nào và bạn sẽ nhận được một kết quả hoàn toàn bất ngờ.

Hóa ra mặt cắt ngang của tia chảy qua ổ cắm hình vuông có hình chữ thập với bốn gân mỏng (Hình 1, a). Nếu phản ứng là hình tam giác thì mặt cắt ngang của tia có dạng chữ thập với các gân mỏng ở đỉnh (Hình 1, b), nếu nó tròn thì có dạng hình elip (Hình 1, c).

Hình dạng mặt cắt ngang của tia liên tục thay đổi khi nó di chuyển ra khỏi thành nước sốt. Hình 1 thể hiện hình dạng mặt cắt ngang của tia ở các khoảng cách khác nhau so với tàu. Những thay đổi đặc biệt đáng chú ý sẽ xảy ra với các phản ứng hình vuông và hình tam giác. Do đó, mặt cắt ngang của tia thoát ra từ đầu ra hình vuông trước tiên có dạng hình bát giác, sau đó trở thành hình chữ thập. Hiện tượng này được gọi là đảo ngược phản lực.

Chắc hẳn các bạn đã từng thấy dòng nước chảy ra từ vòi phun nước như thế nào. Ở đầu ống, đầu cuối cùng thường được làm từ một đoạn ống, hơi dẹt một bên. Trong trường hợp này, máy bay phản lực bay xa hơn. Có mô hình nào cho hiện tượng này không? Hóa ra là có. Đầu phun chính xác hơn với góc bổ sung $\beta \approx 13^\circ$ (Hình 2) cho độ phân giải lớn hơn 1,3–1,4 lần

Hình 1.

42

hành trình *) của nước so với hành trình hình trụ (có cùng diện tích mặt cắt ngang). Đây là góc tối ưu để thu được độ phân kỳ lớn nhất của nước. Phần cuối của sự biến mất tạo ra một dòng liên tục ở tốc độ cao và do đó được sử dụng rộng rãi trong thực tế trong các vòi phun lửa và vòi phun của bộ giám sát thủy lực.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang dòng nước chảy qua một lỗ trên thành bình.

Chúng ta hãy lấy một bình hình trụ chứa đầy nước, trên thành bên của nó có một lỗ nhỏ có diện tích $s_1$ (Hình 3). Qua lỗ này, nước chảy ra dưới áp suất của cột chất lỏng có chiều cao $H$. Lỗ được coi là nhỏ nếu kích thước của nó nhỏ hơn ít nhất mười lần so với chiều cao của cột $H$ tạo ra áp suất. Trong trường hợp này, tất cả các điểm của lỗ nhỏ đều nằm ở độ sâu xấp xỉ như nhau tính từ bề mặt chất lỏng và tốc độ dòng chảy tại tất cả các điểm có thể được coi là như nhau.

Lỗ trên thành mỏng là lỗ có các cạnh đủ sắc để độ dày của thành không ảnh hưởng đến hình dạng và trạng thái của tia. Điều kiện này được đáp ứng khi độ dày cạnh nhỏ hơn ba đường kính lỗ.

*) Tốc độ dòng chảy là lượng nước chảy ra trong một đơn vị thời gian.

Điều gì quyết định tốc độ nước chảy qua một lỗ nhỏ trên thành mỏng của bình? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Để một lượng nước nhỏ $\Delta m$ chảy ra khỏi bình trong khoảng thời gian ngắn $\Delta t$. Thế năng của nước trong bình giảm đi giá trị $\Delta mgH$ (thời gian đủ ngắn để coi mức $H$ của nước trong bình không thay đổi). Sự thay đổi thế năng này bằng động năng của khối nước $\Delta m$ chảy ra khỏi lỗ với tốc độ $v$, tức là $\frac{\Delta mv^2}{2} = \Delta mgH$. Từ đây

$$v = \sqrt{2gH}.$$

Sau bao lâu thì nước chảy ra khỏi bình? Rõ ràng, điều này phụ thuộc vào tốc độ dòng chảy và diện tích của lỗ. Trước tiên hãy nhìn vào tốc độ.

Như chúng tôi đã trình bày, $v = \sqrt{2gH}$. Nhưng tốc độ này chỉ có thể được coi là không đổi trong một khoảng thời gian ngắn (miễn là có thể coi $H = const$). Khi chất lỏng chảy ra ngoài, mức chất lỏng tăng lên và do đó, tốc độ dòng chảy giảm từ $v_0 = \sqrt{2gH}$ (tại thời điểm ban đầu $t = 0$) xuống $v_T = 0$ (dòng chảy ra ngoài). Bản chất của sự thay đổi tốc độ theo thời gian là gì? Hãy để tại thời điểm ban đầu $(t_1 = 0)$, khi cửa được mở